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Ecuaciones rectas

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Ecuaciones rectas

  1. 1. 1 Escribe las ecuaciones explícita y general de una recta que pasa por el punto P(4,-1) formando un ángulo con el eje OX cuya tangente vale -2. Solución: r : y  mx n  m  2 ; P(4,1)  r  1  8  n  n  7  r : y  2 x 7 ; r : 2 x y 7  0. 2 Averigua la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,-1) y que forma con el eje OX un ángulo de 25º. Solución: r : y  mx n  m  tg 25º  0,4663 ; P(1,-1)  r  -1  0,4663  n  n  -1,4663   r : y  0,4663x- 1,4663 3 Averigua si las rectas r:x - y - 3 = 0 y s:3x + 3y + 9 = 0 son secantes o paralelas. En caso de que sean secantes, halla su punto de corte. Solución: x  y  3 3 3   P(0,3).   3 x  3 y  9 1 1 son secantes y se cortan en: 4 Averigua la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-5,2) y cuya tangente del ángulo que forman la recta y el eje OX vale 6. Solución: r : y  mx n  m  6 ; P(5,2)  r  2  30  n  n  32  r : y  6 x 32. 5 Indica si las rectas r:2x + y + 1 = 0 y s:4x - 2y + 3 = 0 son secantes o paralelas. En caso de que sean secantes, averigua su punto de intersección. Solución: 2 x  y  1  5 1 4 2   P  ,    4 x  2 y  3  8 4 2 1 son secantes y se cortan en: 6 Averigua la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas: a) y = 7x +1 ; b) y = -2x - 5 ; c) y = 3x ; d) y = 9x + 2 . Solución: m = pendiente de la recta, n = ordenada en el origen. a) m = 7, n = 1 ; b) m = -2 , n = -5 ; c) m = 3 , n = 0 ; d) m = 9 , n = 2. 7 Averigua la posición relativa de las rectas r:x - 2y + 5 = 0 y s:3x + y - 1 = 0. Solución: x  2 y  5 3 16  3 16  x ,y  P  , . 3 x y  1  7 7  7 7  Son secantes. 8 Averigua el valor de k para que la recta kx - 7y + 1 = 0 pase por el punto A(2,1). Solución:
  2. 2. 2 k  7  1  0  2 k  6  k  3  r : 3 x 7 y 1  0. 9 ¿Cuánto vale la pendiente de la recta que pasa por A(5,-2) y B(3,-3)? Escribe la ecuación punto - pendiente de dicha recta. Solución: 3  ( 2) 1  ; r : y  ( 2)  x 5. 1 m 35 2 2 10 ¿Cuánto ha de valer k para que las rectas r:kx + 3y + 4 = 0 y s:3x + ky - 4 = 0 sean paralelas? ¿Y si queremos que sean coincidentes? Solución: k 3 4 3 3 4 r || s     k 2  9  k  3 k  3 se tiene    3 k 4 3 3 4 pero si Para que sean paralelas y distintas k = 3, y para que sean coincidentes k = -3. 11 Escribe la ecuación de rectas paralelas a r:y = 4x - 7 que pasen por los puntos A(-1,3), B(4,9) y C(0,6). Solución: rA : y  4 x  n ; A(1,3)  rA  3  4  n  n  7  rA : y  4 x  7; rB : y  4 x  n ; B(4,9)  rB  9  16  n  n  7  rB : y  4 x  7; rC : y  4 x  n ; C(0,6)  rC  6  n  rC : y  4 x  6. 12 Halla la ecuación punto - pendiente de la recta que pasa por A(4,-2) y que es paralela a la que pasa por M(-11,6) y N(7,-8). Solución: 8  6    rA : y  ( 2)   x  4  rA : y  2   x  4. 14 7 7 7 m  7  ( 11) 18 9 9 9 13 ¿Cuánto ha de valer k para que la pendiente de la recta que pasa por A(5,k-7) y B(-3,1) sea m = 3? Solución: 1  (k  7) 8  k m   3  8  k  24  k  32  A(5,25). 35 8 14 Averigua la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas: a) y = -6x +7 ; b) x + 3y - 5 = 0 ; c) y + 1 = 0 ; d) 2x - 5y + 1 = 0 . Solución: m = pendiente ; n = ordenada en el origen. a) m = -6 , n = 7 ; 1 5 b) m   , n  ; 3 3 c) m = 0 , n = -1 ; 2 1 d) m  , n  . 5 5
  3. 3. 15 Halla la ecuación general de la recta que pasa por A(3,-7) y es paralela a la que pasa por los puntos B(-1,3) y C(3,-5). Solución: 5  3 m  2 ; rA : y  ( 7)  2(x 3)  y  7  2 x  6  rA : 2 x  y  1  0. 3  ( 1) 16 Halla el valor de k para que las rectas r:4x - 5y + 2 = 0 y s:kx + y -1 = 0 sea paralelas y distintas. Solución: k 1 1 4 4    k    s :  x  y  1  0  s : 4 x  5 y  5  0. 4 5 2 5 5 17 Halla el valor de k para que la recta que pasa por A(1,-1) y B(k,2) tenga por pendiente m = 1. Escribe la ecuación punto - pendiente de dicha recta. Solución: 2  ( 1) m  1  k  1  3  k  4. k 1 r : y  ( 1)  1(x 1)  y  1  x  1. 18 Halla el valor de a para que la recta que pasa por los puntos A(a,3) y B(-1,5) tenga por pendiente m = 2. Escribe la ecuación de dicha recta. Solución: 53 2 m   2  2  2(1  a)  1  a  1  a  2.  1 a  1 a r : y  mx n  m  2 ; B(1,5)  r  5  2  n  n  7  y  2 x  7. 19 Escribe la ecuación de rectas paralelas a r:y = -2x + 9 que pasen por los puntos A(0,-1), B(1,2) y C(3,-5). Solución: rA : y  2 x  n ; A(0,1)  r A  1  n  rA : y  2 x  1; rB : y  2 x  n ; B(1,2)  rB  2  2  n  n  4  rB : y  2 x  4; rC : y  2 x  n ; C(3,5)  rC  5  6  n  n  1  rc : y  2 x  1. 20 Escribe la ecuación general de la recta que pasa por A(-7,2) y B(1,6). Solución: y 2 62 y 2 1     2 y  4  x  7  x  2 y  11  0. x  ( 7) 1  ( 7) x 7 2 21 Escribe la ecuación de rectas paralelas a r:y = -3x + 5 que pasen por los puntos A(0,7), B(7,0) y C(-7,7). Solución:
  4. 4. rA : y  3 x  n ; A(0,7)  rA  7  n  r A : y  3 x  7; rB : y  3 x  n ; B(7,0)  rB  0  21  n  n  21  rB : y  3 x  21; rC : y  3 x  n ; C( 7,7)  rC  7  21  n  n  14  rC : y  3 x  14. 22 ¿Están alineados los puntos A(-5,7), B(-8,9) y C(-14,13)? Averigualo observando si pertenecen a la misma recta. Solución: r es la recta que pasa por A y por B: y 7 97 y 7 2 r:      3 y  21  2 x  10  2 x  3 y  11  0. x  ( 5)  8  ( 5) x 5 3 ¿C  r? 2(14)  3  13  11  28  39  11  0  Están alineados. 23 Construcciones Notecaigas, S.A. paga a sus albañiles un fijo diario más un suplemento por la superficie de pared construida. El fijo diario es de 9 euros y la superficie la pagan a 3 euros cada metro cuadrado. Halla 2 la ecuación que da el sueldo diario (en euros) en función de la superficie (en m ) Solución: m  3 ; n  9  r : y  3 x 9. 24 Halla la ecuación punto - pendiente de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r:4x - y + 7 = 0 y s:3x + 2y - 5 = 0 y que es paralela al vector (3,-5). Solución: 4 x  y  7  9 41 5 41 5   9  41 5 9   P  ,  ; m   r : y    x      r : y    x  . 3 x 2 y  5  11 11  3 11 3   11    11 3  11 25 ¿Qué valor ha de tomar k para que los puntos A(7,-5), B(-1,3) y C(k,2k) estén alineados? Averígualo haciendo que A, B y C pasen por la misma recta. Solución: r es la recta que pasa por A y B: y  ( 5) 3  ( 5) y 5 r:    1  y  5   x  7  r : x  y  2  0. x 7  1 7 x 7 2 2 4 C  r  k  2 k  2  0  k   C , . 3 3 3 26 Viajar en una línea de autobús cuesta un fijo de 4,5 euros por billete más 0,05 euros por cada kilómetro recorrido. Averigua la ecuación que proporciona el coste del viaje (y en euros) en función de los kilómetros recorridos (x). ¿Cuánto pagaremos por un trayecto de 250 km? Si hemos pagado 37,5 euros, ¿cuántos km habremos recorrido? Solución:
  5. 5. m  0,05 ; n  4,5  r : y  0,05 x  4,5. x  250 km  y  0,05  250  4,5  17 euros. 33 y  37,5 euros  37,5  0,05 x  4,5  0,05 x  33  x   660 km . 0,05 27 Sabiendo que la temperatura aumenta 1 ºC cada 32 m de profundidad y que en la superficie dicha temperatura es de 20 ºC, halla la ecuación de la recta que relaciona la profundidad (x en m) y la temperatura (y en ºC). ¿De qué profundidad procederá un agua que brote a 55 ºC? Solución: 1 1 m ; n  20  r : y  x  20. 32 32 1 1 y  55º  x  20  55  x  35  x  32  35  1120m . 32 32

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