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Sistemas de coordenadas. Vectores. Álgebra vectorial.
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S01. VECTORES
PUNTO EN EL ESPACIO CARTESIANO
2Mg. Yuri Milachay
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• Existen magnitudes físicas
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requieren conocer la dirección,
mientras que otras como la
temperatura o la masa, no.
• A las magnitudes que poseen
dirección se les denomina
vectoriales. Las otras
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vectorial: el desplazamiento.
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7Mg. Yuri Milachay
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• Las magnitudes vectoriales se
operan con ayuda de entes
matemáticos llamados
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como líneas orientadas
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• La longitud de la flecha indica
el valor de la magnitud física
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indica su dirección.
60
origen
F
dirección
F 30N
8Mg. Yuri Milachay
NOTACIÓN VECTORIAL
• Los vectores se denotan con
letras mayúsculas con una
flecha arriba.
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letras mayúsculas en negrita.
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vector se denota con una letra
mayúscula normal o con
ayuda del símbolo de valor
absoluto.
A
A
A

A
9Mg. Yuri Milachay
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tienen el mismo módulo y la
misma dirección.
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tienen el mismo módulo pero
direcciones opuestas.
A B
180
A B
A BA B
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• Para sumar vectores con el
método gráfico se unen de
manera consecutiva la punta
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siguiente. La resultante se
obtiene uniendo la cola del
primer vector con la punta del
último.
• Esta operación es
conmutativa; es decir, puede
cambiarse el orden de los
vectores que se están
sumando y la resultante será
la misma.
R
A
B
A B R
R
B A R
11Mg. Yuri Milachay
MÉTODO GRÁFICO. PARALELOGRAMO
• Dados dos vectores, A y B, se pide calcular su resultante.
B
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1 A sen
tn
B Acos
A
A cos
2 2
R A B 2ABcos
12Mg. Yuri Milachay
MÉTODO DE COMPONENTES VECTORIALES
• El vector A puede
representarse como la suma
de dos vectores que se
encuentran sobre los ejes x y y
respectivamente. Estos
vectores reciben el nombre de
componentes del vector A.
• Ax y Ay se denominan
componentes del vector A y se
pueden calcular mediante la
siguiente relación:
A
xA
yA
x yA A A
xA Acos
yA Asen
2 2
x yA A A
y1
x
A
tan ( )
A
13Mg. Yuri Milachay
VECTORES UNITARIOS
• Un vector unitario es un vector
con magnitud 1, no tiene
unidades y su fin es
especificar una dirección. El
vector unitario i tiene la
dirección del eje +x y el vector
j la dirección +y.
• Escriba en función de los
vectores unitarios cada uno de
los desplazamientos
realizados por un cartero en el
recorrido de la ruta mostrada
en la figura.
j
i
x yA A i A j
A
xA
yA
j
14Mg. Yuri Milachay
SUMA DE VECTORES. MÉTODO DE LAS COMPONENTES
• Para sumar dos o más
vectores por el método de las
componentes, debe escribir
cada uno de los vectores a
través de sus componentes y
luego sumar
independientemente las
componentes x y y de dichos
vectores.
• Calcule el desplazamiento
total de cartero del ejercicio
anterior utilizando el método
de las componentes.
x yA A i A j
x yB B i B j
x yC C i C j
x x x y y yR (A B C )i (A B C ) j
15Mg. Yuri Milachay
EJERCICIO
• Calcule la resultante de los
vectores A y B mostrados en
la figura.
• Calcule la resultante de los
vectores A y B mostrados en
la figura.
16Mg. Yuri Milachay
EJERCICIO
• El vector A tiene
componentes Ax = 1,30 cm,
Ay = 2,55 cm; el vector B
tiene componentes Bx = 4,10
cm, By =-3,75 cm. Calcule: a)
las componentes de la
resultante A+B, y b) la
magnitud y dirección de B-A
ˆ ˆA (1,30cm)i (2,55cm)j

ˆ ˆB (4,10cm)i (3,75cm)j

ˆ ˆA B (5,40cm)i (1,20cm)j
 
2 2
A B (5,40cm) ( 1,20cm)
 
A B 5,53cm
 
ˆ ˆB A (2,80cm)i ( 6,30cm)j
 
2 2
B A (2,80cm) ( 6,30cm)
 
1 1,20cm
tan 12,5º
5,40cm
B A 6,89cm
 
17Mg. Yuri Milachay
EL PRODUCTO PUNTO
• Dados dos vectores A y B, el Producto Punto o Producto
Escalar, se define:
• El producto escalar obedece a la ley conmutativa, esto es:
• La expresión se lee : A punto B.
• Ej. de producto punto:
A B
ABA B A.B.Cos=
A B B A
Trabajo W F r
18Mg. Yuri Milachay
EL PRODUCTO PUNTO (CONT.)
• El producto punto de dos vectores expresados en componentes
cartesianas sigue la ley distributiva, como se muestra a
continuación:
• Sean los vectores A y B:
• produce la suma de 4 términos escalares, y en los
cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios.
Como el ángulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90° en
coordenadas cartesianas, entonces se cumple que:
• Resultando que:
i i 1; j j 1; i j 0
x y
x y
A A i A j
B B i B j
x x y yA B A B A B
A B
19Mg. Yuri Milachay
• Una aplicación del producto punto consiste en encontrar la
componente de un vector en una dirección dada. Por ejemplo, la
componente escalar del vector B en la dirección del vector unitario
u, se expresa:
• La componente tiene signo positivo si se cumple que:
• y negativo cuando:
EL PRODUCTO PUNTO (CONT.)
BuB u B u cos
Bu0 90
Bu90 180 
u
B
B u
Bu
20Mg. Yuri Milachay
EJERCICIO
• Se tienen los siguientes tres puntos del espacio. P(-2,3,-2) , Q(1,-
1,4) y R(0.-3,0) los cuales forman un triángulo. Encontrar:
• a) La longitud de cada lado del triángulo.
• b) Los ángulos internos del triángulo.
21Mg. Yuri Milachay
EJERCICIO
• En la figura se muestra un
paralelepípedo, de base ABCD
y altura 5,00 m. Si los vértices
de la base ABCD son A(0,0,0);
B= (1,80 m; 0 ;2,40 m) y C =
(0 ; 0,600 m; 0), determine un
vector perpendicular al plano
ABCD.
22Mg. Yuri Milachay
EJERCICIO
• Si el producto escalar de dos
vectores es 6, el módulo de
uno de los vectores es 3 y el
del otro, 4, halle el módulo de
la suma de estos dos vectores.
• Dados los vectores
Halle:
a) y
b) El ángulo formado por
y
Mg. Yuri Milachay 23
A B (11, 1,5)
A B ( 5,11,9)
A B
A
A B
EL PRODUCTO PUNTO (CONT.)
• Los tres vértices de un triángulo se encuentran en A(6,0;-1,0), B(-
2,0;3,0) y C(-3,0;1,0), encontrar:
• El ángulo θBAC en el vértice A
• La proyección vectorial de RAB en RAC
Mg. Yuri Milachay 24
EL PRODUCTO CRUZ
• Dados dos vectores A y B, el
Producto Cruz o Producto
Vectorial, se define:
• En este caso el subíndice N
hace referencia a la normal.
• La expresión se lee :
A cruz B.
• La dirección de está en la
dirección del tornillo de rosca
derecha cuando A se gira
hacia B.
N ABA B a A B Sen
A B
25Mg. Yuri Milachay
EL PRODUCTO CRUZ (CONT.)
• El producto cruz no es
conmutativo, puesto que :
• De lo anterior se verifica que:
• A continuación, se muestra el
desarrollo del producto cruz en
coordenadas cartesianas:
i j k; j k i
k i j; j i k
k j i; i k j
i i 0; j j 0
k k 0;
y z z y z x x z
x y y x
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A B A B k
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A B A A A
B B B
A B B A
26Mg. Yuri Milachay
EL PRODUCTO CRUZ (CONT.)
• Un triángulo se define por tres puntos: A(6,-1,2), B(-2,3,-4) y C(-
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a) RAB x RAC
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c) Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el
triángulo.
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27Mg. Yuri Milachay
EJERCICIO
• La ecuación de un plano en el sistema de coordenadas
cartesianas está representada por 3x+4y+5z = 2. Utilice sus
conocimientos de vectores, productos escalar y vectorial; para
determinar:
a) Tres puntos que pertenezcan al plano.
b) Dos vectores que los unan.
c) Un vector perpendicular al plano
28Mg. Yuri Milachay
CONCLUSIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. SEARS ZEMANSKY . FISICA UNIVERSITARIA. VOL 1. Ed.12.
2009
2. WILSON BUFFA. FISICA. 2007
3. RESNICK HALLIDAY. FUNDAMENTOS DE FISICA TOMO 1 . 2008
4. REYMOND SERWAY. FISICA. 2004

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Vectores. Álgebra vectorial

  • 1. Sistemas de coordenadas. Vectores. Álgebra vectorial. Producto escalar. Producto vectorial. S01. VECTORES
  • 2. PUNTO EN EL ESPACIO CARTESIANO 2Mg. Yuri Milachay
  • 3. PUNTO SOBRE LA SUPERFICIE TERRESTRE http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/Earth_Centered_Inertial_Coordinate_System.png 3Mg. Yuri Milachay
  • 4. ¿CUÁL ES LA POSICIÓN DE B RESPECTO DE A? A B
  • 5. PREGUNTAS • ¿Qué sistema de coordenadas has utilizado con más frecuencia? • ¿Cómo se determina la posición en ese sistema? 5Mg. Yuri Milachay
  • 6. LOGROS 1. Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas del álgebra vectorial, utilizando las respectivas reglas; sin error, con orden y mostrando buena presentación.
  • 7. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES • Existen magnitudes físicas como la velocidad y la fuerza que para quedar definidas requieren conocer la dirección, mientras que otras como la temperatura o la masa, no. • A las magnitudes que poseen dirección se les denomina vectoriales. Las otras magnitudes se denominan escalares. • Un ejemplo de magnitud vectorial: el desplazamiento. • Un ejemplo de magnitud escalar: la distancia recorrida. Distancia recorrida 7Mg. Yuri Milachay
  • 8. VECTOR • Las magnitudes vectoriales se operan con ayuda de entes matemáticos llamados vectores, los cuales se representan geométricamente como líneas orientadas (flechas). • La longitud de la flecha indica el valor de la magnitud física (módulo), y el ángulo que forma con el origen de arcos indica su dirección. 60 origen F dirección F 30N 8Mg. Yuri Milachay
  • 9. NOTACIÓN VECTORIAL • Los vectores se denotan con letras mayúsculas con una flecha arriba. • También se denotan mediante letras mayúsculas en negrita. • El valor numérico o módulo del vector se denota con una letra mayúscula normal o con ayuda del símbolo de valor absoluto. A A A  A 9Mg. Yuri Milachay
  • 10. VECTORES IGUALES Y VECTORES OPUESTOS • Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo y la misma dirección. • Dos vectores son opuestos si tienen el mismo módulo pero direcciones opuestas. A B 180 A B A BA B 10Mg. Yuri Milachay
  • 11. SUMA VECTORIAL. MÉTODO DEL POLÍGONO • Para sumar vectores con el método gráfico se unen de manera consecutiva la punta de un vector con la cola del siguiente. La resultante se obtiene uniendo la cola del primer vector con la punta del último. • Esta operación es conmutativa; es decir, puede cambiarse el orden de los vectores que se están sumando y la resultante será la misma. R A B A B R R B A R 11Mg. Yuri Milachay
  • 12. MÉTODO GRÁFICO. PARALELOGRAMO • Dados dos vectores, A y B, se pide calcular su resultante. B A sen 1 A sen tn B Acos A A cos 2 2 R A B 2ABcos 12Mg. Yuri Milachay
  • 13. MÉTODO DE COMPONENTES VECTORIALES • El vector A puede representarse como la suma de dos vectores que se encuentran sobre los ejes x y y respectivamente. Estos vectores reciben el nombre de componentes del vector A. • Ax y Ay se denominan componentes del vector A y se pueden calcular mediante la siguiente relación: A xA yA x yA A A xA Acos yA Asen 2 2 x yA A A y1 x A tan ( ) A 13Mg. Yuri Milachay
  • 14. VECTORES UNITARIOS • Un vector unitario es un vector con magnitud 1, no tiene unidades y su fin es especificar una dirección. El vector unitario i tiene la dirección del eje +x y el vector j la dirección +y. • Escriba en función de los vectores unitarios cada uno de los desplazamientos realizados por un cartero en el recorrido de la ruta mostrada en la figura. j i x yA A i A j A xA yA j 14Mg. Yuri Milachay
  • 15. SUMA DE VECTORES. MÉTODO DE LAS COMPONENTES • Para sumar dos o más vectores por el método de las componentes, debe escribir cada uno de los vectores a través de sus componentes y luego sumar independientemente las componentes x y y de dichos vectores. • Calcule el desplazamiento total de cartero del ejercicio anterior utilizando el método de las componentes. x yA A i A j x yB B i B j x yC C i C j x x x y y yR (A B C )i (A B C ) j 15Mg. Yuri Milachay
  • 16. EJERCICIO • Calcule la resultante de los vectores A y B mostrados en la figura. • Calcule la resultante de los vectores A y B mostrados en la figura. 16Mg. Yuri Milachay
  • 17. EJERCICIO • El vector A tiene componentes Ax = 1,30 cm, Ay = 2,55 cm; el vector B tiene componentes Bx = 4,10 cm, By =-3,75 cm. Calcule: a) las componentes de la resultante A+B, y b) la magnitud y dirección de B-A ˆ ˆA (1,30cm)i (2,55cm)j  ˆ ˆB (4,10cm)i (3,75cm)j  ˆ ˆA B (5,40cm)i (1,20cm)j   2 2 A B (5,40cm) ( 1,20cm)   A B 5,53cm   ˆ ˆB A (2,80cm)i ( 6,30cm)j   2 2 B A (2,80cm) ( 6,30cm)   1 1,20cm tan 12,5º 5,40cm B A 6,89cm   17Mg. Yuri Milachay
  • 18. EL PRODUCTO PUNTO • Dados dos vectores A y B, el Producto Punto o Producto Escalar, se define: • El producto escalar obedece a la ley conmutativa, esto es: • La expresión se lee : A punto B. • Ej. de producto punto: A B ABA B A.B.Cos= A B B A Trabajo W F r 18Mg. Yuri Milachay
  • 19. EL PRODUCTO PUNTO (CONT.) • El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva, como se muestra a continuación: • Sean los vectores A y B: • produce la suma de 4 términos escalares, y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios. Como el ángulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90° en coordenadas cartesianas, entonces se cumple que: • Resultando que: i i 1; j j 1; i j 0 x y x y A A i A j B B i B j x x y yA B A B A B A B 19Mg. Yuri Milachay
  • 20. • Una aplicación del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una dirección dada. Por ejemplo, la componente escalar del vector B en la dirección del vector unitario u, se expresa: • La componente tiene signo positivo si se cumple que: • y negativo cuando: EL PRODUCTO PUNTO (CONT.) BuB u B u cos Bu0 90 Bu90 180  u B B u Bu 20Mg. Yuri Milachay
  • 21. EJERCICIO • Se tienen los siguientes tres puntos del espacio. P(-2,3,-2) , Q(1,- 1,4) y R(0.-3,0) los cuales forman un triángulo. Encontrar: • a) La longitud de cada lado del triángulo. • b) Los ángulos internos del triángulo. 21Mg. Yuri Milachay
  • 22. EJERCICIO • En la figura se muestra un paralelepípedo, de base ABCD y altura 5,00 m. Si los vértices de la base ABCD son A(0,0,0); B= (1,80 m; 0 ;2,40 m) y C = (0 ; 0,600 m; 0), determine un vector perpendicular al plano ABCD. 22Mg. Yuri Milachay
  • 23. EJERCICIO • Si el producto escalar de dos vectores es 6, el módulo de uno de los vectores es 3 y el del otro, 4, halle el módulo de la suma de estos dos vectores. • Dados los vectores Halle: a) y b) El ángulo formado por y Mg. Yuri Milachay 23 A B (11, 1,5) A B ( 5,11,9) A B A A B
  • 24. EL PRODUCTO PUNTO (CONT.) • Los tres vértices de un triángulo se encuentran en A(6,0;-1,0), B(- 2,0;3,0) y C(-3,0;1,0), encontrar: • El ángulo θBAC en el vértice A • La proyección vectorial de RAB en RAC Mg. Yuri Milachay 24
  • 25. EL PRODUCTO CRUZ • Dados dos vectores A y B, el Producto Cruz o Producto Vectorial, se define: • En este caso el subíndice N hace referencia a la normal. • La expresión se lee : A cruz B. • La dirección de está en la dirección del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B. N ABA B a A B Sen A B 25Mg. Yuri Milachay
  • 26. EL PRODUCTO CRUZ (CONT.) • El producto cruz no es conmutativo, puesto que : • De lo anterior se verifica que: • A continuación, se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas: i j k; j k i k i j; j i k k j i; i k j i i 0; j j 0 k k 0; y z z y z x x z x y y x A B A B A B i A B A B j A B A B k x y z x y z i j k A B A A A B B B A B B A 26Mg. Yuri Milachay
  • 27. EL PRODUCTO CRUZ (CONT.) • Un triángulo se define por tres puntos: A(6,-1,2), B(-2,3,-4) y C(- 3,1,5), encontrar: a) RAB x RAC b) El área del triángulo c) Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triángulo. • Nota. Las medidas se escriben con un decimal. 27Mg. Yuri Milachay
  • 28. EJERCICIO • La ecuación de un plano en el sistema de coordenadas cartesianas está representada por 3x+4y+5z = 2. Utilice sus conocimientos de vectores, productos escalar y vectorial; para determinar: a) Tres puntos que pertenezcan al plano. b) Dos vectores que los unan. c) Un vector perpendicular al plano 28Mg. Yuri Milachay
  • 30. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. SEARS ZEMANSKY . FISICA UNIVERSITARIA. VOL 1. Ed.12. 2009 2. WILSON BUFFA. FISICA. 2007 3. RESNICK HALLIDAY. FUNDAMENTOS DE FISICA TOMO 1 . 2008 4. REYMOND SERWAY. FISICA. 2004