Este documento contiene un resumen de 10 problemas de geometría analítica resueltos. Los problemas incluyen hallar ecuaciones de rectas, determinar si rectas son paralelas o perpendiculares, encontrar puntos de intersección y distancias entre puntos y rectas. El profesor Erick Vásquez Llanos corrige los ejercicios de un alumno en la asignatura de matemáticas.

1. ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA
“VESALIUS”
SEMESTRAL 10 - II
2010
ALUMNO: .................................................................................................. FECHA: 09 – 08 – 2010
PROFESOR: Erick Vásquez Llanos ASIGNATURA: MATEMÀTICA
TEMA Nº 01 - INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
(Tarea – Domiciliaria - SOLUCIONARIO) 03. Si la recta 4x - ky - 1 = 0 es perpendicular a la
recta 2x+3y + 4 = 0. Hallar k.
01. Determinar la ecuación de la recta a la que 5 3 5
a) b) c)
pertenece el punto con coordenadas (1; 1) y 3 8 7
determina con la recta: d)
8
e) N.A
3
L: 3x – 2y – 4 = 0 un ángulo con medida
Solución:
45º.
a) 3x – 2y – 1 = 0 b) x + 2y – 3 = 0 Sean
c) 2x +y – 3 = 0 d) x – 5y + 4 = 0 L1: 4x – ky – 1 = 0
e) 3x + y – 4 = 0 L2: 2x + 3y + 4 = 0
Como
Solución: L1  // L2  4(2) + (– k )(3) = 0
 8 – 3k = 0
Tenemos L: 3x – 2y – 4 = 0
Sea L1 la recta a hallar y “m” su pendiente  k = 8/3 Clave (d)
04. Una recta tiene pendiente m = – 2 y corta al
eje Y en y = 4. Entonces su correspondiente
ecuación será:
a) y = 3x + 4 b) y = -2x + 3
c) y = -3x + 2 d) y = -2x+4
e) y = 2x – 4
Solución:
3 Recordar que la ecuación de la recta de pendiente
m
 Tan (45)  2  2 + 3m = 3 – 2m  m = 1/5 “m” e intercepto con el eje y. “b” es: y = mx + b
3
1  m.
2
 L1 : x – 5y + 4 = 0 Clave (d)
02. Si la recta £: mx - 3y + 1 = O es paralela a la
recta £1: x-2y+3=0, hallar m:
a) 4/2 b)3/2
c)4/3
d) 1/2 e) 1
Solución:
 y = -2x+4 Clave (d)
£: // £1  m/1 = (– 3)/( – 2 )
 m = 3/2 Clave (b)

2. 05. Determinar para que valor de a las tres a) 4x+3y-15=0 b) x-y+8=0
rectas 2x  y  3  0 , x  y  3  0 ax  y 13  0 se c) 2x-8y+1=0 d) 8x-y+15=0
cortan en un punto. e) N.A
a) -11 b) – 7 c) 3
d) 7 e) 2 Solución:
Solución:
Tres rectas se cortan en un punto, es decir son
concurrentes,  el sistema de soluciones
determinado por sus ecuaciones tiene solución única
Sean:
L1: 2x – y = – 3 2x – y = – 3
L2: x + y = – 3 x+ y= –3
L3: ax + y = 13 x =–2
y =–1
Entonces P(–2; – 1 )  L3
 a(– 2) + (– 1) = 13
Sean A(7; 4) y B(-1; -2)
a= –7 Clave (b)
mM = – 4/3
06. La ecuación del lugar geométrico de los Tenemos AB  LM PM(3; 1)
puntos equidistantes de A(-2;3) y B(3;-1) es:
a) 10x-8y+3=0 b) x+5y-8=0
mAB =6 /8 = ¾
c) 7x-2y-9=0 d) 6x-9y+2=0
e )x + y – 2 = 0
 LM: 4x+3y-15=0 Clave (a)
Solución:
08. El valor del parámetro k de manera que la
El lugar geométrico de los puntos equidistantes de recta 3kx  5 y  k  2  0 pase por el punto (-
los puntos A y B es la mediatriz del segmento AB 1;4) es:
a)3 b) 6 c) 9
d) 12 e) 15
Solución:
Si P(– 1; 4 )  L: 3kx  5 y  k  2  0
Entonces satisface dicha ecuación, luego
3k(– 1) + 5(4) + k – 2 = 0
 – 3k + 20 + k – 2 = 0
 – 2k +18 = 0
mM =5/4  k=9
Tenemos AB  LM PM(1/2; 1)
k= 9 Clave (c)
mAB =– 4 /5
09. El valor de k para que la distancia d de la
 LM: 10x-8y+3=0 Clave (a) recta 8 x  15 y  k  0 al punto (2;3) sea igual a
5 unidades es:
a) 32 b) 46 c) 54
07. La ecuación de la mediatriz del segmento d) 61 e) 24
determinado por los puntos (7;4) y (-1;-2)
es: Solución:

3. La distancia d P(2; 3) a L: 8 x  15 y  k  0

a= –7 Clave (b)
10. La ecuación de la recta que pasa por el
punto (1;3) y que es perpendicular a la recta
de ecuación 4 x  y  3  0 es:
a) x + y = 4 b) 2x+y=5
c) 3x+y=6 d) 4x+y=7
e) x+4y=13
Observamos que MOC   PNC  a = 3,5
Solución:
 N (12; 17/2)
Sea L1: 4 x  y  3  0 entonces hallemos  mMN = 12/5
L2 tal que L1  L2  L2 : x + 4y = c  LMN : 5x – 12y – 32 = 0 Clave (a)
Como P(1; 3)  L2  (1) + 4(3) = c  c = 13
12. Según la figura OB=BN. Hallar la ecuación
 L2 : x + 4y = 13 Clave (b) de la recta que contiene al punto medio de
BO y al punto N.
11. Según el gráfico determine la ecuación de la recta
que pasa pro M y N, si mMCN = 90º, además OABC
es un cuadrado de lado 8,5 u y AM = 5 u
a) 2x+9y-3=0 b) 2x+11y-15=0
c) x-9y+12=0 d) x+11y-25=0
e) 2x+11y-25=0
Solución:
a) 5x – 12y – 32 = 0 b) 5x + 12y – 42 = 0
d) 12x – 5y + 42 = 0 d) 12x + 5y – 42 = 0
e) 6x + 5y – 21 = 0
Solución:
 LPN : 2x+11y-25=0 Clave (3)

4. 13. Hallar la ecuación de una recta que pasa 15. La pendiente de una recta 3/4 y pasa por el
por el punto (2;-1) y que es paralela a la punto A(1; 2). Calcular su ecuación.
recta:
a) 3x + 4y – 5 = 0 b) 3x – 4y – 5=0
3x – 4y + 1 = 0. c) 4x – 3y +5=0 d) 3x – 4y + 5 = 0
a) 4y – 3x+10 = 0 b) 2x + 3y +10 = 0 e) 4x – 3y + 5 = 0
c) 4y + 3x + 10 = 0 d) 8y - 3x – 10 = 0
e) x + y – 2 = 0 Solución:
 A(1; 2)  L : 3x – 4y + c = 0
Solución:
 3(1) – 4(2) + c = 0
Sea L1: 3x – 4y + 1 = 0  L2: 3x – 4y + c = 0 c=5
 P(2; –1)  L2: 3x – 4y + c = 0
 L: 3x –4y +5 = 0 Clave (d)
 3(2) – 4(–1) + c = 0
6+4+c=0
16. Hallar la distancia entre los puntos:
 c = – 10
 L1: 4y – 3x+10 = 0 Clave (a) a b 3 ba 3 
A (a ; b) y B  ; 
 2 2 
 
14. En la figura, T es punto de tangencia, se cumple la ab
a) ab b) a2  b2 c)
condición: 2
8. BO  OL = 40u. y la longitud de LA es igual a la 2 3a a b
ordenada del punto T. Halle la pendiente del d) e)
b 2
segmento AT .
Solución:
2 2
 b 3  
AB  d ( A, B)   a    b  a 3   a 2  b2
 2   2 
   
 AB = a2  b2 Clave (b)
a)  1 b)  1 c)  1 17. Si las coordenadas del punto que equidista
2 3 4 de
A(8, 3); B(6, 7) y C(-6, 1) son P(x; y)
d)  1 e)  1 entonces x + y es:
5 6 a)1 b)2 c)3
d) 4 e) 5
Solución:
Solución:
Tenemos PA = PB = PC
 PA2 = PB2 = PC2
 (x – 8)2 +(y – 3)2 = (x – 6)2 +(y – 7)2
= (x+6)2 +(y – 1)2
 – 16x + 64 – 6y + 9 = – 12x + 36– 14y + 49
= 12x + 36 – 2y + 1
 mAT = 12  0  1  4x – 8y = – 12 x= 2 ; y = 1
4  52 4
24x + 12y = 48
 mAT = – 1/4 Clave (c)
 P(2; 1) Clave (c)