Contiene ejercicio de trigonometría

1. EJERCICIOSYPROBLEMASDETRIGONOMETRIA
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Ejercicios y problemas de Trigonometría
Comprobar las identidades:
 1
 2
Simplificar las fracciones:
 1
 2
 3
Calcular las razones de 15º (a partir de las de 45º y 30º).
Desarrollar: cos(x+y+z)
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
 1
 2
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
 1
 2
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
 1
 2

2. EJERCICIOSYPROBLEMASDETRIGONOMETRIA
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Resuelve los sistemas de ecuaciones trigonométricas:
1
2
3
Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B =
72° y a=20m.
Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B =
72° y a=20m.
El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las
tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de
longitud 36 m.
El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las
tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de
longitud 36 m.
TRIGONOMETRÍA. EJERCICIOS
1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

3. EJERCICIOSYPROBLEMASDETRIGONOMETRIA
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 3 rad
 2π/5rad.
 3π/10 rad.
2. Expresa en radianes los siguientes ángulos:
 316°
 10°
 127º
3. Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°. Calcular las
restantes razones trigonométricas del ángulo α.
4. Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes
razones trigonométricas del ángulo α.
5. Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones
trigonométricas.
6. Calcula las razones de los siguientes ángulos:
 225°
 330°
 2655°
 −840º
7. Comprobar las identidades:
1
2
3
4
5
8. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°.
Resolver el triángulo
9. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°.
Resolver el triángulo.
10. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m.
Resolver el triángulo.
11. Un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver
el triángulo.
12. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga.
Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
13. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un
pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del
pueblo se halla?

4. EJERCICIOSYPROBLEMASDETRIGONOMETRIA
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14. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de
24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°
15. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de
sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de
70°.
16. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del
terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos
acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
17. La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los
radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.
TRIGONOMETRÍA. PROBLEMAS
Problema 1
El viento troncha un árbol y la punta se apoya en el suelo en un punto situado a 20 metros
del tronco formando un ángulo de 30º con el plano horizontal. ¿Qué sombra estaba dando
dicho árbol antes de troncharse si la inclinación de los rayos de sol en ese momento era de
60º?
Solución: 34´63 m
Problema 2:
El perímetro de un triángulo equilátero es 18 m. Calcular su área.
Solución: 15´588 m2
Problema 3:
En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 8 cm, y los ángulos iguales miden 30º.
Calcular el área y el perímetro del triángulo.
Solución: Area: 9´238 cm2
Perímetro: 17´238 cm
10. Calcular la
distancia d en
los
aparcamientos de la figura 10.
11. Calcular el área de un decágono regular que tiene de lado 8 cm
12. Una goma elástica está sujeta, sin estirarla, a los puntos A y B que distan 1'5 m. La goma está
situada en el segmento AB. La deformación de la goma es proporcional al
peso que soporta. Del centro C de la goma se cuelga un peso y el centro
pasa a ocupar la posición D. Si se aplica el doble del peso el centro, éste
pasa a ocupar la posición E. Sabiendo que el ángulo a=19º, hallar el
ángulo b.
13. Hallar el mayor de los ángulos de un triángulo ABC que tiene sus
lados en proporción 4:5:7.
14. Un caminante avanza con velocidad constante por la carreterra ABC
que forma en B un ángulo de 150º. Parte de A, a media hora está en B y
dos horas después está en C. Hallar el tiempo que habría tardado en ir de A a C en linea recta.
15. Las diagonales de un romboide miden 11m y 7 m respectivamente y forman un ángulo de 50º.
Calcular todos los lados del romboide.

5. EJERCICIOSYPROBLEMASDETRIGONOMETRIA
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APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA
1. Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra
de 82 cm. de longitud en el suelo.
2. Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53 grados para
el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo. ¿Aproximadamente qué tan lejos
está el objeto del punto en el suelo que está directamente bajo el observador?
3. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal.
Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la
cuerda se sostiene a 1,3 m. del suelo.
4. Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un
minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la velocidad
aproximada del avión.
5. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la
misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.
6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y
observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con
un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.
7. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de
la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40 grados y 50
grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del
río.
8. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm.
sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que forman las
visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál es la altura del
cuadro?
9. Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la
escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la
pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?
10. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m. respectivamente. El
primer poste es 7,5 m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y la
longitud de cada poste.
11. Un árbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ángulo de elevación del árbol, desde
un punto situado a 180 m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por encima o por debajo
del nivel del señalado punto y calcule la diferencia de nivel.
12. ¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es 46 grados, y
tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados?
13. Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5 m. Desde un punto situado en la playa se
observa que los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del faro son 47 grados
y 45 grados. Calcule la altura del arrecife.
14. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a
lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48
grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a
la cual están sujetos los cables?
15. Desde lo alto de una torre de 200 m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión de dos botes
son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que separa a dichos botes.
16. Un topógrafo situado en C, localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si C está a
5.000 m. de A y a 7.500 m. de B y el ángulo ACB mide 35 grados. ¿Cuál es el ancho del lago?

6. EJERCICIOSYPROBLEMASDETRIGONOMETRIA
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17. Dos guardabosques descubren la misma fogata clandestina en dirección N 52º O y N 55º E, de sus
posiciones respectivas. El segundo guardabosque estaba a 1,93 km. al Oeste del primero. Si el
guardabosque más cercano al fuego es el que debe acudir. ¿Cuál de ellos tiene que ir y cuánto
tendrá que caminar?
18. Un terreno tiene la forma de un triángulo isósceles. La base está frente a un camino y tiene una
longitud de 562 m. Calcule la longitud de los lados si estos forman un ángulo de 23 grados.
19. Un barco sale de un puerto y viaja hacia el Oeste. En cierto punto gira 30 grados Norte respecto del
Oeste y viaja 42 km. adicionales hasta un punto que dista 63 km. del puerto. ¿Qué distancia hay
del puerto al punto donde giró el barco?
20. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación de
15 grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de
depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al avión bajo un
ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en un mismo
plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil , también calcule la altura a la que
vuela el avión en ese instante.
21. Un terreno triangular está demarcado por una pared de piedra de 134 m., un frente de 205 m. hacia
la carretera y una cerca de 147 m. ¿Qué ángulo forma la cerca con la carretera?
22. Una escalera de mano, cuyo pie está en la calle, forma un ángulo de 30 grados con el suelo, cuando
su extremo superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la calle, y forma un
ángulo de 40 grados cuando se apoya en un edificio situado en el otro lado de la calle. Si la
longitud de la escalera es de 50 m., ¿cuál es el ancho de calle?
23. Un árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra un
triángulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de 35 grados con el piso, y la distancia,
medida sobre el piso, desde el tronco hasta la cúspide caída es de 5 m.. Halle la altura que tenía el
árbol.
24. Un observador detecta un objeto volador no identificado situado estáticamente en un punto del
espacio. El observador, por medio de un telémetro y un sextante, determina que el OVNI se
encuentra a 4460 m. en un ángulo de elevación de 30 grados. De pronto el OVNI descendió
verticalmente hasta posarse en la superficie terrestre. Determine a qué distancia del punto de
observación descendió este objeto y qué distancia debió descender hasta tocar tierra.
25. El ángulo de una de las esquinas de un terreno en forma triangular, mide 73 grados. Si los lados,
entre los cuales se encuentra dicho ángulo, tienen una longitud de 175 pies y 150 pies, determine la
longitud del tercer de los lados.

7. EJERCICIOSYPROBLEMASDETRIGONOMETRIA
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LA TRIGONOMETRIA Y LA VIDA DIARIA
La trigonometría, y en general toda la matemática, siempre está relacionada inherentemente con la vida
diaria, al igual que todas las otras ciencias.
Aunque no es de forma consciente, consciente en el sentido de tener presente las razones o fundamente
que se emplean, pero todas las personas usan trigonometría a diario y a cada instante.
Por ejemplo, cuando te recargas en la silla columpiandote un poco como si fuera una mesedora, tu
cerebro realiza complejos cálculos matemáticos para mantener el equilibrio y no caerte, entre otros
considera el ángulo que forma tu espalda con el soporte de la silla para obtener algo llamado "ángulo
crítico" que soporte de forma "óptima" tu peso sin que pueda irse para atrás la silla.
Otros ejemplos:
1. La trigonometría sirve para colocar las luces de los anuncios espectaculares de tal forma que el
número de lámparas sea el menor y que éstas enfoquen un área mayor del anuncio.
2. En algunos fenómenos físicos, en donde resulta muy complejo el análisis en tiempo, las relaciones
trigonométricas son muy útiles para un enfoque denominado "análisis en frecuencia".
3. En todas las ciencias físicas se emplea la trigonometría para el estudio de varios procesos, por
ejemplo en los procesos llamados de Control, o en procesos eléctricos (en las "respuestas" que
otorgan algunos componentes electrónicos al paso de un voltaje).
4. En aeronáutico, en especial la militar, la trigonometría permite calcular con muchísima precisión el
lanzamiento de un misil. Particularmente en las relaciones con un fenómeno llamado "efecto
Coriolis" que influye en la trayectoria de cualquier cuerpo en la tierra.
5. La trigonometría sirve para saber el ángulo de inclinación más óptimo para hacer una rampa para
discapacitados, o para que las cargas de algún producto sean llevados a otro lugar.
6. La trigonometría facilita el análisis de tensiones en estructuras, pues simplifica complejas
formaciones en figuras geométricas simples como triángulos.
7. Inclusive la trigonometría, de forma sustancial, tiene influencia en los enfoques de ciencias
humanísticas, como la literatura y la filosofía, pues se pueden dislumbrar problemas cuyo análisis
se simplifica con el significado de relaciones como las formas "polares" de una expresión que están
bajo el principio de Euler.
8. En los juegos de video se emplean éstas relaciones trigonométricas para calcular los ángulos de
enlace para formar una figura.
9. El estudio de los fenómenos meteorológicos también emplean la trigonometría para analizar las
formas de las mareas, el movimiento de las masas de aire, etc.
10. En los televisores, existe un ángulo al que se proyectan los electrones en el tubo de rayos catódicos,
para representar las imágenes en la pantalla.
Las aplicaciones son prácticamente infinitas, y van desde lo más simple como lanzar una
piedra, hasta obtener el análisis del movimiento de masas de aire o de agua (lo que implica el
uso de otras herramientas matemáticas más complejas, como las ecuaciones diferenciales, los
tensores, etc.)
Es posible afirmar que cualquier cuerpo y fenómeno es susceptible al análisis matemático,
teniendo en cuenta, como ya se mencionó anteriormente, que en muchos casos se deben
considerar otras herramientas más complejas.
Recuperación de autos mediante triangulación (recuperación satelital).
Las aplicaciones más obvias tienes que ver con la ubicación de cosas, los radares, el GPS,
(aeronáutica, astronomía, topografía, etc) que triangulan la posición de un objeto en 3
dimensiones, midiendo distancias y los ángulos. Y tienen exactitud al milímetro