Resumen de la unidad III, Solución de sistemas de ecuaciones lineales Whinsey Mohamed

1. Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado Académico
Facultad de Ingeniería
Cabudare Estado Lara
Unidad III:
Solución de Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Whinsey Mohamed
25390809
SAIA “A”

2. Mediante estos métodos atreves de matrices y algoritmos podemos resolver
sistemas de ecuaciones de forma más fácil y eficiente.
Primero tenemos los métodos directos donde resolvemos el problema inicial
Ax= b, se ejecutan atreves de un numero finito de pasos y generan una solución X
casi exacta. Estos métodos son:
1. Método de Eliminación de Gaussiana o de Gauss:
Este método consiste la eliminación progresiva de variables en el sistema de
ecuaciones, hasta tener solo una ecuación con una incógnita y una vez
conseguido se procede por sustitución obtener todas la demás variables. Se
trabaja principalmente con el intercambio de filas, intercambio de columnas,
multiplicación de filas o columnas por constantes, operaciones con filas o
columnas.
2. Método de Gauss-Jordán:
En este método realizamos transformaciones en el sistema inicial para
transformarlo en un sistema diagonal y luego solo haríamos un proceso de
eliminación en la matriz y la resolución de un sistema con esta matriz. Al resolver
el sistema de llegada por remonte, el número de operaciones de este método es
menor al de Gauss por lo tanto este es superior cuando hablamos
computacionalmente al resolver varios sistema con la misma matriz A.
3. Descomposición de LU:
El método demuestra que con una matriz A se puede factorizar como el
producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior U,
cuando llegamos a la parte de eliminación solo involucramos operaciones con los
coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes. Si
los valores de la diagonal de la matriz L tienen números 1, se utiliza la
Descomposición de Dootlitle, pero si los valores de la diagonal de la matriz U
tienen números 1, usamos la Descomposición de Crout.
4. Factorización de Cholesky:
Se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica y definida positiva,
puede ser factorizada como el producto de una matriz triangular inferior y la
traspuesta de la matriz triangular inferior. Es decir: A= L. LT.

3. 5. Factorización de QR, Householder:
La factorización consiste en descomponer la matriz Amxn en el producto de
dos matrices:
 Una matriz Ortogonal: Qmxn ® QT. Q = INxN.
 Una matriz Triangular Superior: U = RNxN.
Y para encontrar las matrices Q y R se utiliza un método basado en
transformaciones sucesivas de Householder.
Ahora tenemos los métodos iterativos o indirectos, los cuales dan lugar a una
sucesión de vectores que idealmente converge a la solución. El cálculo se detiene
cuando se cuenta con una solución aproximada con cierto grado de precisión
especificado de antemano o después de cierto número de iteraciones. Aquí
encontramos los métodos de:
A) Método de Gauss Seidel:
Es el método más comúnmente usado, en el cual se emplean los valores
iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la solución. La
fórmula utilizada para hallar los Xi viene dada por el despeje de cada una de las Xi
en cada una de las ecuaciones y se les da un valor inicial a cada Xi de cero.
B) Método de Jacobi:
Este método requiere un número infinito de operaciones, ya que la eliminación de
cada elemento no cero a menudo crea un nuevo valor no cero en el elemento cero
anterior. Se transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de
forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal, entonces la
sucesión que resulta de la iteración de Jacobi converge a la solución de Ax = b
para cualquier vector inicial Xo