Sistemas de EDO

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Sistemas de EDO

  1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales 1.Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales
  2. 2. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales EXPRESIÓN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDENAl plantear los modelos matemá- Considerando:ticos correspondientes a fenóme- F0 =F2 , F2* fijo ynos físicos, surgen los sistemas F1 = F0 + F2* ⇒ V1 y V2 constantesde ED.Ejemplo 1: Condiciones iniciales: x1(0) = aF0 F2* F1C0 C2 C1 x2(0) = b Planteando los balances de masa, se obtiene: En el tanque 1: x1(t) x2(t) dx1 ( t ) F2* F V1 V2 = F0C0 + x2 ( t ) − 1 x1 ( t ) 1 dt V2 V1 F2 C2 En el tanque 2:Determine la cantidad de soluto x1 dx2 ( t ) F1 F2* F = x1 ( t ) − x2 ( t ) − 2 x2 ( t ) 1bisy x2 para cualquier tiempo t. dt V1 V2 V2
  3. 3. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesPara encontrar las expresiones de x1(t) y x2(t) se deben resolver (1) y (1bis)en forma simultánea, esto es, como un sistema de EDO de primer ordenlineal.  dx1 ( t ) F1 F2*  = − x1 ( t ) + x2 ( t ) + F0C0  dt V1 V2  2  dx2 ( t ) F1 = x1 ( t ) − ( F2* + F2 ) x2 ( t )   dt V1 V2Expresado en forma matricial, junto con las condiciones iniciales tenemos:  F F2*   x1 ( t )   − 1   x1 ( t )   F0C0   x1 ( 0 )   a     V1 V2    ;      = + =  3   x2 ( t )   1 F (  F2* + F2 )    x2 ( t )   0        x2 ( 0 )   b        −  V1  V2 
  4. 4. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesEjemplo 2: Encontrar las Planteando el modelo matemático visto paracorrientes I1 e I2 en el circuito circuitos eléctricos en serie:que se muestra en la figura  dI ( t )siguiente  R1I1 ( t ) + L1 1 + R2 I1 ( t ) − R2 I 2 ( t ) = E ( t )  dt 4   R I t + L dI 2 ( t ) − R I t = 0 K E R1  2 2( )  2 dt 2 1( ) I1 Expresado en forma matricial, junto con las R2 L1 condiciones iniciales tenemos: I2  I1 ( t )   − ( R1 + R2 ) R2   I1 ( t )   E ( t )         L1 L1   + L1    = ; L2    R2 R     − 2  I2 ( t )    L2   L2   I 2 ( t )   0    Condiciones iniciales:  I1 ( 0 )   a  I1(0) = a     5  =  I2(0) = b  I 2 ( 0 )  b     
  5. 5. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesPodemos inferir que la forma general de los EDO de primer orden es:  x1 ( t ) = f1 ( t , x1 ( t ) , . . . , xn ( t ) ) x1 ( t0 ) = b1  . .  . , . 6 . .   xn ( t ) = f n ( t , x1 ( t ) , . . . , xn ( t ) ) xn ( t0 ) = bn O en forma vectorial: r r r r r r x ( t ) = f ( t , x1 ( t ) , . . . , xn ( t ) ) = f ( t , x ( t ) ) , x ( t0 ) = b 7
  6. 6. ECUACIONES DIFERENCIALES Conversión a Sistemas de EDO Lineales CONVERSIÓN DE UNA EDO DE ORDEN n A UN SISTEMA DE n EDO DE PRIMER ORDENLa única condición para que una EDO de orden n pueda convertirse en unsistema de n EDO de primer orden es que pueda escribirse en forma normal,es decir de la forma siguiente: n ( x( ) ( t ) = f t , x ( t ) , x ( t ) , . . . , x ( ) ( t ) n −1 ) 8
  7. 7. ECUACIONES DIFERENCIALES Conversión a Sistemas de EDO Lineales Procedimiento a seguir: Tomando las segundas igualdades, Expresada la EDO de orden n en la queda determinado un sistema de forma de , definimos las siguientes EDO de primer orden funciones:x ( t ) = x1 ( t )  x1 ( t ) = x2 ( t ) x ( t ) = x1 ( t ) = x2 ( t )   x2 ( t ) = x3 ( t ) 10x ( t ) = x2 ( t ) = x3 ( t ) x ( t ) = x3 ( t ) = x4 ( t ) M  .  xn ( t ) = f ( t , x1 ( t ) , x2 ( t ) , . . . , xn ( t ) )..x( ) ( t ) = xn ( t ) = f ( t , x1 ( t ) , x2 ( t ) , . . . , xn ( t ) ) n 9
  8. 8. ECUACIONES DIFERENCIALES Solución de Sistemas de EDO Lineales SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDADUn sistema de EDO de primer orden puede escribirse, en notación vectorial,como: r r r r r x ( t ) = f ( t , x ( t ) ) , x ( t0 ) = b 11 r La solución de (11) , en un intervalo abierto I que contiene a t0 , b , será un r ( T ) vector solución de la forma x ( t ) =  x1 ( t ) , x2 ( t ) , . . . , xn ( t )  , que satisface el   sistema (11) en I. r r r Si f ( t , x ( t ) ) es continua en I, se garantiza la existencia de solución x ( t ) r r que satisface las condiciones iniciales: x ( t0 ) = b r r ∂f ( t , x ( t ) ) Si además las derivadas parciales , con i=1,...,n, son continuas ∂xi r en I0 ⊆ I, entonces se garantiza solución única en I0, con t0 , b ∈ I 0. ( )
  9. 9. ECUACIONES DIFERENCIALES Solución de Sistemas de EDO Lineales Teorema de Existencia y Unicidad para Sistemas de EDO de primer orden lineal: x1 ( t ) = a11 ( t ) x1 ( t ) + a12 ( t ) x2 ( t ) + . . . + a1n ( t ) xn ( t ) + f1 ( t ) x1 ( t0 ) = b1 . x2 ( t ) = a21 ( t ) x1 ( t ) + a22 ( t ) x2 ( t ) + . . . + a2 n ( t ) xn ( t ) + f 2 ( t )  ; . 12M .  xn ( t ) = an1 ( t ) x1 ( t ) + an 2 ( t ) x2 ( t ) + . . . + ann ( t ) xn ( t ) + f n ( t ) xn ( t0 ) = bn Forma matricial: r r r r r x ( t ) = A( t ) x ( t ) + f ( t ) , x ( t0 ) = b 13Si las funciones aij(t) y fi(t) (con i,j = 1, . . . , n) son continuas en I, entonces r r rexiste solución única x ( t ) , en I, que satisface las condiciones iniciales x ( t0 ) = b .A partir de ahora se tratarán sistemas de EDO de primer orden lineales acoeficientes constantes no homogéneos, de la forma: r r r r r x ( t ) = A x ( t ) + f ( t ) , x ( t0 ) = b 14 A = matriz de coeficientes constantes.
  10. 10. ECUACIONES DIFERENCIALES Solución de Sistemas de EDO Lineales SOLUCIÓN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN LINEALES NO HOMOGÉNEOSVinculado al sistema (14) existe el sistema de EDO de primer orden homogéneoasociado: r r x ( t ) = A x ( t ) 15La solución general del sistema (14) es: r r r x ( t ) = xh ( t ) + x p ( t ) 16 r rDonde x p ( t ) es la solución particular que satisface (14) y xh ( t ) es la soluciónhomogénea del sistema de EDO homogéneo asociado (15).
  11. 11. ECUACIONES DIFERENCIALES Solución de Sistemas de EDO Lineales SOLUCIÓN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN LINEALES HOMOGÉNEOS PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN r rSean ϕ1 ( t ) ,. . ., ϕ n ( t ) soluciones de (15) en un intervalo I y sean c , . . . , c r 1 r nconstantes reales, entonces la combinación lineal c1 ϕ1 ( t ) + . . . + cn ϕ n ( t ) estambién solución sobre I.Demostración r Si ϕi ( t ) , con i = 1, . . . ,n, son solución de (15), cumplen r r ϕi ( t ) = A ϕi ( t ) 17 r r r La solución es: x ( t ) = c1 ϕ1 ( t ) + . . . + cn ϕ n ( t ) 18 ♦ r r rDerivando la solución (18) : x ( t ) = c1ϕ1 ( t ) + . . . + cnϕ n ( t ) 19Reemplazando (17) en (19) r r r r r r x ( t ) = c1A ϕ1 ( t ) + . . . + cn A ϕ n ( t ) = A ( c1 ϕ1 ( t ) + . . . + cn ϕ n ( t ) ) = Ax ( t ) 20Quedando comprobado el principio de superposición.
  12. 12. ECUACIONES DIFERENCIALES Solución de Sistemas de EDO LinealesDerivando la solución (18) : r r r x ( t ) = c1ϕ1 ( t ) + . . . + cnϕ n ( t ) 19Reemplazando (17) en (19)r r r r r rx ( t ) = c1A ϕ1 ( t ) + . . . + cn A ϕ n ( t ) = A ( c1 ϕ1 ( t ) + . . . + cn ϕ n ( t ) ) = Ax ( t ) 20Quedando comprobado el principio de superposición.
  13. 13. ECUACIONES DIFERENCIALES Solución de Sistemas de EDO Lineales INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS SOLUCIONES rLas soluciones ϕi ( t ) del sistema homogéneo (17)deben ser L.I.La determinación de la independencia lineal se hace a través deldeterminante Wronskiano: M M r r W ( t ) = ϕ1 ( t ) L ϕ n ( t ) 21 M M Si W(t) ≠ 0 ⇒ las soluciones son LI. Si W(t) ≡ 0 ⇒ las soluciones son LD.
  14. 14. ECUACIONES DIFERENCIALES Solución de Sistemas de EDO Lineales CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES r rSean ϕ1 ( t ) ,. . ., ϕ n ( t ) soluciones LI de (15) en un intervalo I, entonces r rϕ1 ( t ) ,. . ., ϕ n ( t ) constituye un conjunto fundamental de soluciones y la matrizfundamental de soluciones es:   ϕ ( t ) = ϕ ( t ) L ϕ ( t )  r r 22  1 n     El Det ϕ ( t ) = W ( t ) ≠ 0 (soluciones LI) ⇒ existe ϕ ( t ) . −1
  15. 15. ECUACIONES DIFERENCIALES Solución de Sistemas de EDO Lineales SOLUCIÓN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN LINEALES HOMOGÉNEOS A COEFICIENTES CONSTANTES. r r x ( t ) = A x ( t )  r r 23  x ( t0 ) = b  r rSean ϕ1 ( t ) ,. . ., ϕ n ( t ) soluciones de (23) en un intervalo I, por el principiode superposición, la solución es: r r r xh ( t ) = c1 ϕ1 ( t ) + . . . + cn ϕ n ( t ) 24O en forma matricial: r r xh ( t ) = ϕ ( t ) c 25
  16. 16. ECUACIONES DIFERENCIALES Solución de Sistemas de EDO LinealesAdemás se cumple de (25): r r xh ( t0 ) = ϕ ( t0 ) c r r c = ϕ−1 ( t0 ) xh ( t0 ) 26 r r c = ϕ ( t0 ) b −1Reemplazando (26) en (24) r r xh ( t ) = ϕ ( t ) ϕ ( t0 ) b −1 r r 27 xh ( t ) = Ω ( t ) bDonde Ω ( t ) = ϕ ( t ) ϕ −1 ( t0 ) es una Matriz Fundamental de Solucionesque cumple Ω ( t0 ) = I
  17. 17. ECUACIONES DIFERENCIALES Solución de Sistemas de EDO Lineales MÉTODO DE LOS VALORES PROPIOSUn sistema de EDO lineal homogéneo a coeficientes constantes, puedeexpresarse en forma genérica como sigue  x1 ( t ) = a11 x1 ( t ) + a12 x2 ( t ) + . . . + a1n xn ( t ) x1 ( t0 ) = b1  .  x2 ( t ) = a21x1 ( t ) + a22 x2 ( t ) + . . . + a2 n xn ( t )  ; . 28 M .   xn ( t ) = an1 x1 ( t ) + an 2 x2 ( t ) + . . . + ann xn ( t ) xn ( t0 ) = bn r r r r x ( t ) = A x ( t ) ; x ( t0 ) = bAl observar el sistema vemos que las funciones derivadas pueden versecomo la combinación lineal de las funciones incógnitas, por lo tanto laexpresión funcional de éstas debe ser tal que no se modifique al derivarla,salvo por una constante. Entonces proponemos a la función exponencialcomo posible solución.
  18. 18. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales r r x ( t ) = v e λt 29 r λ ∈£ ,v ∈£ nSi (29) es solución, entonces debe satisfacer el sistema (28), entonces r r x ( t ) = λ v e λt 30Reemplazando (29) y (30) en (28), resulta: r r r r λ v eλt = A v e λt ⇒ A v = λ v 31 r r ( A-λ I ) v = 0 32Esta expresión representa un problema de valores propios y vectores propios.
  19. 19. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesPara que se cumpla (32) tenemos dos opciones: r r r r 1) v = 0, lo que lleva a la solución trivial x ( t ) = 0 2) Matriz ( A-λ I ) singular, es decir: Det ( A-λ I ) = A-λ I = 0 33A partir de (33) se obtiene la Ecuación Característica de la matriz A, dedonde se obtienen los valores propios λ.De aquí surgen tres posibilidades: Caso I: Valores propios reales y distintos. Caso II: Valores propios reales e iguales. Caso III: Valores propios complejos (conjugados).
  20. 20. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales CASO I: VALORES PROPIOS REALES Y DISTINTOSSean λ1, . . . , λn valores propios reales distintos de la matriz de coeficientes A, r ry sean sus vectores propios asociados v1 ,. . .,,ventonces las soluciones n(LI) son: r r x1 ( t ) = v1 eλ1t M 34 r r xn ( t ) = vn eλntLa solución del sistema homogéneo (18) es: r r λ1t r λnt xh ( t ) = c1v1 e + . . . + cn vn e 35 Para obtener los valores de las constantes ci se imponen las condiciones iniciales.
  21. 21. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales CASO II: VALORES PROPIOS REALES E IGUALESExisten dos posibilidades que determinan la forma de la solución: I): Valores propios completos. II): Valores propios defectuosos.Se dice que el valor propio λi de multiplicidad ki es completo si existen kivectores propios LI, asociados a dicho valor propio.De lo contrario, se dice que son valores propios defectuosos.Si solo existen pi vectores propios LI (con pi < ki), entonces al número di ( condi = ki – pi) de vectores propios LI “faltantes” se denomina defecto del valorpropio λi.El escalar ki se denomina multiplicidad algebraica del valor propio λi y pi es lamultiplicidad geométrica del mismo.
  22. 22. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales I) VALORES PROPIOS COMPLETOSLas soluciones (LI) son: r r x1 ( t ) = v1 eλt M 36 r r xn ( t ) = vn eλtLa solución del sistema homogéneo (18) es: r r λt r λt xh ( t ) = c1v1 e + . . . + cn vn e 37
  23. 23. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales I) VALORES PROPIOS DEFECTUOSOSPara deducir la solución partiremos de un sistema de dos EDOL de primerorden homogéneo a coeficientes constantes.  x1 ( t ) = a11x1 ( t ) + a12 x2 ( t )   x1 ( t0 ) = b1   ;   x2 ( t ) = a21 x1 ( t ) + a22 x2 ( t )   x2 ( t0 ) = b2  38 r r r r x ( t ) = A x ( t ) ; x ( t0 ) = bLos valores propios (repetidos) son λ1 = λ2 = λ. Si son valores propios r v1defectuosos entonces sólo existe un vector propio asociado , entoncesuna solución de (38) es: r r x1 ( t ) = v1 eλt 39
  24. 24. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesComo propuesta natural para la segunda solución surge la de multiplicar porla variable independiente t la solución obtenida: r r r x2 ( t ) = t x1 ( t ) = v1 t eλt 40Si reemplazáramos (40) en (38) veríamos que no la satisface. Entonces proponemos: r r r x2 ( t ) = v1 t eλt + v2 eλt 41 Su derivada es: r r r r x2 ( t ) = v1 eλt + λ v1 t eλt + λ v2 eλt 42 Reemplazando en (38): r r r r ( r v1 eλt + λ v1 t eλt + λ v2 eλt = A v1 t eλt + v2 eλt ) 43 r r r r r v1 + λ v2 + λ v1 t = Av1 t + Av2
  25. 25. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesA partir de esta última igualdad se obtienen dos relaciones: rUna de ellas, es la que permitió encontrar la primera solución : x1 ( t ) r r λ v1 = Av1 r r 44 ( A-λ I ) v1 = 0La otra relación es: r r r v1 + λ v2 = Av2 r r 45 ( A − λ I ) v2 = v1 r Resolviendo esta igualdad obtenemos v2Otra alternativa para encontrar las soluciones, sabiendo que los valorespropios son defectuosos, se obtiene premultiplicando (45) por la matriz (A-λI): r r ( A − λ I ) 2 v2 = ( A − λ I ) v1 46
  26. 26. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesPor (44), resulta: r r ( A − λ I ) v2 = 0 2 47 r rEntonces, a partir de (47) se obtiene v2 y de (45) se obtiene v1Resumiendo, las soluciones son: r r x1 ( t ) = v1 eλt 48 r r r x2 ( t ) = ( v1 t + v2 ) eλt La solución del sistema (38) será: r r r r xh ( t ) = c1v1 eλt + c2 ( v1t + v2 ) eλt 49Para obtener los valores de las constantes ci se imponen las condicionesiniciales.rv2 no es un vector propio ordinario.
  27. 27. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales VECTORES PROPIOS GENERALIZADOSUn Teorema Fundamental del Álgebra Lineal establece que toda matriz A,de dimensión n × n, tiene n vectores propios generalizados.Si λi es un valor propio de A, entonces un vector propio de rango r asociadoa λi, es un vector tal que cumple: r r ( A − λi I ) v = 0 r r 50 r −1 r ( A − λi I ) v ≠ 0 rSi r = 1, entonces v es un vector propio ordinario o regular asociado a λi.Cuando la dimensión de la matriz A es mayor o igual a tres (n ≥ 3) y por lotanto la posibilidad de mayores valores de multiplicidad algebraica de losvalores propios, aparecen cadenas de vectores propios generalizados, cadauna de ellas relacionada a un vector propio ordinario asociado a un valorpropio múltiple. La suma de estas cadenas es igual a la multiplicidadalgebraica del valor propio.
  28. 28. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesEjemplo:Una cadena de longitud k de vectores propios generalizados con base en rel vector propio ordinario v1 es un conjunto de k vectores generalizados, r r{ v1 ,..., vk } , que cumplen: r r ( A − λi I ) vk = vk −1 r r ( A − λi I ) vk −1 = vk −2 . 51 . . r r ( A − λi I ) v2 = v1 r r ( A − λi I ) v1 = 0 r Por ser v1 un vector ordinario, de (51) se deduce que: r r ( A − λi I ) k vk = 0 52
  29. 29. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales Índice de Valores Propios (η )Si λi es un valor propio de multiplicidad algebraica ki de la matriz A ∈ ¡ n× n ,entonces el menor número natural η que cumple con lo siguiente se denominaíndice del valor propio λi: η η rango ( A − λi I ) = r ( A − λi I ) = n − ki 53
  30. 30. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EDOEs posible demostrar que si λi es un valor propio de multiplicidad ki, condefecto d = ki – 1 se puede encontrar una cadena de longitud ki de vectorespropios generalizados y con ellos obtener ki soluciones LI, de la forma: r  v1t k −1 r r vk −2t 2 r r  λit ϕk ( t ) =   ( k − 1) ! +. . .+ + vk −1t + vk ÷e ÷ con k= 1,...ki 54  2! Las cadenas de vectores propios generalizados dependen del defecto delvalor propio, lo cual puede generar complicaciones.
  31. 31. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesEjemplo:Para un valor propio de multiplicidad algebraica 4 (ki = 4), pueden ocurrir lossiguientes casos: 1) Si d=0, entonces habrá 4 cadenas de longitud 1, es decir, existen 4 vectores propios ordinarios LI. 2) Si d=1, entonces habrá 2 cadenas de longitud 1 y una de longitud 2, es decir, existen 3 vectores propios ordinarios LI. 3) Si d=2, entonces habrá 2 cadenas de longitud 2 ó una cadena de longitud 3 y una de longitud 1, es decir, existen 2 vectores propios ordinarios LI. 4) Si d=3, entonces habrá una cadena de longitud 4, es decir, existe un solo vector propio ordinario. La longitud de la cadena más larga es a lo sumo d +1
  32. 32. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesObtención de las Cadenas de Valores Propios GeneralizadosProcedimiento:1- Determinación del número de cadenas: lo que permite conocer el númerode vectores propios ordinarios (pi). pi = n − rango ( A − λi I ) = n − r ( A − λi I ) 55Adicionalmente, podemos calcular el defecto del valor propio λi a partir dedi = ki – pi. Conocemos el número de cadenas pero no sus longitudes.
  33. 33. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales2- Cálculo del índice ηi del valor propio λi (para la cadena más larga) Se determina a través de (53) η η rango ( A − λi I ) = r ( A − λi I ) = n − ki 53
  34. 34. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales3- Generación de las cadenas de vectores propios generalizados Si se cumple r r ( A − λ I ) ηi vηi = 0  i 56  ηi −1 r r ( A − λi I )  vηi ≠ 0 rpara algún vηi vector , entonces a partir de él generamos una cadena delongitud ηi ≤ ki, resolviendo r r ( A − λi I ) vηi = vηi −1 . . 57 . r r ( A − λi I ) v2 = v1 r r ( A − λi I ) v1 = 0La cadena finaliza cuando se encuentra un vector propio ordinario, en este rcaso v1.
  35. 35. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesSi existen más cadenas, se repite el procedimiento partiendo de: r r ( A − λ I ) ηi −1 w = 0  i 58  ηi − 2 r r ( A − λi I )  w≠0Si existe un vector , entonces se genera una nueva cadena de longitud ηi-1.La suma del número de vectores propios generalizados debe ser igual a lamultiplicidad algebraica ki del valor propio λi .Cada cadena genera soluciones de la forma de (54). r  v1t k −1 r 2 r vk −2t r r  λit ϕk ( t ) =   ( k − 1) ! + . . . + 2! + vk −1t + vk ÷e ÷ 54  Los vectores de cada cadena son LI y también lo son entre cadenas,asegurando así soluciones LI del sistema de EDO de primer orden.
  36. 36. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales EJEMPLO r rEncontrar la solución de x ( t ) = A x ( t ) con 3 −1 1 1 0 0 1 1 −1 −1 0 0    0 0 2 0 1 1 A=  0 0 0 2 −1 −1  0 0 0 0 1 1   0 0 0 0 1 1Para encontrar los valores propios resolvemos Det ( A-λ I ) = A-λ I = 0
  37. 37. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesEcuación Característica λ ( λ -2 ) = 0 5Por lo tanto los valores propios son: λ1,2,...,5 = 2; λ6 = 0 Solución para λ6 = 0 r r r Φ 6 ( t ) = v6eλ6t = v6 r Para determinar v6 hacemos r r r ( A-λ6I ) v6 = 0 ⇒ v6 = [ 0 0 0 0 1 ]T −1 O uno de sus múltiplos Entonces r Φ6 ( t ) = [ 0 0 0 0 1 −1 ]T
  38. 38. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales Solución para λ2 = 2Aplicaremos la secuencia de cálculo para vectores propios generalizados.1- Determinación del número de cadenas: 1 −1 1 1 0 0 1 −1 −1 −1 0 0    0 0 0 0 1 1 Calculamos (A − 2I ) =   0 0 0 0 −1 −1  0 0 0 0 −1 1   0 0 0 0 1 −1 p = n − rango ( A − λi I ) = n − r ( A − 2I ) = 6 − 4 = 2Entonces existen 2 cadenas de vectores propios generalizados ó 2 vectorespropios ordinarios LI, por lo tanto el defecto es: d = k – p = 5 – 2 = 3.
  39. 39. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales2- Cálculo del índice η del valor propio λ = 2 η η rango ( A − λi I ) = r ( A − λi I ) = n − ki = 6 − 5 = 1 Sabemos que r ( A − 2I ) = 4 ≠ 1 1 Calculamos ( A − 2I ) 2 y determinamos su rango 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0    2 0 0 0 0 0 0 (A − 2 I ) =   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 −2    0 0 0 0 −2 2 Entonces r ( A − 2I ) = 2 ≠ 1 2
  40. 40. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesCalculamos ( A − 2I ) 3 y determinamos su rango 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0    3 0 0 0 0 0 0 (A − 2 I ) =   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −4 4   0 0 0 0 4 −4 entonces r ( A − 2I ) = 1, por lo tanto el índice del valor propio 2 es igual a 3 3
  41. 41. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales3- Generamos, si es posible, una cadena de 3 vectores propios generalizados. r r ( A − 2I ) 3 v = 0  3  3−1 r r ( A − 2I ) v3 ≠ 0  r v3 = [ 0 0 0 1 1 1] ó un T A partir de estas ecuaciones encontramos múltiplo de él. Ahora generamos los otros dos vectores de la cadena, uno de ellos vector propio ordinario. r r Hacemos ( A − 2I ) v3 = v2 r v2 = [ 1 −1 2 −2 0 0] T Y obtenemos
  42. 42. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales r rSeguimos con: ( A − 2I ) v2 = v1 r v1 = [ 2 2 0 0 0 0] TY obtenemosAdemás se comprueba que: r r ( A − 2I ) v1 = 0 r r r rPor lo tanto v1 es el vector propio ordinario de la cadena { v1, v2 , v3 }Con los vectores encontrados generamos 3 soluciones LI del sistema,aplicando (54) r r Φ1 ( t ) = v1e 2t r r r Φ 2 ( t ) = ( v1t + v2 ) e 2t r 1 r r r  Φ 3 ( t ) =  v1t 2 + v2t + v3 ÷e 2t 2 
  43. 43. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesAhora generamos la segunda cadena, buscando un vector que cumpla: r r ( A − 2I ) 2 v = 0  5  2−1 r r ( A − 2I ) v5 ≠ 0  r v5 = [ 0 0 0 0 1 1] TY encontramos que o un múltiplo de él. rGeneramos v4 y verificamos que es un vector propio ordinario: r r r ( A − 2I ) v5 = v4 v4 = [ 0 0 2 −2 0 0] T ⇒ r rY cumple con ( A − 2I ) v4 = 0 r r rPor lo tanto v4 es el vector propio ordinario de la segunda cadena: { v4 , v5 }Obtenemos las dos soluciones faltantes: r r Φ 4 ( t ) = v4e 2t r r r Φ 5 ( t ) = ( v4t + v5 ) e 2t
  44. 44. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesLa solución general es la combinación lineal de las 6 soluciones obtenidas:r r r r r r rΦ ( t ) = c1 Φ1 ( t ) + c2 Φ 2 ( t ) + c3 Φ 3 ( t ) + c4 Φ 4 ( t ) + c5 Φ 5 ( t ) + c6 Φ 6 ( t )
  45. 45. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales CASO III) VALORES PROPIOS COMPLEJOS (CONJUGADOS)El valor propio λ puede expresarse como λ = α ± β i.Tomando λ1 = α + β i, la solución tendrá la forma : r r ( α +βi) t r r r λt ( v e = a +b i e ) ( )( = a + b i eα t cos β t + i eα t sen β t ) 59Aplicando la propiedad distributiva y agrupando, nos queda: r αt r αt r αt r αt = ae cos β t − be sen β t + a ie sen β t + b ie cos β t 60 r αt r αt ( r αt r αt ) ( = ae cos β t − be sen β t + i a e sen β t + b e cos β t ) Puede demostrarse que: r r αt r αt x1 ( t ) = ae cos β t − be sen β t r αt 61 r r αt x2 ( t ) = a e sen β t + b e cos β t
  46. 46. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesEntonces, la solución del sistema (38) será r r r ( r ) ( r ) xh ( t ) = c1 a cos β t − bsen β t e + c2 a sen β t + b cos β t eα t αt 62 Para determinar las constantes ci se imponen las condiciones iniciales.
  47. 47. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesSOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN A COEFICIENTES CONSTANTES NO HOMOGÉNEOS. SOLUCIÓN PARTICULARLa solución general de (14) está dada por (16): r r r x ( t ) = xh ( t ) + x p ( t ) 16La solución particular está muy influenciada por la solución homogénea ry por la expresión de la función f (t ) Tenemos dos métodos: Método de los coeficientes indeterminados. Método de variación de parámetros.
  48. 48. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS r f (t ) ⇒ Polinómica, exponencial, seno, coseno, combinación lineal o producto entre ellasDebe proponerse una solución LI con la solución homogénea, teniendo en rcuenta las funciones escalares que componen f (t )Si la solución propuesta es LD con la homogénea, debe multiplicarse porun polinomio de grado uno completo, a coeficientes vectoriales de la r rforma a t + b si sigue siendo LDr debe multiplicarse por un polinomio de , r 2 rsegundo grado completo a t + b t + c y así sucesivamente.
  49. 49. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales METODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROSObtendremos algunas relaciones útiles a partir del sistema EDO homogéneoasociado. r r x ( t ) = A x ( t ) 15 Su solución es r r xh ( t ) = ϕ ( t ) c 63 Derivando r r xh ( t ) = ϕ ( t ) c 64 Reemplazando (63) y (64) en (15) r r ϕ ( t ) c = Aϕ ( t ) c 65 ϕ ( t ) = Aϕ ( t )
  50. 50. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesDesarrollo del método de variación de parámetrosA partir de la solución homogénea proponemos la solución particular. r r r r xh ( t ) = ϕ ( t ) c ⇒ xp ( t ) = ϕ( t ) u ( t ) 66ru (t ) función a determinarrx p (t ) debe satisfacer el sistema no homogéneo.Derivando (66) r r r xp ( t ) = ϕ ( t ) u ( t ) + ϕ ( t ) u ( t ) 67Entonces: r r r r ϕ ( t ) u ( t ) + ϕ ( t ) u ( t ) = Aϕ ( t ) u ( t ) + f ( t ) 68
  51. 51. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesReemplazando (65) en (68) r r r r Aϕ ( t ) u ( t ) + ϕ ( t ) u ( t ) = Aϕ ( t ) u ( t ) + f ( t ) 69Entonces: r r ϕ ( t ) u ( t ) = f ( t ) 70Despejando r r u ( t ) = ϕ ( t ) f ( t ) −1 r r 71 u ( t ) = ∫ ϕ ( t ) f ( t ) dt −1La solución particular, reemplazando (71) en (66), resulta: r r x p ( t ) = ϕ ( t ) ∫ ϕ ( t ) f ( t ) dt −1 72
  52. 52. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesAlternativamente, si incluimos las condiciones iniciales, (72) queda: r t r xp ( t ) = ϕ ( t ) ∫t ϕ ( s ) f ( s ) ds −1 73 0La solución general entonces es: r r t r x ( t ) = ϕ ( t ) ϕ ( t0 ) b + ϕ ( t ) −1 ∫t ϕ −1 ( s ) f ( s ) ds 74 0En particular, si ϕ ( t0 ) = I ( ó ϕ ( t ) = Ω ( t ) ) A es a coeficientes constantes yt0 = 0, entonces es posible demostrar que: ϕ ( t ) ϕ −1 ( s ) = ϕ ( t − s ) 75En este caso la solución general de es: r r t r x ( t ) = ϕ ( t ) ϕ ( t0 ) b + −1 ∫t ϕ ( t ) ϕ  −1 ( s )  f ( s ) dt  0 r r 76 r t x ( t ) = ϕ ( t ) ϕ ( t0 ) b + −1 ∫0 ϕ ( t − s ) f ( s ) dt r r t r x( t) = Ω( t) b + ∫t Ω ( t − s ) f ( s ) dt 77 0
  53. 53. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO Lineales LECTURA COMPLEMENTARIAEn el capítulo 2 durante el desarrollo del método de variación de parámetrospara una EDOL de orden 2, se impusieron condiciones a cumplir no del todoclaras y se mencionó que dichas condiciones se cumplen naturalmente altratar con sistemas de EDOL de primer orden. En este punto buscaremosdemostrar que se cumplen dichas condiciones.Partiendo de una EDOL de segundo orden: y ( t ) + a y ( t ) + b y ( t ) = F ( t ) 78Las soluciones de la EDOL homogénea asociada a serán y1 ( t ) e y2 ( t )El determinante Wronskiano correspondiente es y1 ( t ) y2 ( t ) W ( t) = 79 y1 ( t ) y2 ( t )
  54. 54. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesY la matriz fundamental de soluciones es  y1 ( t ) y2 ( t )  ϕ ( t) =  *  80  y1 ( t )  y2 ( t )  Transformando la EDOL a un sistema de dos EDOL de primer grado: y( t) = v( t) y ( t ) = v ( t ) = w( t ) 81 y ( t ) = w ( t ) = −a w ( t ) − b v ( t ) + F ( t )Entonces el sistema es:  v ( t )   0  1  v( t)   0   =  +   w ( t )   −b − a   w ( t )   F ( t )      82 r { r r x ( t ) = A x ( t ) + f ( t )
  55. 55. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesLas soluciones del sistema de EDOL homogéneo asociado a (82) serán: r  v ( t)  r  v2 ( t )  x1 ( t ) =  1  x2 ( t ) =   83  w2 ( t )  y  w2 ( t ) Y su matriz fundamental de soluciones es  v1 ( t ) v2 ( t )  ϕ( t) =   84  w1 ( t ) w2 ( t ) Para encontrar la solución particular de (82), aplicando el método de variaciónde parámetros, usaremos la ecuación(70)  v1 ( t ) v2 ( t )   u1 ( t )   0    =  85  w1 ( t ) w2 ( t )  u2 ( t )   F ( t )   
  56. 56. ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas de EDO LinealesPero, por (81) : v1 ( t ) = y1 ( t ) v2 ( t ) = y2 ( t ) 86 w1 ( t ) = y1 ( t ) w2 ( t ) = y1 ( t ) Entonces la expresión (85), reemplazando las igualdades de (86), queda  y1 ( t ) y2 ( t )   u1 ( t )   0    =  87  y1 ( t )  y2 ( t )   u2 ( t )   F ( t )   Expresión que se obtuvo en el capítulo 2, al imponer de manera casi arbitrariala condición y1 ( t ) u1 ( t ) + y2 ( t ) u2 ( t ) = 0 Con un procedimiento similar puede comprobarse la generalización del métodode Variación de Parámetros para EDOL de orden n.

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