DEMOSTRACIONES

1. GRADO 11

2. ESTANDAR: GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas geométricas, analizar sus
estructuras, características, propiedades y relaciones para entender y
descubrir el entorno físico.
EXPECTATIVA 4:
Desarrolla y aplica los métodos generales de prueba en la
solución de problemas y formula las justificaciones para los
teoremas básicos de la Geometría Euclidiana.
INDICADOR:
Establece la prueba directa ó indirecta para determinar si
una proposición matemática es cierta.

3. INTRODUCCION
 En la siguiente unidad, se estudia la relación de ángulos,
segmentos especiales en un triangulo. Una de las
aplicaciones reales de la geometría en la vida cotidiana.
En ella se utilizara el razonamiento directo el cual
comienza con una hipótesis cierta y demuestras que la
conclusión es cierta. Con el razonamiento indirecto,
asumes que la conclusión es falsa y luego muestras que
esta suposición te conduce a una contradicción de la
hipótesis.

4. JUSTIFICACION
 La prueba directa se puede utilizar para resolver
segmentos especiales en triángulos, aplicables a la
ingeniería, deportes y la física. Por otro lado el
razonamiento indirecto se emplea usualmente en el
sistema legal y en avisos y clasificados.

5. Prueba Directa o Indirecta
 Establecerá la prueba directa ó indirecta para determinar si
una proposición matemática es cierta.

6. OBJETIVOS
 Identificara y utilizara los segmentos especiales de los
triángulos.
 Demostrara los triángulos rectángulos congruentes.
 Reconocerá y aplicara las relaciones existentes entre los
lados y los ángulos de un triangulo.

7. 11.6.2

8. Teoremas y Postulados importantes
 Teorema (LL); Lado, Lado
Si los catetos de un triangulo rectángulo son congruentes con los correspondientes
catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.
 Teorema (HA); Hipotenusa, Angulo
Si la hipotenusa y un ángulo de un triangulo rectángulo son congruentes a la
hipotenusa y al ángulo agudo correspondiente de otro triangulo rectángulo, entonces
lo dos triangulo son congruentes.
 Teorema (CA); Cateto, Angulo
Si un cateto y un ángulo agudo de un triangulo rectángulo son congruentes al
correspondiente cateto y ángulo de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos
con congruentes.

9. Ejemplo 1: Teorema (LL); Lado, Lado
 Prueba del Teorema (LL)
Dado: DEF y RST son triángulos rectángulos.
D
Ey S son ángulos rectos.
EF ST
ED SR
R Prueba: DEF RST
E F
Demostración:
Se da que EF ST , ED SR y E y S , son
ángulos rectos. Como todos los ángulos
rectos son congruentes, E y S . Por tanto,
por el teorema LL, DEF RST .
S T

10. Ejemplo 2: Teorema (HA); Hipotenusa, Angulo
Puedes utilizar el teorema HA para completar las demostraciones que
involucran triángulos rectángulos.
Dado: CB es una altura de ΔACD.
ΔACD es triángulos isósceles con lados C
A D
CA y CD.
B
Prueba: ABC ΔDBC

11. Ejemplo 3: Teorema (CA); Cateto, Angulo
Encuentra los valores de x y y de tal manera que el triangulo ABC sea
congruente al triangulo DEF. B
580
Asume : ABC DEF . Luego B E y AC FD.
m B m E AC FD (47 – 8x)cm
58 3 y 20 47 8x 15
78 3y 8x 32
26 y x 4 15cm
Por CA, ABC DEF para x 4 y y 26. (3y – 20)0

12. Práctica
Halla el valor de x si el triangulo ABC es congruente al triangulo XYZ, por
el teorema dado. A su vez halla la medida del segmento XZ.
AB 2 x 6, BC 15, AC 3x 8, YZ 20, XY x 8; por ( LL).
Solución: Y
20
Sustituye cada segmento del triangulo
por la expresión dada. Z x 8
mAB mXY mZY mBC opcional
2x 6 20 x 8 15 C 3x 8
2x 20 6 x 15 8
15
2x 14 x 7
2x 6
x 7
Halla la mXY :
m XY x 8
m XY 7 8 mXY 15
Por lo tanto, mXY mBC

13. 11.6.2

14. Pasos a seguir para escribir una
demostración indirecta.
 Asume que la conclusión es falsa.
 Muestra que la suposición conduce a una contradicción de
la hipótesis u otro hecho, como un postulado, teorema o
corolario.
 Observa que la suposición tiene que ser falsa y que por
consiguiente la conclusión debe ser verdadera.

15. M N
Ejemplo 1: 1 2 3
Dado : 1 es un angulo exterior del MNP.
4
Pr ueba : m 1 m 4 P
m 1 m 3
Demostracion Indirecta :
Paso 1: Haz la suposicion que m 1>m 3 y m 1>m 4. Asi
m 1 m 3 y m 1 m 4.
Paso 2: Solo mostraremos que la suposicion m 1 m 3 nos conduce a
una contradicion, pues el argumento para m 1 m 4 utiliza el
mismo razonamieto.
m 1 m 3, significa que cualquiera, m 1 = m 3 o m 1 < m 3.
Se necesita analizar ambos casos, veamos;

16. Caso 1 : m 1 m 3
Como m 3 m 4 m 1 por el teorema de angulo
exterior tenemos m 3 m 4 m 3 por sustitucion.
Entonces m 4 0, el cual contradice el hecho de que
la medida de un angulo es mayor que cero.
Caso 2 : m 1 m 3
Por el teorema del angulo exterior, m 3+m 4=m 1.
Como medida de los angulos es positiva, la definicion de
desigualdad implica m 1>m 3 y m 1>m 4. Esto
contradice la suposicion que m 1 m 3 y m 1 m 4.

17. Ejemplo 2:
Determina si utilizando STU VUT,
usando la informacion dada.
Justifica tu respuesta; V
1. S V si, por el teorema LA. S
2. SU VT si, por el teorema HL.
3. STU y VUT son angulos rectos no
Escribe dos columnas con tu prueba:
Dado: STU y VUT son angulos rectos;
SU VT .
Prueba: S V
1. STU y VUT son angulos rectos; SU VT . Dado
2. STU y VUT STU y VUT, son angulos rectos; Def .
3. TU UT Congruencias de segmentos es reflexiva
4. STU VUT Teorema HL
5. S V Por lo tanto, son congruentes.

18. B
Ejercicio de práctica
Escribe una prueba indirecta.
Dado: m 1 m 2
Prueba: Asume que ABC es isosceles con vertice B.
1. ABC Dado A 1 2 C
2. AB BC Por definicion de isosceles.
3. m 1 = m 2 Los angulos opuestos de un lado de
un triangulo, son congruentes.
4. m 2 = m 2 m B Contradicion. Def.
5. ABC No es un triangulo isosceles con vertice en B.

19. REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS:
 Geometria. (1998). Westerville, OH: Glencoe/McDraw-
Hill.