1. RECTAS Y PLANOS EN R3
Conserva celosamente
tu derecho a
reflexionar, porque
incluso el hecho de
pensar erróneamente es
mejor que no pensar en
absoluto. Hipatia a
Alejandría
HIPATIA DE
ALEJANDRÍA
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la unidad, el estudiante reconoce la posición entre dos rectas en el espacio de-
terminando si son paralelas u ortogonales, halla el ángulo entre rectas y Resuelve problemas de
aplicación entre rectas”
5.5. Rectas Paralelas
Dadas la rectas L1 : P = P1 + t−→v 1 ;
L2 : P = P2 + t−→v 2 , ambas son paralelas si sus
vectores directores lo son, es decir:
L1 //L2 ⇐⇒ −→v 1 = −→v 2
L1 //L2 ⇐⇒ −→v 1 × −→v 2 =
−→
0
Ejemplo 61. Hallar la ecuación simétrica de
la recta que pasa por el punto A (2, 1, 4) y es
paralela a la recta L1 :x = 3t, y = −2 + 4t, z =
−5t.
Solución. :
5.6. Rectas Ortogonales
Dadas la rectas L1 : P = P1 + t−→v 1 ;
L2 : P = P2 + t−→v 2 , ambas son ortogonales si
sus vectores directores lo son, es decir:
L1 ⊥L2 ⇐⇒ −→v 1 ⊥−→v 2
L1 ⊥ L2 ⇐⇒ −→v 1 · −→v 2 =
−→
0
Ejemplo 62. Hallar la ecuación de la recta que
pasa por el punto A (3, 0, −1) y es perpendi-
cular en su punto de intersección con la recta
L1 :P = (2, 3, 2) + t (2, −1, 0)
Solución. :
82

2. RECTAS Y PLANOS EN R3
5.7. Ángulo entre dos Rectas
Si dos rectas L1 : P = P1 + t−→v ;
L2 : P = P2 + t−→w en el espacio no son parale-
las, existe la posibilidad que se crucen (presen-
tes en distintos planos) o que se intersecten
(presentes en un mismo plano). En cualquie-
ra de los casos, existe un ángulo entre dichas
rectas y esta definido por:
cos (θ) =
−→v ·−→w
−→v −→w
De donde se obtiene:
θ = arc cos
−→v ·−→w
−→v −→w
Ejemplo 63. :Determine el ángulo entre las
siguientes rectas
L1 : P = (3, −2, 2) + t (1, 2, −1)y L2 :
x−1
2 = 4+y
2 = z+2
4
Solución. :
5.8. Posiciones Relativas entre
dos Rectas
Si L1 y L2 son paralelas −→v 1 × −→v 2 =
−→
0 ,
ambas rectas ni se cruzan, ni se intersectan.
Sin embargo; si L1 y L2 NO son paralelas
−→v 1 × −→v 2 =
−→
0 , ambas rectas se cruzan o se
intersectan.
5.8.1. Rectas que se Cruzan
Dadas la rectas L1 : P = P1 + t−→v 1 ;
L2 : P = P2 + t−→v 2 , ambas se cruzan si el
triple producto escalar de los vectores −→m =
−−−→
P1P2 ; −→v 1 y −→v 2 es distinto de cero, es decir:
[−→m · −→v 1 · −→v 2] = 0
5.8.2. Rectas que se Intersectan
Dadas la rectas L1 : P = P1 + t−→v 1 ;
L2 : P = P2 + t−→v 2 , ambas se intersectan si
el triple producto escalar de los vectores−→m =
−−−→
P1P2 ; −→v 1 y −→v 2es igual a cero, es decir:
[−→m · −→v 1 · −→v 2] = 0
Ejemplo 64. SeanL1 : x−1
2 = 4+y
2 = z+2
4
yL2 : P = (3, −2, 2) + t (1, 2, −1) rectas en el
espacio, determine si se intersectan o se cruzan.
en caso se intersecten, hallar el punto de inter-
sección.
Solución. :
.
UTP Sede Arequipa Página 83

3. RECTAS Y PLANOS EN R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA
Semana 9 Sesión 02
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Halla los valores m y n para que las si-
guientes rectas sean paralelas L1 :x−5
4 =
y − 3 = −z; L2 : x
m = y−1
3 = z+3
n
Solución. :
Respuesta:
2. Dadas las rectas que se cruzan L1 :x−1
2 =
y+2
−3 = 5−z
4 L2 :x = −2, y−1
1 = z+2
2 . hallar
la ecuación de la recta L que pasa por el
punto T (−1, −2 − 0), es perpendicular
a L1 en el espacio y corta a L2
Solución. :
Respuesta:
3. Dadas las rectas: L1 :P = (0, 1, 2) +
t (1, 1, 1); L2 :x−4
3 = y−6
4 = z−8
5 ; L3 :x =
t, y = t, z = 0, ¿Cuáles se interseptan y
cuales se cruzan?. En caso de intersección,
halle el punto de intersección
Solución. :
Respuesta:
4. Hallar el punto simétrico de
A (4, 6, −1)respecto a la recta
L : P = (1, 2, 2) + r (2, −1, 3)
Solución. :
Respuesta:
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4. RECTAS Y PLANOS EN R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar la ecuación vectorial de
la recta que pasa por el punto
Q (4, −3, −4) y es perpendicular en
su punto de intersección con la recta
L1 : P = (2, 3, 2) + t (2, −1, 0)
Solución. :
Respuesta:
2. Determine si las rectas L1 y L2 son pa-
ralelas, oblicuas o se cortan. Si se interse-
can, determine el punto de intersección.
L1 :x−2
2 = 3−y
2 = z
7 ; L2 :x = y−1
−1 = z−2
3
Solución. :
Respuesta:
3. Hallar la ecuación vectorial de la recta L
que es ortogonal a la recta L1 : x = 2;
y−3
2 = z+1
−2 , y a la recta L2 que pasa
por los puntos A (2, 1, 3) ; B (1, 1, 2), así
también determine los puntos de intersec-
ción Q1 de L con L1 y Q2 de L con L2
respectivamente.
Solución. :
Respuesta:
4. Dadas las siguientes rectas L1 que pasa
por A (3, 2, 1) y B (−1, 2, −1) y L2 que
pasa por C (2, −2, 1) y D (5, −2, 1). De-
termine si son paralelas u ortogonales
Solución. :
Respuesta:
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5. RECTAS Y PLANOS EN R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
TAREA DOMICILIARIA
1. Determine la ecuación paramétrica de la recta que pasa por A (5, 1, −1) e intersepta en
un ángulo recto a la recta L1 :2x+4
4 = y−3
−1 = z+2
5
2. Dadas las rectas L1 : (x, y, z) = (0, −5, 3) + t (1, 1, 1) y L2 :x−3
2 = y
2 = z+2
2 . Determine
si son paralelas u ortogonales
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q (3, −3, 4) y es perpendicular a cada
una de las rectas L1 :2x+4
4 = y−3
−1 = z+2
5 L2 :x−3
1 = 2y−7
2 = 3−z
−3
4. Dadas las rectas L1 :P = (1, 1, 1)+t (1, 2, 3); L2 :P = (1, 3, 4)+r (3, 6, 9); L3 :x−2
2 = y−1
4 =
z
6 ¿Cuáles son paralelas?¿cuales son coincidentes (iguales)?¿Cuáles de intersectan?
5. Dado el punto Q (6, 3, 2) y la recta L1 :P = (1, −1, 4) + r (0, −1, 1). Determine las rectas
que pasan por Q y cortan a L1 formando un ángulo de 60°
6. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto A (1, 0, 2)e intersepta en un ángulo
recto a la recta L1 : P = (1, 2, 3) + t (2, 1, −1), t ∈ R
7. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas, si son secantes hallar el punto de corte.
L1 :x−1
2 = y
3 = z + 3 L2 :x−2
−1 = y−5
2 = z−5
5
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