Este documento es un examen de matemáticas sobre integrales indefinidas administrado en la Universidad Nacional Experimental "Francisco de Miranda". Contiene 84 problemas que involucran diferentes técnicas de integración como sustitución, partes, trigonométrica y fracciones parciales. El examen es coordinado por Dulce Curiel y varios profesores, e incluye ejercicios sobre funciones elementales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

1. Universidad Nacional Experimental
“Francisco de Miranda”
´
Area de Tecnolog´ ıa
´
Complejo Academico Punto Fijo
Departamento de F´ ´
ısica y Matematica
´
Unidad Curricular: Matematica II
´
Lapso Academico I-2010
Coordinador: Lcdo. Dulce Curiel.
Profesores: Ing. Jos´ Ollarves, Ing. Nancy Requena, Lcdo. Aida Ulacio, Lcdo. Arnaldo M´ndez, Lcdo. Ariel Luna.
e e
GU´ N◦ 1
IA ´
MATEMATICA II
INTEGRAL INDEFINIDA
• Encuentre la antiderivada general de las siguientes funciones:
1. f (x) = 2x 2. f (x) = x2 3. f (x) = −3x−4
3√ 5
4. f (x) = x2 − 2x + 1 5. f (x) = x 6. f (x) = 2 −
2 x2
√ 1
7. f (t) = t+ √ 8. f (x) = 3e4x 9. f (x) = 2−x
t
π πx
10. f (x) = −π sen(πx) 11. f (x) = cos 12. f (x) = sen(πx) − 3 sen(3x)
2 2
πx
13. f (x) = cos + π cos(x) 14. f (x) = sec2 (x) 15. f (x) = 1 − 8 csc2 (x)
2
• Resuelva las siguientes integrales inmediatas:
4 − e2t sen(8πt) (x + 1)2
16. 2px dx 17. dt 18. dx
e2t x2 + x
√
5 (x2 + 1)(x2 − 2)
19. x 3x2 + x6 dx 20. tan2 (y) + 1 dy 21. √
3
dx
x2
ex + e2x sen(3x)
22. dx 23. 3 sec(2x) tan(2x) − dx 24. ex (2 + ex )2 dx
ex 3
√ 1+x2
(2t + 3)2 y+ 3
y2 ln
x2
25. dt 26. dy 27. e dx
t2 6
y5
x2 + x 1 sec(z)
28. √ dx 29. csc2 (x) − csc(x) cot(x) dx 30. dz
x 2 tan(z) + cot(z)
t sen(4πt) − 2
31. dt 32. 2π · x(4 + 5x1/2 ) dx 33. tan2 (5x) dx
t
2
1 x 1 3 x 4
34. + dx 35. + cos + 2x dx 36. 3(z+2) dz
x 3 2 x 6 e
1

2. • Resuelva las siguientes integrales empleando la t´cnica de integraci´n por sustituci´n:
e o o
dt 68
37. 38. 20t3 + 4t2 − 5 15t2 + 2t dt
(4 + 5t)
a + ln(x)
39. (a − z)300 dz 40. dx
x
sec2 (x) dx sen(x)
41. 5 42. dx
1 + cos(x)
2 + 3 tan(x)
sec(3x) tan(3x) ex + sen(x)
43. dx 44. 3/2
dx
2 sec(3x) + 5
ex − cos(x)
1
45. x(x + 4)1/2 dx 46. dx
ex +3
x2 + 4x + 2 ex
47. dx 48. dx
x3 + 6x2 + 6x + 8 4 + 9e2x
eln(x)
49. dx 50. (x + 2) sen(x2 + 4x − 6) dx
x2 + 7
x
3y arctan
51. dy 52. 2 dx
3
y2 + 3 4 + x2
53. x(x2 + 4)8 dx 54. 3x2 (5x3 − 10)10 dx
3y
55. dy 56. sen5 (x2 ) x cos(x2 ) dx
2y 2 +5
1
57. sen4 (6x) cos(6x) dx 58. 3 dx
x ln(x)
2
59. xex dx 60. 3x 3x2 + 7 dx
• Resuelva las siguientes integrales empleando la t´cnica de integraci´n por partes:
e o
61. x ln(2x) dx 62. x2 ex dx
2
63. 3t3 − 2t2 + 4t + 2 et dt 64. x4 ln(x) dx
65. x2 2x dx 66. ey sen(y) dy
ln(x)
67. √ dx 68. sec5 (z) dz
x
69. csc3 (x) dx 70. ln(a2 + x2 ) dx
2

3. 71. x2 e−3x dx 72. x2 sen(x) dx
2
73. y 2 arctan(y) dy 74. x3 ex dx
75. xax dx 76. e4x sen(5x) dx
77. 3x cos(2x) dx 78. e2x sen(4x) dx
ln(x)
79. (x2 + 5x + 6) cos(2x) dx 80. dx
x3
81. arcsen(x) dx 82. ln x + 1 + x2 dx
83. x3 e2x dx 84. sen ln(x) dx
• Resuelva las siguientes integrales por sustituci´n trigonom´trica:
o e
dx x
85. √ 86. 4 − x2 dx 87. dx
6 − x2 4 − (x − 1)2
√
dx x2 − 25 dx
88. 2 + 2)2
89. dx 90. √
(x x x2 4 − x 2
dx dx x2 dx
91. √ 92. √ 93. √
2 − 5x2 x x2 − a 2 4 − x2
dx dx
94. 95. √
(5 − x2 )3/2 x3 x2 − 9
• Resuelva las siguientes integrales por fracciones parciales:
dx x+5 x2 − 3x − 1
96. 2−9
97. 2 − 2x + 8
dx 98. dx
x x x3 + x2 − 2x
xdx x2 + x + 2 x2 − 1
99. 100. dx 101. dx
(x − 2)2 (x2 + 2)2 x3 + x
2x3 − 4x − 8 x4 − x 3 − x − 1 2x + 1
102. dx 103. dx 104. dx
(x2 − x)(x2 + 4) x3 − x 2 x2 + 2x − 15
3

4. • Resuelva las siguientes integrales empleando la t´cnica de integraci´n que considere conveniente:
e o
3
105. x2 ex dx 106. x2 ex dx
y
107. cos4 (3x) dx 108. sen5 dy
2
√ dz
109. cos z √ 110. cos2 (4t) dt
z
x2 x
111. √ dx 112. √ dx
1+x 1 + x2
2 2
113. e3x 2 + e4x dx 114. 3x − sen(2x) dx
sen ln(x) x+1
115. dx 116. dx
2x x2 − 2x − 3
Respuestas de los ejercicios 37 al 116
Sustituci´n.
o
1 1 69 1
37. ln |4 + 5t| + C 38. 20t3 + 4t2 − 5 +C 39. − (a − z)301 + C
5 276 301
1 2 −1
40. a ln |x| + ln |x| + C 41. 4 +C 42. − ln 1 + cos(x) + C
2
12 2 + 3 tan(x)
1 −2 2 √
43. ln | sec(3x) + 5| + C 44. +C 45. (3x − 8)(x + 4) x + 4 + C
6 ex − cos(x) 15
1 ex 1 1 3ex
46. ln +C 47. ln |x3 + 6x2 + 6x + 8| + C 48. arctan +C
3 ex + 3 3 6 2
1 1 9
49. ln(x2 + 7) + C 50. − cos(x2 + 4x − 6) + C 51. 3
(y 2 + 3)2 + C
2 2 4
1 x 1 2 1
52. arctan2 +C 53. (x + 4)9 + C 54. (5x3 − 10)11 + C
8 2 18 55
3 1 1
55. 2y 2 + 5 + C 56. sen6 (x2 ) + C 57. sen5 (6x) + C
2 12 30
−1 1 x2 1
58. +C 59. e +C 60. (3x2 + 7) 3x2 + 7 + C
2 ln2 |x| 2 3
Por partes.
1 2 1
61. x ln(2x) − x2 + C 62. x2 − 2x + 2 ex + C 63. 3t3 − 11t2 + 26t − 24 et + C
2 4
1 5 2 2 2x 2x 2 1 y
64. x ln2 (x) − ln(x) + +C 65. x2 − + +C 66. e sen(y) − cos(y) + C
5 5 25 ln(2) ln(2) ln2 (2) 2
4

5. √ 1 3 3
67. 2 x ln(x) − 2 + C 68. sec3 (z) tan(z) + sec(z) tan(z) + ln | sec(z) + tan(z)| + C
4 2 2
1 x
69. − csc(x) cot(x) + ln | csc(x) + cot(x)| + C 70. x ln(x2 + a2 ) − 2x + 2a arctan +C
2 a
1 2 2
71. − x2 + x + e−3x + C 72. − x2 cos(x) + 2x sen(x) + 2 cos(x) + C
3 3 9
1 3 1 1 1 2 2
73. y arctan(y) − (y 2 + 1) + ln(y 2 + 1) + C 74. (x − 1)ex + C
3 6 6 2
ax 1 4 4x 5
75. x− +C 76. e sen(5x) − cos(5x) + C
ln(a) ln(a) 41 4
3 3 1 2x 1
77. x sen(2x) + cos(2x) + C 78. e sen(4x) − cos(4x) + C
2 4 5 2
1 11 1 1 1
79. x2 + 5x + sen(2x) + (2x + 5) cos(2x) + C 80. − ln(x) − +C
2 2 4 2x2 2
1 1
81. x arc sen(x) − x2 − 1 + C 82. x ln x + x2 + 1 − x2 + 1 + C
2 2
1 3 3 1 1
83. x3 − x2 + x − e2x + C 84. x sen(ln(x)) − cos(ln(x)) + C
2 2 2 4 2
Sustituci´n trigonom´trica.
o e
x x 1
85. arc sen √ +C 86. 2 arc sen + x 4 − x2 + C
6 2 2
√
x−1 2 x x
87. − 2 4 − (x − 1)2 + arc sen +C 88. arctan √ + +C
2 8 2 4(x2 + 2)
√
x 5 − 4 − x2
89. x2 − 5 − 5 arc sec +C = x2 − 5 − 5 arc cos +C 90. +C
5 x 4x
√
1 2x 1 x 1 a
91. √ arc sen √ +C 92. arc sec + C = arc cos +C
5 5 a a a x
x 1 x
93. 2 arc sen − x 4 − x2 + C 94. √ +C
2 2 5 5 − x2
√
1 3 x2 − 9
95. arc cos + +C
54 x 18x2
Fracciones parciales.
1 x−3 1 6 x−1
96. ln +C 97. ln(x2 − 2x + 8) + √ arctan √ +C
6 x+3 2 7 7
1 3 2
98. ln |x| − ln |x − 1| + ln |x + 2| + C 99. ln |x − 2| + +C
2 2 2−x
1 x 1 x2 + 1
100. √ arctan √ − +C 101. ln +C
2 2 2(x2 + 2) x
5

6. x2 (x2 + 4) x 1 2 1 x
102. ln + 2 arctan +C 103. x − + 2 ln +C
(x − 1)2 2 2 x x−1
1
104. ln (x − 3)7 (x + 5)9 + C
8
Integrales varias.
1 x3
105. x2 − 2x + 2 ex + C 106. e +C
3
3 1 1 y 4 y 2 y
107. x+ sen(6x) + sen(12x) + C 108. − 2 cos + cos3 − cos5 +C
8 12 96 2 3 2 5 2
√ 1 1
109. 2 sen( z) + C 110. t+ sen(8t) + C
2 16
2 √
111. 3x2 − 4x + 8 x + 1 + C 112. 2 1 + x2 + C
15
4 4 4x 1 8x 1 1 3
113. e3x + e + e +C 114. 3x3 + x − sen(4x) + 3x cos(2x) − sen(2x) + C
3 7 1 2 8 2
1
115. − cos(ln(x)) + C 116. ln |x − 3| + C
2
6