SUB ANILLOS

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y Valle
Alma Máter del Magisterio Nacional
FACULTAD DE CIENCIAS
Escuela Profesional de Matemática e Informática
MONOGRAFÍA
ESTRUCTURA DE ANILLO
Estructura de anillo. Propiedades. Elementos idempotentes y nilpotentes.
Divisores de cero, dominio de Integridad o dominios enteros. Subanillos.
Ideales. Ideales maximales y primos. Anillo Cociente. Características de
Anillos. Homomorfismo de anillos. Importancia de la Estructura de
anillo en el currículo de la educación secundaria.
Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0579-2019-D-FAC
Presentada por:
Velasque Pichihua, Milagros Noemi
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación
Especialidad: Matemática e Informática
Lima, Perú
2019

2. ii
MONOGRAFÍA
ESTRUCTURA DE ANILLO
Estructura de anillo. Propiedades. Elementos idempotentes y nilpotentes.
Divisores de cero, dominio de Integridad o dominios enteros. Subanillos.
Ideales. Ideales maximales y primos. Anillo Cociente. Características de
Anillos. Homomorfismo de anillos. Importancia de la Estructura de
anillo en el currículo de la educación secundaria.
Designación de Jurado Resolución N° 0579-2019-D-FAC
----------------------------------------------------------
Dr. Fernández Saucedo, Narciso
Presidente
---------------------------------------------------------
Mg. Espinoza Rojas, Hernán José
Secretario
-------------------------------------------------------------
Lic. Mendoza García, Julio Alejandro
Vocal
Línea de investigación: Currículum y formación profesional en educación.

3. iii
Dedicatoria:
A mis padres por su apoyo incondicional,
durante mis estudios y a Dios por guiar
siempre mi camino.

4. iv
Índice de contenidos
Portada………………………………………………………………………………............i
Hoja de firmas de jurado…………………………………………………………................ii
Dedicatoria…………………………………………………………………………………iii
Índice de contenidos………………………………………………………..……………...iv
Lista de figuras………………………………………………………………………...…...vi
Introducción…………………………………………………………………………….…vii
Capítulo I. Estructura de anillo……………………………………………………..………8
1.1 Definición……………………………………………………………..………………..8
1.2 Propiedades de anillos…………………………………………………………...…….11
1.3 Elementos idempotentes en un anillo……………………………………………...…..13
1.3.1 Definición………………………..…………………………………...................13
1.3.2 Teorema………………………..………………………………………………..14
1.4 Elementos nilpotentes en un anillo……………………………....................................15
1.4.1 Definición……………………………………..………………………………...15
1.4.2 Teorema………………………………………………..………………………..15
Capítulo II. Divisores de cero……………………………………………………..………16
2.1 Definición…………………….……………………..………………………………...16
Capítulo III. Dominio de integridad o dominio entero………………..…………………..17
3.1 Definición……………………………..………………………………………………17
3.2 Teorema…………………………..…………………………………………………...18
Capítulo IV. Subanillo…………………………..…………………………………...........20
4.1 Concepto de subanillo…………..………………...………………………………...…20
4.2 Definición…………………………………………………………………………..…20

5. v
Capítulo V. Teorema de caracterización de subanillos……………………........................23
Capítulo VI. Ideales de un anillo………………………………………………..………...25
6.1 Definición…………………………………………………………………..…………25
6.2 Definición………………………………………………………………………..……25
6.3 Teorema…………………………………………………………………….................26
6.4 Ideales primos……………………………………………………………………........27
6.4.1 Teorema………………………………………………........................................27
6.5 Ideales maximales………………………………………………………………...…...28
Capítulo VII. Anillo cociente………………………………………………………...……29
7.1 Teorema……………………………………………………………………….............29
7.2 Característica de anillo……………………………………………………………...…30
7.2.1 Propiedad……………………………………………………………………......31
Capítulo VIII. Homomorfismo de anillos……………………………………………...….32
8.1 Teoremas…………………………………………………………………………...….33
Capítulo IX. Importancia de la estructura de anillos en el currículo de la educación
secundaria……………………..…………………………………………………………..34
9.1 Importancia………………………………………….………………..……………….34
Aplicación didáctica……………………………………………………..………………..35
Síntesis…………………………………………………………………..………………...42
Apreciación crítica y sugerencias……………………………………………..…………..44
Referencias……………………………………………..…………………………………46
Apéndice(s)………………………………..…………..…………………………………..47

6. vi
Lista de figuras
Figura 1. Representa la imagen de Amalie Emmy Noether…………………………….....47
Figura 2. Representa la imagen de David Hilbert.……………………..…………….........48

7. vii
Introducción
La presente monografía ha sido elaborada como soporte para rendir el examen de
suficiencia profesional y así obtener la licenciatura. El tema que se me asignó es la
Estructura de anillo.
En este trabajo monográfico se da a conocer la importancia de la estructura algebraica de
un Anillo, teniendo en cuenta los conceptos previos de los grupos. Debido a que es de
sumo interés para la comprensión y entendimiento de la estructura algebraica de los
anillos. Los temas que están contenidos en el trabajo monográfico, se dan principalmente a
partir de ciertos sistemas algebraicos que están constituidos con un solo propósito que es el
estudio de la Estructura algebraica de Anillo. Además, los Anillos se manifiestan a partir
de los números enteros, en donde se definen dos leyes de composición interna, las cuales
son llamadas adición y multiplicación.
Para ahondar más sobre las estructuras algebraicas de anillo, la investigación está
estructurada en IX capítulos: el capítulo I, las estructuras de anillo; el capítulo II, divisores
de cero; el capítulo III, dominio de integridad o dominio entero; el capítulo IV, el
subanillo; el capítulo V, el teorema de caracterización de subanillos; el capítulo VI, ideales
de un anillo; el capítulo VII, sobre el anillo cociente; el capítulo VIII, homomorfismo de
anillo; el capítulo IX, importancia de la estructura de anillos en el currículo de la
educación secundaria. Además, se presenta la aplicación didáctica, síntesis, apreciación
crítica y sugerencias, referencias y apéndices.
Por último, las estructuras algebraicas, resultan ciertamente productivas en la enseñanza
del nivel secundario, siendo esto de gran aporte, y dando como respuesta del porque las
propiedades, asociativas, conmutativas y distributivas son aplicadas en el área de
matemática.

8. 8
Capítulo I
Estructura de anillo
1.1 Definición
Dado la terna (A , + , .) un anillo, se dice que tiene la estructura de anillo, si y sólo si:
1. (A , +) es un grupo abeliano.
2. (A , .) es un semigrupo.
3. El producto es distributivo a izquierda y derecha respecto a la adición.
a , b, c ∊ A: {
( )
( )
De esta manera, también, sucede que la segunda ley de composición es
conmutativa diremos que el anillo (A, + , .) es conmutativo. Si existe elemento
neutro o identidad respecto del producto, que denotamos con 1, entonces se
llamará anillo con identidad o con unidad. Un anillo con identidad cuyos
elementos no nulos son inversibles se llama anillo de división (Rojo, 1995,
p.265).
Ejemplo 1: (contraejemplo)
(ℤ , + , .) es anillo.
Demostración:
i) (ℤ,+) debe ser grupo abeliano.

9. 9
ii) + es asociativa en ℤ
iii) 0 es elemento neutro
Axioma: Inverso aditivo u opuesto
∀ m ∊ ℤ / -m ∊ ℤ, m + ( -m) = 0
Su negación:
 m ∊ ℤ / ∀ n ∊ ℤ, m + n ≠ 0
 m ∊ ℤ / ~ ( n ∊ ℤ, m + n = 0)
Ejemplo 2:
 2 ∊ ℤ / ∀ n ∊ ℤ, 2 + n ≠ 0
Negación:
 2 ∊ ℤ / ~ ( n ∊ ℤ, 2 + n = 0)
Es decir, no tiene neutro para la adición en ℤ, entonces no es grupo.
∴ (ℤ , + , .) no es anillo
Ejemplo 3:
(ℤ, + , .) es anillo.
+ : ℤ x ℤ ⟶ ℤ . : ℤ x ℤ ⟶ ℤ
(a, b) ⟶ a + b (a, b) ⟶ a . b
Esto es, la adición “+” y la multiplicación “.” Son L.C.I. definidas en ℤ.
i) (ℤ, +) es un grupo abeliano.
Para ello se comprueba:
(a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∊ ℤ (asociatividad)
Existe un elemento neutro: ∃ 0 ∊ ℤ / 0 + a = a + 0 = a, ∀ a ∊ ℤ
Todo elemento de A admite un opuesto aditivo.
∀a ∊ ℤ, ∃ –a ∊ ℤ / a + (–a) = (–a) + a = 0
a + b = b + a , ∀ a, b∊ ℤ (conmutatividad)

10. 10
ii) (ℤ, .) es un semigrupo.
Se comprueba:
a . (b . c) = (a . b) . c , ∀a , b , c ∊ ℤ (asociatividad)
iii) Ley distributiva: a . (b + c) = a . b + a . c
(b + c). a = b . a + c . a , ∀ a, b , c ∊ ℤ (distributividad)
*) Luego, es fácil probar que la multiplicación es conmutativa en ℤ x ℤ
∴ (ℤ , +, .) es un anillo.
Ejemplo 4:
Dado como conjunto los enteros residuales módulo 5: ℤ5 = {[0], [1], [2], [3], [4]}
Para cada a = [3] , b = [2] en ℤ5, definimos “+” y “.”:
[3]+ [2] = [3 + 2] = [5] = [0]
Entonces: 0 el resto de dividir 3 + 2 entre 5
[3] [2] = [3 . 2] = [6] = [1]
Entonces: 1 es el resto de dividir 6 entre 5
i) Se puede comprobar que (ℤ5, +) es un grupo abeliano.
ii) (ℤ5, .) es un semigrupo. O sea, la multiplicación es asociativa en ℤ5.
Ejemplo 5:
ii) ∀ [3], ∀ [2] ∀ [1] en ℤ5, se verifica que (ℤ5, .) es semigrupo.
([3] [2])[1] = [3 . 2] [1]
= [(3 . 2) 1]
= [3 (2 . 1)]
= [3] [2 . 1]
= [3] ([2] [1])
iii) Distributivas:
∀ [3], ∀ [2], ∀ [1] en ℤ5

11. 11
([2] + [1]). [3] = [2] [3] + [1] [3]
= [2 . 3] + [1 . 3]
= [6] + [3]
= [9]
= [4]
También se verifica la otra distributividad.
Sean [3], [2] y [1] en ℤ5
[3] . ([2] +[1]) = [3] [2] + [3] [1]
= [3 . 2] + [3 . 1]
= [6] + [3]
= [9]
= [4]
* [3], [2] en ℤ5, se cumple [3] [2] = [3 . 2] = [2 . 3] = [2] [3]
Entonces, la multiplicación es conmutativa en ℤ5.
∴ (ℤ5, +, .) es un anillo.
1.2 Propiedades de anillos
1) Rojo (1995) afirma: “Para el producto de cualquier elemento de un anillo por el neutro
para la primera ley es la siguiente manera” (p.266).
Como hipótesis) (A, + , .) es anillo.
Tesis) a . 0 ∧ 0 . a = 0
Demostración:
Para cualquiera que sea y ϵ A, por Axioma del elemento neutro se verifica:
y + 0 = y
a . (y + 0) = a . y

12. 12
a . y + a . 0 = a . y
a . y + a . 0 = a . y + 0
Entonces, por ley cancelativa en el grupo (A , +)
a . 0 = 0
También se prueba análogamente 0 . a = 0.
Esta propiedad suele enunciarse de la siguiente manera: en todo anillo, el producto por
0 es 0.
2) Rojo (1995) afirma: “Para todo anillo, el producto del opuesto de un elemento, por
otro, es igual al opuesto de su producto” (p.266).
(-a) . b = - (a . b)
Demostración:
Por distributividad y producto por 0, se tiene:
(-a) . b = (– a) . b + a . b
= (– a + a) . b
= 0 . b
= 0
Es decir,
(– a) . b + a . b = 0
Entonces,
(– a) . b = – (a . b)
De manera similar se prueba que a . (– b) = – (a . b)
3) Rojo (1995) afirma: “Para todo anillo, el producto de los opuestos de dos elementos es
igual al producto de los mismos” (p.266).
(-a)(-b) = a . b

13. 13
Demostración:
Empleando reiteradamente la propiedad 2), y por opuesto del opuesto, resulta
(– a) . (– b) = – [a . (– b)]
= – [– (a . b)]
= a . b
4) Rojo (1995) afirma: “Para todo anillo vale la distributividad del producto respecto de la
diferencia” (p.267).
(a – b) . c = a . c – b . c
Demostración:
Por definición, se sabe que a – b = a + (–b). Entonces, aplicando Axioma de distributividad
y la propiedad 2)
(a – b) . c = [a + (– b)] . c
= a . c + (– b) . c
= a . c + [– (b . c)]
= a . c – b . c
1.3 Elementos idempotentes en un anillo
1.3.1 Definición.
Dado (A, + , .) un anillo. Un elemento a de A, se dice que es idempotente, si y sólo si
a2
= a.
Ejemplos:
1) En el anillo de los enteros ℤ, a = 1 es idempotente, sin embargo, -1 no es idempotente.
2) En el anillo ℤ x ℤ con las operaciones usuales, los pares (1;0) y (0;1) son idempotentes.

14. 14
3) En el anillo (ℤ6, + , .) de los enteros residuales módulo 6, se tiene que a = [3] es
idempotente, pues [3]2
= [3].
Prueba:
a2
= [3]2
= [3] . [3]
= [9]
[3]2
= [3]
∴ [3] es idempotente.
4) Dado E un conjunto, ((E) , ∆ , ∩) es un anillo con + = ∆ y . = ∩
En efecto:
∀ A ∊𝒫 (E) , A2
= A ∩ A = A
∴ Todo A ∊ (E) es idempotente.
1.3.2 Teorema.
En un anillo (A, + , . ) con unidad 1, si a es idempotente, entonces 1-a es
idempotente.
Prueba:
(1-a)2
= (1-a) (1-a)
= 1 (1-a) – a (1- a)
= (1 – a) – (a – a2
)
= (1 – a) – (a – a)
= 1 – a – a + a
= 1 - a
∴ (1-a)2
= 1-a, entonces 1-a es idempotente.

15. 15
Nota: Un concepto relacionado con el de elemento idempotente es el de elemento
nilpotente.
1.4 Elementos nilpotentes en un anillo
1.4.1 Definición.
Dado un anillo conmutativo A y con unidad, se dice que un elemento a de A es
nilpotente, si y sólo si an
= 0 para algún natural n distinto de cero.
Ejemplo: En el anillo (ℤ8 , + , .) sea a = [2], existen n = 3 en ℕ
tal que: [2]3
= [2] . [2] . [2] = [8] = [0]
[2]3
= [0]
∴ [2] es nilpotente de grado 3.
1.4.2 Teorema.
Si a es nilpotente para el exponente n, entonces 1-a tiene inverso multiplicativo.
Demostración:
Para esto, es suficiente verificar la siguiente igualdad.
(1-a)( 1 +a + a2
+ a3
+ … + an-1
) = 1-an
= 1. (pues an
= 0)
∴ 1-a tiene inverso multiplicativo.

16. 16
Capítulo II
Divisores de cero
2.1 Definición
Dado A un anillo. Ayres (1969) afirma: “Se dice que un elemento a ≠ 0 es un divisor de
cero, si existe un elemento b ≠ 0 en A tal que” (p.103).
a . b = 0 ∨ b . a = 0.
Ejemplo 1: Ayres (1969) afirma: “Los siguientes anillos ℤ, ℚ, ℝ, ℂ no tienen divisores de
cero, o sea , en cada sistema” (p.103). ab = 0 ⟶ a = 0 ∨ b = 0”
Ejemplo 2: En el anillo (ℤ6 , + , .), para
a = [3] ≠ [0], existe b = [2]≠ [0] en ℤ6 , tal que:
a . b = [3] [2] = [0]
∴ [3] es divisor de cero en ℤ6.
Ejemplo 3: Hallar los divisores de cero del anillo (ℤ8 , + , .),
Dado el anillo (ℤ8 , + , .), para a = [2] ≠ 0, existe b = [3] ≠ 0 en ℤ7, tal que: a . b = [4] .
[2] = [8] = [0]
∴ [4] es divisor de cero en ℤ8.

17. 17
Capítulo III
Dominio de integridad o dominio entero
3.1 Definición
Dado un anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero, es denominado
dominio de integridad. Las ternas (ℤ , + , .) , (ℝ , + , .) y (ℤ3, + , .) son dominios de
integridad. “Esto significa que, si A denota el conjunto de los enteros pares, entonces (A ,
+ , .) es anillo conmutativo, sin divisores de cero y sin elemento unidad; en consecuencia
no es dominio de integridad” (Rojo, 1995, p.272).
Ejemplo 1: Dado el anillo de los enteros residuales módulo 10.
ℤ10 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9]}
Tenemos que [5] es divisor de cero, pues [5] ≠ [0] y existe [4] ≠ [0] en ℤ10, tal que :
[5] [4] = [0] ¿o no? . Análogamente, [5] es un divisor de cero en ℤ10.
∴ ℤ10 no es dominio entero o de integridad.
Ejemplo 2: Los anillos (ℤ, + , . ), (ℚ, + , .), (ℝ, + , .) y (ℂ, + , .) no poseen divisores de
cero.
Es decir, ∀ a ≠ 0 ∧ ∀ b ≠ 0, resulta ab ≠ 0
∴ ( ℤ, + , . ), (ℚ, + , .), (ℝ, + , .) y (ℂ, + , .) son dominios de integridad.
Ejemplo 3: Dado el anillo ℤ5 = {[0], [1], [2], [3], [4]}

18. 18
Si se multiplican dos elementos cualesquiera diferentes de cero en ℤ5, entonces su producto
es diferente de cero, tal como se muestra en la siguiente tabla:
Tabla 1
Multiplicación de clases en ℤ5
[0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4]
[2] [0] [2] [4] [1] [3]
[3] [0] [3] [1] [4] [2]
[4] [0] [4] [3] [2] [1]
Nota. En la tabla anterior, se muestra la multiplicación de clases en ℤ5.
Fuente: Autoría propia.
Es decir: ∀ [a] ∊ ℤ5 , [b] ∊ ℤ5; [a] ≠ 0 ∧ [b] ≠ 0 → [a][b] ≠ 0
O también: [a][b] = 0 → [a] = 0 ∨ [b] = 0
3.2 Teorema
Trujillo, Chirinos, Giles, Yauri y Dávila (2014) aseguran que el anillo (ℤn, +, .) es un
dominio de integridad, sí y sólo si, n es primo. (n ≥2).
Demostración:
⟶) ℤn es dominio entero (hipótesis), demostremos que n es primo.
Supongamos que n no es primo, entonces existen p y q en ℤ+
, tal que:
1 < p < n ∧ 1 < q < n; donde n = pq; luego:
[n] = [p q] = [p] . [q]; pero [n] = [0]
es decir: [p] ≠ [0] ∧ [q] ≠ [0] → [p] . [q] = [0]
Esto significa que ℤn tiene divisores de cero, entonces ℤn no es dominio entero.
Luego, debemos afirmar que n es primo.

19. 19
⟵) n es primo (hipótesis), probemos que ℤn es dominio entero.
Para que ℤn sea dominio entero, se cumple:
[a] [b] = [0] ⇒ [a] = [0] ∨ [b] = [0]
⟺ [a] [b] = [0] ⇒ [a b] = [0]
Por definición de clases de equivalencia:
De [a . b] = [0], por igualdad de clases deduce que a . b es múltiplo de n
De manera equivalente, significa:
n es divisor de a b ⇒ n es divisor de a ∨ n es divisor de b (pues n es primo)
⇒ n / a ∨ n / b
⇒ [a] = [n] ∨ [b] = [n]
⇒ [a] = [0] ∨ [b] = [0]
∴ ℤn es un dominio de integridad.

20. 20
Capítulo IV
Subanillo
4.1 Concepto de subanillo
Rojo (1995) afirma: “Dado (A , + , .) un anillo. Un subanillo de (A , + , .) es una parte no
vacía de A que tiene estructura de anillo con las mismas leyes de composición” (p.272).
4.2 Definición
Dado el subconjunto no vacío S ⊂ A es un subanillo de (A , + , .) si y sólo si (S ,
+) es subgrupo de (A , +), y además S es cerrado para el producto. Es claro que
una parte no vacía S ⊂ A es un subanillo de (A , + , .) si y sólo si para todo par de
elementos a ∊ A y b ∊ A se verifica a – b ∊ A y a . b ∊ A (Rojo, 1995, p.272).
Ejemplo 1: Si m ∊ ℤ. Entonces el conjunto de todos los múltiplos enteros de m
S = {r . m / r ∊ ℤ} es un subanillo de (ℤ , + , .).
En efecto, si x ∊ S ˄ y ∊ S, entonces x = r . m ˄ y = r’ . m.
Luego x – y = r . m – r’. m = (r – r’) . m = r’’ . m
Es decir
x – y ∊ S

21. 21
Por otra parte, Rojo (1995) afirma:
“ x ∊ S ˄ y ∊ S ⇒ x = r . m ˄ y = r’. m ⇒
⇒ x . y = (r . m . r’) . m ⇒ x . y = r’’. m ⇒ x . y ∊ S”
∴ S es un subanillo del anillo (ℤ , + , .) (p.272).
Ejemplo 2: Trujillo et al. (2014) refieren que dado el anillo (ℤ , + , .) de los números
enteros y S = {3 k / k ∊ ℤ}, el conjunto de los números enteros que son múltiplos de 3. Es
decir 3ℤ.
Veamos que (S , + , .) es un subanillo de (ℤ , + , .).
i) (S , +) es subgrupo conmutativo de (ℤ , +): Por el teorema de caracterización de
subgrupos:
∀ a , b ∊ S , a = 3t , b = 3h; t , h ∊ ℤ.
⟹ a – b = 3 (t –h ); (t –h ) ∊ ℤ ⟹ a – b ∊ 3ℤ.
∴ (S , +) es un subgrupo conmutativo de (ℤ , +). Además; + es conmutativa en S, pues S
⊂ ℤ. Además, como a y b son enteros, entonces se hereda la propiedad conmutativa
(abeliano).
ii) (S , .) es un semigrupo.
∀ a , b, c ∊ S; a = 3 h, b = 3k, c = 3 t; h, k, t en ℤ.
(a . b). c = ((3h) (3k))3t; h, k, t ∊ ℤ
= (3h) ((3k) (3t))
= a. (b . c)
∴ . es asociativa.
Es decir (3ℤ, .) es semigrupo.
iii) Ley distributiva, se cumple porque se hereda la propiedad distributiva de . respecto a +
en ℤ.
∀a = 3 h, b = 3k, c = 3t ∊ S , se cumple:

22. 22
a (b + c) = (3h)(3k) + (3h)(3k)
(b + c) a = (3k)(3h) + (3k)(3t)
Como S = 3ℤ un anillo y S ⊂ ℤ
∴ 3ℤ es un subanillo de ℤ.
Ejemplo 3: Dado el anillo (ℤ8, + , •) de los enteros residuales módulo 8.
Del teorema de caracterización de subgrupos: [a] - [b] ∊ ℤ8
[a] - [b] = [a] + [-b]
= [a + (-b)]
= [a - b]
Tal que : x ∊ [a] ∧ y ∊ [b]
 x – y ∊ [a - b]
Demostración:
x ∊ [a] ∧ y ∊ [b]
 x  a(mód. 8) ∧ y  b(mód. 8)
 8  (x – a) ∧ 8  (y – b)
8  (x – a) ∧ 8  (b – y)
8  ((x – a) + (b – y))
8  (x – y) – a + b
8  (x – y) – (a – b)
 (x – y)  (a – b) (mód. 8)
 x – y ∊ [a - b]
∴ x ∊ [a] ∧ y ∊ [b] es subanillo de ℤ8.

23. 23
Capítulo V
Teorema de caracterización de subanillos
Dado (A , + , .) un anillo y S un subconjunto no vacío de A. Se cumple:
S es subanillo de A ⇔
i) ∀ a , b en S ⇒ a – b ∊ S
ii) ∀ a , b en S ⇒ a . b ∊ S
Ejemplo 1:
Dado (ℤ , + , .) el anillo de los números enteros y S = 5ℤ = { 5k / k ∊ ℤ}, el conjunto de los
números enteros que son múltiplos de 5.
En base al teorema de subanillos, veamos que (S, + , . ) es un subanillo de (ℤ, + , . ).
a) Para todo a, b ∊ S , a = 5t, b = 5h; t, h ∊ℤ.
⇒ a – b = 5t - 5h ; t, h ∊ ℤ
⇒ a – b = 5(t - h); (t - h) ∊ ℤ
⇒ a – b ∊ 5ℤ.
b) ∀a, b ∊ S = 5ℤ ⇒ a = 5h, b = 5k; h, k en ℤ.
⇒ a . b = (5h) (5k) ; h, k, ∊ ℤ
= 5(h k) ; 5 ∊ ℤ ⇒ a . b ∊ 5ℤ
∴ 5ℤ es un subanillo del anillo ℤ

24. 24
Ejemplo 2:
Dado el anillo M2(ℝ) = { ( ) ∊ } de las matrices cuadradas de
orden 2 con coeficiente en ℝ, con las operaciones usuales de adición y multiplicación de
matrices. Además, sea el conjunto:
(S) = { ( ) ∊ ( ) ∊ }
Por el teorema de caracterización de subanillos, se prueba que S es un subanillo M2(ℝ)

25. 25
Capítulo VI
Ideales de un anillo
6.1 Definición
Dado (I , + , .) un subanillo de (A , + , .).
I es un subanillo de A, es un ideal a izquierda de A si y sólo si
x ∊ A ˄ a ∊ I ⇒ x . a ∊ I
I es un subanillo de A, es un ideal a derecha de A si y sólo si
a ∊ I ˄ x ∊ A ⇒ a . x ∊ I
6.2 Definición
Dado I un subconjunto de un anillo A, se dice que es un ideal de A, si y sólo si:
1) (I , +) es un subgrupo de (A , +)
2) Para todo a en A y para todo b en I, se tiene: a . b ∊ I ∧ b . a ∊ I
Ciertos requisitos que se aplican al subconjunto I ⊂ A, para que sea un ideal, son las
siguientes:
i. I ≠ ø
ii. a ∊ I ˄ b ∊ I ⇒ a – b ∊ I

26. 26
iii. a ∊ I ˄ b ∊ I ⇒ a . b ∊ I
iv. a ∊ I ˄ b ∊ A ⇒ a . b ∊ I ˄ b . a ∊ I
Ejemplo 1: Dado el subanillo S de todos los múltiplos del entero a es un ideal de ℤ.
En cambio, ℤ no es un ideal de ℝ.
Rojo (1995) afirma: “Todo anillo (A , + , .) admite dos ideales: el mismo A y {0}, y
son llamados ideales triviales. Todo otro ideal, si existe, se llama ideal propio no
trivial” (p.273).
Ejemplo 2: El conjunto ℤ es un subanillo del conjunto de los números racionales ℚ. Pero,
ℤ no es ideal de (ℚ, +, •) porque si a ∊ ℚ ∧ b ∊ ℤ ⟶ a . b ∧ b . a no necesariamente está en
ℤ. Por ejemplo:
Dados, a = 4/3 en ℚ ∧ b = 5 en ℤ, entonces: a . b = ∉ ℤ
Ejemplo 3: En el anillo (ℤ , + , .), los ideales de ℤ son los subconjuntos I = nℤ, con n ≥ 0.
Se tiene:
a) Se demostró que nℤ es un subgrupo de (ℤ , +)
b) Si a ∊ ℤ ∧ b ∊ nℤ, entonces:
a . b = a ( n . k)
= n (a . k)
= n . h , con h = a . k ∊ ℤ
⟹ a . b ∊ nℤ
También b . a ∊ nℤ
∴ I = nℤ es un ideal de (ℤ, +, .).
6.3 Teorema
Dado I1 y I2 son ideales del Anillo A, entonces I1 ∩ I2 , es un ideal de A.
Demostración:

27. 27
i) I1 ∩ I2 es un subgrupo de (A, +) porque (I1, +) y (I2, +) son subgrupos.
ii) Sea a ∊ A ∧ b ∊ (I1 ∩ I2); entonces:
a ∊ A ∧ (b ∊ I1 ∧ b ∊ I2) ⟹ a . b ∊ I1 ∧ a . b ∊ I2
⟹ b . a ∊ I1 ∧ b . a ∊ I2
Porque, I1 y I2 son ideales de A.
⟹ a. b ∊ I1 ∩ I2 ∧ b . a ∊ I1 ∩ I2
∴ De i) y ii); I1 ∩ I2 es un ideal de A.
6.4 Ideales primos
Dado S un ideal de un anillo conmutativo A es un ideal primo, si y sólo si:
∀ a , b ∊ A, a . b ∊ S ⟶ a ∊ S ∨ b ∊ S.
Ejemplo 1:
En el anillo ℤ.
El ideal P = {7 s : s ∊ ℤ}, que también se escribe P = (7), es un ideal primo porque si a . b
∊ P ∨ 7 a ∨ 7 b; con lo que a ∊ P ∨ b ∊ P.
Ejemplo 2:
En el anillo ℤ.
El ideal k = {14 s : s ∊ ℤ} ∨ k = (14) no es ideal primo pues por ejemplo:
28 = 4 . 7 ∊ k pero ni 4 ni 7 están en k.
6.4.1 Teorema.
Ayres (1969) afirma: “Dado el anillo ℤ un ideal propio S = {ms : s ∊ ℤ, m ≠ 0} es un ideal
primo si y sólo si, m es un entero primo” (p.106).

28. 28
6.5 Ideales maximales
Ayres (1969) afirma: “Dado S el ideal propio de un anillo conmutativo A, es ideal
maximal si no hay en A ningún ideal propio que contenga propiamente a S” (p.106).
Ejemplo 1:
El ideal P = {7 s : s ∊ ℤ }, es un ideal maximal de ℤ, ya que el único ideal de ℤ que
contiene propiamente a P es ℤ mismo.
Ejemplo 2:
El ideal K = {14 s : s ∊ ℤ} no es maximal porque k está contenido propiamente en P que ,
a su vez, está contenido propiamente en ℤ.

29. 29
Capítulo VII
Anillo cociente
Como el grupo aditivo de un anillo A es abeliano, todos sus subgrupos son subgrupos
invariantes. “Esto quiere decir que, cualquier ideal S del anillo es un subgrupo invariante
del grupo aditivo A y el grupo cociente A / I = {a + I : a ∊ A} es el conjunto de todas las
clases laterales distintas de I en A” (Ayres, 1969, p.106).
7.1 Teorema
Ayres (1969) afirma: “Dado un ideal I de un anillo A, el grupo cociente A / I es un anillo
con respecto a la adición o multiplicación de clases laterales (clases residuales)” (p.107).
Se designa al anillo por A / I y llamarlo anillo cociente de A con respecto a I.
De las explicaciones de adición y multiplicación de clases residuales se sigue que:
a) La aplicación A ⟶ A / I : a ⟶ a + I es un homomorfismo de A sobre A / I.
b) I es el elemento cero del anillo A / I.
c) Si A es un anillo conmutativo, también lo es A / I.
d) Si A tiene elemento unidad u, también lo tiene A / I y es u + I.
e) Si A carece de divisores de cero, A / I puede o no tener divisores de cero. Pues, si
bien.

30. 30
(a + I) . (b + I) = a . b + I = I
Indica que a . b ∊ I, no implica necesariamente que a ∊ I o que b ∊ I.
7.2 Característica de anillo
Dado un anillo A con elemento cero z y supóngase que existe un entero positivo n tal que:
n . a = a + a + a + … + a = z , ∀ a ∊ A. “Esto quiere decir que, el menor entero positivo n
con tal propiedad se llama característica de A. Si no existe un entero semejante, se dice
que A tiene característica cero” (Ayres, 1969, p.103).
Ejemplo 1:
Los anillos ℤ, ℚ, ℝ, ℂ tienen característica cero, pues para estos anillos, se cumple:
na = n . a
Ejemplo 2:
Dado A un anillo con elemento cero z, entonces:
∀ a ∊ A, a . z = z . a = z.
En efecto: Como a + z = a , se sigue que:
a . a = (a + z) a
= (a . a) + z . a
Como a . a = (a . a) + z; entonces:
(a . a) + z . a =(a . a) + z
Utilizando la ley de cancelación, se tiene que
z . a = z.
Análogamente: a . a = a (a + z) = a . a + a . z y a . z = z.
Ejemplo 3:
Dado A un anillo con identidad 1. Sea f: ℤ ⟶ A la aplicación definida por:
f(a) = m . 1 , si a ∊ ℤ

31. 31
donde a . 1 significa:
a . 1 = 1 + 1 + … + 1 (a veces) si 0 < a
a . 1 = 0 si a = 0
a . 1 = - ((-a) . 1 ) = - (1 + 1 + … + 1) si m < 0.
- m veces
Además, en el caso m < 0 , la validez de
a . 1 = (-1) + (-1) + … + (-1) (-m veces)
= (-m) . (-1)
7.2.1 Propiedad.
Dado A un anillo (con identidad) de característica m ≠ 0. Entonces cualquiera que sea
a ∊ A es m . a = a + a + … + a = 0. (m veces)
En efecto:
m . a = a + a + … + a
= 1 . a + 1 . a + 1 . a
= (m . 1) . a
= 0 . a
= 0

32. 32
Capítulo VIII
Homomorfismo de anillos
Dados (A, +, ∙) y (A1, +, ∙) dos anillos y f: A →A1 una función.
Se dice que f es un homomorfismo de A en A1 si y sólo sí, f satisface:
1) f es homomorfismo entre grupos aditivos.
f(a + b) = f(a) + f(b)
2) f(a.b) = f(a) . f(b); ∀a, b en A
Ejemplo 1: Dados A y A1 dos anillos, definimos la función:
f: A →A1 / f(a) = 0; ∀a ∊ A
Entonces f es un homomorfismo y se llama homomorfismo cero.
Ejemplo 2: Si A = ℤ el anillo de los enteros y A1 = ℤ x ℤ el anillo ya tratado
anteriormente.
Definimos: f : ℤ → ℤ x ℤ
a → (a, 0)
∀ a, b en ℤ, tenemos:
(1) f(a + b) = (a + b, 0)
= (a, 0) + (b,0)
= f(a) + f(b)

33. 33
(2) f(a . b) = (a . b, 0)
= (a, 0) . (b, 0)
= f(a) . f(b)
∴ De (1) y (2), f es un homomorfismo de ℤ en ℤ x ℤ.
Ejemplo 3:
Sea f : ℤ → ℤ x ℤn / f(a) = [a]
Se prueba que f es un homomorfismo de anillos.
Nota: Si A tiene elemento unidad 1 y A1 tiene unidad 1’, no siempre ocurre que f(1) = 1’ .
Sin embargo probemos la siguiente:
Proposición:
Si f : A → A1 es suryectiva, entonces f(1) = 1’.
En efecto:
Como f es suryectiva ⇒ ∃ a ∊ A / φ(1) = 1’
Es decir: 1’ = f(a) = f(1 . a)
= f(1) . f(a)
= f(1) 1’
= f(1)
⟹1’= f(1)
8.1 Teoremas
Dado f un homomorfismo del Anillo A en un anillo A1, entonces, se cumple:
1) f(0) = 0
2) f(-a) = -f(a), ∀ a ∊ A
3) f(a1 – a2) = f(a1) - f(a2), ∀ a , a2 ∊ A
4) f(a-1
) = f(a) -1

34. 34
Capítulo IX
Importancia de la estructura de anillos en el currículo de la educación secundaria
9.1 Importancia
El estudio de los Anillos sirve como soporte teórico matemático del profesor de
matemática para el Diseño Curricular de los sistemas de números, en este caso de los
enteros, racionales y reales.
Realizando las transposiciones didácticas adecuadas en su enseñanza de la educación
secundaria.

35. 35
Aplicación didáctica
Sesión de aprendizaje
Título: “La multiplicación en ℤ”
I. Datos informativos:
1.1. UGEL :06
1.2. INSTITUCIÓN EDUCATIVA : CEAUNE
1.3. ÁREA : Matemáticas
1.4. GRADO : 2do
año
1.5. TIEMPO : 90 minutos
1.6. DOCENTE : VELASQUE PICHIHUA, Milagros Noemi
II. Aprendizaje esperado:
III. Secuencia didáctica:
Situación
de
aprendiza
je
Estrategias
Recurs
os
didácti
cos
Tiempo
(min.)
Evaluación
Criteri
os
Indica
dores
Instru
mentos
Inicio
Presentación:
La profesora saluda, da la bienvenida a los
estudiantes e indica las normas del aula. Luego la
profesora sigue a señalar el propósito de la sesión:
“Reconoce la multiplicación de los Enteros”.
1. La profesora recoge los saberes previos, con las
siguientes preguntas:
 ¿Qué son los números enteros?
 ¿Quiénes forman a los números enteros?
Papelo
gráfo
Plumon
es
Mota
10
m.
Compo
rtamien
to y
orden
Es
puntual
a la
hora de
ingresa
r al
salón
de
clase.
Registr
o
auxiliar
Competencia Capacidades Indicadores
Actúa y piensa
matemáticamente en
situaciones de cantidad.
-Comunica y representa ideas
matemáticas.
-Elabora y usa estrategias para la
multiplicación en ℤ a partir de
diferentes condiciones.
-Reconoce las propiedades de
multiplicación de números enteros.
-Utiliza la definición de multiplicación
en ℤ, para encontrar la solución a los
problemas propuestos.
-Resuelve ejercicios, utilizando las
operaciones de los números enteros.

36. 36
Proceso
Multiplicación en ℤ
Ley de signos para la multiplicación: Papelo
gráfo
Plumon
es
Pizarra
30
m.
Comun
ica y
represe
nta,
ideas
matemá
ticas
Razona
miento
y
Demost
ración
Muestr
a
interés
en la
realizac
ión de
las
activida
des
propues
tas.
Lista
de
cotejo
para
evaluar
actitude
s.
Cierre
- La profesora insta a los estudiantes que se organicen
y procedan a observar los signos de los números
dados.
- Los estudiantes plantean estrategias para formar los
números enteros.
- Resuelve ejercicios de multiplicación en ℤ. Entrega
ejercicios para resolver.
Hoja de
práctica
15
m.
Comun
ica y
represe
nta
ideas
matemá
ticas.
Resolu
ción de
Proble
mas
Interpre
ta
coheren
temente
sus
resultad
os.
Lista
de
cotejo

37. 37
IV. Referencias:
Armas, G. J. (2004). Matemática. Lima, Perú: Editorial Bruño.
Baldor, A. (1976). Álgebra. La Habana, Cuba. Editorial Cultural en La Habana.
Coveñas, N. (2000). Matemática. Lima, Perú: Editorial Bruño.
Rubiños, T. L. (2006). Enciclopedia Matemática. Lima, Perú: Editorial Rubiños.

38. 38
Ficha de coevaluación
Nº Integrantes Líder
Actividades
Trabaja Ordenado Responsable
SI NO SI NO SI NO
38

39. 39
Contenidos en la sesión sobre multiplicación en ℤ
Si se multiplican dos números enteros se siguen los siguientes pasos.
1° Procede a multiplicar sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí).
2° Luego se le coloca a la respuesta el signo + si ambos números son de igual signo, y se
coloca el signo − si son de signos diferentes.
Regla de los signos
(+) ⋅ (+) = +
(−) ⋅ (−) = +
(+) ⋅ (−) = −
(−) ⋅ (+) = −
Multiplicación entre factores negativos
Por ejemplo:
a) (−20) . (−4) = +80
b) (-5) ⋅ (−3) = +15
Multiplicación entre factores de diferente signo
Por ejemplo:
a) (+5) ⋅ (−3) = −15
b) (−5) ⋅ (+6) = -30
Propiedades
 Clausura: Si a , b, c ∊ ℤ, entonces a . b ∊ ℤ. Ya que, al multiplicar dos números
enteros, el producto también es un número entero.
Ejemplo:

40. 40
(+4) ⋅ (-3) ∊ ℤ
 (+4) ⋅ (-3) = (-12) ∊ ℤ
 Conmutativa: Si a , b, c ∊ ℤ, entonces.
a . b = b . a
Ejemplo:
(-6) ⋅ (7) ∊ ℤ
 (-6) ⋅ (7) = (7) ⋅ (-6)
-42 = -42
 Asociativa: Si a , b, c ∊ ℤ, entonces:
(a . b) . c = a . (b. c)
Ejemplo:
[8 . -3] . -5 = 8 . [-3 . -5]
(-24) . -5 = 8 . (15)
120 = 120
 Distributiva respecto a la adición: Si a , b, c ∊ ℤ, entonces.
(a + b ) . c = (a . c) + (b . c)
(La multiplicación distribuye en la suma y la resta)
Sea: a = 5 , b = -7 y c = 6 a, b y ∊ ℤ
[(5 + (-7)] . (6) = (5 . 6) + (-7 . 6)
[-2] . (6) = (30) + (-42)
-12 = -12

41. 41
Ejercicios de aplicación
1. Resolver los siguientes ejercicios, teniendo en cuenta la Ley de signos:
 (+5) ⋅ (−7) =
 (+5) ⋅ (−3) . (−9) =
 (+5) ⋅ (−3) . (+3) =
 [(+22) ⋅ (−44)] . (7) =
 (5) . [(-13) ⋅ (−32)] =
2. En cada uno de los siguientes enunciados, colocar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
 (+3) ⋅ (−32) = (+64) ( )
 (+8) ⋅ (+3) . (+10) = (+ 420) ( )
 (+3) ⋅ (−3) . (+3) = ( -3) ( )
 [(+13) ⋅ (−4)] . (-7) = (+364) ( )
 (4) . [(-12) ⋅ (−32)] = (-1232) ( )
3. Escribir: > , < ó =, según corresponda:
 (-21) (-5) ----------(-11) (-5)
 (-17) (+25) ………(-15) (-22)
 (-39) (-6) ………...(+ 75) (+6)
 (+67) (+7)………..(-7) (-65)
 (-60) (-4)…………(-30) (-5)

42. 42
Síntesis
En la presente monografía, se expone los conceptos y definiciones del tema de estructura
de anillos, para lo cual lo dividimos en tres partes.
En la primera parte se describe la Estructura de Anillos, en donde es comprendida las
propiedades básicas y se introduce el concepto de ideales. La definición de un Anillo está
dada de la siguiente manera. El terceto (R, + , ) tiene la estructura de Anillo si y sólo si:
a) (R, +) es un grupo abeliano
b) (R, +) es un semigrupo
c) Distributividad: x . (y + z ) = x .y + x . z
(y + z) . x = y . x + z . x ∀ x, y, z ∊ R
Nombrando así sus definiciones, axiomas, demostrando sus propiedades, mostrando
ejemplos relacionados al tema de estructuras algebraicas en el cual se comprueba la
definición de estructura de Anillo.
En la segunda parte se describe las definiciones, teoremas y ejemplos de los subtemas
tales como: Elementos idempotentes que se da cuando un elemento x pertenece un
conjunto R, si y sólo si x2
= x y Elementos nilpotentes que es cuando un elemento x
pertenece al conjunto R, si y sólo si xn
= 0 para algún natural n. Divisores de cero, es
cuando en un anillo (R, + , .) están elementos no nulos que dan producto nulo. Dominio de
integridad, se le llama así a todo anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero.
Subanillos, son una parte no vacía del anillo (R, + , .) que tienen la estructura de anillo con
las mismas leyes de composición. Ideales de un Anillo, es cuando un subanillo J de R
cumple con ser un ideal a izquierda y a derecha, entre ellos están los maximales y primos.
Anillo Cociente, se le denomina al conjunto de todas las clases laterales.
Características de anillos, es cuando en un anillo R con elemento cero existe un entero
positivo, para todo x que pertenece a R. Homomorfismo de anillos, se da en el grupo

43. 43
aditivo de un anillo R1 sobre el grupo aditivo R2 que preserva la segunda operación
(multiplicación).
En la tercera parte se describe la Importancia de la Estructura de anillos en el currículo
de la educación secundaria; además se desarrolla una sesión de clase relacionada al tema
de estructuras de anillos, tomando en cuenta los conocimientos previos para desarrollar y
aplicar dicho tema en los estudiantes de nivel secundario.

44. 44
Apreciación crítica y sugerencias
Apreciación crítica
En esta monografía expongo y presento los conceptos, las definiciones, los teoremas, las
propiedades y ejemplos basados en el tema de Estructura de anillos, considerando los
subtemas tales como: elementos idempotentes y nilpotentes, divisores de cero, dominio de
integridad, subanillos, ideales de un anillo, anillo cociente, características de anillos,
homomorfismo de anillos.
Para iniciar esta monografía fue necesario en primer lugar, estudiar muy a fondo la
estructura de grupos, siendo esto como base fundamental para el buen entendimiento sobre
el tema a realizar que en este caso es la estructura de anillos.
El tema de estructura de anillos es importante en el currículo de la educación secundaria
ya que se le considera como punto principal a los números enteros, siendo éstos aplicados
en la vida real de los estudiantes.
En el Diseño Curricular, la enseñanza de los enteros, racionales, y reales presenta desde
una orientación empírica y pragmática (utilidad cotidiana), dejando de lado los
conocimientos propiamente matemáticos. Un buen diseño debería considerar lo cotidiano y
los contenidos científicos didácticamente presentados.
Sugerencias
El Currículo Nacional de Educación Básica debería considerar una combinación
adecuada de las necesidades cotidianas del alumno, con la necesidad social de
introducirlos en el conocimiento de las ciencias en este caso de las matemáticas.

45. 45
En el Diseño Curricular se debería garantizar la participación interdisciplinaria de
educadores matemáticos, psicólogos, antropólogos y sociólogos para un diseño pertinente
en función de la conclusión anterior.
El estudio de los anillos es parte fundamental en el estudio de las estructuras
algebraicas, razón por la cual es importante en la formación de docentes de matemática;
sobre la base del estudio de la teoría de grupos y en perspectiva del estudio posterior de
cuerpos de espacios vectoriales, y otras estructuras.

46. 46
Referencias
Ayres, F. (1969). Teoría y Problemas de Álgebra Moderna. Bogotá: Editorial McGraw –
Hill, Inc.
Gentile, E., R. (1967). Estructuras algebraicas I OEA 3. Buenos Aires: Editorial Eva V.
Chesneau.
Rojo, A. (1995). Álgebra I. Buenos Aires: Editorial El Ateneo.
Trujillo, F., Chirinos, D., Yauri, A., Giles, M., & Dávila, V., (2014). Introducción a las
Estructuras Algebraicas. Lima: Editorial Universitaria de la Universidad Nacional
de Educación Enrique Guzmán y Valle.

47. 47
Apéndice(s)
Apéndice A: Amalie Emmy Noether (1882-1935)
https://en.wikiquote.org/wiki/File:Noether_retusche_nachcoloriert.jpg
Figura 1. Representa la imagen de Amalie Emmy Noether. Fuente: Recuperado de

48. 48
Apéndice B: David Hilbert (1862 – 1943)
http://www.matematicasdigitales.com/hilbert-un-sombrero-y-alguna-anecdota-mas/
Figura 2. Representa la imagen de David Hilbert. Fuente: Recuperado de