Modelos matemáticos para Optimización de Reemplazo Preventivo e Inspecciones

1. Modelos matemáticos para Optimización de
Reemplazo Preventivo e Inspecciones
Preventivas
Ing. Roberto Bottini
10
10º
º Congreso Nacional de Mantenimiento y
Congreso Nacional de Mantenimiento y
4
4º
º Congreso
Congreso Trinacional
Trinacional de Mantenimiento
de Mantenimiento
Buenos Aires, 29 al 31 de Octubre 2008
Buenos Aires, 29 al 31 de Octubre 2008

2. Otras
Tácticas
Equipos
redundantes
Rediseñar
Mantenimiento
Apropiado
(ad hoc)
Tácticas basadas
en la condición
Operación
hasta la falla
Actividades
de monitoreo
de condición
Vibraciones
- monitoreo
- análisis
Análisis del lubricante
- condición del aceite
- partículas de desgaste
Eléctrico
- análisis corriente
- condición del motor
E.N.D
- termografía
- ultrasonido
- radiografía industrial
Inspecciones
- por operarios
- por mantenimiento
(diario/semanal)
Tácticas basadas en intervalos de
tiempo u otra unidad de medida
Reemplazo
Preventivo de
componentes
Overhaul
programado
Mantenimiento
preventivo de
propósitos
generales
Limpieza
- durante la operación
- antes del mantenimiento
Lubricación
- rutinaria mientras funciona
- al comienzo/final del cambio
Ajustes menores
Mantenimiento Proactivo

3. Pregunta de Examen !!!
`
CORREA DISTRIBUCION
PORQUE LA CAMBIAMOS A LOS 85.000 Km. ???

4. • Queremos compartir algunas herramientas de la ingeniería de la
Confiabilidad que nos permiten tomar las mejores decisiones
cuando se esta cumpliendo la expectativa de vida de un sistema o
componente. Nuestro enfoque se limita a aquellos componentes
que presentan Desgaste por uso.
• El tiempo a la falla para cualquier componente o sistema no puede
ser predecido exactamente. Si es posible obtener información de la
transición entre el estado OPERATIVO al de FALLA.
• La Ocurrencia de la Falla puede únicamente ser caracterizada por
las propiedades Probabilísticas de la populación Total.
• Para algunos sistemas la Falla no es Tolerada, puede ser un evento
catastrófico, ahí es mandatorio considerar metodologías de
CONFIABILIDAD del sistema.

5. CONFIABILIDAD
• La calidad del Ciclo de Vida de una maquina o de sus
componentes debe ser evaluada con respecto a la
duracion esperada, a la complejidad de las tareas de
mantenimiento , a la cantidad y gravedad de fallas
ocurridas.
• Partiendo del estudio de leyes de ocurrencia de fallas,
la ingenieria de la confiabilidad es el conjunto de teorias
y métodos matemáticos que se traducen en
procedimientos de gestión orientados a la solución de
problemas de estimación y optimización de las
probabilidades de supervivencia, vida media y
porcentaje de tiempo de buen funcionamiento de un
sistema.

6. La Confiabilidad Incorpora la
incertidumbre a la Ingeniería.
• Podríamos decir que la certeza de un hecho (en
nuestro contexto Falla de Maquina), es un
acontecimiento DETERMINISTA con un
resultado finito.
• En cambio la incertidumbre de un hecho seria
un acontecimiento INDETERMINISTA con un
resultado probabilístico.

7. Los Criterios de Confiabilidad Cuantitativa
se difunden cada vez mas en el mundo
industrial debido a varias razones :
• El aumento de la complejidad de los equipos.
• Las dificultades de mantenimiento de ciertas
maquinas o sistemas.
• La necesidad de reducir los pesos sin afectar la
seguridad del funcionamiento.
• El cambio de visión con respecto a la
responsabilidad civil vinculada a la producción y
comercialización de un producto.

8. 1- Mortalidad Infantil
– Inadecuada Instalación.
– Error armado-reparación.
– Problemas de Calidad
Tasa de Falla λ<1
EL modelamiento de las probabilidades de falla esta
condicionado a la etapa de vida en que se encuentre el elemento.
Con la curva de la bañera es posible modelar el comportamiento
en cada una de las tres etapas de la tasa de falla a través de
leyes conocidas de probabilidades.

9. 2- Fallas Aleatorias
durante la vida Útil.
– Independientes del Tiempo.
– Errores de Mantenimiento.
– Electrónica.
– Mezcla de Errores.
– Averías por contaminación
externa (aceite).
Tasa de Falla λ= cte

10. 3- Desgaste por
Envejecimiento
– Low Cicle Fatiga en TG.
– Rodamientos.
– Corrosión.
– Correas.
– Corrosión bajo Stress.
– Materiales frágiles.
– Materiales Cerámicos.
– Algunas formas de erosión.
Tasa de Falla λ > 1

11. 48
1
3
4
5
6
7
8
7
5
2
FALLAS
TOTAL
OCTUBRE
SEPTIEMBRE
AGOSTO
JULIO
JUNIO
MAYO
ABRIL
MARZO
FEBRERO
ENERO
MES
HISTOGRAMA
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
MESES
FALLAS
Serie1
• Comúnmente usamos un simple histograma (Falla-mes) para estudiar la ocurrencia
de las Fallas y su impacto en la disponibilidad de equipos.

12. Sin embargo en estudios de Confiabilidad y Mantenimiento necesitamos
utilizar funciones continuas, debido que la variable tiempo a la falla es
continua. Entonces transformamos el Nro de fallas por mes en
probabilidades. Empezamos por la función densidad de probabilidad de
fallas (pdf), que indica la probabilidad de que ocurran fallas entre un
intervalo de tiempo determinado. En la figura el área bajo la curva para el
intervalo dado.
FUNCIÓN pdf
0
5
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
meses
f(t)

13. Cumulative Distribucion Function cdf .
En estimaciones de Confiabilidad necesitamos determinar la probabilidad de que una
falla ocurra antes de un determinado tiempo t . La podemos encontrar con la Función
acumulativa cdf. Que es representada por el área bajo la curva desde 1 a t, y nos
indica la probabilidad de acumulación de fallas transcurrido un tiempo (el fracaso).
cdf =
Tiempo t

14. Funcion Reliability R (t).
La Confiabilidad es la función complementaria a la cdf.
La probabilidad de éxito, es decir que sobrevivan sin
falla transcurrido el mismo tiempo t. Representando el
área bajo la curva desde t .
R(t)= 1- cdf
Tiempo t

15. El ultimo tipo de función que tenemos derivada de las anteriores es la
Función Riesgo, también llamada función tasa de falla f (λt) en
determinados contextos como el de mantenimiento.
h (t) Función riesgo = pdf/1-cdf

16. Las cuatro funciones que definimos pueden usarse una
vez que los datos REALES de ocurrencia de falla han sido
transformados en las distribuciones estadisticas que
adopten.
Afortunadamente, los datos
reales de fallas, generalmente
modelan alguna distribucion
estadistica conocida. En la
figura vemos las funciones de
Probabilidad, Acumulativa y
Riesgo para :
– Dist. Exponencial
– Dist. Normal
– Dist. Lognormal
– Dist. Weibull

17. En estudios de Confiabilidad para Optimizar Reemplazo
Preventivo u Overhaul son importante las siguientes
premisas:
1- La tasa de falla del equipamiento debe
ser creciente. Desgaste por Uso. Esta
evidencia puede ser obtenida
realizando una análisis de Weibull.
1- El Costo total del reemplazo debe ser
mayor DESPUES de la falla que
ANTES. Debería tener como causal
una gran perdida de Producción o
efecto domino sobre otros
equipamientos.
Para tasa de falla menor o igual a 1
no es conveniente Reemplazo
preventivo u Overhaul.
Por lo tanto el Mantenimiento
preventivo de propósitos generales
que no retorna el equipamiento a
nuevo sigue siendo apropiado para
componentes sujeto a tasa de falla
constante. (Ej. Inspecciones
menores).

18. • Vemos entonces que la Ingeniería de la confiabilidad
nos da herramientas para iniciar la batalla contra la
incertidumbre de las fallas en las plantas complejas.
• Podemos describir varias distribuciones de fallas y ver
qué podemos aprender de ellas para gestionar los
recursos de mantenimiento. Convirtiendo el
conocimiento ganado de ellas en acciones proactivas.
• Prediciendo cuando las fallas probablemente ocurran
nosotros podemos determinar el mejor momento para el
mantenimiento Preventivo (Reemplazo Preventivo) y las
políticas de mantenimiento relacionadas con el periodo
optimo para operar hasta la falla o inspección

19. Como Incorporar estas Características de
Confiabilidad ?
• Realizando un análisis Cualitativo
– Que indicara el tipo y clase de fallas que van
a presentarse en los componentes del
sistemas. (Camino del RCM).
• O Bien ampliarse a un campo Cuantitativo
– Proporcionando las probabilidades
numéricas correspondientes.

20. Modelos Matemáticos
• Una de las principales herramientas en este
avance científico hacia la optimización de las
decisiones de Gestión son los modelos
matemáticos como simple representación del
problema en estudio.
• En la aplicación de técnicas cuantitativas de
Optimización del Mantenimiento, el tipo de
modelo usado es frecuentemente un modelo
simbólico donde los componentes del sistema
están representados por símbolos y la relación
de estos componentes esta representada por
ecuaciones matemáticas.

21. Reemplazo Preventivo Optimo de un
ítem sujeto rotura
• Construcción del Modelo
Decimos que el costo total de reemplazo es
C(tp)=
Costo Total esperado del Reemplazo por ciclo
Tiempo Esperado del ciclo.

22. Aplicación Decisión de Overhaull Motores
Eléctricos de 1500HP en Planta Petroquímica.
• Familia de 20 Motores similares 4000 Kva., 3
Phase, 60 Ciclos.
• Cp = Costo Overhaul preventivo $ 120.000.
• Cf = Costo reparación Emergencia 125.000+
Costo lucro cesante $1.600.000.

23. Aplicación Decisión de Overhaul Motores
Eléctricos de 1500HP en Planta Petroquímica.
Tabla 3.2. Fallas en bobinados de grandes motores: datos de falla y cálculos de riesgo
7.69
16.03
25.12
36.23
48.73
63.01
7.69
8.33
9.09
11.11
12.58
14.29
8
8
8
8
8
8
10
11a
12a
13a
13
15a
16a
17a
17
17
18b
18
18
18
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
C-70
C-71A
C-71B
P-70A
P-70B
P-71
C-25
C-11
C-52
C-13
C-31
C-53
C-41
C-91
C-32A
C-32B
C-01
C-30
C-50
C-51
Riesgo
acumulado
Riesgo
Años
Rango
Motor
a Fallas en bobinados
b Remplazo preventivo
de los bobinados
6 fallas ocurridas antes
de la expectativa de vida
de 18 años.

24. Ploteo de Weibull para determinar parámetros de la
distribución de fallas.
• El procedimiento es
plotear en Weibull los
datos representativos de
la falla contra la función
cdf. Obteniendo un factor
de forma beta de 4.3.
• Demostrando que las
ocurrencias de falla se
suceden dentro de la
distribución normal de
desgaste por uso y en
consecuencia es
consistente el uso de
modelos matemáticos
para optimizar el tiempo
de rebobinado.
Factor Beta 4.3

25. Distribución de Weibull (cuanto más chica la
dispersión mayor el factor de forma y mejor la
estimación).

26. Modelo Matemático utilizado
• Cp: costo del Reemplazo Preventivo.
• R(tp): es la confiabilidad. Multiplicamos aquí el costo del
éxito por la probabilidad de lograrlo.
• Cf: costo total del Reemplazo por Falla.
• 1- R(tp): Es la Inconfiabilidad. Multiplicamos aquí el costo
del fracaso por la probabilidad de fracasar.
• tp: tiempo medio del Reemplazo Preventivo.
• es el tiempo medio a la falla MTTF (para el
intervalo de reemplazo).
• f(t): es la función pdf para la distribución normal o
distribución de Weibull para beta >1

27. (
. )
p
t f t dt
∫
p
t ( )
p
R t 1 ( )
p
R t
− ( )
p
C t ( )
p
h t
2,53
95,06
18,14
1,00
0,00
25
2,04
95,02
18,12
1,00
0,00
24
1,63
94,76
18,00
1,00
0,00
23
1,27
93,58
17,60
0,98
0,02
22
0,98
90,11
16,60
0,93
0,07
21
0,73
82,92
14,75
0,85
0,15
20
0,54
71,68
12,09
0,71
0,29
19
0,38
57,71
9,00
0,55
0,45
18
0,26
43,29
6,02
0,38
0,62
17
0,17
30,55
3,59
0,24
0,76
16
0,10
20,76
1,89
0,13
0,87
15
0,05
14,26
0,86
0,06
0,94
14
0,03
10,68
0,32
0,02
0,98
13
0,01
9,28
0,09
0,00
0,99
12
0,00
9,27
0,02
0,00
1,00
11
0,00
10,01
0,00
0,00
1,00
10
0,00
11,11
0,00
0,00
1,00
9
0,00
12,50
0,00
0,00
1,00
8
0,00
14,29
0,00
0,00
1,00
7
0,00
16,67
0,00
0,00
1,00
6
0,00
20,00
0,00
0,00
1,00
5
0,00
25,00
0,00
0,00
1,00
4
0,00
33,33
0,00
0,00
1,00
3
0,00
50,00
0,00
0,00
1,00
2
0,00
100,00
0,00
0,00
1,00
1
0
Cálculo términos
modelo
matemático

28. Gráfico Resultante
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Edad,t (Años)
C(tp)
K$
Curva de
Costo Total

29. Gráfico Resultante
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Edad,t (Años)
C
(tp)
K
$
Curva de
Costo Total
SOBRE MANTENIMIENTO

30. Gráfico Resultante
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Edad,t (Años)
C(tp)
K$
Curva de
Costo Total
SUB MANTENIMIENTO

31. Gráfico Resultante
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Edad,t (Años)
C(tp)
K$
Curva de
Costo Total
Costo
Mínimo Reemplazo Óptimo
Tiempo Óptimo
de rebobinado
11 /12 años

32. 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Edad,t (Años)
C
(tp)
K
$
Curva de
Costo Total
Gastamos de mas !!!
Volviendo a la pregunta inicial que hacemos con
la Correa de distribución !!!

33. 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Edad,t (Años)
C(tp)
K$
Curva de
Costo Total
Nos arriesgamos !!!

34. •B: Beneficio de la operación no interrumpida por
unidad de tiempo.
• Perdida de Beneficio por Reparaciones, donde λ(n)
es el Nº de Reparaciones y µ el tiempo medio de
reparaciones MTTR.
• Perdida de Beneficio por inspecciones, donde n es
el Nº de Inspecciones e i el tiempo medio para las
inspecciones.
•R es el costo promedio de reparaciones.
•I es el costo promedio de inspecciones.
P(n)= - B -B -R -I
B
P(n): Valor del Beneficio con operación interrumpida
por reparaciones en la unidad de tiempo.

35. Resolviendo la anterior ecuación y despejando
despejando n, resulta:
n ES EL NÚMERO ÓPTIMO DE
INSPECCIONES A REALIZAR
Si sustituimos n en la formula del Beneficio vemos su valor optimo,
insertando otros valores de n vemos como puede variar en funcion de la
politica de inspecciones y comparar a efectos de tomar la decisión mas
adecuada.

37. PRECISIÓN
PRECISIÓN INCREMENTAR
TAREAS
PROACTIVAS y SU
PLANIFICACION.
INCREMENTAR
TAREAS
PROACTIVAS y SU
PLANIFICACION.
WEIBULL y
Modelos
matemáticos
de
Optimización.
WEIBULL y
Modelos
matemáticos
de
Optimización.
BUENA PRÁCTICA GENERAL DE MANTENIMIENTO!!!

38. La importancia de la confiabilidad también depende del
alcance que demos a nuestra probabilidad de éxito, a
veces llamado Factor de Servicio F= 1- R(t). Pensemos
que tener un factor de servicio del 99 % seria bastante
bueno !!!!!
Sin embargo en EEUU ocasionaría :
• Una hora de agua no potable por mes.
• Dos aterrizajes peligrosos por día en JFK.
• 10.000 piezas de correo perdidas por hora.
• 20.000 prescripciones incorrectas de
medicamentos por año.
• 22.000 cheques deducidos de la cuenta
equivocada por hora.

39. Fuentes consultadas para el presente trabajo:
• Andrew Jardine, Universidad de Toronto,
Canada
• Albert Tsang, Hong Kong Politechnic University
• Adolfo Arata Andriani, Universidad Tecnica
Federico Santa Maria, Chile.
• John Campbell, PriceWaterhouseCoopers,
Canada
• Heinz Bloch, Machinary Reliability Assesment.
• Luciano Furlaneto, Politecnico de Milan.

40. Preguntas ?

41. MUCHAS GRACIAS !!
Ing. Roberto Bottini
rbottini@austral.edu.ar
10
10º
º Congreso Nacional de Mantenimiento y
Congreso Nacional de Mantenimiento y
4
4º
º Congreso
Congreso Trinacional
Trinacional de Mantenimiento
de Mantenimiento
Buenos Aires, 29 al 31 de Octubre 2008
Buenos Aires, 29 al 31 de Octubre 2008