2-Funciones Booleanas.pdf

2: Funciones booleanas 1
ELO211: Sistemas Digitales
Tomás Arredondo Vidal
Este material está basado en:
❒ textos y material de apoyo: Contemporary Logic Design 1st / 2nd edition. Gaetano
Borriello and Randy Katz. Prentice Hall, 1994, 2005
❒ material del curso ELO211 del Prof. Leopoldo Silva
❒ material en el sitio http://es.wikipedia.org

2-Funciones y representaciones
booleanas
2.1 Lógica y álgebra de Boole
2.2 Funciones booleanas
2.3 Representaciones de funciones booleanas
2.4 Funciones de varias variables

Lógica Booleana
❒ Definiciones básicas
❍ Una variable booleana (e.g. x, y) es un símbolo que
puede ser substituido por un elemento del
conjunto B={0,1}
❍ Una constante booleana es un valor perteneciente
al conjunto {0,1}
❍ Una expresión (e.g. x+y, x·y, x’) esta compuesta de
variables, constantes y operadores (e.g. +, ·, ’)
❍ Una función booleana de n variables f(x1, x2, ..., xn)
es un expresión o formula que mapea f a un valor
del conjunto booleano B (0 o 1)
❍ Un literal es una variable o su complemento

Álgebra de Boole
❒ Definición: el álgebra de Boole es un
sistema algebraico cerrado que contiene:
❍ un conjunto de dos elementos {0, 1},
❍ dos operadores binarios {+, ·},
❍ un operador unitario { ‘ }.

Lógica y álgebra de Boole
❒ El álgebra de Boole es la fundación matemática de
los sistemas digitales.
❒ Las operaciones del álgebra de Boole deben regirse
por propiedades y reglas lógicas llamados leyes o
postulados.
❒ Estos postulados se pueden usar para demostrar
leyes mas generales sobre expresiones booleanas.
❒ Estos postulados también se usan para simplificar
y optimizar expresiones booleanas y sistemas
digitales.
❍ Ejemplo: X AND (Y OR Y’) = X (¿porque?)

Álgebra de Boole
❒Una expresión algebraica de Boole consiste de
❍ un conjunto de B
❍ operaciones binarias { + , • }
❍ una operaciones unitaria { ’ }
❒B tiene dos elementos : a, b y los siguientes postulados se cumplen:
Clausura: a + b esta en B, a • b esta en B
Conmutatividad: a + b = b + a, a • b = b • a
Asociatividad: a + (b + c) = (a + b) + c
a • (b • c) = (a • b) • c
Identidad: a + 0 = a, a • 1 = a
Distributividad: a + (b • c) = (a + b) • (a + c)
a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
Complementariedad: a + a’ = 1, a • a’ = 0

Álgebra de Boole: Resumen
❒Álgebra de Boole
❍ B = {0, 1}
❍ variables
❍ + es el OR lógico, • es el AND lógico
❍ ’ es el NOT lógico
❒Todos los postulados (axiomas) algebraicos se
cumplen
❒La prioridad de los operadores es ‘, seguido por
AND y despues OR.
❒El ‘ tiene la mayor prioridad.
❒Los ( ) pueden cambiar el orden de evaluación.

Álgebra de Boole: Teoremas
❒Con la formulación de los postulados del
álgebra de Boole se pueden demostrar varias
proposiciones o teoremas de álgebra booleana
❒Para las demostraciones de teoremas se
pueden usar:
❍ tablas de verdad,
❍ postulados,
❍ y teoremas ya demostrados

❒ Definición: El álgebra de boole es un sistema algebraico cerrado
que contiene un conjunto B de dos elementos {0,1} y tres
operadores {·, +, ‘}.
❒ igualdad: Dos expresiones son iguales si una puede ser substituida
por otra.
❒ identidad:
1. X + 0 = X 1D. X • 1 = X
❒ nulo (elementos únicos):
2. X + 1 = 1 2D. X • 0 = 0
❒ idempotencia:
3. X + X = X 3D. X • X = X
❒ involución:
4. (X’)’ = X
❒ complementariedad:
5. X + X’ = 1 5D. X • X’ = 0

❒ conmutatividad:
6. X + Y = Y + X 6D. X • Y = Y • X
❒ asociatividad:
7. (X + Y) + Z = X + (Y + Z) 7D. (X • Y) • Z = X • (Y • Z)
❒ distributividad:
8. X • (Y + Z) = (X • Y) + (X • Z) 8D. X + (Y • Z) = (X + Y) • (X + Z)
❒ unificación (fusión):
9. X • Y + X • Y’ = X 9D. (X + Y) • (X + Y’) = X
❒ absorción:
10. X + X • Y = X 10D. X • (X + Y) = X
11. (X + Y’) • Y = X • Y 11D. (X • Y’) + Y = X + Y
❒ factorizar:
12. (X + Y) • (X’ + Z) = 12D. X • Y + X’ • Z =
X • Z + X’ • Y (X + Z) • (X’ + Y)
❒ consenso:
13. (X • Y) + (Y • Z) + (X’ • Z) = 13D. (X + Y) • (Y + Z) • (X’ + Z) =
X • Y + X’ • Z (X + Y) • (X’ + Z)

❒ de Morgan:
14. (X + Y + ...)’ = X’ • Y’ • ...14D. (X • Y • ...)’ = X’ + Y’ + ...
❒ de Morgan generalizado:
15. f’(X1,X2,...,Xn,0,1,+,•) = f(X1’,X2’,...,Xn’,1,0,•,+)
establece relaciones entre • y +

❒ Ejemplo: de Morgan:
(X + Y)’ = (X’ • Y’)
NOR es equivalente a AND
con inputs complementados
(X • Y)’ = (X’ + Y’)
NAND es equivalente a OR
con inputs complementados
X Y X’ Y’ (X + Y)’ (X’ • Y’)
0 0 1 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 0
X Y X’ Y’ (X • Y)’ (X’ + Y’)
0 0 1 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0

❒ Dualidad
❍ el dual de una expresión booleana se puede obtener remplazando
❍ • por +, + por •, 0 por 1, y 1 por 0, y dejando las variables sin
cambio
❍ cualquier teorema demostrado también esta demostrado para su
dual!
❍ un meta-teorema (teorema sobre teoremas)
❒ Dualidad:
16. X + Y + ... ⇔ X • Y • ...
❒ Dualidad generalizado:
17. f (X1,X2,...,Xn,0,1,+,•) ⇔ f(X1,X2,...,Xn,1,0,•,+)
❍ diferente que ley de De Morgan’s
❍ no es una manera para manipular (cambiar) expresiones sino para
generar otros teoremas que también son verdaderos
❍ Ej: El dual del teorema X + 0 = X o (X + 0 = X)D es X • 1 = X

❒ Actividad:
❍ Demuestre este teorema: X • Y + X • Y’ = X
❍ Demuestre este teorema : X + X • Y = X
igualdad X • Y + X • Y’ = X • Y + X • Y’
distributividad (8) = X • (Y + Y’)
complementariedad (5) = X • (1)
identidad (1D) = X ➼
igualdad X + X • Y = X + X • Y
identidad (1D) = X • 1 + X • Y
distributividad (8) = X • (1 + Y)
nulo (2) = X • (1)
identidad (1D) = X ➼

Actividad: Álgebra de Boole
Demuestre lo siguiente usando álgebra booleana:
(X • Y) + (Y • Z) + (X’ • Z) = X • Y + X’ • Z
igualdad X Y + X’ Z = X Y + X’ Z
absorción (10) = (X Y + X Y Z) + (X’ Z + X’ Z Y)
conmutatividad (6) = X Y + X’ Z + X Y Z + X’ Z Y
conmutatividad (6D) = X Y + X’ Z + X Y Z + X’ Y Z
distributividad (8) = X Y + X’ Z + (X + X’) Y Z
complementariedad (5) = X Y + X’ Z + (1) Y Z
identidad (1D) = X Y + X’ Z + Y Z
conmutatividad (6) = X Y + Y Z + X’ Z ➼

2-Funciones y representaciones booleanas

Funciones booleanas
❒ Espacios y funciones booleanas
❍ Si se define un espacio booleano como B={0,1}
❍ Usando el producto cartesiano se puede definir B2
= {0,1} x {0,1} = {(00), (01), (10), (11)}
❍ Para X = (X1, X2) podemos definir una función
booleana f de dos variables según:
f(X): B2 → B, cada punto de B2 se mapea a B
❍ Para n variables booleanas con X = (X1, X2, ... Xn) se
puede definir una función booleana f de n variables
según:
f(X): Bn → B, cada punto de Bn se mapea a B
❍ La función booleana puede tomar valores de 1 o 0
dependiendo de los valores de sus variables

Funciones booleanas
❍ El conjunto uno (on set) de f, puede definirse
como los puntos X de Bn que se mapean a 1.
f1 : {X | f(X) = 1}
❍ El conjunto zero (off set) de f puede definirse
como los puntos X de Bn que se mapean a 0.
f0 : {X | f(X) = 0}
❍ Si el conjunto f1 = Bn se dice que f es una
tautología.
❍ Si el conjunto f0 = Bn se dice que f0 es vacío y no
es satisfacible.

Funciones booleanas: tautología
De: http://es.wikipedia.org/wiki/tautología
❒ En lógica, una tautología es una formula preposicional
que es verdad bajo cualquier evaluación de sus
variables.
❒ En lingüística, una tautología es una redundancia
debida a una calificación superflua o de lógica
circular (e.g. innovación novedosa, mundo mundial“,
Le voy a entregar un obsequio gratis“, El 100% de
nuestros clientes compran nuestros productos“).
❒ Las matemáticas pueden ser consideradas como la
ciencia de hacer tautologías particularmente
elaboradas de una forma rigurosa. Un teorema es un
ejemplo de tautología útil.

Funciones booleanas
❍ Una función f es satisfacible cuando existe un
elemento en el conjunto de f que es uno.
❍ Dos funciones son equivalentes si para todo X є Bn
se tiene que:
f(X) = g(X)

booleanas

Representaciones
❒ Las funciones booleanas se pueden describir
de variadas formas incluyendo:
❍ álgebra booleana
❍ tablas de verdad,
❍ diagramas de compuertas,
❍ diagramas temporales,
❍ diagramas de Venn,
❍ mapas de Karnaugh,
❍ N-cubos,
❍ lenguajes de descripción de hardware (HDL:
Hardware description languages) como Verilog o
VHDL
Por
verse!

Representaciones: álgebra booleana
❒ Las funciones booleanas se pueden describir con una
expresión de álgebra booleana.
Ejemplo: f(X, Y, Z) = XY + X’Z + XZ’
❒ La función puede evaluarse para las diferentes
combinaciones de valores que tomen las variables.
❒ Existen infinitas representaciones equivalentes de
una función a través de expresiones.
❒ El problema de síntesis lógica consiste en encontrar
la mejor expresión para representar una función.

Representaciones: tabla de verdad
❒ Las funciones booleanas también se pueden
representar como una tabla de verdad.
❒ La tabla de verdad despliega todas las
combinaciones de valores de las variables y el
valor asociado de la función.

Representaciones
❒ Ejemplos: tablas de verdad
X Y X • Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
X Y X’ Y’ X • Y X’ • Y’ ( X • Y ) + ( X’ • Y’ )
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 0 1
( X • Y ) + ( X’ • Y’ ) ≡
≡
≡
≡ X = Y
X Y X’ X’ • Y
0 0 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 1 0 0
Expresión booleana que es
verdadera cuando X
e Y son iguales y falso de otra
forma

Representaciones
• Las funciones booleanas también se pueden
representar por diagramas compuestos de
símbolos de compuertas.
• Existen múltiples diagramas que pueden
representar la misma función.
• La ventaja de esta representación es que esta
asociada a la implementación en un medio visual.
• Los circuitos combinacionales contienen solo
compuertas.
• Los circuitos secuenciales contienen flip-flops y
compuertas.

X Y Z
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
X Y
0 1
1 0
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
X Y
X
X
Y
Y
Z
Z
Diagramas de compuertas
❒ NOT: X’, X, ~X
❒ AND: X•Y, XY, X∧Y
❒ OR: X+Y, X∨Y

X
Y
Z
X Y Z
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Z
X
Y
X
Y
Z
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Z
X
Y
❒ NAND
❒ NOR
❒ XOR
X ⊕ Y
❒ XNOR
X = Y

T1
T2
A
B
C
D
T2
T1
Z A
B
C
D
Z
❒ Existe mas de una forma de mapear
expresiones a compuertas
❍ e.g., Z = A’ • B’ • (C + D) = (A’ • (B’ • (C + D)))
❍ Como sería usando compuertas?

Representaciones: diagrama temporal
❒ Un diagrama temporal es una representación de las
formas de las ondas de entradas y salidas de los
circuitos.
❒ Los bordes no se alinean exactamente (toma tiempo
para que una compuerta cambie de output)

❒ Las señales de ondas se pueden apreciar usando
varias herramientas como: un simulador, usando un
analizador lógico o un osciloscopio
❒ Retardos de propagación en compuertas pueden
causar que las señales de entrada de otras
compuertas en cascada tengan carreras
❒ Estas carreras pueden causar errores o
perturbaciones (glitches)
❒ Los tiempos de propagación son acumulativos para
compuertas en cascada

❒ Ejemplo: y = x + x’
Como seria la perturbación?
X
X’
Y
X
X’
Y
t
perturbación
Carrera en señales de entrada

Representaciones: diagramas de Venn
❒ Los diagramas de Venn provienen de la rama de las
matemáticas conocida como teoría de conjuntos.
❒ Estos diagramas son usados para mostrar gráficamente
la relación entre diferentes conjuntos
❒ Son equivalentes a las tablas de verdad al mostrar todas
las relaciones lógicas entre los conjuntos de interés
❒ Ejemplos:
A B
A · B
A + B
(A + B)’ (A + B)’

booleanas

Funciones de n variables
❒ Si hay n variables la tabla de verdad tendrá 2n filas.
Cada fila tiene como resultado un 0 o un 1.
❒ El numero de posibles funciones (que resultan en 0 o
1) crece rápidamente, en termino de n es: 22ⁿ
❒ n = 0 indica una función con 0 variables.
X1
X2
F
Xn

X Y f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Funciones de n variables
❒ Ejemplo: para n=2 se tienen 22ⁿ = 16 funciones
❒ Como son las funciones equivalentes a la tabla?
❒ f0=0, f1=XY, f2=XY’, f3=X, f4=X’Y, ..., f14=X’Y’ + X’Y + XY’= A’ +
B’ = (AB)’, f15=1
X
Y
F
0
XY
X Y
X + Y
Y’ X’
1
X xor Y
X nor Y=(X + Y)’
X = Y X nand Y=(XY)’

Conjuntos funcionalmente completos
❒ Cualquier expresión booleana puede ser
escrita mediante los operadores AND, OR y
NOT
❒ Estos conjuntos constituyen un conjunto
funcionalmente completo

❒ La función NAND también es funcionalmente
completa ya que puede implementar AND, OR
y NOT:
❍ NAND(A,B) = AB
❍ NAND(A,A) = A
❍ NAND(A, B) = A+B

❒ La función NOR también es funcionalmente
completa ya que puede implementar AND, OR
y NOT:
❍ NOR(A, B) = A + B
❍ NOR(A,A) = A
❍ NOR(A, B) = AB
❒ Todas estas funciones se pueden generalizar
a funciones de n variables

Actividad:
❒ Determine la función de álgebra booleana
para un sumador de un bit
❒ Inputs: A, B, Carry-in
❒ Outputs: Sum, Carry-out
A
B
Cin
Cout
S
A A A A A
B B B B B
S S S S S
Cin
Cout

Actividad:
❒ Determine la tabla de verdad y la función de álgebra
booleana para un sumador de un bit
❒ Inputs: A, B, Carry-in
❒ Outputs: Sum, Carry-out
❒ Como minimizar usando álgebra booleana?
A
B
Cin
Cout
S
A A A A A
B B B B B
S S S S S
Cin
Cout
A B Cin Cout S
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Cout = A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
S = A’ B’ Cin + A’ B Cin’ + A B’ Cin’ + A B Cin

Minimizar
❒ Usando teoremas para minimizar el sumador
❒ Cuales son los criterios de interés al minimizar?
Cout = A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
= A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin + A B Cin
= A’ B Cin + A B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
= (A’ + A) B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
= (1) B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
= B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin + A B Cin
= B Cin + A B’ Cin + A B Cin + A B Cin’ + A B Cin
= B Cin + A (B’ + B) Cin + A B Cin’ + A B Cin
= B Cin + A (1) Cin + A B Cin’ + A B Cin
= B Cin + A Cin + A B (Cin’ + Cin)
= B Cin + A Cin + A B (1)
= B Cin + A Cin + A B sumar terminos para
factorizar

Minimizar
❒ Algunos criterios de interés al minimizar son:
❍ Criterios de reducción
• Minimizar compuertas
• Minimizar numero de entradas a las compuertas. Esto
corresponde a minimizar el numero de literales y reduce el
numero de transistores en cada compuerta (reduce el costo)
• Disminuir el numero de niveles, esto aumenta la velocidad de
respuesta del circuito implementando la función
❒ Siempre van a existir compromisos entre velocidad y tamaño. Se
suele denominar compromiso tiempo-espacio.
❒ Diferentes implementaciones de la misma función tienen diferentes
comportamientos:
❍ retardos son diferentes
❍ perturbaciones (glitches) pueden ocurrir
❍ otras variaciones por diferencias en el numero de compuertas y
estructura

A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Hay que elegir entre diferentes
realizaciones de una función
realización de dos niveles
compuerta XOR (fácil de
dibujar pero mas costosa)
implementación multinivel
compuertas con menos inputs

Hay que elegir entre diferentes
realizaciones de una función
❒ Las tres implementaciones anteriores son funcionalmente
equivalentes pero tienen diferencias en su
comportamiento

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