1. Quarta Lista de Exercícios – Integração Por Partes
1) ∫ x sen 5x dx 17) ∫ arc tg ax dx
2) ∫ ln 1 − x dx 18) ∫ x 3 sen 4 x dx
3) ∫ t e 4 t dx ∫ (x − 1)e
−x
19) dx
4) ∫ (x + 1) cos 2x dx 20) ∫ x 2 ln x dx
5) ∫ x ln 3x dx 21) ∫ x 2 e x dx
6) ∫ cos 3 x dx 22) ∫ arc sen
x
dx
2
x
7) ∫ e x cos dx
∫ (x − 1)sec
2
2 23) x dx
8) ∫ x ln x dx 24) ∫ e3 x cos 4 x dx
9) ∫ cos ec3 x dx 25) ∫ x n ln x dx n∈N
10) ∫ x 2 cos ax dx 26) ∫ ln (x 2 + 1) dx
11) ∫ x cos ec 2 x dx (
27) ∫ ln x + 1 + x 2 dx )
12) ∫ arc cot ag 2 x dx 28) ∫ x arc tg x dx
13) ∫ e ax sen bx dx 29) ∫ x 5e x dx
2
ln ax + b
∫ (x + 3) e
2 x
30) dx
14) ∫ ax + b
dx
31) ∫ x x + 1 dx
15) ∫ x 3
1 − x dx
2
32) ∫ cos (ln x ) dx
16) ∫ ln 3 2 x dx
33) ∫ arc cos x dx

2. Respostas:
1⎛ 1 ⎞ 19) − x e − x + C
1) ⎜ − x cos 5x + sen5x ⎟ + C
5⎝ 5 ⎠
x3 ⎛ 1⎞
20) ⎜ ln x − ⎟ + C
2) (x − 1) ln 1 − x − x + C 3 ⎝ 3⎠
e4t ⎛ 1 ⎞ 21) e x (x 2 − 2x + 2) + C
3) ⎜t − ⎟+ C
4 ⎝ 4⎠ x
22) x arc sen + 4 − x2 + C
4)
(x + 1) sen 2x + 1 cos 2x + C 2
2 4 23) (x − 1) tg x − ln sec x + C
x ⎛
2
1⎞
5) ⎜ ln 3x − ⎟ + C 3 e3x ⎛ 4 ⎞
2 ⎝ 2⎠ 24) ⎜ cos 4 x + sen 4 x ⎟ + C
25 ⎝ 3 ⎠
2
6) cos 2 x senx + sen 3 x + C x n +1 ⎛ 1 ⎞
3 25) ⎜ ln x − ⎟+C
n +1 ⎝ n +1⎠
4⎛ x 1 x⎞
7) ⎜ cos + sen ⎟ + C
5⎝ 2 2 2⎠ 26) x ln(x 2 + 1) − 2x + 2 arc tg x + C
8)
2 ⎛ 2⎞
x x ⎜ ln x − ⎟ + C
( )
27) x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C
3 ⎝ 3⎠
⎛ x2 1 ⎞ x
28) arc tg x ⎜ + ⎟ − + C
1 1
9) − cos ec x cot g x + ln cos ec x − cot g x + C ⎝ 2 2⎠ 2
2 2
2 ⎛ x ⎞
4
x 2
2x 2 29) e x ⎜ − x 2 + 1⎟ + C
10) sen ax + 2 cos ax − 3 sen ax + C ⎝ 2 ⎠
a a a
30) e x (x 2 + 4x + 5) + C
11) − x cot g x + ln senx + C
1 31)
2
(x + 1)3 / 2 ⎛ 3x − 2 ⎞ + C
⎜ ⎟
12) x arc cot g 2x + ln 1 + 4x 2 + C 3 ⎝ 5 ⎠
4
b e ax ⎛ a ⎞
sen bx − cos bx ⎟ + C
32)
x
[cos (ln x ) + sen (ln x )] + C
2 ⎜
13) 2 2
a +b ⎝b ⎠
33) x arc cos x − 1 − x 2 + C
2 ax − b
14) [ln (ax − b ) − 2] + C
a
(1 − x )2 3/ 2
⎡ 2 2 2 ⎤
15)
3 ⎢− x − 3 (1 − x )⎥ + C
⎣ ⎦
16) x (ln 3 2x − 3 ln 2 2x + 6 ln 2x − 6) + C
1
17) x arc tg ax − ln 1 + a 2 x 2 + C
2a
x cos 4 x ⎛ 3 ⎞ 3 sen 4 x ⎛ 2 1 ⎞
18) ⎜ − x3 ⎟ + ⎜x − ⎟+ C
4 ⎝8 ⎠ 16 ⎝ 8⎠