análisis numerico

1. Universidad Fermín Toro
Vice rectorado Académico
Facultad de ingeniería
Análisis Numérico
Gabriel Hernández

2. Métodos de Eliminación Métodos
para resolver sistemas de ecuaciones
lineales utilizando matrices.
Eliminación Gaussiana
También llamado Algoritmo de Gauss,
propone la eliminación progresiva de
variables en el sistema de ecuaciones,
hasta tener sólo una ecuación con una
incógnita. Una vez resuelta ésta, se
procede por sustitución regresiva hasta
obtener los valores de todas las variables.
Consta de los siguientes pasos:
1. Determinar la primera columna (a la
izquierda) no cero.
2. Si el primer elemento de la columna
es cero, intercambiarlo por un renglón
que no tenga cero.
3. Obtener ceros abajo del elemento
delantero sumando múltiplos
adecuados a los renglones debajo de
él.

3. llamada así debido a Carl Friendrich Gauss y Wilhelm Jordan, es
un Algoritmo del algebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se
resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la
reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una
incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de
coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa
el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

4. El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede
factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular
superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran operaciones sobre los
coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes bi de
manera eficiente.

5. Andre-louis cholesky encontró que un matriz simétrica definida positiva puede
ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la
traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el
triangulo de cholesky de la matriz original positiva definida. Es una manera de
resolver sistemas de ecuaciones matriciales y deriva de la factorización LU con
una pequeña variación.

6. Factorización de QR,
Métodos de Eliminación Factorización de
QR, Householder La Factorización QR
Dada una matriz cuadrada y no singular A
de orden n x n, entonces existe una matriz
ortogonal Q y una matriz triangular
superior R tal que A = QR; esta es llamada
la factorización QR de A. Si la matriz A no
es cuadrada y de orden m x n con m
mayor que n entonces:
A=QR=
𝑅
0
donde R es una matriz triangular inferior
de orden n x n y 0 es una matriz de ceros
de orden (m-n) x n.
Si la matriz A es de orden m x n con m
menor que n entonces A = QR = (R1 S);
donde S es un matriz de orden (n-m) por
m.
Existen tres métodos de obtener la
factorización QR y uno de ellos es
Transformaciones Householder.

7. Este método utiliza valores iniciales y después itera para obtener
estimaciones refinadas de la solución. Es un método indirecto, puesto que
después de tener la aproximación inicial, se repite el proceso hasta alcanzar la
solución con un margen de error tan pequeño como se desee.
La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de
cada una de las xi en cada una de las ecuaciones. Los nuevos valores de xi
sustituyen de inmediato a los valores anteriores y los cálculos deben llevarse a
cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de
x1, x2, ..., xi-1.
La desventaja de este método es que no siempre converge a la
solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es
confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente. .

8. Es el método más simple y se aplica sólo a
sistemas cuadrados, es decir a sistemas
con tantas incógnitas como ecuaciones.
1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello
se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se
despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:
x = c + Bx
donde x es el vector de incógnitas.
2. Se toma una aproximación para las soluciones y a ésta se le
designa por xo
3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación
xi+1 = c + Bxi