Sistemas de EDO

ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales

1.Sistemas de
Ecuaciones
Diferenciales
Ordinarias Lineales


EXPRESIÓN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN
Al plantear los modelos matemá- Considerando:
ticos correspondientes a fenóme- F0 =F2 , F2* fijo y
nos físicos, surgen los sistemas
F1 = F0 + F2* ⇒ V1 y V2 constantes
de ED.
Ejemplo 1: Condiciones iniciales:
x1(0) = a
F0 F2* F1

C0 C2 C1
x2(0) = b
Planteando los balances de masa, se obtiene:
En el tanque 1:
x1(t) x2(t)
dx1 ( t ) F2* F
V1 V2 = F0C0 + x2 ( t ) − 1 x1 ( t ) 1
dt V2 V1
F2

C2 En el tanque 2:
Determine la cantidad de soluto x1 dx2 ( t ) F1 F2* F
= x1 ( t ) − x2 ( t ) − 2 x2 ( t ) 1bis
y x2 para cualquier tiempo t. dt V1 V2 V2


Para encontrar las expresiones de x1(t) y x2(t) se deben resolver (1) y (1bis)
en forma simultánea, esto es, como un sistema de EDO de primer orden
lineal.
 dx1 ( t ) F1 F2*
 = − x1 ( t ) + x2 ( t ) + F0C0
 dt V1 V2
 2
 dx2 ( t ) F1
= x1 ( t ) −
(
F2* + F2 ) x2 ( t )

 dt V1 V2

Expresado en forma matricial, junto con las condiciones iniciales tenemos:

 F F2* 
 x1 ( t )   − 1
'
  x1 ( t )   F0C0   x1 ( 0 )   a 
   V1 V2    ;    
 = + =  3
 ' 
x2 ( t )   1
F ( 
F2* + F2 ) 
  x2 ( t )   0 
 



 x2 ( 0 )   b 
  
 
 −
 V1
 V2 


Ejemplo 2: Encontrar las Planteando el modelo matemático visto para
corrientes I1 e I2 en el circuito circuitos eléctricos en serie:
que se muestra en la figura
 dI ( t )
siguiente  R1I1 ( t ) + L1 1 + R2 I1 ( t ) − R2 I 2 ( t ) = E ( t )
 dt 4

 R I t + L dI 2 ( t ) − R I t = 0
K E R1  2 2( )

2
dt
2 1( )

I1 Expresado en forma matricial, junto con las
R2 L1
condiciones iniciales tenemos:
I2  I1' ( t )   − ( R1 + R2 ) R2   I1 ( t )   E ( t ) 
      
L1 L1   + L1 
  = ;
L2  '   R2 R    
− 2 
I2 ( t )    L2
 
L2   I 2 ( t )   0 

 
Condiciones iniciales:
 I1 ( 0 )   a 
I1(0) = a     5
 = 
I2(0) = b  I 2 ( 0 )  b 
   


Podemos inferir que la forma general de los EDO de primer orden es:

 x1 ( t ) = f1 ( t , x1 ( t ) , . . . , xn ( t ) )
'
x1 ( t0 ) = b1

. .

. , . 6
. .

 xn ( t ) = f n ( t , x1 ( t ) , . . . , xn ( t ) )
' xn ( t0 ) = bn


O en forma vectorial:

r r r r r r
x ' ( t ) = f ( t , x1 ( t ) , . . . , xn ( t ) ) = f ( t , x ( t ) ) , x ( t0 ) = b 7

ECUACIONES DIFERENCIALES Conversión a Sistemas de EDO Lineales

CONVERSIÓN DE UNA EDO DE ORDEN n
A UN SISTEMA DE n EDO DE PRIMER ORDEN

La única condición para que una EDO de orden n pueda convertirse en un
sistema de n EDO de primer orden es que pueda escribirse en forma normal,
es decir de la forma siguiente:

n
(
x( ) ( t ) = f t , x ( t ) , x ' ( t ) , . . . , x ( ) ( t )
n −1
) 8

ECUACIONES DIFERENCIALES Conversión a Sistemas de EDO Lineales

Procedimiento a seguir:
Tomando las segundas igualdades,
Expresada la EDO de orden n en la queda determinado un sistema de
forma de , definimos las siguientes EDO de primer orden
funciones:
x ( t ) = x1 ( t )
 x1 ( t ) = x2 ( t )
'
x ' ( t ) = x1 ( t ) = x2 ( t )
'

 x2 ( t ) = x3 ( t )
'
10
x '' ( t ) = x2 ( t ) = x3 ( t )
'

x ''' ( t ) = x3 ( t ) = x4 ( t )
' M
 '
.  xn ( t ) = f ( t , x1 ( t ) , x2 ( t ) , . . . , xn ( t ) )
.
.
x( ) ( t ) = xn ( t ) = f ( t , x1 ( t ) , x2 ( t ) , . . . , xn ( t ) )
n '

9

ECUACIONES DIFERENCIALES Solución de Sistemas de EDO Lineales

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN
TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Un sistema de EDO de primer orden puede escribirse, en notación vectorial,
como: r r r
r r
x ' ( t ) = f ( t , x ( t ) ) , x ( t0 ) = b 11
r
La solución de (11) , en un intervalo abierto I que contiene a t0 , b , será un
r
( T
)
vector solución de la forma x ( t ) =  x1 ( t ) , x2 ( t ) , . . . , xn ( t )  , que satisface el
 
sistema (11) en I.
r r r
Si f ( t , x ( t ) ) es continua en I, se garantiza la existencia de solución x ( t )
r r
que satisface las condiciones iniciales: x ( t0 ) = b
r r
∂f ( t , x ( t ) )
Si además las derivadas parciales , con i=1,...,n, son continuas
∂xi
r
en I0 ⊆ I, entonces se garantiza solución única en I0, con t0 , b ∈ I 0. ( )

Teorema de Existencia y Unicidad para Sistemas de EDO de primer
orden lineal:
 x1 ( t ) = a11 ( t ) x1 ( t ) + a12 ( t ) x2 ( t ) + . . . + a1n ( t ) xn ( t ) + f1 ( t )
' x1 ( t0 ) = b1
 .
 x2 ( t ) = a21 ( t ) x1 ( t ) + a22 ( t ) x2 ( t ) + . . . + a2 n ( t ) xn ( t ) + f 2 ( t )
'
 ; . 12
M .
 '
 xn ( t ) = an1 ( t ) x1 ( t ) + an 2 ( t ) x2 ( t ) + . . . + ann ( t ) xn ( t ) + f n ( t ) xn ( t0 ) = bn
Forma matricial:
r r r r r
x ' ( t ) = A( t ) x ( t ) + f ( t ) , x ( t0 ) = b 13

Si las funciones aij(t) y fi(t) (con i,j = 1, . . . , n) son continuas en I, entonces r
r r
existe solución única x ( t ) , en I, que satisface las condiciones iniciales x ( t0 ) = b .

A partir de ahora se tratarán sistemas de EDO de primer orden lineales a
coeficientes constantes no homogéneos, de la forma:
r r r r r
x ' ( t ) = A x ( t ) + f ( t ) , x ( t0 ) = b 14
A = matriz de coeficientes constantes.


SOLUCIÓN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN
LINEALES NO HOMOGÉNEOS

Vinculado al sistema (14) existe el sistema de EDO de primer orden homogéneo
asociado:
r r
x '( t ) = A x ( t ) 15

La solución general del sistema (14) es:

r r r
x ( t ) = xh ( t ) + x p ( t ) 16

r r
Donde x p ( t ) es la solución particular que satisface (14) y xh ( t ) es la solución
homogénea del sistema de EDO homogéneo asociado (15).


LINEALES HOMOGÉNEOS
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
r r
Sean ϕ1 ( t ) ,. . ., ϕ n ( t ) soluciones de (15) en un intervalo I y sean c , . . . , c
r 1
r n

constantes reales, entonces la combinación lineal c1 ϕ1 ( t ) + . . . + cn ϕ n ( t ) es
también solución sobre I.
Demostración
r
Si ϕi ( t ) , con i = 1, . . . ,n, son solución de (15), cumplen
r r
ϕi' ( t ) = A ϕi ( t ) 17
r r r
La solución es: x ( t ) = c1 ϕ1 ( t ) + . . . + cn ϕ n ( t ) 18 ♦
r r' r'
Derivando la solución (18) : x ' ( t ) = c1ϕ1 ( t ) + . . . + cnϕ n ( t ) 19
Reemplazando (17) en (19)
r r r r r r
x ' ( t ) = c1A ϕ1 ( t ) + . . . + cn A ϕ n ( t ) = A ( c1 ϕ1 ( t ) + . . . + cn ϕ n ( t ) ) = Ax ( t ) 20

Quedando comprobado el principio de superposición.


Derivando la solución (18) :

r r' r'
x ' ( t ) = c1ϕ1 ( t ) + . . . + cnϕ n ( t ) 19


r r r r r r
x ' ( t ) = c1A ϕ1 ( t ) + . . . + cn A ϕ n ( t ) = A ( c1 ϕ1 ( t ) + . . . + cn ϕ n ( t ) ) = Ax ( t ) 20

Quedando comprobado el principio de superposición.


INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS SOLUCIONES

r
Las soluciones ϕi ( t ) del sistema homogéneo (17)deben ser L.I.

La determinación de la independencia lineal se hace a través del
determinante Wronskiano:

M M
r r
W ( t ) = ϕ1 ( t ) L ϕ n ( t ) 21
M M

Si W(t) ≠ 0 ⇒ las soluciones son LI.

Si W(t) ≡ 0 ⇒ las soluciones son LD.


CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES

r r
Sean ϕ1 ( t ) ,. . ., ϕ n ( t ) soluciones LI de (15) en un intervalo I, entonces
r r
ϕ1 ( t ) ,. . ., ϕ n ( t ) constituye un conjunto fundamental de soluciones y la matriz
fundamental de soluciones es:

 
ϕ ( t ) = ϕ ( t ) L ϕ ( t ) 
r r 22
 1 n 

 


El Det ϕ ( t ) = W ( t ) ≠ 0 (soluciones LI) ⇒ existe ϕ ( t ) .
−1


LINEALES HOMOGÉNEOS A COEFICIENTES CONSTANTES.

r r
x '( t ) = A x ( t )

r r 23
 x ( t0 ) = b


r r
Sean ϕ1 ( t ) ,. . ., ϕ n ( t ) soluciones de (23) en un intervalo I, por el principio
de superposición, la solución es:

r r r
xh ( t ) = c1 ϕ1 ( t ) + . . . + cn ϕ n ( t ) 24

O en forma matricial:

r r
xh ( t ) = ϕ ( t ) c 25


Además se cumple de (25):
r r
xh ( t0 ) = ϕ ( t0 ) c
r r
c = ϕ−1 ( t0 ) xh ( t0 ) 26
r r
c = ϕ ( t0 ) b
−1


r r
xh ( t ) = ϕ ( t ) ϕ ( t0 ) b
−1

r r 27
xh ( t ) = Ω ( t ) b

Donde Ω ( t ) = ϕ ( t ) ϕ −1 ( t0 ) es una Matriz Fundamental de Soluciones
que cumple Ω ( t0 ) = I


MÉTODO DE LOS VALORES PROPIOS

Un sistema de EDO lineal homogéneo a coeficientes constantes, puede
expresarse en forma genérica como sigue

 x1 ( t ) = a11 x1 ( t ) + a12 x2 ( t ) + . . . + a1n xn ( t )
' x1 ( t0 ) = b1
 .
 x2 ( t ) = a21x1 ( t ) + a22 x2 ( t ) + . . . + a2 n xn ( t )
'
 ; . 28
M .
 '
 xn ( t ) = an1 x1 ( t ) + an 2 x2 ( t ) + . . . + ann xn ( t ) xn ( t0 ) = bn
r r r r
x '( t ) = A x ( t ) ; x ( t0 ) = b

Al observar el sistema vemos que las funciones derivadas pueden verse
como la combinación lineal de las funciones incógnitas, por lo tanto la
expresión funcional de éstas debe ser tal que no se modifique al derivarla,
salvo por una constante. Entonces proponemos a la función exponencial
como posible solución.


r r
x ( t ) = v e λt
29
r
λ ∈£ ,v ∈£ n

Si (29) es solución, entonces debe satisfacer el sistema (28), entonces

r r
x ' ( t ) = λ v e λt 30

Reemplazando (29) y (30) en (28), resulta:

r r r r
λ v eλt = A v e λt ⇒ A v = λ v 31

r r
( A-λ I ) v = 0 32

Esta expresión representa un problema de valores propios y vectores propios.


Para que se cumpla (32) tenemos dos opciones:
r r r r
1) v = 0, lo que lleva a la solución trivial x ( t ) = 0

2) Matriz ( A-λ I ) singular, es decir:

Det ( A-λ I ) = A-λ I = 0 33

A partir de (33) se obtiene la Ecuación Característica de la matriz A, de
donde se obtienen los valores propios λ.

De aquí surgen tres posibilidades:

Caso I: Valores propios reales y distintos.

Caso II: Valores propios reales e iguales.

Caso III: Valores propios complejos (conjugados).


CASO I: VALORES PROPIOS REALES Y DISTINTOS

Sean λ1, . . . , λn valores propios reales distintos de la matriz de coeficientes A,
r r
y sean sus vectores propios asociados v1 ,. . .,,ventonces las soluciones
n

(LI) son:
r r
x1 ( t ) = v1 eλ1t
M 34
r r
xn ( t ) = vn eλnt

La solución del sistema homogéneo (18) es:
r r λ1t r λnt
xh ( t ) = c1v1 e + . . . + cn vn e 35

Para obtener los valores de las constantes ci se imponen las condiciones
iniciales.


CASO II: VALORES PROPIOS REALES E IGUALES

Existen dos posibilidades que determinan la forma de la solución:
I): Valores propios completos.
II): Valores propios defectuosos.

Se dice que el valor propio λi de multiplicidad ki es completo si existen ki
vectores propios LI, asociados a dicho valor propio.
De lo contrario, se dice que son valores propios defectuosos.
Si solo existen pi vectores propios LI (con pi < ki), entonces al número di ( con
di = ki – pi) de vectores propios LI “faltantes” se denomina defecto del valor
propio λi.
El escalar ki se denomina multiplicidad algebraica del valor propio λi y pi es la
multiplicidad geométrica del mismo.


I) VALORES PROPIOS COMPLETOS

Las soluciones (LI) son:
r r
x1 ( t ) = v1 eλt
M 36
r r
xn ( t ) = vn eλt

La solución del sistema homogéneo (18) es:

r r λt r λt
xh ( t ) = c1v1 e + . . . + cn vn e 37


I) VALORES PROPIOS DEFECTUOSOS

Para deducir la solución partiremos de un sistema de dos EDOL de primer
orden homogéneo a coeficientes constantes.

 x1 ( t ) = a11x1 ( t ) + a12 x2 ( t )

'
 x1 ( t0 ) = b1

 ' ; 
 x2 ( t ) = a21 x1 ( t ) + a22 x2 ( t )
  x2 ( t0 ) = b2
 38
r r r r
x '( t ) = A x ( t ) ; x ( t0 ) = b

Los valores propios (repetidos) son λ1 = λ2 = λ. Si son valores propios
r
v1
defectuosos entonces sólo existe un vector propio asociado , entonces
una solución de (38) es:
r r
x1 ( t ) = v1 eλt 39


Como propuesta natural para la segunda solución surge la de multiplicar por
la variable independiente t la solución obtenida:
r r r
x2 ( t ) = t x1 ( t ) = v1 t eλt 40

Si reemplazáramos (40) en (38) veríamos que no la satisface.

Entonces proponemos:
r r r
x2 ( t ) = v1 t eλt + v2 eλt 41

Su derivada es:
r' r r r
x2 ( t ) = v1 eλt + λ v1 t eλt + λ v2 eλt 42

Reemplazando en (38):
r r r r
( r
v1 eλt + λ v1 t eλt + λ v2 eλt = A v1 t eλt + v2 eλt ) 43
r r r r r
v1 + λ v2 + λ v1 t = Av1 t + Av2


A partir de esta última igualdad se obtienen dos relaciones:
r
Una de ellas, es la que permitió encontrar la primera solución : x1 ( t )
r r
λ v1 = Av1
r r 44
( A-λ I ) v1 = 0
La otra relación es:

r r r
v1 + λ v2 = Av2
r r 45
( A − λ I ) v2 = v1
r
Resolviendo esta igualdad obtenemos v2

Otra alternativa para encontrar las soluciones, sabiendo que los valores
propios son defectuosos, se obtiene premultiplicando (45) por la matriz (A-λI):
r r
( A − λ I ) 2 v2 = ( A − λ I ) v1 46


Por (44), resulta:
r r
( A − λ I ) v2 = 0
2
47

r r
Entonces, a partir de (47) se obtiene v2 y de (45) se obtiene v1

Resumiendo, las soluciones son:
r r
x1 ( t ) = v1 eλt
48
r r r
x2 ( t ) = ( v1 t + v2 ) eλt

La solución del sistema (38) será:
r r r r
xh ( t ) = c1v1 eλt + c2 ( v1t + v2 ) eλt 49

Para obtener los valores de las constantes ci se imponen las condiciones
iniciales.
r
v2 no es un vector propio ordinario.


VECTORES PROPIOS GENERALIZADOS
Un Teorema Fundamental del Álgebra Lineal establece que toda matriz A,
de dimensión n × n, tiene n vectores propios generalizados.

Si λi es un valor propio de A, entonces un vector propio de rango r asociado
a λi, es un vector tal que cumple:
r r
( A − λi I ) v = 0
r

r 50
r −1 r
( A − λi I ) v ≠ 0
r
Si r = 1, entonces v es un vector propio ordinario o regular asociado a λi.

Cuando la dimensión de la matriz A es mayor o igual a tres (n ≥ 3) y por lo
tanto la posibilidad de mayores valores de multiplicidad algebraica de los
valores propios, aparecen cadenas de vectores propios generalizados, cada
una de ellas relacionada a un vector propio ordinario asociado a un valor
propio múltiple. La suma de estas cadenas es igual a la multiplicidad
algebraica del valor propio.


Ejemplo:

Una cadena de longitud k de vectores propios generalizados con base en
r
el vector propio ordinario v1 es un conjunto de k vectores generalizados,
r r
{ v1 ,..., vk } , que cumplen:
r r
( A − λi I ) vk = vk −1
r r
( A − λi I ) vk −1 = vk −2
.
51
.
.
r r
( A − λi I ) v2 = v1
r r
( A − λi I ) v1 = 0
r
Por ser v1 un vector ordinario, de (51) se deduce que:
r r
( A − λi I ) k
vk = 0 52


Índice de Valores Propios (η )

Si λi es un valor propio de multiplicidad algebraica ki de la matriz A ∈ ¡
n× n
,
entonces el menor número natural η que cumple con lo siguiente se denomina
índice del valor propio λi:

η η
rango ( A − λi I ) = r ( A − λi I ) = n − ki 53


SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EDO

Es posible demostrar que si λi es un valor propio de multiplicidad ki, con
defecto d = ki – 1 se puede encontrar una cadena de longitud ki de vectores
propios generalizados y con ellos obtener ki soluciones LI, de la forma:

r
 v1t k −1 r
r vk −2t 2 r r  λit
ϕk ( t ) = 
 ( k − 1) !
+. . .+ + vk −1t + vk ÷e
÷ con k= 1,...ki 54
 2! 

Las cadenas de vectores propios generalizados dependen del defecto del
valor propio, lo cual puede generar complicaciones.


Ejemplo:

Para un valor propio de multiplicidad algebraica 4 (ki = 4), pueden ocurrir los
siguientes casos:

1) Si d=0, entonces habrá 4 cadenas de longitud 1, es decir, existen 4
vectores propios ordinarios LI.
2) Si d=1, entonces habrá 2 cadenas de longitud 1 y una de longitud 2,
es decir, existen 3 vectores propios ordinarios LI.
3) Si d=2, entonces habrá 2 cadenas de longitud 2 ó una cadena de
longitud 3 y una de longitud 1, es decir, existen 2 vectores propios
ordinarios LI.
4) Si d=3, entonces habrá una cadena de longitud 4, es decir, existe un
solo vector propio ordinario.

La longitud de la cadena más larga es a lo sumo d +1


Obtención de las Cadenas de Valores Propios Generalizados

Procedimiento:

1- Determinación del número de cadenas: lo que permite conocer el número
de vectores propios ordinarios (pi).

pi = n − rango ( A − λi I ) = n − r ( A − λi I ) 55

Adicionalmente, podemos calcular el defecto del valor propio λi a partir de
di = ki – pi.

Conocemos el número de cadenas pero no sus longitudes.


2- Cálculo del índice ηi del valor propio λi (para la cadena más larga)

Se determina a través de (53)

η η
rango ( A − λi I ) = r ( A − λi I ) = n − ki 53


3- Generación de las cadenas de vectores propios generalizados

Si se cumple
r r
( A − λ I ) ηi vηi = 0
 i 56
 ηi −1 r r
( A − λi I )
 vηi ≠ 0
r
para algún vηi vector , entonces a partir de él generamos una cadena de
longitud ηi ≤ ki, resolviendo
r r
( A − λi I ) vηi = vηi −1
.
.
57
.
r r
( A − λi I ) v2 = v1
r r
( A − λi I ) v1 = 0
La cadena finaliza cuando se encuentra un vector propio ordinario, en este
r
caso v1.


Si existen más cadenas, se repite el procedimiento partiendo de:

r r
( A − λ I ) ηi −1 w = 0
 i
58
 ηi − 2 r r
( A − λi I )
 w≠0

Si existe un vector , entonces se genera una nueva cadena de longitud ηi-1.

La suma del número de vectores propios generalizados debe ser igual a la
multiplicidad algebraica ki del valor propio λi .

Cada cadena genera soluciones de la forma de (54).
r
 v1t k −1 r 2
r vk −2t r r  λit
ϕk ( t ) = 
 ( k − 1) ! + . . . + 2! + vk −1t + vk ÷e
÷
54
 
Los vectores de cada cadena son LI y también lo son entre cadenas,
asegurando así soluciones LI del sistema de EDO de primer orden.


EJEMPLO
r r
Encontrar la solución de x ' ( t ) = A x ( t ) con

3 −1 1 1 0 0
1 1 −1 −1 0 0

 
0 0 2 0 1 1
A= 
0 0 0 2 −1 −1

0 0 0 0 1 1
 
0 0 0 0 1 1

Para encontrar los valores propios resolvemos

Det ( A-λ I ) = A-λ I = 0


Ecuación Característica
λ ( λ -2 ) = 0
5

Por lo tanto los valores propios son:

λ1,2,...,5 = 2; λ6 = 0

Solución para λ6 = 0
r r r
Φ 6 ( t ) = v6eλ6t = v6

r
Para determinar v6 hacemos

r r r
( A-λ6I ) v6 = 0 ⇒ v6 = [ 0 0 0 0 1 ]T
−1 O uno de sus múltiplos

Entonces r
Φ6 ( t ) = [ 0 0 0 0 1 −1 ]T


Solución para λ2 = 2

Aplicaremos la secuencia de cálculo para vectores propios generalizados.

1- Determinación del número de cadenas:

1 −1 1 1 0 0
1 −1 −1 −1 0 0

 
0 0 0 0 1 1
Calculamos (A − 2I ) =  
0 0 0 0 −1 −1

0 0 0 0 −1 1
 
0 0 0 0 1 −1

p = n − rango ( A − λi I ) = n − r ( A − 2I ) = 6 − 4 = 2

Entonces existen 2 cadenas de vectores propios generalizados ó 2 vectores
propios ordinarios LI, por lo tanto el defecto es: d = k – p = 5 – 2 = 3.


2- Cálculo del índice η del valor propio λ = 2
η η
rango ( A − λi I ) = r ( A − λi I ) = n − ki = 6 − 5 = 1

Sabemos que r ( A − 2I ) = 4 ≠ 1
1

Calculamos ( A − 2I )
2
y determinamos su rango

0 0 2 2 0 0
0 0 2 2 0 0

 
2
0 0 0 0 0 0
(A − 2 I ) =  
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2 −2 
 
0 0 0 0 −2 2

Entonces r ( A − 2I ) = 2 ≠ 1
2


Calculamos ( A − 2I ) 3 y determinamos su rango

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

 
3
0 0 0 0 0 0
(A − 2 I ) =  
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 −4 4
 
0 0 0 0 4 −4 

entonces r ( A − 2I ) = 1, por lo tanto el índice del valor propio 2 es igual a 3
3


3- Generamos, si es posible, una cadena de 3 vectores propios generalizados.

r r
( A − 2I ) 3 v = 0
 3
 3−1 r r
( A − 2I ) v3 ≠ 0

r
v3 = [ 0 0 0 1 1 1] ó un
T
A partir de estas ecuaciones encontramos
múltiplo de él.

Ahora generamos los otros dos vectores de la cadena, uno de ellos vector
propio ordinario.
r r
Hacemos ( A − 2I ) v3 = v2
r
v2 = [ 1 −1 2 −2 0 0]
T
Y obtenemos


r r
Seguimos con: ( A − 2I ) v2 = v1
r
v1 = [ 2 2 0 0 0 0]
T
Y obtenemos

Además se comprueba que:
r r
( A − 2I ) v1 = 0
r r r r
Por lo tanto v1 es el vector propio ordinario de la cadena { v1, v2 , v3 }

Con los vectores encontrados generamos 3 soluciones LI del sistema,
aplicando (54) r r
Φ1 ( t ) = v1e 2t
r r r
Φ 2 ( t ) = ( v1t + v2 ) e 2t

r 1 r r r 
Φ 3 ( t ) =  v1t 2 + v2t + v3 ÷e 2t
2 


Ahora generamos la segunda cadena, buscando un vector que cumpla:
r r
( A − 2I ) 2 v = 0
 5
 2−1 r r
( A − 2I ) v5 ≠ 0

r
v5 = [ 0 0 0 0 1 1]
T
Y encontramos que o un múltiplo de él.
r
Generamos v4 y verificamos que es un vector propio ordinario:
r r r
( A − 2I ) v5 = v4 v4 = [ 0 0 2 −2 0 0]
T
⇒
r r
Y cumple con ( A − 2I ) v4 = 0
r r
r
Por lo tanto v4 es el vector propio ordinario de la segunda cadena: { v4 , v5 }
Obtenemos las dos soluciones faltantes:
r r
Φ 4 ( t ) = v4e 2t
r r r
Φ 5 ( t ) = ( v4t + v5 ) e 2t


La solución general es la combinación lineal de las 6 soluciones obtenidas:

r r r r r r r
Φ ( t ) = c1 Φ1 ( t ) + c2 Φ 2 ( t ) + c3 Φ 3 ( t ) + c4 Φ 4 ( t ) + c5 Φ 5 ( t ) + c6 Φ 6 ( t )


CASO III) VALORES PROPIOS COMPLEJOS (CONJUGADOS)

El valor propio λ puede expresarse como λ = α ± β i.

Tomando λ1 = α + β i, la solución tendrá la forma :

r r ( α +βi) t r r
r λt
(
v e = a +b i e ) ( )(
= a + b i eα t cos β t + i eα t sen β t ) 59

Aplicando la propiedad distributiva y agrupando, nos queda:
r αt r αt r αt r αt
= ae cos β t − be sen β t + a ie sen β t + b ie cos β t
60
r αt r αt
(
r αt r αt
) (
= ae cos β t − be sen β t + i a e sen β t + b e cos β t )
Puede demostrarse que:
r r αt r αt
x1 ( t ) = ae cos β t − be sen β t
r αt 61
r r αt
x2 ( t ) = a e sen β t + b e cos β t


Entonces, la solución del sistema (38) será

r r
r
( r
) (
r
)
xh ( t ) = c1 a cos β t − bsen β t e + c2 a sen β t + b cos β t eα t
αt 62

Para determinar las constantes ci se imponen las condiciones iniciales.


SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN A COEFICIENTES
CONSTANTES NO HOMOGÉNEOS. SOLUCIÓN PARTICULAR

La solución general de (14) está dada por (16):

r r r
x ( t ) = xh ( t ) + x p ( t ) 16

La solución particular está muy influenciada por la solución homogénea
r
y por la expresión de la función f (t )

Tenemos dos métodos:

Método de los coeficientes indeterminados.

Método de variación de parámetros.


METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

r
f (t ) ⇒ Polinómica, exponencial, seno, coseno, combinación lineal
o producto entre ellas

Debe proponerse una solución LI con la solución homogénea, teniendo en
r
cuenta las funciones escalares que componen f (t )

Si la solución propuesta es LD con la homogénea, debe multiplicarse por
un polinomio de grado uno completo, a coeficientes vectoriales de la
r
r
forma a t + b si sigue siendo LDr debe multiplicarse por un polinomio de
,
r 2 r
segundo grado completo a t + b t + c y así sucesivamente.


METODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS

Obtendremos algunas relaciones útiles a partir del sistema EDO homogéneo
asociado.
r r
x '( t ) = A x ( t ) 15

Su solución es
r r
xh ( t ) = ϕ ( t ) c 63

Derivando
r' r
xh ( t ) = ϕ' ( t ) c 64

Reemplazando (63) y (64) en (15)

r r
ϕ' ( t ) c = Aϕ ( t ) c
65
ϕ' ( t ) = Aϕ ( t )


Desarrollo del método de variación de parámetros

A partir de la solución homogénea proponemos la solución particular.

r r r r
xh ( t ) = ϕ ( t ) c ⇒ xp ( t ) = ϕ( t ) u ( t ) 66
r
u (t ) función a determinar

r
x p (t ) debe satisfacer el sistema no homogéneo.

Derivando (66)
r r r
x'p ( t ) = ϕ' ( t ) u ( t ) + ϕ ( t ) u' ( t ) 67

Entonces: r r r r
ϕ' ( t ) u ( t ) + ϕ ( t ) u' ( t ) = Aϕ ( t ) u ( t ) + f ( t ) 68


r r r r
Aϕ ( t ) u ( t ) + ϕ ( t ) u' ( t ) = Aϕ ( t ) u ( t ) + f ( t ) 69

Entonces:
r r
ϕ ( t ) u' ( t ) = f ( t ) 70

Despejando
r r
u' ( t ) = ϕ ( t ) f ( t )
−1

r r 71
u ( t ) = ∫ ϕ ( t ) f ( t ) dt
−1

La solución particular, reemplazando (71) en (66), resulta:

r r
x p ( t ) = ϕ ( t ) ∫ ϕ ( t ) f ( t ) dt
−1
72


Alternativamente, si incluimos las condiciones iniciales, (72) queda:
r t r
xp ( t ) = ϕ ( t ) ∫t ϕ ( s ) f ( s ) ds
−1
73
0

La solución general entonces es:
r r t r
x ( t ) = ϕ ( t ) ϕ ( t0 ) b + ϕ ( t )
−1
∫t ϕ
−1
( s ) f ( s ) ds 74
0

En particular, si ϕ ( t0 ) = I ( ó ϕ ( t ) = Ω ( t ) ) A es a coeficientes constantes y
t0 = 0, entonces es posible demostrar que:
ϕ ( t ) ϕ −1 ( s ) = ϕ ( t − s ) 75

En este caso la solución general de es:
r r t r
x ( t ) = ϕ ( t ) ϕ ( t0 ) b +
−1
∫t ϕ ( t ) ϕ

−1
( s )  f ( s ) dt

0

r r 76
r t
x ( t ) = ϕ ( t ) ϕ ( t0 ) b +
−1
∫0 ϕ ( t − s ) f ( s ) dt
r r t r
x( t) = Ω( t) b + ∫t Ω ( t − s ) f ( s ) dt 77
0


LECTURA COMPLEMENTARIA
En el capítulo 2 durante el desarrollo del método de variación de parámetros
para una EDOL de orden 2, se impusieron condiciones a cumplir no del todo
claras y se mencionó que dichas condiciones se cumplen naturalmente al
tratar con sistemas de EDOL de primer orden. En este punto buscaremos
demostrar que se cumplen dichas condiciones.

Partiendo de una EDOL de segundo orden:

y'' ( t ) + a y' ( t ) + b y ( t ) = F ( t ) 78

Las soluciones de la EDOL homogénea asociada a serán y1 ( t ) e y2 ( t )

El determinante Wronskiano correspondiente es

y1 ( t ) y2 ( t )
W ( t) = 79
y'1 ( t ) y'2 ( t )


Y la matriz fundamental de soluciones es

 y1 ( t ) y2 ( t ) 
ϕ ( t) =  '
*
 80
 y1 ( t )
 y'2 ( t ) 

Transformando la EDOL a un sistema de dos EDOL de primer grado:

y( t) = v( t)
y '( t ) = v '( t ) = w( t ) 81

y '' ( t ) = w ' ( t ) = −a w ( t ) − b v ( t ) + F ( t )
Entonces el sistema es:

 v ' ( t )   0
 1  v( t)   0 
 =  +

 w ' ( t )   −b − a   w ( t )   F ( t ) 
    82
r
{ r r
x '( t ) = A x ( t ) + f ( t )


Las soluciones del sistema de EDOL homogéneo asociado a (82) serán:

r  v ( t)  r  v2 ( t ) 
x1 ( t ) =  1  x2 ( t ) =   83
 w2 ( t ) 
y
 w2 ( t ) 

Y su matriz fundamental de soluciones es

 v1 ( t ) v2 ( t ) 
ϕ( t) =   84
 w1 ( t ) w2 ( t ) 

Para encontrar la solución particular de (82), aplicando el método de variación
de parámetros, usaremos la ecuación(70)

 v1 ( t ) v2 ( t )   u1 ( t )   0 
'

  =  85
 w1 ( t ) w2 ( t )  u'2 ( t )   F ( t ) 
 


Pero, por (81) :
v1 ( t ) = y1 ( t )
v2 ( t ) = y2 ( t )
86
w1 ( t ) = y1 ( t )
'

w2 ( t ) = y1 ( t )
'

Entonces la expresión (85), reemplazando las igualdades de (86), queda

 y1 ( t ) y2 ( t )   u1 ( t )   0 
'
 '  ' =  87
 y1 ( t )
 y2 ( t )   u2 ( t )   F ( t ) 
'
 
Expresión que se obtuvo en el capítulo 2, al imponer de manera casi arbitraria
la condición y1 ( t ) u1 ( t ) + y2 ( t ) u2 ( t ) = 0
' '

Con un procedimiento similar puede comprobarse la generalización del método
de Variación de Parámetros para EDOL de orden n.

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