Unidad_1_Introduccion_a_la_Teoria_de_Len.pptx

LENGUAJES Y
AUTÓMATAS
UNIDAD 1
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA
DE LENGUAJES FORMALES
MTI. Rosa Imelda García Chi

Introducción
TEORÍA DE AUTÓMATAS Y
LENGUAJES FORMALES

MTI. ROSA IMELDA GARCÍA CHI
Teoría de
Autómatas
y
Lenguajes
formales
es un
“repaso” a
la
informática
teórica.
La informática teórica:
se ha desarrollado en base a la confluencia
de campos en apariencia muy distintos:
Investigación
acerca de
Fundamentos
Matemáticos,
Teoría de
Máquinas,
Lingüística, …
Ciencia
multidisciplinar
que se apoya en
que los mismos
fenómenos
pueden actuar y
servir de
fundamento en
áreas totalmente
desconectadas
(aparentemente).
INTRODUCCIÓN

 MATEMATICA
 FISICA
 QUIMICA
 BIOLOGIA
 PSICOLOGIA
 SOCIOLOGIA
 ECONOMIA
 POLITICA

Autómatas / máquinas
secuenciales
Lenguajes y gramáticas
Máquinas abstractas y
algoritmos
PILARES DE LA INFORMÁTICA TEÓRICA:

Primer
pilar de la
Informática
Teórica
AUTÓMATAS /
MÁQUINAS
SECUENCIALES

Eslabón de la informática teórica que proviene de la
Ingeniería Eléctrica.
1938 – Claude Elwood Shannon: “A symbolic Analysis
of relay and switching circuits”
• Aplicación de la lógica matemática a los circuitos combinatorios y
secuenciales.
Sus ideas desarrollaron la Teoría de los autómatas
finitos y máquinas secuenciales
• Un autómata es un dispositivo abstracto que es capaz de recibir
información, cambiar de estado y transmitir información.
AUTÓMATAS / MÁQUINAS SECUENCIALES

Un autómata puede describir de forma formal el funcionamiento de
un sistema
Ejemplo: interruptor

Un autómata es un modelo abstracto de una
computadora digital
• Lee símbolos en la entrada
• Produce símbolos en la salida
• Tiene una unidad de control que puede estar en uno de sus
posibles estados internos
• Puede cambiar de los estados internos en función de la entrada
• Puede tener algún tipo de memoria
Autómatas transductores / generadores /
aceptadores

Una máquina secuencial simple

Building the robot of Leonardo da Vinci in
the Leonardo3 laboratories by Mario Taddei.

Segundo
pilar de la
Informática
Teórica
LENGUAJES Y
GRAMÁTICAS

Años 50 – Avram Noam Chomsky
Teoría de las Gramáticas Transformacionales
•Base de la Lingüística Matemática
•Proporcionó una herramienta que no sólo podía aplicarse a los lenguajes naturales, sino que facilitaba el estudio y
formalización de los lenguajes de ordenador que aparecían en aquella época.
Segundo eslabón:
Lingüística (campo tradicionalmente considerado no científico).
LENGUAJES Y GRAMÁTICAS

Cualquier comunicación se
realiza mediante cadenas de
símbolos que corresponden
a un lenguaje.
Lenguajes son conjuntos de
cadenas de símbolos
(palabras, oraciones, textos o
frases)

El estudio de los
lenguajes se reduce,
básicamente, a:
Sintaxis: (gramática)
define las secuencias
de símbolos que
forman cadenas
válidas de un lenguaje
Gramática
Descripción
formalizada de las
oraciones de un
lenguaje.
Una gramática genera
o describe un lenguaje.
Semántica
significado de las
cadenas que
componen un lenguaje

Ejemplo 1:
Semántica:
A es un número
natural.
Diferente sintaxis en
diferentes lenguajes:
A is a natural
number.
A : Natural;
0100000100000001

Ejemplo 2:
Sintaxis:
• if_statement ::= if condition then sequence_of_statement {elsif
condition then sequence_of_statements} [else
sequence_of_statements] end if;
Semántica:
• Si se cumple <condition> entonces haz lo que viene definido por
<sequence_of_statements>. En caso contrario ...
Cadena del lenguaje:
• if Line_Too_Short then raise Layout_Error; elsif Line_Full then
New_Line; Put(Item); else Put(Item); end if;

Se establecieron
correspondencias
(isomorfismos) entre
ellas.

Chomsky
clasificó de las
gramáticas en
diferentes tipos:
Lenguajes del mismo
tipo tienen
propiedades en
común
Según el tipo de
lenguaje, existen
diferentes algoritmos
que permiten
comprobar la sintaxis
de textos.

Surge “Backus normal form”
Propuesto por John Bakus
•Lenguajes de Programación
•Lenguajes Naturales
•Sistemas de Comandos
para
gramática
de ALGOL

Relación entre
autómatas,
lenguajes y
gramáticas:
Autómatas
aceptadores: las
entradas válidas
corresponden a un
lenguaje

Tercer pilar
de la
Informática
Teórica
MÁQUINAS ABSTRACTAS
Y ALGORITMOS

La historia de la informática teórica se remonta
a la década de los 30.
1931 - Kurt Gödel: “On formally undecidable
Propositions in Principia Mathematica and
related systems”
•Revolución Matemática: “Cualquier teoría matemática ha
de ser incompleta. Siempre habrá en ella afirmaciones
que no se podrán demostrar ni negar.”
MÁQUINAS ABSTRACTAS Y ALGORITMOS

¿Cómo se puede formalizar el concepto de realizar un cálculo?
1937 – Alan Mathison Turing: “On computable numbers with an application to the
Entscheidungsproblem”
Definición de la Máquina de Turing como dispositivo matemático abstracto de cálculo
que introduce el concepto de “algoritmo”.
Origen “oficial” de la informática teórica.
Precursora abstracta de las máquinas de calcular automáticas.
La Máquina de Turing es un modelo abstracto de los ordenadores actuales.
Demuestra la existencia de problemas irresolubles, los que ninguna máquina de Turing
(y ningún ordenador) puede resolver o calcular. (Teoría de la Computabilidad).
MÁQUINAS ABSTRACTAS Y ALGORITMOS

Lenguaje, medio de comunicación entre los seres
humanos a través de signos orales y escritos que poseen
un significado.
En un sentido más amplio, es cualquier procedimiento
que sirve para comunicarse.
Algunas escuelas lingüísticas entienden el lenguaje
como la capacidad humana que conforma al
pensamiento.
CONCEPTO DE LENGUAJE

CLASIFICACIÓN DE LENGUAJES

¿Qué es un lenguaje?
Informalmente:
•un lenguaje es un conjunto de palabras o
sentencias formadas sobre un alfabeto
Pasaremos a definirlo de manera formal.
CONCEPTO DE LENGUAJE FORMAL

Entidad no
definida
CONCEPTO DE SÍMBOLO

Secuencia finita
de símbolos
Se representa
con w
CONCEPTO DE CADENA

•Secuencia finita
de símbolos
pertenecientes
a un alfabeto.
PALABRA
o
CADENA:
PALABRAS O CADENAS

Notación:
•últimas letras del abecedario en minúsculas (.. w, x,
y, z)
Ejemplos:
•Σ: a, b, aa, ab, ba, bb, abcd, aadd
•Binario: 011, 11011, 00, 11
•Letras: casa, pieza, del, abc
•Español: la_casa_es_linda,
el_perro_come_alegremente
PALABRAS O CADENAS

• es aquella secuencia que no contiene símbolo
alguno.
La palabra vacía, que representamos
con λ (lambda) o  (epsilon)
• secuencia de cero o más símbolos iniciales de una
palabra.
Prefijo:
• secuencia de cero o más símbolos finales de una
palabra.
Sufijo:
• secuencia de símbolos obtenida al eliminar un sufijo
o un prefijo de una palabra.
Subcadena:
•representa al conjunto de todas las palabras w formadas por
símbolos de dicho alfabeto, es decir el Conjunto Universal de
arreglos con repeticiones de símbolos sobre Σ.
Σ*
• representa al Conjunto Universal sin la palabra vacía.
Σ+
• Σ+ = Σ* - { λ }
o sea que:
PALABRAS O CADENAS

•||=|λ|= 0
Cadena
sin
símbolos
que se
representa
con  o λ
CADENA VACÍA

Definición (Alfabeto):
•Conjunto finito, no vacío, de elementos.
•Conjunto finito de símbolos.
•Generalmente usaremos  para especificar alfabetos y los elementos los
denominaremos “letras” o “símbolos”.
Ejemplos:
•Los alfafetos español, inglés o alemán
•1={0,…,9}, 01
•2={x | x es un símbolo del código ASCII}
•3={(,)}
•4={1, A, 2, B}
•5={a, b, c, d}
•6={}
•7=
ALFABETO

•Conjunto
finito no vacío
de símbolos
diferentes.
ALFABETO:
ALFABETO

Notación:
•Nombre genérico de un alfabeto: Σ
•Símbolos abstractos de un alfabeto: primeras letras del
abecedario en minúscula (a, b, c, …)
Ejemplos:
•Σ = { a, b, c , d }
•Binario = { 0, 1 }
•Letras = { a, b, c, d, e, ….., x, y, z }
•Español = {el, la, … , casa, perro, …, es, come, … , linda,
alegremente, …}
ALFABETO
Hasta aquí miércoles 23

Definición (Lenguaje universal):
•Sea  un alfabeto.
•El lenguaje universal de  es el conjunto formado por todas
las palabras que se pueden formar con las letras de .
•Representamos dicho lenguaje con W() o L.
Ejemplos:
•1 ={a} ⇒ W(1)={, a, aa, aaa, ...}
Nota:
•La palabra vacía pertenece a todos los lenguajes universales
de todos los alfabetos posibles.
LENGUAJES FORMALES:

Definición (Lenguaje):
•Sea un alfabeto .
•Un lenguaje L sobre  es cualquier subconjunto del lenguaje universal W().
Ejemplos:
•1 ={a} ⇒ W(1)={, a, aa, aaa, ...}
•L1 ={a}  W(1)
•L2 ={}  W(1) (L2 = )
•L3 =1  W(1)
•L4 =W(1)  W(1)
•L5 ={}={}  W(1) (Nota: L5L2)
•L6 ={, a, aaa, aaaaa}  W(1)
•L7 ={, a, aaa, aaaaa, ...}  W(1)
Hay lenguajes finitos, infinitos y vacíos.
LENGUAJES FORMALES:

•Cualquier
subconjunto L del
Conjunto Universal
de palabras sobre
un alfabeto Σ.
LENGUAJE:
DEFINICIÓN FORMAL DE LENGUAJE

Notación:
•L1, L2, ….
Ejemplos:
•Σ: L1 = {a, b, aa, ab, ba, bb, abcd, aadd}
•Binario: L2 = {011, 11011, 00, 11}
•Letras: L3 = {casa, pieza, del, abc}
•Español: L4 = {la_casa_es_linda,
el_perro_come_alegremente}
LENGUAJE FORMAL

Podemos decir que: L  Σ*
Los siguientes son casos particulares
significativos:
•El Lenguaje Universal Σ*
•El Lenguaje Vacío Ф
•El Lenguaje Lλ = { λ }
LENGUAJE FORMAL

Sea Σ un alfabeto,
entonces Σ* denota al
lenguaje formado con
todas las cadenas
definidas sobre Σ.
Incluye la cadena
vacía
CERRADURA DE UN ALFABETO

Considere el alfabeto Σ={0,1}, entonces los
siguientes son lenguajes definidos en Σ:
• L1={}
• L11=
• L2={}
• L3={0}
• L4={0, 1, 00, 01, 10, 11}
• L5={,0}
• L6={0, 00, 000, 0000,…}
• L7={101, 1001, 10001,…}
• L8={,0, 1, 00, 01, 10, 11, 000,…,111, 0000,…, 1111,…}
EJEMPLO

1={0,1,2,3}
2={la, le, li, lo, lu}
3={if, then, else}
4={a, b, c, d, e}
5={00,01,10,11}
6={+, *, $, #}
GENERA 5 LENGUAJES (L1,2,3..N) A PARTIR
DE LOS SIGUIENTES ALFABETOS ():
HASTA AQUÍ GRUPO A MARTES 20 AGO

UNIDAD 1
OPERACIONES CON
PALABRAS O CADENAS

Concatenación
Potencia
Longitud
Inversa
OPERACIONES CON PALABRAS O
CADENAS

Concatenación
CADENAS

Función con dominio en Σ*x Σ* y rango en Σ*.
Tal que dadas las palabras u y v, la concatenación
de u con v da como resultado otra palabra w
formada por la secuencia de símbolos de u
seguida de la secuencia de símbolos de v.
DEFINICIÓN DE CONCATENACIÓN

• w = u.v
Notación:
• dadas las palabras {u, v, w} se cumplen
las leyes:
Propiedades:
• (u.v).w = u.(v.w)
Asociativa:
• En general u.v ≠ v.u
No conmutativa:
• λ: λ.u = u.λ = u
Elemento Neutro
PROPIEDADES DE LA CONCATENACIÓN

Ejemplos:
•Dado el alfabeto
•Vocal = {a, e, i, o, u} entonces
• iui . λ = iui=iuiλ
•ae . ou = aeou
•(ieu . aa) . u = ieu . (aa . u) = ieuaau

Operación cerrada: sí
• Si x e y están definidos sobre , entonces xy está definido sobre
.
Asociativa: sí
• x(yz)=(xy)z
Elemento nulo: 
• x=x=x
Conmutatividad: no
• xyyx
CONCLUSIÓN DE LA CONCATENACIÓN

CONCATENACIÓN
EJERCICIOS DE CLASE

Sea  = {0, 1, 2},
x = 00, y = 1, z = 210
Definir las siguientes palabras:
xy, xz, yz, xyz, zxx
Sea  = {ae, bi, co, du, ma, ne, ti, po, zu},
x = aeduma, y = bicotizu, z = mapone
xy, xz, yz, yx, yxz, zxy
EJERCICIO DE CONCATENACIÓN

Sea  = {0, 1, 2},
x = 00, y = 1, z = 210
xy, xz, yz, xyz, zxx
SOLUCIÓN
xy=001
Yz=1210
Xz=00210
Xyz=001210
Zxx=2100000
SOLUCIÓN EJERCICIO DE
CONCATENACIÓN

Sea  = {ae, bi, co, du, ma, ne, ti, po, zu},
x = aeduma, y = bicotizu, z = mapone
xy, xz, yz, yx, yxz, zxy
Solución
xy=aedumabicotizu
xz=aedumamapone
yz=bicotizumapone
yxz=bicotizuaedumamapone
zxy=maponeaedumabicotizu
yx=bicotizuaeduma
SOLUCIÓN DE EJERCICIO DE
CONCATENACIÓN

Potencia
CADENAS

Función con dominio en
Σ*x N y rango en Σ*.
Tal que dada la palabra
u y el número natural i,
la potencia con base u
y exponente i da como
resultado otra palabra
w formada por una
sucesión de i palabras
u.
DEFINICIÓN DE POTENCIACIÓN

Notación:
• w = ui
Propiedades:
• Desde un punto de vista práctico la potencia es una forma reducida de
representar la concatenación de una palabra consigo misma.
Por definición
• u0 = λ y u1 = u
Ejemplos:
• Dado el alfabeto Binario = {0, 1} entonces
• 000 = λ 1012= 101101 13= 111 015 = 0101010101
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

 i, j > 0
• xi+1=xxi=xix
• xixj=xi+j
Se define x0= (palabra vacía):
• Si i=0 ⇒ x0+1=x1=x=x=xx0=x=x0x
• Si i, j=0 ⇒ xixj=x0x0===x0=x0+0
Nota:
•   =  ; x=x; x=x
• |xi|=i|x|
PROPIEDADES DE LA POTENCIA

Sea i un número natural, y x una palabra o cadena.
La potencia i-ésima de x, denominada xi, es la operación
que consiste en concatenarla consigo misma i veces.
Ejemplos:
• x =abc ⇒ x1=abc
• x2=abcabc
• x3=abcabcabc
OTRA DEFINICIÓN (POTENCIA):

Sea  = {0, 1, 2},
x = 00, y = 1, z = 210
Resuelve las siguientes potencias:
x3, y2 , x2y2, (xy) 2, (zxx) 3, z1, x0y2
EJERCICIO DE POTENCIA

 Sea  = {0, 1, 2},
x = 00, y = 1, z = 210
 Resuelve las siguientes potencias:
X3=000000
Y2=11
 x2y2=000011
(x+y) 2=x2 +2xy+y2=0000+2001+11
(xy)2=(001)2=001001
 (zxx) 3 =(2100000) 3= 210000021000002100000
 z1=210
 x0y2=11 =11
SOLUCIÓN A EJERCICIO DE POTENCIA

 Sea  = {0, 1, 2},
x = 00, y = 1, z = 210
 Resuelve las siguientes potencias:
x3, y2 , x2y2, (xy) 2, (zxx) 3, z1, x0y2
Solución
 X3 = 000000
 y2 = 11
 x2y2 =000011
 (xy) 2 =001001
 (zxx) 3 =210000021000002100000
 z1 =210
 x0y2=11
SOLUCIÓN DE EJERCICIO DE POTENCIA

Longitud
CADENAS

Función con dominio en Σ* y
rango en N.
Tal que dada la palabra u la
longitud de u da como resultado
la cantidad de símbolos que
forman la palabra.
DEFINICIÓN DE LONGITUD

Notación:
•w = | u | = long(u)
Propiedades:
•La longitud de λ es cero
•| u | representa la cantidad de símbolos a que hay en u
Ejemplos:
•Dado el alfabeto Dígitos = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
•long(λ) = 0
•| 00110 | = 5
•long(1011) = 4
•| 02643 | = 5
•Dado el alfabeto binario={00, 10, 01, 11}
•|000110|=3
•|1111111111|=5
PROPIEDADES DE LA LONGITUD

También se puede utilizar long
|w| denota la longitud de la cadena o el número de
símbolos de la cadena
Si W es una cadena,
ENTONCES, LA LONGITUD DE UNA
CADENA O PALABRA SE REPRESENTA

Se llama longitud de una palabra x,
• y se representa por |x|, al número de símbolos
que la componen.
Ejemplos:
•sobre ={a,b,c,d}:
•||=0,
•|a|=1,
•|abc|=3
DEFINICIÓN (LONGITUD DE UNA PALABRA
O CADENA):

Si ={sa, fe, gi, ro, un, wi, va, xe, bo, lu, c, h, j, q, t }
Calcula la longitud de las siguientes cadenas:
|sawixelu|=
|rounqfegi|=
|cluxeboqva|=
|jchqro|=
|robolugirosaunwi|=
|chgirountxeh|=
|fewiqfe|=
CALCULA LA LONGITUD DE LAS
SIGUIENTES CADENAS:

Si ={sa, fe, gi, ro, un, wi, va, xe, bo, lu, c, h, j, q, t }
Calcula la longitud de las siguientes cadenas:
|sawixelu|=4
|rounqfegi|=5
|cluxeboqva|=6
|jchqro|=5
|robolugirosaunwi|=8
|chgirountxeh|=8
|fewiqfe|=4
SOLUCIÓN CALCULA LA LONGITUD DE
LAS SIGUIENTES CADENAS:

Inversa
CADENAS

Σ* y rango en Σ*.
Tal que dada la palabra
u la inversa de u da
como resultado la
imagen especular de u.
DEFINICIÓN INVERSA

Notación:
•w = u-1
Propiedades:
•λ-1 = λ
•Involutiva: (u-1 ) -1 = u
Si se cumple que:
•u-1 = u entonces se dice que u es palíndromo
Ejemplos:
•Dado el alfabeto Letras = { a, b, c, ...., z} entonces: arroz-1 = zorra
•y haciendo caso omiso del espacio en blanco y la tilde, las siguientes
palabras son palíndromos: “neuquén” ; “adán nada”; “dábale arroz a la
zorra el abad” ; “satán sala las natas”
PROPIEDADES DE LA INVERSA

Sea x=A1A2...An con Ai una palabra sobre el alfabeto .
• Se llama palabra refleja o inversa de x, y se representa por x-1, a la
palabra AnAn-1...A1.
• Si x=λ entonces x-1=λ
Ejemplos:
• x =abc ⇒ x-1=cba
Propiedades de la palabra inversa:
• |x-1|=|x|
OTRA DEFINICIÓN (PALABRA INVERSA)

Sea  = {0, 1, 2},
x = 010, y = 10, z = 121
Calcula la inversa:
X-1=
Y-1=
(xy) -1=( ) -1 =
(yz) -1=( ) -1 =
(x) -1(z) -1=
EJERCICIOS DE INVERTIR UNA CADENA

Sea  = {0, 1, 2},
x = 010, y = 10, z = 121
X-1=010
Y-1=01
(xy) -1=( 01010 ) -1 =01010
(yz) -1=( 10121 ) -1 =12101
(x) -1(z) -1=010121
SOLUCIÓN EJERCICIOS DE INVERTIR UNA
CADENA

Sea  = {ma, re, sa, i, k},
x = reima, y = ksare, z = iki
x-1=
y-1=
(xy) -1=( ) -1 =
(yz) -1=( ) -1 =
(x) -1(z) -1=
EJERCICIOS DE INVERTIR UNA CADENA

Sea  = {ma, re, sa, i, k},
x = reima, y = ksare, z = iki
X-1=maire
Y-1=resak
(xy) -1=( reimaksare ) -1 =resakmaire
(yz) -1=( ksareiki ) -1 =ikiresak
(x) -1(z) -1=maireiki
SOLUCIÓN EJERCICIOS DE INVERTIR UNA
CADENA

UNIDAD 1
OPERACIONES CON
LENGUAJES

INVERSA O REFLEXIÓN
CLAUSURA, CIERRE O ESTRELLA POSITIVA
CLAUSURA, CIERRE O ESTRELLA DE KLEENE
POTENCIACIÓN
PRODUCTO O CONCATENACIÓN
COMPLEMENTO
INTERSECCIÓN
DIFERENCIA
UNION
OPERACIONES CON LENGUAJES
(U OTROS CONJUNTOS)

UNION
(U OTROS CONJUNTOS)

Función con dominio en 2* x 2 * y
rango en 2 *
Tal que dados los lenguajes L1 y L2,
la unión entre L1 y L2 da como
resultado otro lenguaje L3 formado
por todas las palabras de L1 y todas
las palabras de L2 sin repeticiones.
DEFINICIÓN DE UNION

Notación:
•L3 = L1  L2
Propiedades: dados los lenguajes L1, L2 y L3 se cumplen las leyes:
•Asociativa:
•(L1  L2)  L3 = L1  (L2  L3)
•Conmutativa:
•L1  L2 = L2  L1
•Elemento Neutro Ф:
•Ф  L1 = L1  Ф = L1
Ejemplos:
•Dados L1 = { λ, ba }; L2 = { a, b, ab } y L3 = { aa, ab } entonces:
•L1  L2 = { λ, a, b, ab, ba }
•L2  L3 = { a, b, aa, ab }
PROPIEDADES DE LA UNIÓN

 Sea el alfabeto  y dos lenguajes L1W() y L2W().
 La unión de L1 y L2, L1L2, es un lenguaje que se define de la
siguiente forma:
 L1  L2={x|xL1 o xL2}.
 Propiedades de la unión:
 Operación cerrada: L1  W(), L2  W() ⇒ L1  L2  W() (la
unión de dos lenguajes sobre el mismo alfabeto es también un
lenguaje sobre este alfabeto)
 Asociativa: (L1  L2)  L3=L1 (L2  L3)
 Elemento neutro: Ф  L1, N  L1 = L1 ¿Que es N?
 Conmutativa: L1  L2 = L2  L1
 Idempotencia: L  L = L
LA UNIÓN DE LENGUAJES

 Dados
 L1 = { λ, aba, ebe, obu };
 L2 = { da, de, di }
 L3 = { a, e, i, o, u }
 L4={a, ebe, o, di}
 entonces:
 L1  L2 ={ }
 L1  L3 ={ }
 L2  L2 = { }
 L1  L4 ={ }
 L3  L4= { }
 L1 L3  L4={ }
EJERCICIOS DE UNIÓN DE LENGUAJES

 Dados
 L1 = {λ, aba, ebe, obu };
 L2 = { da, de, di }
 L3 = { a, e, i, o, u }
 L4={a, ebe, o, di}
 entonces:
 L1  L2 ={λ, aba, ebe, obu, da, de, di }
 L1  L3 ={ }
 L2  L2 = {da, de, di }
 L1  L4 ={ }
 L3  L4= {a, e, i, o, u, ebe, di }
 L1 L3  L4={ }
SOLUCIÓN EJERCICIOS UNIÓN

DIFERENCIA
(U OTROS CONJUNTOS)

Función con dominio en 2 *x 2 * y rango en 2 *
Tal que dados los lenguajes L1 y L2, la diferencia
entre L1 y L2 da como resultado otro lenguaje L3
formado por todas las palabras de L1 excepto
aquellas que pertenezcan también a L2.
DEFINICIÓN DE DIFERENCIA

Notación:
•L3 = L1 - L2
Propiedades:
•dados los lenguajes L1, L2 y L3 se cumplen las leyes:
No Asociativa:
•(L1 - L2) - L3 ≠ L1 - (L2 - L3)
No Conmutativa:
•en general L1 - L2 ≠ L2 - L1
Elemento Neutro Ф:
•L1 - Ф = L1
Ejemplos:
•Dados L1 = { λ, a, ab }; L2 = { a, b, ba } y L3 = { a, b, ab } entonces:
•L1 - L2 = { λ, ab }={ab}
•L2 - L3 = { ba }
•L1 - L3 = { λ }=Ф
PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA

Sean dos lenguajes L1 y L2.
• La diferencia de L1 y L2, L1- L2 (o L1L2) es el lenguaje que
se define por:
•L1- L2={x|xL1 y x L2}.
Propiedades de la diferencia
•Cerrada: L1W() , L2  W() ⇒ L1-L2  W()
•No es asociativa: ( L1, L2: (L1-L2)-L3=L1-(L2-L3))
•No es conmutativa: ( L1, L2: L1-L2=L2-L1)
•No es idempotente: L: L-L=
•A-=A
OTRAS OPERACIONES CLÁSICAS DE
CONJUNTOS: DIFERENCIA

DIFERENCIA
EJERCICIOS DE CLASE

 Dados
 L1 = {00, 01, 10, 11}
 L2 = { 0,00,000, 1, 11, 111}
 L3 = { 01, 001, 0001,00001}
 L4={00, 11, 000, 111}
 entonces:
 L1-L2={ }
 L1-L3={ }
 L3-L2={ }
 L3-L1={ }
 L2-L4-L1={ } - { }={ }
 L4-L3={ }
DIFERENCIA

 Dados
 L1 = {00, 01, 10, 11}
 L2 = { 0,00,000, 1, 11, 111}
 L3 = { 01, 001, 0001,00001}
 L4={00, 11, 000, 111}
 entonces:
 L1-L2={01, 10}
 L1-L3={00, 10, 11 }
 L3-L2={01, 001, 0001,00001}
 L3-L1={001, 0001,00001}
 L2-L4-L1={ 0, 1 } - {00, 01, 10, 11}={0, 1 }
 L4-L3={00, 11, 000, 111 }
SOLUCIÓN EJERCICIOS DE DIFERENCIA
DE LENGUAJES

INTERSECCIÓN
(U OTROS CONJUNTOS)

• 2* x 2* y rango en 2*
Tal que dados los lenguajes
L1 y L2, la intersección entre
L1 y L2 da como resultado
•otro lenguaje L3 formado
por todas las palabras que
pertenecen a L1 y que
también pertenecen a L2.
DEFINICIÓN DE INTERSECCIÓN

Notación:
•L3 = L1  L2
Propiedades:
Asociativa:
•(L1  L2)  L3 = L1  (L2  L3)
Conmutativa:
•L1  L2 = L2  L1
Elemento Neutro Σ*:
•Σ*  L1 = L1  Σ* = L1
Ejemplos:
•Dados L1 = { λ, a, ab }; L2 = { a, b, bb } y L3 = { b, bb, aa } entonces:
•L1  L2 = { a }
•L2  L3 = { b, bb }
•L1  L3 = Ф
PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN

•La intersección de L1 y L2, L1 L2, es el lenguaje que se define por:
•L1  L2={x|xL1 y xL2}.
Sean dos lenguajes
L1 y L2.
Propiedades de la intersección
•L1W() , L2  W(S) ⇒ L1L2  W()
Cerrada:
•(L1  L2)  L3=L1 (L2  L3)
Asociativa:
•L1  L2= L2  L1
Conmutativa:
•L  L=L
•L  =
Idempotencia:
CONJUNTOS: INTERSECCIÓN

INTERSECCIÓN
EJERCICIOS DE CLASE

 DADOS LOS SIGUIENTES LENGUAJES:
 L1={111, 321, 123, 453, 891, 762}
 L2={111, 222, 333, 321, 123}
 L3={768, 45, 232, 453}
 CALCULA:
 L1  L2={ }
 (L1  L2)  L3={ }
 L2  L3={ }
 L1  L3={ }
INTERSECCIÓN

 DADOS LOS SIGUIENTES LENGUAJES:
 L1={111, 321, 123, 453, 891, 762}
 L2={111, 222, 333, 321, 123}
 L3={768, 45, 232, 453}
 CALCULA:
 L1  L2={ 111, 321, 123 }
 (L1  L2)  L3={}=
 L2  L3={} =
 L1  L3={453}
SOLUCIÓN EJERCICIOS DE INTERSECCIÓN
DE LENGUAJES

COMPLEMENTO
(U OTROS CONJUNTOS)

2* y rango en 2*
Tal que dado el lenguaje L1, el
complemento de L1 da como
resultado otro lenguaje L3 formado
por todas las palabras que
pertenecen a Σ* y que no pertenecen
a L1.
DEFINICIÓN DE COMPLEMENTO

Notación:
• L3 = ~L1 = L1
Propiedades:
• ~L1 = Σ* - L1
• ~Σ* = Ф y ~Σ+ = Lλ
Involutiva:
• ~(~L1) = L1
Ejemplos:
• Dado L1 = { λ, a, b } entonces:
• ~L1 = {todas las secuencias de a y/o b excepto la palabra vacía y las
palabras unisimbólicas a y b }
PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO

Sea L un lenguaje sobre el alfabeto .
El complemento de L, denotado con 𝐿 (o con c(L)) es el
siguiente lenguaje:
• 𝐿 ={x|xW() y xL}
Propiedades del complemento
• Cerrada: LW() ⇒ 𝐿  W()
• W() =
• 𝐿 =L
CONJUNTOS: COMPLEMENTO

COMPLEMENTO
EJERCICIOS DE CLASE

 DADO EL ALFABETO Y LOS SIGUIENTES LENGUAJES:
 *={, 0O,000,0000, 11, 111, 1111, 01, 10, 0001, 1000, 1001,
0110}
 Calcula los complementos:
 L1={00, 01, 10,11},
el complemento de (L1)={ }
 L2={000, 01, 1001, 1111},
 L3={00, 000, 0000},
COMPLEMENTO

 DADO EL ALFABETO Y LOS SIGUIENTES LENGUAJES:
 *={, 0O,000,0000, 11, 111, 1111, 01, 10, 0001, 1000, 1001,
0110}
 Calcula los complementos:
 L1={00, 01, 10,11},
el complemento de (L1)={,111, 1111, 0001, 1000, 1001, 0110 }
 L2={000, 01, 1001, 1111},
el complemento de (L2)={, 0O, 0000, 11, 111, 10, 0001, 1000,
0110 }
 L3={00, 000, 0000},
el complemento de (L3)={, 11, 111, 1111, 01, 10, 0001, 1000,
1001, 0110 }
SOLUCIÓN EJERCICIOS DE
COMPLEMENTO

PRODUCTO O
CONCATENACIÓN
(U OTROS CONJUNTOS)

Función con
dominio en 2 * x 2
* y rango en 2 *
•Tal que dados los lenguajes L1 y L2,
el producto o concatenación entre
L1 y L2 da como resultado otro
lenguaje L3 formado por todas las
palabras que resultan de
concatenar una palabra de L1 con
una palabra de L2 y solo en ese
orden.
DEFINICIÓN DE PRODUCTO O
CONCATENACIÓN

Notación:
•L3 = L1 .L2
Propiedades:
Asociativa:
•(L1 . L2) . L3 = L1 . (L2 . L3)
No Conmutativa:
•en general L1 . L2 ≠ L2 . L1
Elemento Neutro Lλ:
•Lλ . L1 = L1 . Lλ = L1
Ejemplos:
•Dados L1 = { λ, a }; L2 = { b, bb } y L3 = { aa } entonces:
•L1 . L2 = { b, bb, ab, abb }
•L2 . L3 = { baa, bbaa }
•L2 . Ф = Ф
PROPIEDADES DEL PRODUCTO O
CONCATENACIÓN

Sean dos lenguajes L1, L2. La concatenación de L1 y L2,
representado por L1L2 (a veces por L1.L2), es un lenguaje
que se define de la siguiente forma: L1L2={xy|xL1 , yL2}.
Ejemplos: ={a,b,c}
•L1 ={ab, ac, cb}; L2={b, bba} ⇒L1L2={abb,abbba,acb,acbba,cbb,cbbba}
•L1 ={a, aa, aaa, ...}; L2={, b, bb, bbb, ...} ⇒ L1L2=¿?
¿Qué pasa si L1 o L2 es ?
CONCATENACIÓN:

Cerrada:
• L1W(), L2W() ⇒ L1L2W()
Asociativa:
• (L1L2)L3 = L1(L2L3)
No es conmutativa:
•  (L1, L2: L1L2=L2L1)
Elemento neutro({}):
•  L1: L1{}={}L1=L1
No es idempotente:
•  ( L: LL=L)

 Dados los siguientes lenguajes:
 L1={a1, b2, c3}
 L2={a, aa, aaa}
 L3={1, 2, 3}
 L4={a, ab, abc}
 Calcula las siguientes concatenaciones
 L1.L2={ }
 L2.L3={ }
 L3.L4={ }
 L1.L2.L4={ }
 L3.L3= { }
 L2.L2={ }
CONCATENACIÓN

 L1={a1, b2, c3}
 L2={a, aa, aaa}
 L3={1, 2, 3}
 L4={a, ab, abc}
 L1.L2={ a1a, a1aa, a1aaa, b2a, b2aa, b2aaa, c3a, c3aa, c3aaa }
 L2.L3={a1, a2, a3, aa1, aa2, aa3, aaa1, aaa2, aaa3 }
 L3.L4={ 1a, 1ab, 1abc, 2a, 2ab, 2abc, 3a, 3ab, 3abc }
 L1.L2.L4={ }
 L3.L3= {11,12,13,21,22,23,31,32,33 }
 L2.L2={ aa,aaa,aaaa,aaa,aaaaa }
SOLUCIÓN EJERCICIOS DE
CONCATENACIÓN DE LENGUAJES

POTENCIACIÓN
(U OTROS CONJUNTOS)

Función con dominio en 2* x N y rango en 2*
Tal que dado el lenguaje L1 y el número
natural i mayor o igual que 2, la potencia
con base L1 y exponente i da como
resultado otro lenguaje L3 formado por el
producto de L1 consigo mismo (i - 1)
veces
DEFINICIÓN DE POTENCIACIÓN

Notación:
• L3 = L1i
Propiedades:
• Desde un punto de vista práctico la potencia es una forma reducida de
representar el producto de un lenguaje consigo mismo.
Por definición
• L10 = λ y L11 = L1
Ejemplos:
• Dados L1 = { a, b } L2 = { bab, bb, ab }
• L13 = { a, b } .{ a, b } .{ a, b } ={ aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb }
• L22 = { babbab, babbb, babab, bbbab, bbbb, bbab, abbab, abbb, abab}
PROPIEDADES DE LA POTENCIA

La potencia i-ésima de un lenguaje L consiste en el lenguaje
resultante de concatenar el lenguaje consigo mismo i veces.
•Li = LLL...L (i veces)
Propiedades de la potencia
•Cerrada: L  W() ⇒ Li W()
•Li+1 = LiL = LLi (i>0)
•LiLj = Li+j (i,j>0)
¿Que pasa si i, j = 0?
•Se define L0 = {}
•L0+1 = L1 = L = {}L=L0L
•L0L0= {}{} ={}=L0 = L0+0
POTENCIA DE UN LENGUAJE

L1 = {,ab, ac}
•⇒L12={,ab,ac,abab,abac,acab,acac}
•⇒L13={,ab,ac,abab,abac,acab,acac,ababab,ababac,
abacab,abacac,acabab,acabac,acacab,acacac}
L2 = {a, aa, aaa, ...}
•⇒ L22=¿?
•⇒ L23=¿?
EJEMPLOS DE POTENCIA DE UN
LENGUAJE

 L1={a1, b2, c3}
 L2={a, aa, aaa}
 L3={1, 2, 3}
 L4={a, ab, abc}
 L12 ={a1, b2, c3} . {a1, b2, c3 }=
 L22 ={ a,aa,aaa}. { a,aa,aaa}={ }
 L33 ={1, 2, 3}. {1, 2, 3}. {1, 2, 3}={}
 L43 ={a, ab, abc}. {a, ab, abc}. {a, ab, abc}={ }
POTENCIA

 L1={a1, b2, c3}
 L2={a, aa, aaa}
 L3={1, 2, 3}
 L4={a, ab, abc}
 L12 ={a1, b2, c3} . {a1, b2, c3}={ a1a1,a1b2,a1c3, b2a1, b2b2,b2c3,
c3a1,c3b2, c3c3 }
 L22 ={ a,aa,aaa}. {
a,aa,aaa}={aa,aaa,aaaa,aaa,aaaa,aaaaa,aaaa,aaaaa,aaaaaa}
 L33 ={1, 2, 3}. {1, 2, 3}. {1, 2, 3}={}
={1, 2, 3}. {1, 2, 3} . {1, 2, 3}={11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33} . {1, 2, 3}
={ }
 L43 ={a, ab, abc}. {a, ab, abc}. {a, ab, abc}={aaa, aaab, aaabc,…}
SOLUCIÓN EJERCICIOS DE POTENCIA

CLAUSURA, CIERRE
O ESTRELLA DE
KLEENE
(U OTROS CONJUNTOS)

Función con dominio en 2* y rango en 2*
Tal que dado el lenguaje L1, la operación “L1
estrella” (L1*) da como resultado otro lenguaje
L3 formado por todas las potencias de base L1 y
exponente i, desde i igual a cero hasta infinito.
DEFINICIÓN DE CLAUSURA, CIERRE O
ESTRELLA DE KLEENE

Notación:
•L3 = L1 *= L10  L11  L12 …… = 𝒊=𝟎
∞
𝑳𝟏𝒊
Propiedades:
•(L1*) *= L1*
Por definición Ф* = Lλ y Lλ* = Lλ
Ejemplos:
•Dado L1 = { aa, ab, ba, bb }
•L1*= { todas las secuencias de a y/o b de long. par incluida
la vacía}
CLAUSURA, CIERRE O ESTRELLA DE
KLEENE

•L*= 𝒊=𝟎
∞
𝑳𝟏𝒊
La clausura de
un lenguaje L
se define por:
•L: L*, ya que {}=L0.
Nota:
•Cerrada: LW()⇒ L+  W() , L*  W()
•L*=L0  ( 𝒊=𝟎
∞
𝑳𝟏𝒊)= L0  L++={}  L+
•L+ =LL*= L*L
•Demostración¿?
Propiedades de
la clausura:
CLAUSURA, ITERACIÓN, CIERRE O
ESTRELLA DE KLEENE

CLAUSURA, CIERRE
O ESTRELLA
POSITIVA
(U OTROS CONJUNTOS)

2 * y rango en 2*
Tal que dado el lenguaje L1, la operación
“L1 estrella positiva” da como resultado
otro lenguaje L3 formado por todas las
potencias de base L1 y exponente i, desde
i igual a uno hasta infinito.
ESTRELLA POSITIVA

Notación:
•L3 = L1+= L11  L12  L13 …… = 𝒊=𝟏
∞
𝑳𝟏𝒊)
Propiedades:
•(L1 +) + = L1+
Por definición
•Ф+= Ф y Lλ+ = Lλ
Ejemplos:
•Dado L1 = { aa, ab, ba, bb } L2 = { λ, aa, ab, ba, bb }
•L1+ = { todas las secuencias de a y/o b de long. par }
•L2+ = L2*
ESTRELLA POSITIVA

La clausura positiva de un lenguaje L se define por:
• L+= 𝒊=𝟏
∞
𝑳𝟏𝒊
Ejemplos:
• L ={a,aa,aaa,aaaa,...} = {an | n1}
• ⇒ L2={ aa,aaa,aaaa,...} = {anam | n,m  1} = {an | n  2}
• ⇒ L3={ aaa,aaaa,...} = {anam | n  1, m  2} = {an | n  3}
• ⇒ L+= 𝒊=𝟏
∞
𝑳𝒊 ={a,aa,aaa,aaaa,...} = L
• ={a,b},  es un lenguaje sobre , ya que W()
• += 𝒊=𝟏
∞
𝒊 ={a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,...} = W() - {}
Nota:
• Si L, entonces L+.
CLAUSURA POSITIVA

INVERSA O
REFLEXIÓN
(U OTROS CONJUNTOS)

2 * y rango en 2 *
Tal que dado el lenguaje L1,
la inversa de L1 da como
resultado otro lenguaje L3
formado por todas las
inversas correspondientes a
las palabras de L1.
DEFINICIÓN DE INVERSA O REFLEXIÓN

Notación:
•L3 = L-1
Propiedades
Distributiva:
•(L1 . L2) -1 = L2-1 . L1 -1
•(L1*)-1 = (L1-1 )*
Involutiva: (L1-1 ) -1 = L1
Ejemplos:
•Dados L1 = { ab, bb } L2 = { aa, ba }
•L1.L2 = { abaa, abba, bbaa, bbba}
•( L1 . L2 ) -1 = { aaba, abba, aabb, abbb }
•L2-1 = { aa, ab }
•L1-1 = { ba, bb }
•L2 -1. L1-1 = { aaba, abba, aabb, abbb } = ( L1 . L2 ) -1 ¿es igual?
PROPIEDADES DE LA INVERSA O
REFLEXIÓN

Sea L un lenguaje. Se llama lenguaje inverso
(lenguaje reflejo) de L, y se representa por L-1
al lenguaje:
L-1={x-1|xL}.
Ejemplos:
•L ={ana, julio, jesus, norma} ⇒ L-1={ana, oiluj, susej, amron}
•L ={a,aa,aaa,...} ⇒ ¿L-1?
•Propiedades de la reflexión:
•Cerrada: LW() ⇒ L-1  W()
REFLEXIÓN

 DADO LOS SIGUIENTES LENGUAJES:
 L1={1234, 5678, 9101, 3456, 8765}
 L2={then, else, if, for, while, do}
 L3={Antonio, Guadalupe, Martha, Emiliano}
 Calcula:
 L1-1 ={}
 L2-1 ={}
 L3-1 ={}
REFLEXIÓN O INVERSA

 DADO LOS SIGUIENTES LENGUAJES:
 L1={1234, 5678, 9101, 3456, 8765}
 L2={then, else, if, for, while, do}
 L3={Antonio, Guadalupe, Martha, Emiliano}
 Calcula:
 L1-1 ={4321, 8765, 1019, 6543, 5678}
 L2-1 ={neht, esle, fi, rof, elihw, od}
 L3-1 ={oinotnA, epuladauG, ahtraM, onailimE}
SOLUCIÓN EJERCICIOS DE REFLEXIÓN O
INVERSA

LENGUAJES
CONCLUSIÓN GRÁFICA

REPRESENTACIÓN GRAFICA OPERACIONES
CON CONJUNTOS O LENGUAJES

OPERACIONES
CON
LENGUAJES
OTRAS LEYES DE LAS
OPERACIONES SOBRE
CONJUNTOS

LEYES DE OPERACIONES DE CONJUNTOS

con
Palabras
y con
Lenguajes
EJEMPLOS DE
OPERACIONES

Dado el alfabeto Letras = { a, b, c, .…, z }
Haciendo caso omiso de las tildes y los espacios en blanco, los siguientes son
casos curiosos de palíndromos:
•ananá, oso, ojo, asa, ala, sus, allá, anilina, reconocer, somos, aérea, rasar, atar a la rata, alábala a la
bala, anita lava la tina, arroz a la zorra, dábale arroz a la zorra el abad
diversas palabras del español resultan de concatenar dos o más palabras del
mismo lenguaje:
•limpia.para.brisas = limpiaparabrisas
•bala . cera = balacera
•casa . miento = casamiento
•agua . tero = aguatero
•rápida . mente = rápidamente
•villa . nada = villanada
las siguientes palabras y sus inversas tienen distintos significados:
•odio, oído, osar, raso, orar, raro, lava, aval, raza, azar, acera, areca
EJEMPLO 1

Dado el alfabeto
Sílabas = { ma, mon, mo, ca, co, li, ra, re, ro, ta, to, ja, bron }
haciendo caso omiso de las tildes tenemos los siguientes
palíndromos:
•maroma, cólico, retaré, remaré, coco, caca, caraca
las siguientes palabras y sus inversas tienen significados
distintos:
•jamón, monja, bronca, cabrón, mora, ramo, coca, caco,
•raco, cora, maca, cama, coma, maco, como, moco,
•rata, tara, roca, caro, tomón, monto, rato, tora
EJEMPLO 2

Dado el alfabeto Σ = { a, b, c, …, z, 0, 1, … 9 , _ }
se puede definir los siguientes lenguajes unisimbólicos :
• Letras = { a, b, c, …. , z }
• Dígitos = { 0, 1, 2, 3, …. , 9}
• Guión = { _ }
Combinando convenientemente estos lenguajes se
puede representar el conjunto de todos los
identificadores de un lenguaje de programación:
• Identificador = (Letras  Guión) . (Letras  Dígitos  Guión)*
EJEMPLO 3

LENGUAJES
Y
AUTOMATAS
NIVELES DE UN
LENGUAJE

Con el objetivo de estudiar una frase o sentencia,
se puede considerar 4 niveles de lenguajes.
Esto facilita la tarea de análisis, ya que la divide
en fases o etapas que permiten un procesamiento
escalonado del lenguaje; desde un menor nivel de
complejidad a un mayor nivel de complejidad.
NIVELES DE UN LENGUAJE

ESTOS NIVELES SON:

Se refiere al reconocimiento del léxico de un lenguaje o sea la
identificación de los símbolos del alfabeto del lenguaje, llamados
componentes léxicos.
Es lo que normalmente llamamos diccionario.
También incluye la clasificación en tipos de componentes léxicos.
Cabe destacar que este nivel no depende del contexto.
NIVEL LEXICOGRÁFICO:

Por ejemplo:
Diccionario del Lenguaje de programación C++:
Tipos de componentes léxicos de C++:
palabras claves, delimitadores, operadores, identificadores,
números, etc.
NIVEL LEXICOGRÁFICO:

Se trata de la forma en la que
los componentes léxicos se
organizan dentro de una frase o
sentencia, es decir la estructura
de dicha secuencia de símbolos.
Este nivel es independiente o
libre del contexto.
NIVEL SINTÁCTICO

Por ejemplo:
Lenguaje de programación C++:
Estructura de una sentencia selectiva
•if ( exp.lógica ) sentencia else sentencia;
Estructura de una sentencia de asignación:
•identificador = expresión ;
•if (N>=0) S1 = S1 + N; else S2 = S2 + N;
NIVEL SINTÁCTICO

Se refiere al significado
o connotación de una
palabra de un lenguaje.
Tiene en cuenta la
coherencia de una frase
o sentencia.
Este nivel es
dependiente del
contexto.
NIVEL SEMÁNTICO

Por ejemplo:
Comprobación de Tipos: verificación de la correspondencia entre las
declaraciones de identificadores y el uso de dichos identificadores.
Observación: En este caso la sentencia es incorrecta semánticamente,
ya que se utiliza una variable I de tipo float como índice del arreglo V.
NIVEL SEMÁNTICO

Tiene que ver con los hechos
o acciones que evocan las
frases o sentencias de un
lenguaje y su utilización por
parte de un procesador
humano o computacional.
Este nivel es dependiente del
contexto.
NIVEL PRAGMÁTICO

Por ejemplo:
Una sentencia de entrada implica la espera del dato que ingresa por el periférico correspondiente, la
toma desde el buffer de dicho periférico, la verificación del formato y de la coherencia del mismo; y
almacenamiento en la posición de memoria RAM correspondiente al identificador de la variable.
Observación: Para que no se produzca un error pragmático, en tiempo de ejecución, el operador
debe introducir un dato de tipo numérico.
NIVEL PRAGMÁTICO

Introducción
a los
lenguajes
RESUMEN GRÁFICO DE
LA UNIDAD 1

Por su
atención
GRACIAS
rosa.garcia@tecvalles.mx

Unidad_1_Introduccion_a_la_Teoria_de_Len.pptx

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Unidad_1_Introduccion_a_la_Teoria_de_Len.pptx

Similar a Unidad_1_Introduccion_a_la_Teoria_de_Len.pptx (20)

Último

Último (20)

Unidad_1_Introduccion_a_la_Teoria_de_Len.pptx