1. POLINOMIOS – V.N. - GRADOS
1. Sea el polinomio:
P(X) = (xn 1
+ 2xn 2
+ n)n
, si 2n
veces
su término independiente es igual a
la suma de sus coeficientes,
entonces “n” es:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
T.I. = P(o) = nn
coef = P(1) = (1 + 2 + n)n
2n
. nn
= (3 + n)n
2n = 3 + n n = 3
RPTA.: C
2. Calcule “m” si la expresión:
m mm m m
x
M x x² x³ x
se transforma a una expresión
algebraica racional entera de 5to
grado.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN
m 1
mm
m 1 2 3 .... m 2
x
M x x
m 1
52
X
M x x
m = 9
RPTA.: B
3. Calcule “n” para que el monomio sea
de 2º grado.
23
n 2 2n 3 4
x 22
n 4
x x x
M
x x
A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
2
3n 6 2n 3 4 10n 4
x 2 4n 8
2n 4
x x x
M
xx
M(x) = x6n 22
= x2
6n 22 = 2
n = 4
RPTA.: A
4. Si:
a b c
a b b c a c
Halle el grado absoluto de:
2 2 2a b c 9a 8ac 8bc
E x;y;z x y z
transformable a una E.A.R.E.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
El G.A. =
9a² 8ac 8bc
.....
a b ² c²
de la condición:
a b c
k
a b b c a c
Propiedad de proporciones:
a b c 1
2 a b c 2
a 1
a b c k
a b 2
Lo reemplazamos en “ ”
9a² 8a² 8a² 25a²
G.A. 5
4a² a² 5a²
RPTA.: C
5. Si: P(x+5) = x² 3x + 1
Calcule: E = P(8) + P(6)
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 7
RESOLUCIÓN
E = 3² 3(3) + 1 + 1 3 + 1
2. E = 0
RPTA.: A
6. Del siguiente polinomio
P(x; y) = 7xa+3
yb 2
z6 a
+5xa+2
yb 3
za+b
en donde:
G.Rx G.Ry = 3 G.A(P) = 13
Calcule: a + b
A) 6 B) 7 C) 8
D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN
G. RX = a + 3 G.A(P) = a+b+1
G. Ry = b 2
a + b = 12
RPTA.: E
7. Sea P(x) un polinomio lineal tal que
verifica la relación
x 6X
P P P 9x 21
Para todo valor de “x”. Halle P(4)
A) 17 B) 18 C) 19
D) 32 E) 33
RESOLUCIÓN
Sea P(x) = ax + b P(6X) = 6ax + b
P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b
Luego:
a²x + ab + b 6ax b = 9x+21
(a² 6a)x + ab = 9x + 21
a² 6a = 9 ab = 21
(a 3)² = 0
a = 3 3b = 21
b = 7
Entonces: P(x) = 3x + 7
P(4) = 3(4) + 7 = 19
RPTA.: C
8. Calcule “n”, si el G.A. del monomio
es 6.
34 2n 4 2n 3
52n 165
x z
M x;y;z;w
y w
A) 12 B) 13 C) 14
D) 11 E) 10
RESOLUCIÓN
G.A. =
2n 4 2n 3 2n 16
6
4 3 5 5
30n 60 + 40n + 60 24n 192 = 360
46n = 360 + 192
46n = 552
n = 12
RPTA.: A
9. Calcule “n” si el monomio es de 4to.
grado
2 3n
x
M x x x
A) 1 B) 3 C) 2
D)
1
2
E)
1
3
RESOLUCIÓN
6n2n
x
1 1 1
2 n 6n
x
M x x² x
M x
1 1 1
4
2 n 6n
3n + 6 + 1 = 24n
7 = 21n
n =
1
3
RPTA.: E
3. 10. Si: x
nx 1
P
x 8
Además P(P(x)) es independiente de
“x”. Calcule “n”
A) 1 B) 8 C)
1
8
D) 8 E) 5
RESOLUCIÓN
2
x
n 1 x n 8
P p
n 8 x 65
como es independiente de “x” se
cumple:
n² 1 n 8
n 8 65
65n² + 65 =
n² 16n + 64
64n² + 16n + 1 = 0
8n 1 n =
1
8
8n 1
RPTA.: C
11. Si: x
P P P 27x 52
Calcule: P( 1)
A) 1 B) 4 C) 4
D) 5 E) 1
RESOLUCIÓN
Como x
P P P es lineal, entonces:
P(x) es lineal. Luego P(x) = ax + b
P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b
27x + 52 = a³ + a²b + ab + b
a = 3 b = 4
P(x) = 3x + 4
P( 1) = 3 + 4 = 1
RPTA.: E
12. Halle la suma de los valores de “n”
que hacen que la expresión:
n
n 3 7 n3
x
1
P 2x 7 x x 6
3
sea
racional entera.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 12 E) 13
RESOLUCIÓN
n 3 0
n
7 n 0
3
n 3 n = 3 n 7
n = 6
n = 3 n = 6
de "n" 9
RPTA.: C
13. Sabiendo que:
m 2 n² 5
n 5 m 4
P x;y 5x y Q x;y
2x y
son semejantes. Calcule el menor
valor de m + n.
A) 1 B) 3 C) 5
D) 8 E) 13
RESOLUCIÓN
Si: P(x; y) Q(x; y)
m 2 = n + 5 m n = 7 ....( )
n² + 5 = m+4 n² m = 1 ...( )
+ : n² n 6= 0
n = 3 n = 2
Luego:
4. n = 3 m = 10
n = 2 m = 5
menos: m + n = 3
RPTA.: B
14. Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1
Calcule: P(P( 1)) + P(P(1))
A) 0 B) 3 C) 728
D) 729 E) 730
RESOLUCIÓN
P(x)= (x+1)³ P( 1)=0 P(P( 1)) = 1
P(1) = (2)³ =8
P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729
P(P( 1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730
RPTA.: E
15. Si el polinomio en “x” e “y”
P(x, y) = 5xa
+ 3xb
yc
+ 2xc
yb
+ ya
es
homogéneo ordenado y completo
respecto de “x” e “y”.
Calcule: 2a + b + 3c
A) 17 B) 13 C) 15
D) 16 E) 18
RESOLUCIÓN
Por ser ordenado y completo:
a = 3; b = 2 y c = 1
2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17
RPTA.: A
16. Calcule “m” si el polinomio
n2n n 1n 8n 2n 2
x
n 1 m² m 3
P 7x 6x 5x
x ... x
es completo y ordenado; en forma
ascendente; de 4nn
términos.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
Es ordenado en forma ascendente:
n2n
8n = 0 n = 2
Luego:
0 m³ m 3
x
P 7x 6x 5x² x³ ...x
El número de términos es:
m² m + 3 + 1
m² m + 4 = 4nn
m² m + 4 = 16
m² m 12 = 0
m = 4
RPTA.: A
17. Halle a y b en la identidad:
4a 7 b 8 b 7 a 8
b x b y a x a y
A) 1 y 3 B)
1 1
y
2 3
C)
1 1
y
2 4
D) 1 y
1
4
E) 0 y 1
RESOLUCIÓN
aa
= bb
a
b
a
b ... ab
= b4a
b = 2a
a =
1 1
b
4 2
RPTA.: C
18. Siendo: P(xn
+ 1) = x 1
Halle: “n”, si: P(3) =
7
8
A)
1
3
B)
1
2
C)
1
2
D)
2
3
E)
1
3
RESOLUCIÓN
xn
+ 1 = 3 xn
= 2 x = n
2
Luego:
P(3) = n 7
2 1
8
5. 1
3n n
1
2 2 2
8
1
n
3
RPTA.: E
19. Sea P(x) un polinomio
P(x) = (3x 1)n
+5x + 1; además la
suma de coeficientes es 70. Calcule
el valor de: 10 n
A) 6 B) 5 C) 4
D) 12 E) 3
RESOLUCIÓN
n
coef P 1 2 5 1 70
2n
= 64 n = 6
10 6 4
RPTA.: C
20. Dado el polinomio mónico
P(x) = 5x4
7ax5
+ (n 2)x7
4x 1
Calcule el valor de: nn
A) 1 B) 4 C) 27
D) 25 E) 16
RESOLUCIÓN
Por ser mónico y de una variable “x”
(coeficiente principal = 1)
(n 2) = 1 n = 3
Luego nos piden: nn
= 33
= 27
RPTA.: C
