Modelo de Tasas de Fallas Proporcionales (PHM)

1. Modelos de Tasas de Falla Proporcionales
(PHM) y su Aplicación en la Mantención de
Sistemas Mecánicos
César Arróspide M.

2. OBJETIVOS
 Objetivo General:
Investigación, desarrollo de un modelo con tasas
de falla proporcionales (PHM), para optimizar el
proceso de decisión en la mantención de
maquinaria.

3. METODOLOGÍA
 Revisión de los procedimientos de Mantención, con el
fin de conocer la filosofía y operación de empresa
 Estudio diseño planta y equipos críticos
 Revisión de los indicadores (KPI) de Mantención
utilizados para la gestión y toma de decisiones
 Simulación Implementada en Matlab u otro sistema
computacional
 Validación con datos experimentales
 Análisis de Robustez de la formulación
 Modificaciones y Mejoras para considerar restricciones
más complejas de modelar

4.  Definición:
Conjunto de acciones o actividades necesarias para
mantener o restablecer un sistema o componentes del
equipo en el estado operacional deseado o restaurado a
dicho estado. (Según la norma francesa AFNOR 60.010)
La función mantenimiento cubre el conjunto de actividades que
deben existir en una planta para obtener un costo global de
mantenimiento mínimo durante la vida prevista para los equipos
INTRODUCCIÓN

5. ESTRATEGIAS
Mantenimiento
Mantenimiento
Post-falla
Mantenimiento
Pre-falla
Mantención
Correctiva
Mantención
Proactiva
Mantención
Preventiva
Mantención
Predictiva
Mantención
Proactiva
Lo importante es fijar objetivos para; Mantener los equipos en
operación y reducir el número de fallas con un costo global mínimo

6. ESTRUCTURA DE COSTOS
Los costos que aparecen del mantenimiento pueden ser divididos en dos grupos:
• Costos de las operaciones de mantenimiento
• Perdida de producción debido a panas de los equipos de producción o reducciones en su tasa de producción, y
perdidas de calidad en el producto debido al mal funcionamiento de los equipos
Costo Global
de Mantenimiento
Costo de
Intervenciones
Costo de
Fallas
Costo de
Almacenamiento
Amortización
Sobre Inversiones
• Mano de Obra
• Repuestos
• Material Fungible
•Ingresos no percibidos
• Gastos extras de Percibidos
•Materia Prima no Utilizada
• Interés Financiero Capital Inm.
• Mano de Obra Bodega
• Costos de Explotación Edificios
• Amortizaciones de Sist. Adjuntos
• Seguros
• Depreciación de Repuestos
Se amortiza la
diferencia sobre la
vida del equipo
La reducción de un componente del costo global implica el aumento de uno
o más de los otros componentes (acción – reacción)

7. COSTOS DE INTERVENCIÓN
Incluyen los gastos relacionados con el Mantenimiento Preventivo y
Correctivo. No incluye costos de inversión, no aquellos relacionados
directamente con la producción; ajuste de parámetros de producción,
limpieza, etc.
Es importante otorgar un valor realista a los costos de intervención por
unidad de tiempo y de horas-hombre pues influyen directamente en el
costo global de mantenimiento. Se definen:
• Costo de Intervenciones por unidad de tiempo Ci,
• Costo de Mantenimiento por unidad de tiempo Ci,t,
ónintervencidehorastotal
indirectoscostosdirectoscostos
,
+
=tiC

8. COSTOS DE FALLAS
Estos corresponden a las pérdidas de margen de explotación debidas a un
problema de mantenimiento que haya producido una reducción en la tasa
de producción de productos en buen estado.
La perdida de margen de explotación puede incluir aumento de los costos
de explotación o una pérdida de negocios.
El estudio de la frecuencia de fallas (tasas de fallas o tiempo entre
fallas) y del tiempo utilizado en las reparaciones permite calificar
la calidad del mantenimiento técnico.
utilizadanoprimamateriaproduccióndeextrasgastospercibidosnoingresos ++=fC
En general se evalúan tres situaciones: el volumen de producción programado puede ser
realcanzado, no puede ser alcanzado, la producción no se detiene pero su calidad es degradada.

9. COSTOS DE ALMACENAMIENTO
Representa los gastos incurridos en fnanciar y manejar el stock de piezas
de recambio e insumos necesarios para la función mantenimiento.
El costo de almacenamiento siempre mide como un costo por unidad de
tiempo Ca(t) en función del nivel de repuestos disponibles en cada
instante t, durante un intervalo dado T, tenemos:
∫=
T
aa dttctC
0
)()(

10. AMORTIZACIÓN DE SOBRE-INVERSIONES
Al diseñar la planta, lo correcto es tomar la decisión de equipos que
minimicen el costo global de mantenimiento durante su ciclo de vida.
Ello implica en general que se compren equipos cuya inversiones
iniciales son mayores que las de otros que cumplen las mismos
requerimientos pero cuyos costos de intervención y almacenamiento
asociados se estiman menores.
A fin de incluir la sobre-inversión, se amortiza la diferencia sobre la vida
del equipo. Así es posible castigar en el costo global las inversiones
extras requeridas para disminuir los demás componentes del costo.

11. MODELOS DE CONFIABILIDAD Y COSTOS
Existen un gran número de modelos de optimización posibles, que se
clasifican en dos grandes grupos:
• Métodos basados en minimización de funciones objetivos a partir
de métodos de programación lineal y no lineal.
• Métodos basados en modelos de Markov.
En general los modelos básicos de confiabilidad son:
• Modelo de Weibull, Exponencial y Gamma.
• Modelo Normal y Log-normal
• Modelo de tasa de falla definidas por tramos
• Modelo de desgaste mecánico
• Modelo de Dhillon
• Métodos gráficos de estimación y datos censurados

12. INTERVALO P-F
El deterioro del equipo con la edad se refleja en una disminución de su
resistencia a fallar
Intervalo
P-F
Falla
Potencial P
Falla F
Edad del
Equipo
Resistencia
a la Falla
Intervalos de
inspección
Intervalo de Aviso
Si somos capaces de detectar que este proceso está ocurriendo,
entonces podremos tomar las acciones preventivas necesarias
antes de que el equipo llegue a un estado de falla funcional

13. MODELOS DE CONFIABILIDAD Y CONDICIONES
DE OPERACIÓN
Modelos Covariables
En general los modelos básico consideran la confiabilidad de componentes
o sistemas como una función exclusiva del tiempo. Pero la práctica nos
muestras que otros factores pueden también ser relevantes. Los modelos
de covariables incorporan estos factores adicionales en la distribución de
fallas al expresarla como función de estas variables.
En este caso encontramos la siguiente clasificación:
• Modelos de Fallas Proporcionales
• Modelos de localización – escala

14. MODELOS DE CONFIABILIDAD Y CONDICIONES
DE OPERACIÓN
Modelos Estáticos
En este caso consideramos una carga aplicada a un sistema durante un
período relativamente corto de tiempo. Una falla ocurre si la carga excede
la resistencia del sistema. La resistencia del sistema es la máxima carga
que el sistema puede soportar sin fallar. Por tanto, la confiabilidad es vista
de una manera estática (no dependiente del tiempo). Las cargas pueden
ser eléctricas, térmicas, químicas o mecánicas.
Tenemos la siguiente clasificación:
• Carga aleatoria y resistencia constante
• Carga constante y resistencia aleatoria
• Carga aleatoria y resistencia aleatoria

15. MODELOS DE CONFIABILIDAD Y CONDICIONES
DE OPERACIÓN
Modelos Dinámicos
Si una carga es aplicada repetidamente en el tiempo sobre un sistema,
entonces, bajo ciertas condiciones, se puede estimar la confiabilidad
dinámica. Se estudian dos casos:
• Cargas periódicas
• Cargas aleatorias
En ambos casos se asume que ni la resistencia ni la carga son funciones
del tiempo (proceso estacionario), ello incluye situaciones donde el
envejecimiento y el desgaste son relevantes.

16. OBETIVO DE CBM
Detectar una falla potencial con cierta anticipación, de modo de permitir
reducir las consecuencias de fallas funcionales, a un costo razonable.
No remplazar antes de la
próxima inspección
Remplazar Inmediatamente
Esperar Reemplazo antes
de próxima inspección
Tiempo trabajo maquinaria
Covariantes
Compuestos

17. PROCEDIMIENTO
Preparación y Estudio de Datos
Weibull PHM
Modelo de Probabilidades de Transición
Completar Modelo Estadístico
Parámetros del Modelo de Decisión
Modelo de Decisión
Decisión
Función de Costo
Política Opt. Reemplazo
Sensibilizar Política Opt.

18. HERRAMIENTA (PHM)
))()()(exp(),( 2211
1
0
tZtZtZ
tt
Zt ppγγγ
ηη
β
λ
β
+++




 −
=
−

Donde:
es el parámetro de forma
es el parámetro de escala o vida característica
es el parámetro de localización
son los valores de los covariantes en el tiempo t
son los parámetros covariantes (pesos)
β
η
0t
)(,),(),( 21 tZtZtZ p
pγγγ ,,, 21 

19. HERRAMIENTA (PHM)
Fijados los valores de las covariables, en el estudio de la distribución se pueden
dar las siguientes combinaciones de los parámetros de Weibull con mecanismos
de fallos particulares:
1. el mecanismo no tiene una duración de confiabilidad intrínseca, y:
a. Si la tasa de fallas disminuye con la edad sin llegar a cero, por lo
podemos suponer que nos encontramos en la juventud del componente con un
margen de seguridad bajo, dando lugar a fallos por tensión o rotura.
b. Si la tasa de falla se mantiene constante siempre, en este caso nos
encontramos que la distribución de Weibull es igual a la exponencial.
c. Si la tasa de falla se incrementa con la edad de forma continua lo que
indica que los desgastes empiezan en el momento en que el mecanismo se pone
en servicio.
d. Si se cumple que la media es igual a la mediana y la distribución de
Weibull es sensiblemente igual a la normal
00 =t
1<β
1=β
1>β
44,3=β

20. HERRAMIENTA (PHM)
2. el mecanismo es intrínsicamente fiable desde el momento en que
fue puesto en servicio hasta que , y además:
a. Si hay fatiga u otro tipo de desgaste en el que la tasa de falla disminuye
con el tiempo después de un súbito incremento hasta ; valores de bajos
(aprox. 0,5) pueden asociarse con ciclos de fatiga bajos y los valores más
elevados (aprox. 0,8) con ciclos más altos.
b. S hay una erosión o desgaste similar en la que la constante de duración
de carga disminuye continuamente con el incremento de carga.
3. indica que el mecanismo fue utilizado o tuvo fallas antes de iniciar la
toma de datos, de otro modo:
a. Si podría tratarse de una falla de juventud antes de su puesta en
servicio, como resultado de un margen de seguridad bajo.
b. Si se trata de un desgaste por una disminución constante de la resitencia
iniciado antes de puesta en servicio, por ejemplo, debido a una vida propia
limitada que ha finalizado o era inadecuada.
00 >t
0tt =
1<β
0t β
1>β
00 <t
1<β
1>β

21. HERRAMIENTA (PHM)
Función de Riesgo Weibull

22. HERRAMIENTA (PHM)
Función de Confiabilidad (Supervivencia) Weibull

23. Análisis del Modelo
Estamos interesados en conocer la probabilidad de que el evento concluya en
un intervalo a partir de t conociendo que no ha concluido hasta ese
momento. Dicha probabilidad será:
La función de riesgo (tasa de riesgo: “hazard rate”) se define como:
e indica la tasa instantánea de finalización del evento en t condicionado al
hecho de que el evento duró hasta t.
Además es fácil comprobar la siguiente relación:
t
tt
t
t ∆
∆
=
→∆
),(
lim)(
0
λ
λ
( )tTttTtPtt ≥∆+≤≤=∆ /),(λ
)(
)(
)(
tR
tf
t =λ

24. Análisis del Modelo
En general, utilizando las relaciones existentes entre la función de confiabilidad,
riesgo, riesgo acumulado y densidad, obtenemos las siguientes expresiones:

 Sea , entonces
Otros conceptos importantes de establecer son los siguientes:
 Vida Media =: tiempo esperado para que el componente falle:
 Tiempo Medio entre Fallas =: tiempo promedio en que el equipo no falla:
( ) [ ]′
−=
′
−=
′
−
=
′
== ))(ln(
)(
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)(
)( tR
tR
tR
tR
tR
tR
tF
tR
tf
tλ
∫=Λ
t
dsst
0
)()( λ ))(exp()( ttR Λ−=
∫
∞
=
0
)( dttRMTTF
∫ ∫
∞ ∞
===
0 0
)()()( dttRdtttfTEMTBF

25. La Censura
El análisis de confiabilidad (supervivencia) comprende un conjunto de
procedimientos estadísticos para analizar datos para los cuales la
variable de respuesta mide el tiempo entre sucesos, y por tanto, no se
miden igual que el resto de las variables. El hecho que el tiempo se mida
secuencialmente tiene como consecuencia la censura.
La censura se da cuando se tiene información incompleta sobre la
confiabilidad (supervivencia) de algunos individuos.
Por ejemplo, si el suceso de interés es la muerte, todos aquellos
individuos vivos al finalizar el estudio contribuyen una información
parcial sobre la realización del suceso, a saber, que el tiempo hasta el
mismo excede el periodo observado.
Análisis del Modelo

26. Las censuras son caracterizadas como:
1. Singly Censored Data: todas las unidades tienen el mismo tiempo de test, y el
test es concluido antes que todos las unidades fallen.
a. Censored on the Left: los tiempo de falla para algunas unidades son
conocidos que ocurren solamente antes de algún tiempo específico.
b. Censored on the Right: los tiempos de falla para algunas unidades son
conocidos solamente después de algún tiempo específico.
i. Type I Censoring: el testeo es terminado después de un largo de
tiempo fijado.
ii. Type II Censoring: el testeo es terminado después de un número
fijo de fallas (r) que tienen que ocurrir. El tiempo del test esta
entonces dado por tr, el tiempo de falla de la r-ésima falla.
2. Multiply Censored Data: tiempos de test o tiempos de operación difieren
entre las unidades censuradas (removidas por operación). Unidades censuradas
son removidas en varios tiempos de la muestra, o las unidades se pierden en
servicio en diferentes tiempos.
Análisis del Modelo

27. Análisis del Modelo
 Modelos de tasa de riesgo (de duración)
 Enfoque no Paramétrico
 Enfoque Semiparamétrico
 Enfoque Paramétrico

28. Análisis del Modelo
 Enfoque no Paramétrico
 Kaplan-Meier (1958)
 Consiste en estimar probabilidades condicionales que están en exacta
concordancia con las frecuencias condicionales observadas.
 Se obtienen estimaciones de la tasa de riesgo y de la función de confiabilidad, a
partir de la función de máxima verosimilitud:
El estimador de la función de riesgo esta dado por:
Y para la función de supervivencia (confiabilidad), el denominado estimador
producto límite o de Kaplan-Meier:
( )∏=
−
−=
k
i
dn
i
d
i
iii
L
1
1 λλ





≥
≤





−
=
∏≤
tt
tt
n
d
tR
i
i
tt i
i
KM i
1
1
)(
ki
n
d
i
i
,,2,1ˆ ==λ

29. La línea verde corresponde al modelo de Weibull, y la línea azul a la
Confiabilidad (Supervivencia) estimada por el método de Kaplan-Meier.
Análisis del Modelo

30. Análisis del Modelo
Enfoque Semiparamétrico
 Cox(1972,1975) introduce su modelo de riesgo proporcional para
estimar los efectos de las variables incluidas en el modelo sobre
la tasa de riesgo. El modelo PHM esta dado por:
La función es llamada “baseline hazard”, o tasa de falla de
referencia para
La forma exponencial que contiene a las covariantes, asegura que tasa
de riesgo sea positiva y no impone restricciones o condiciones sobre los
parámetros
)exp()()( 0 Xtt T
βλλ =
)(0 tλ
1)exp()( == XXg T
β
β

31. Análisis del Modelo
)exp()(),( 0 XtXt T
βλλ =
( ))exp()(exp),( 0 XtXtR T
βΛ−= ∫=Λ
t
duut
0
00 )()( λ
También es posible probar para nuestro modelo
las siguientes relaciones:
( ))exp()(exp)(),( 00 XtXtXtf TT
ββλ Λ−=
• donde
•

32. Análisis del Modelo
Estimación de Parámetros:
Parámetros Distribución de Weibull de la Función de Riesgo Base:
Consideremos el caso general de datos censurados tipo II, con n individuos
en riesgo y r fallas, y una distribución de Weibull de dos parámetros.
Entonces el MLE esta dado por:
∏
∏
=
−
−
=
−






















−






















−











=
=
r
i
rn
rii
r
i
rn
ri
ttt
tRtfL
1
1
1
expexp
)()(),(
βββ
θθθθ
β
βθ

33. Análisis del Modelo
Tomando logaritmo natural a la expresión anterior, y optimizando en
relación a los parámetros obtenemos que sus estimadores pueden ser
obtenidos a partir de:
∑
∑
∑
=
=
=
=
−+
−+
−+
r
i
r
i
ri
r
i
rrii
i
trnt
ttrntt
t
r 1
1
ˆˆ
1
ˆˆ
0
)(
)ln()()ln(
)ln(
1
ˆ
1
ββ
ββ
β
β
ββ
θ
ˆ
1
1
ˆˆ
)(
1ˆ












−+= ∑=
r
i
ri trnt
r

34. Análisis del Modelo
Supongamos que sea arbitrario. Para la falla particular en un
tiempo , condicionado sobre el conjunto de riesgo , la probabilidad
que una falla individual sea observada esta dado por:
P(falla individual) =
)(0 tλ
)(it
∑∑
∈∈
=
)(
)(
)(
)(
)(0
)(0
)exp(
)exp(
)exp()(
)exp()(
itRl
l
T
i
T
itRl
l
T
i
T
X
X
Xt
Xt
β
β
βλ
βλ
Cada falla contribuye un factor de esta naturaleza y de ahí la función
de verosimilitud (local) condicional, esta dada por:
∏
∑=
∈
=
k
i
itRl
l
T
i
T
X
X
L
1
)(
)(
)(
)exp(
)exp(
)(
β
β
β

35. La estimación del parámetro de máxima verosimilitud puede ser obtenido
por iteración usando:
[ ]
∑
∑
=
=
=
∂∂
∂
−=
−=
∂
∂
=
k
i
i
k
i
ii
C
L
F
AX
L
U
1
2
1
)(
))((ln
)(
)(
))((ln
)(
β
ββ
β
β
β
β
β
β
ξη
ηξ
ξη
ξξ
ξ
ξ
β
Donde:
∑
∑
∈
∈
=
)(
)(
)(
)(
)exp(
)exp(
)(
itRl
l
T
itRl
i
T
l
i
X
XX
A
β
β
β
ξ
ξ
Es un valor promedio de sobre la población finita usando
un peso exponencial para la muestra.
ξX )( itR
Análisis del Modelo

36. Análisis del Modelo
)()()(
~
)( ββββ ηξξηξη iii AAAC −=
es la covarianza de y en esta forma de peso muestral, donde:ξX ηX
∑
∑
∈
∈
=
)(
)(
)(
)(
)exp(
)exp(
)(
~
itRl
l
T
itRl
i
T
ll
X
XXX
A
β
β
β
ηξ
ξη

37. Verificación del Modelo
Queremos testear la hipótesis nula global, . Para este tratamiento
consideramos U(0) como asintóticamente normal con vector media cero y
matriz covarianzas F(0). Esto es, la estadística
0=β
)0()0()0( 1
UFU T −
Tiene, bajo la hipótesis nula, asintóticamente una distribución Chi-cuadrado
con p grados de libertad.
Análisis del Modelo

38. [ ]∑
=
−=
k
i
ii AXU
1
)0()0( ξξξ
Tenemos que: donde:
)(#
)0(
)(
i
itRl
l
i
tR
X
A
∑
∈
=
ξ
ξ
es la media de sobreξX )( itR
Además donde∑
=
=
k
i
iCF
1
)0()0( ξηξη
)(#)(#)(#
)0(
)()()(
i
itRl
l
i
itRl
l
i
itRl
ll
i
tR
X
tR
X
tR
XX
C
∑∑∑
∈∈∈
−=
ηξηξ
ξη
es la covarianza de y en la población finitaξX ηX )( itR
Análisis del Modelo

39. Análisis del Modelo
 Enfoque Paramétrico
 Modelos PH y MPPH
 Modelo de mixtura de riesgo proporcionales (MPH), especifica
la tasa de riesgo como el producto entre, el riesgo básico, las
variables que recogen la heterogeneidad observada
(covariantes) y la heterogeneidad no observada (random
effects).
ηβη )exp()(),,( 0 tXthXth =

40. Bibliografía
 Arranz, J.M., R. Blundell, and J. Muro (2000), "A hazard model
with a sequential exit", mimeo.
 Cebrián, I., C. García, J. Muro, L. Toharia, and E. Villagómez
(1996), “The Influence of unemployment benefits on
unemployment duration: Evidence from Spain”, Labour, 10,
págs. 239-267.
 Cox, D.R. (1972), “Regression models and life-tables”. Journal of
Royal Statistical Society, B, 34, págs. 187-220.
 Cox, D.R. (1975), “Partial likelihood”. Biometrika, 62, págs. 269-276.
 Heckman, J. and B. Singer (1984a), “Econometric duration
analysis” Journal of Econometrics, 24, págs. 63-132.

41. Bibliografía
 J.I.Ansell & M.J. Phillips,(1997), “Practical aspects of modelling of
repairable systems data using proportional hazards models”,
Reliability Engineering and System Safety 58, (1997) 165-171.
 Gasmi, S., Love, C.E. and Kahle, W., (2003), “A general repair,
proportional-hazards, framework to model complex repairable
systems”, IEEE Transactions on reliability, Vol. 52, N°1 March 2003.
 Oakes, D. (2000), “Survival Analysis”, Jornal of the American
Statistical Association, March 2000.
 Cai, T., Cheng, C. and Wei, L.J., (2002), “Semiparametric Mixed-
Effects Models for Clustered Failure Time Data”, Journal of the
American Statistical Association, June 2002.

42. GRACIAS