TEORIA DE CAMPOS

1. ALGEBRA
 Justo Andrés Mercado Q

2. UNIDAD I
LOGICA Y ESTRUCTURAS
ALGEBRAICAS

3. Estructuras algebraicas
 a) GRUPO: dado el conjunto G distinto del
vacío y “*” LCI en G, el par (G,*) es grupo
(o tiene estructura de grupo) sí y sólo si se
cumplen las propiedades:
1) Asociatividad de “*”
2) Existencia de elemento neutro para “*”
3) G simetrizado para “*” (todos los elementos
de G tienen inverso para “*”)

4.  b) GRUPO ABELIANO (o CONMUTATIVO)
(G,*) grupo y además “*” es conmutativa en G
Ejemplos:
Analizar si cumplen con alguna de estas
estructuras los pares:
(N,-) (N,+) (No,+) (Z,+) (Q,+) (R,+)
Idem para cada conjunto con “.” agregando
además los casos (Z-{0},.) (Q-{0,.}) (R-{0},.)

5. Propiedades de los grupos:
 1) El elemento neutro es UNICO
 2) El inverso de cada elemento es
UNICO
 3) La LCI del grupo cumple la propiedad
cancelativa (a derecha y a izquierda)
a*b=a*c implica: b=c (a izquierda)
x*y=z*y implica: x=z (a derecha)

6.  4) El inverso del inverso es el elemento
original: (a´)´=a
 5) Las ecuaciones a * X = b y X * a = b
tienen SOLUCION UNICA
 6) El inverso de una composición es igual a la
composición de los inversos en orden
cambiado:
( a * b )’= b’ * a’
Ejercicio: demostrarlas con justificación

7. c) Estructura de “Cuerpo”
 (K,*,T) es “cuerpo” sí y sólo sí:
 1°) (K,*) es grupo abeliano (donde “e” es el
neutro de “*” y “x´” es el “inverso” de x para
“*”
 2°) (K-{e},T) es grupo (donde “E” (letra
épsilon griega) es el neutro de “T”, y X(-1) (x
a la -1) es el inverso de x para “T”)
 3°) “T” es distributiva a derecha y a izquierda
respecto de “*”:

8. Distributividad “a derecha”:
Para todos x,y,z pertenecientes a K:
(x*y)Tz=(xTz)*(yTz) (ejemplo: “.”
distributiva respecto de “+”)
Distributividad “a izquierda”:
Para todos x,y,z pertenecientes a K:
xT(y*z)=(xTy)*(xTz) (ejemplo: “.”
distributiva respecto de “+”

9. d) Cuerpo conmutativo o
Campo
 (K,*,T) cuerpo y “T” conmutativa
Esto equivale a:
(K,*,T) cuerpo conmutativo sí y sólo si:
1°) (K,*) grupo abeliano
2°) (K-{e},T) grupo abeliano
3°) “T” distributiva respecto de “*”

10. Ejemplos:
 (Q,+,.)
 (R,+,.)
Son cuerpos conmutativos (o campos)
Ejercicio: Indicar si los siguientes son
cuerpos (si no lo son justificar porqué)
(N,+,.) (No,+,.) (Z,+,.) (Z-{0},+,.)
(Q-{0},+,.) (R-{0},+,.)

11. Propiedad de cuerpos:
 En todo cuerpo (K,*,T) la ecuación:
a T X = b tiene solución UNICA
para todo “a” distinto de “e” (siendo “e”
el neutro para “*”
Ejercicio: demostrarla (con justificaciones)