ed

1. 1
CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N2
5.1. Introducción
Una ecuación diferencial de segundo orden es una expresión matemática en la que se relaciona una función
con sus derivadas primera y segunda. Es decir, una expresión del tipo ( )
La ecuación anterior se dice escrita en forma normal cuando tenemos: ( )
5.2. Reducción de orden
Este método consiste en reducir el problema de resolver una ecuación diferencial de segundo orden a
un problema de resolver una o más ecuaciones diferenciales de primer orden. Casos a considerar
5.2.1. Ecuaciones que no contienen la variable y. Sea la ecuación ( )=0. Haciendo ,
se deduce . Por tanto la ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación diferencial de
primer orden
  0p,p,xf '
Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde finalmente, se tiene
   21 C,C,xΦydxxpy  
5.2.2. Ecuaciones que no contiene la variable x. Sea la ecuación ( )=0. Haciendo ,
se tiene
dy
dp
p
dx
dy
dy
dp
dx
yd
y 


La ecuación dada se transforma en
0
yd
dp
p,p,yf 





Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde posteriormente se obtiene

2. 2
 21 C,C,xΦy 
5.3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
La ecuación lineal general de segundo orden puede escribirse en la forma estándar
     xRyxQyxPy 
En la cual P(x) , Q(x) , R(x) son funciones conocidas
Teorema 1.De existencia y unicidad para el problema del valor inicial Sean P, Q, R funciones
continuas en un intervalo I y sea Ix0  . Sean 
00 y,y dos números reales cualesquiera. El problema del
valor inicial
          
 0000 yxy,yxy,xRyxQyxPy
tiene solución única definida en I
5.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden
La ecuación lineal general de segundo orden
     xRyxQyxPy 
es homogénea , si R(x) = 0 ,  x  I
    0yxQyxPy 
Teorema 2. Sean 21 y,y soluciones de la ecuación lineal homogénea en un intervalo I. Entonces se
verifica
1. 21 yy  es una solución en I
2. Para cualquier constante c, 1yc es una solución en I

3. 3
Las relaciones (1) y (2) se pueden combinar de la forma siguiente. Si 21 y,y son dos soluciones de la
ecuación anterior 2211 ycyc  es una solución para dos constantes cualesquiera
Definición 1. Las soluciones 21 y,y son linealmente dependientes en un intervalo I si existen dos
números reales no todos nulos tales que
c1 y1+c2 y2 =0
Si la relación anterior solamente se verifica si c1=c2 =0 entonces y1, y2 son linealmente independientes.
Las soluciones y1, y2 forman un sistema fundamental de soluciones si son linealmente independientes
Teorema 3. Estudio del wronskiano para la independencia lineal
Sea la ecuación homogénea de segundo orden ( ) ( ) , y sean y1, y2 soluciones de la
ecuación diferencial dada en el intervalo I . Se demuestra que si el Wronskiano de [y1 , y2] que viene dado
por el determinante
 
   
   xyxy
xyxy
y,yW
21
21
21 

es distinto de cero , entonces y1 , y2 son linealmente independientes
Teorema 4. Sean y1, y2 soluciones independientes de: ( ) ( ) en un intervalo I. Se
demuestra que toda solución de la ecuación diferencial es de la forma y = c1 y1+c2 y2, siendo 21 c,c
constantes. La combinación lineal: c1 y1+c2 y2 es la solución general de la ecuación diferencial si y1 , y2
son linealmente independientes . Esta solución contiene todas las posibles soluciones de la ecuación
diferencial
5.4.1. Obtención de una segunda solución a partir de una solucion conocida. Sea la ecuación lineal
homogénea de segundo orden
( ) ( )
Supongamos que se conoce una solución y1 de la ecuación diferencial. Se trata de buscar una segunda
solución linealmente independiente de la forma
y2(x)= u(x) y1(x)

4. 4
Calculemos 
22 y,y y sustituyamos en la ecuación diferencial, se tiene entonces
    0uyQyPyuyPy2'u'y 111111  
'
Como 0yQyPy 111  
. La nueva ecuación diferencial será
  0uyPy2yu 111  
Haciendo , la ecuación diferencial dada se transforma en
0pP
y
y2
p
1
1








Ecuación lineal de donde obtenemos p. A continuación se calcula u en función de p, con lo cual
y2(x)= u(x) y1(x) es una solución de la ecuación diferencial original, siendo y1 , y2 linealmente
independientes ya que u(x) no es constante. Por tanto y1, y2 forman un conjunto fundamental de
soluciones de la ecuación original. La solución general es de la forma y = c1 y1+ c2 y2
5.5. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes
Esta ecuación es de la forma
( )
Supongamos q (x) = 0. Esta ecuación tiene siempre soluciones del tipo exponencial de la forma y= e r x
. La
sustitución de esta solución en la ecuación diferencial nos da
  0ebrar xr2

Como e r x
0, x, se tiene que . Esta ecuación se llama ecuación característica de la
ecuación diferencial. Las raíces dan valores de r para los cuales e r x
es una solución de la ecuación.
Estas raíces son
2
b4aa
r
2


Las raíces pueden ser: Dos raíces reales distintas. Una raíz real doble. Raíces complejas conjugadas

5. 5
1. La ecuación característica tiene dos raíces reales distintas. Sean r1 y r2 estas raíces, por tanto
xr
2
xr
1
21
ey,ey  son soluciones de la ecuación diferencial. Estas soluciones son linealmente
independientes en cualquier intervalo por ser el wronskiano 0 , luego y1 ,y2 forman un conjunto
fundamental de soluciones, por tanto la solución general de la ecuación homogénea es
xr
2
xr
1
21
ececy 
2. La ecuación característica tiene dos raíces reales iguales. En este caso: a2
-4 b=0. Una solución de esta
ecuación diferencial es:
x
2
a
ey

 Para obtener una segunda solución buscamos soluciones de la forma :
( ) ( ) . La solución general de la ecuación diferencial será
   
x
2
a
21 exccxy


3. La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas. En este caso: a2
- 4 b< 0 . Sean
2
ab4
n,
2
a
m
2

 .
Las raíces son: r1= m +i n, r2= m – i n . La solución general de esta ecuación diferencial será:
y= e m x
(C1 cos n x+ C2 sen n x)
5. 6. Ecuación diferencial de Euler
Esta ecuación es de la forma
, x >0
Para resolver esta ecuación se hace el cambio t = L x , con lo cual la ecuación diferencial dada se
transforma en la ecuación de coeficientes constantes
( )

6. 6
5.7. Ecuaciones de segundo orden no homogéneas
Sea la ecuación diferencial lineal
( ) ( ) ( ) (1)
Teorema 5. Sean y1, y2 un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y sea py una
solución cualesquiera de la ecuación (1). Entonces toda solución de la ecuación (1) es de la forma
p2211 yycycy 
Por tanto el teorema nos dice que conocemos todas las soluciones de la ecuación dada, si podemos
hallar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea junto con una solución
particular cualesquiera de la ecuación no homogénea
La ecuación ( ) ( ) , es la ecuación homogénea asociada de la ecuación (1)
La solución c1 y1+c2 y2 la denotamos por y h. La solución es la solución general de la
ecuación diferencial
5.8. Principio de superposición
Sea la ecuación diferencial
( ) ( ) ( )
Siendo R(x) la suma de un numero finito de funciones
R(x)= f1(x)+f2(x) +…….+f n(x)
y supongamos que podemos hallar una solución particular y j de cada uno de los problemas
( ) ( ) ( )
Se demuestra que la suma de estas soluciones particulares es una solución particular de
( ) ( ) ( )

7. 7
Es decir es una solución de la ecuación diferencial: ( ) ( )
( )
5.9. Método de variación de los parámetros
Sea la ecuación diferencial
( ) ( ) ( ) (2)
P(x), Q(x) , R(x) son funciones continuas en un intervalo I . Supongamos que podemos hallar dos
soluciones linealmente independientes y1 , y2 de la ecuación homogénea, el método de variación de los
parámetros intenta obtener una solución particular de la ecuación dada en la forma
y p= u(x) y1(x)+ v(x) y2(x)
Se necesitan dos ecuaciones para calcular u(x) y v(x). Para ello vamos a operar en la ecuación (2) de la
siguiente forma
2121p yvyuyvyuy  
Por otra parte de u y v exigimos que deben satisfacer la ecuación
0yvyu 21  (3)
Ahora bien

 2121p yvyuyvyuy '' . Por tanto la ecuación
     xRyxQyxPy ppp  
se transforma en
    R(x)yvyuQyvyuPyvyuyvyu 21212121  
Esta ecuación se puede escribir como
     xRyvyuyQyPyvyQyPyu 21222111  

8. 8
Como y1, y2 son soluciones de la ecuación homogénea, los términos entre paréntesis son cero, con lo cual se
tiene
 xRyvyu 21  
(4)
De las ecuaciones (3 y 4) se tiene
Rvyuy
0vyuy
21
21



El determinante de los coeficientes es distinto de cero por ser el wronskiano [y1,y2]  0 , al ser y1,y2
linealmente independientes . Por tanto
W
Ry
W
Ry
0y
v'
W
Ry
W
yR
y0
u' 11
1
22
2


Posteriormente se calculan u y v. Finalmente se obtiene y p=u(x) y1(x)+ v(x) y2(x)
5.10. Ecuaciones diferenciales de orden n
Definiciones. Se define el problema del valor inicial de la ecuación diferencial lineal de orden n de la
forma
( ) (x) ( )
      1n
00
1n
0000 yx.y..........,yxy,yxy 
 '
Siendo a1(x)….a n(x) funciones continuas en un intervalo abierto I. Este problema tiene solución única en I
5.11. Ecuación lineal homogénea de orden n
Sea la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n
( ) (x) ( )

9. 9
Sean y1…….y n soluciones de la ecuación homogénea. Entonces se verifica
1. y1 + y2 +………y n es una solución de la homogénea
2. c y i es una solución para cualquier numero c
Prueba del Wronskiano. Sean n1 .........y,y soluciones de la ecuación diferencial
( ) (x)
en un intervalo abierto I . Entonces se verifica
1. W(x)= 0 xI o bien W(x)0 xI
2 .y1 , y2 ,………y n son linealmente independientes en I si y solo si W(x0)0 para algún x0 en I
Teorema 6. Sean y1, y2,………y n soluciones linealmente independientes de
( ) (x)
en un intervalo abierto I .Entonces c1y1 +……+c n y n es la solución general de la ecuación diferencial
homogénea.
5.12. Ecuación lineal no homogénea de orden n
Sea la ecuación lineal no homogénea
( ) (x) ( )
y sea y p cualquier solución de
( ) (x) ( )
Sean y1,………y n soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea. Cualquier solución
de la ecuación no homogénea se puede escribir en la forma
y =c1y1+c2y2+……..+c n y n + y p

10. 10
Por tanto se tiene y =y h + y p
5.13. Ecuación homogénea con coeficientes constantes
Sea la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes
Supongamos que y=e r x
es una solución de la ecuación diferencial, al sustituir en dicha ecuación se tiene
e r x
( r n
+a1 r n-1
+……+a n-1 r +a n )=0
La ecuación característica adopta la forma . Esta ecuación tiene n -
raíces, para cada raíz r de esta ecuación, e r x
es una solución de esta ecuación.
5.14. Método de los coeficientes indeterminados
Sea la ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes:
( ) (5)
La solución general de esta ecuación diferencial es y h + y p . Por tanto necesitamos obtener una
solución particular y p de la ecuación (5). Para aplicar el método de los coeficientes indeterminados la
función f(x) ha de ser una suma algebraica de funciones tipo
f i(x)= e a x
[P n cos b x+ Q m (x) sen b x]
Donde a , b R y P n (x) , Qm(x) son polinomios de grado n y m respectivamente . Por tanto, para cada
una de las funciones f i (x) se busca una solución particular tal y como se indica en la tabla siguiente en
función de la forma de f i (x)
Forma de f i (x) Raíces del polinomio Forma de la solución
Característico. Particular siendo: k= Max [m, n]
P n (x) El 0 no es una raíz del
Polinomio característico.  xPn


11. 11
P n (x) El 0 es una raíz del polinomio (x)Px n
s 
Característico de multiplicidad s
P n (x) e a x
(a real) El número a no es una raíz del (x)Pe n
xa 
Polinomio característico.
P n (x) e a x
(a real) El número a es raíz del polinomio  xPex n
xas 
Característico de multiplicidad s
 
  xbsenxQ
xbcosxP
m
n 
Los números bi no son
 
  xbsenxQ
xbcosxP
m
n



Raíces del polinomio característico
 
  




 
xbsenxQ
xbcosxP
e
m
nxa
 i b son raíces del polinomio
 
  






 


xbsenxQ
xbcosxP
e
m
nxa
Característico de multiplicidad s
 
  






 
xbsenxQ
xbcosxP
e
m
nxa
bia  Son raíces del polinomio







 


xbsenQ
xbcosP
ex
m
nxas
Característico de multiplicidad s
Donde
 
  k
k10n
k
k10n
xB.........xBBQ
xA.........xAAP




Son polinomios de coeficientes a determinar cuyo grado k, es el máximo entre los valores m y n.
Observación: Este método no es aplicable a una ecuación del tipo: y’’-y = Tang x
Ejercicios resueltos
1. Integrar la ecuación diferencial:   Lyy'y' '

3
Ecuación diferencial en la que falta la x: Cambio: y'
dy
dp
dx
dy
dy
dp
'y'p'y' 

12. 12
La ecuación diferencial se transforma en
  dyLy
p
dp
Lyp
dy
dp
2
2
11 CyLyy
dx
dy
1
CyLyy
p
1




 dyCyLyydx 1  
Lyy
2
1
y
4
3
CyCx 22
21 
2. Integrar la ecuación diferencial xseney2y'3'y' x

a) Ensayando una solución particular
b) Hallando la integral general de la incompleta y aplicando el método de variación de los parámetros
Solución de la homogénea
1r,2r02r3r2

x
2
x2
1H eCeCy 
Para hallar integral general, ensayamos una solución particular de la completa
 xsenbxcosaey x
p 
Sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene






 xsen
2
1
xcos
2
1
ey x
p
Solución general de la ecuación diferencial
 xsenxcos
2
e
eCeCy
x
x
2
x2
1 
b) Método de variación de los parámetros

13. 13
2x
2
x
1 eCeCy 
xseneeC2Ce
0CeCe
xx'
2
'
1
x
'
2
x'
1
x


xseneC,xsen
e2e
ee
e2xsene
e0
C x'
2
xx
xx
xx
x
'
1


2
x
2
11
K
2
xsenxcos
eC
KxcosC





 



    







  x2
2
xx
1 eK
2
xsenxcos
eeKxcosy
    







  x2
2
xx
1 eK
2
xsenxcos
eeKxcosy
x)senx(cose
2
1
eKeKy xx2
2
x
1 
3. Integrar la ecuación diferencial 222
xsenx4yx4
x
y'
'y' 
Conociendo dos soluciones de la incompleta 2
2
2
1 xcosy,xseny 
Integral de la incompleta o homogénea
2
2
2
1 xcosCxsenCy 
Apliquemos el método de variación de los parámetros














22'
2
22'
1
222'
2
'
1
2
2'
2
2'
1
xsenx2C
xcosxsenx2C
xsenx4xsenCx2Cxcosx2
0xcosCxsenC

14. 14
2
222
2
1
22
1
K
2
xcosxsen
2
x
C
K
2
xsen
C




Integral general
2
xcosxsen
xcosKxcos
2
x
xsenK
2
xsen
y
222
2
2
2
2
2
1
23

4. Integrar la ecuación diferencial xcosxy''y' 
a) A través del método general
b) Conociendo una solución particular de la incompleta x
1 ey 

a) Solución de la homogénea
x
21H eCCy 

Solución particular de la completa, ensayo una solución del tipo
    xcosdxcxsenbxayp 
Solución general de la ecuación diferencial
xcos1x
2
1
xsen
2
1
x
2
1
eCCy x
21 













 
b) y(x)= u (x) e –x
Sustituyendo en la ecuación diferencial y, y’, y’’ se obtiene
xcosxeu''u' x

Haciendo u’=p , se obtiene la ecuación diferencial lineal
xcosxepp' x

Cuya solución es
 1
x
Kxcosxsenxep 
De donde se obtiene

15. 15
x
1
xx
eKxcosexsenxe
dx
dy

De donde se obtiene
 xcosxxsenxxcos2xsen
2
1
eKKy x
21  
5. Sea la ecuación diferencial de coeficientes variables     x22
e.1xyy'x'y'1x 
Se conocen dos soluciones particulares de la ecuación incompleta x
21 ey,xy 
Aplicar el método de variación de las constantes para obtener la integral general de la completa
Solución: x
21 eCxCy 
  x2x'
2
'
1
x'
2
'
1
e1xeCC
0eCxC


Sistema en '
2
'
1 C,C , que resolvemos por Cramer x'
2
x2'
1 exC,eC 
Integrando obtenemos C1, C2
  2
xx
2
1
x2
x2
1
K1xedxxeC
K
2
e
dxeC




Solución general    x
2
x
1
x2
eK1xexK
2
e
y 








x2x2x
21 exe
2
1
eKxKy 
6. Integrar la ecuación diferencial 2
x4y2y'3'y' 
y hallar una solución particular que pase por el origen , tal que la tangente en el tenga pendiente 1y'
0 
Solución de la homogénea x
2
x2
1 eCeCy 

16. 16
Solución particular de la completa, para ello ensayamos una solución del tipo cxbxay 2
p 
Solución general de la completa:
7x6x2eCeCy 2x
2
x2
1 
Calculemos ahora una solución particular con las condiciones dadas
9C,2C
6C2C1(0)y
7CC0y(0)
21
12
'
21






Solución particular: 7x6x2e9e2y(x) 2xx2

7. Integrar la ecuación diferencial x
exy'y' 
Solución de la homogénea xsenCxcosCy 21H 
Para calcular una integral particular de la completa, ensayamos una solución del tipo   x
p1 ebxay 
Solución general de la ecuación diferencial
x
21G e
2
1
x
2
1
xsenCxcosCy 






8. Integrar la ecuación diferencial xx
e4xseneyy'2'y'  
Solución de la homogénea
  x
21h exCCy 
Solución particular de xseneyy'2'y' x

Ensayo una solución del tipo xcosbexsenaey xx
p1


De donde se obtiene  xsen3xcos4
25
e
y
x
p1 

Solución particular de x
e4yy'2'y' 

17. 17
Ensayo una solución del tipo: x2
p2 exKy 
De donde obtenemos x2
p2 ex2y 
Integral general   x2
x
21
x
ex2x)sen3xcos(4
25
e
CxCey 
9. Integrar la ecuación diferencial de coeficientes variables x32
exy2'y'x  obteniendo previamente
una solución particular de la incompleta de la forma m
xy  . Calculemos a continuación una solución
particular tal que para y(1) = 0 e y’(1)=1
Solución:
Veamos primeramente la solución de la homogénea
Sustituyendo y, y’, y’’ en la ecuación homogénea
  





 
1m
2m
0x2x1mmx
2
1m2m2
x
C
xCy 22
1h 
Método de variación de los parámetros para calcular la solución particular de la completa








xe
x
1
CxC2
0
x
1
CxC
x
2
'
2
'
1
'
2
2'
1



3
ex
C;
3
e
C
x3
'
2
x
'
1
  2
23
x
21
x
1 K6x6x3x
3
e
C;K
3
e
C 
  x
1
K66xx3x
3
e
xK
3
e
y 2
23
x
2
1
x













Solución general

18. 18






 2
x
2
xe
x
K
xKy x22
1
Integral particular
   





eeKK21(1)y
221eKK01y
21
'
1
21
Integral particular
 










 2
x
2
xe
x3
e21
x
3
e1
y x2
10. Integrar la ecuación diferencial xcosxy''y' 
Solución de la homogénea x
21 eCCy 

Solución particular de la completa
    1d,
2
1
c,
2
1
b,
2
1
axcosdxcxsenbxayp 


Solución general
 xcos2xcosxxsenxxsen
2
1
eCCy x
21  
11. Integrar la ecuación diferencial    
 2
23
x1
x
y8y'x1'y'x)(1''y'x1


La ecuación diferencial es de Euler. Hacemos el cambio L(1+x)=t  (1+x)=e t
, de donde se obtiene
(1+x) y’= y’(t) ;
(1+x)2
y’’=y’’(t) - y’(t)
(1+x)2
y’’’=y’’’(t) – b2 y’’(t)+b1 y’(t)
1)n1)....(rr(rb2 

19. 19
Ecuación característica      08r31rr2r1rr 
08r4r2r 23

Que se corresponde con la ecuación diferencial homogénea
0y8(t)y'4(t)'y'2(t)''y' 
La ecuación diferencial completa será
t2
t
e
1e
y8(t)y'4(t)'y'2(t)''y'


Solución de la homogénea
t2senCt2cosCeCy(t) 32
t2
1 
Solución particular
15
1
KeKy 1
t
11  
Solución particular
32
1
KeKy 1
t
12  2
Solución general
t2t
32
t2
1 e
32
1
e
15
1
-t2senCt2cosCeCy(t) 

Deshaciendo el cambio t = L (1+x)
  x)L(12x)L(1
32
x)L(12
1 e
32
1
e
15
1
-x1L2senCx)L(12cosCeCy(x) 

 
   2
3
3
2
2
2
1
x132
1
x115
1
-x1LsenCx)L(1cosCx)(1Cy(x)




12. Resolver la ecuación diferencial x2senx109y'y' 
Solución de la homogénea
x3
2
x3
1 eCeCy 


20. 20
Solución particular de la completa
   
169
40
d,0c,0b,
13
10-
ax2cosdxcx2senbxayp


Solución general
x2cos
169
40
x2senx
13
10
eCeCy x3
2
x3
1  
13. Resolver la ecuación diferencial   3x2
exxy2y'3'y' 
Solución de la homogénea
x2
2
x
1h eCeCy 
Solución particular de la completa
  x32
p ecxbxay 
Ensayando esta solución se tiene
x32
p e1xx
2
1
y 






Solución general de la completa
x32x2
2
x
1 e1xx
2
1
eCeCy 






14. Resolver la ecuación diferencial xsenx2cosy4y'4'y' 
Solución de la homogénea
  x2
21 exCCy 
Solución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente:
 xsenx3sen
2
1
xsenx2cos 

21. 21
Por tanto, y p = y p1+y p2
Para x3sen
2
1
ensayamos soluciones del tipo: A sen 3 x+ B cos 3 x, obteniéndose la solución
x3cos
169
6
x3sen
338
5
yp1 


Para xsen
2
1
 ensayamos soluciones del tipo: A sen x + B cos x , obteniéndose la solución
xcos
25
2
xsen
50
3
yp2 
Solución general:
  xcos
25
2
xsen
50
3
x3cos
169
6
3xsen
338
5
eCxCy x2
21 
15. Resolver la ecuación diferencial xsenx2seny2y'3'y' 
Solución de la homogénea
x2
2
x
1 eCeCy 
Solución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente:
 x3cosxcos
2
1
xsenx2sen 
Por tanto, y p = y p1+y p2
Para xcos
2
1
ensayamos soluciones del tipo: a cos x + b sen x
Para x3cos
2
1
 ensayamos soluciones del tipo: a cos 3 x + b sen 3 x
Solución general
x3cos
260
7
x3sen
260
9
xcos
20
1
xsen
20
3
eCeCy x3
2
x
1 

22. 22
16. Resolver la ecuación diferencial 5exseny134y''y' x3

Solución de la homogénea
x)3senCx3cos(Cey 21
x2

Solución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente:
 x3cosxcos
2
1
xsenx2sen 
Solución particular, y p = y p1+y p2 + y p3
Para yp1 ensayamos soluciones del tipo x3cosbx3senayp1 
Para yp2 ensayamos soluciones del tipo x3
p2 eky 
Para yp3 ensayamos soluciones del tipo kyp3 
Solución general de la ecuación diferencial
 
13
5
e
10
1
xcos
40
1
xsen
40
3
x3senCx3cosCey x3
21
x2


23. 23

24. 24