Ejercicios unidad 5

Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
Unidad 5: Derivación e Integración Numérica
1. Diferenciación Numérica
1.1. Primera Derivada con 2 puntos:
0 0
0
( ) ( )
'( )
f x h f x
f x
h
 

Donde:
x0: Punto a evaluar
h: Distancia desde x0 hacia el otro punto considerado
f(x0): Valor de la función al evaluar el punto x0
f(x0+h): Valor de la función al evaluar el segundo punto
Ejemplo: Calcular la primera derivada para x = 1 con h = 0,2 ( ) sin( )x
f x e x

Desarrollo:
1,2 1
0
(1 0,2) (1) sin(1,2) sin(1) 0,2807 0,3095
'( ) 0,1441
0,2 0,2 0,2
f f e e
f x
 
   
    
Si se reduce el h a 0,01 para tener un resultado más preciso:
1,01 1
0
(1 001) (1) sin(1,01) sin(1) 0,3084 0,3095
'( ) 0,1441
0,2 0,01 0,01
f f e e
f x
 
   
    
Valor real = -0,1109
1.2. Primera Derivada con 3 puntos equispaciados:
( ) ( )
'( )
2
i i
i
f x h f x h
f x
h
  

Donde:
xi: Punto a evaluar
h: Distancia desde el punto xi hacia los otros puntos
f(xi+h): Valor de la función al evaluar el punto xi + h
f(xi-h): Valor de la función al evaluar el punto xi - h
Ejemplo: Calcular la primera derivada para x = 7 con h = 0,005
ln( )
( )
tan
x
f x
x

Desarrollo:

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Diego Beneventti
ln(7,005) ln(6,995)
(7 0,005) (7 0,005) 2,113 2,254tan(7,005) tan(6,995)
'(7) 4,344
2*0,005 0,01 0,001
f f
f

   
    
Valor real = -4,344
1.3. Segunda Derivada con 3 puntos:
( ) ( ) ( ) ( )
''( ) 2
r i i l
r i i l
i
r l
f x f x f x f x
x x x x
f x
x x
 

 


Donde:
xi: Punto a evaluar
xr: Punto r
xl: Punto l
f(xi): Valor de la función al evaluar el punto xi
f(xr): Valor de la función al evaluar el punto xr
f(xl): Valor de la función al evaluar el punto xl
Ejemplo: Calcular la segunda derivada de x = 5 con xr = 5,1 y xl = 4,99 ( ) cos( ) 10f x x 
Desarrollo:
(5,1) (5) (5) (4,99) cos(5,1) 10 cos(5) 10 cos(5) 10 cos(4,99) 10
5,1 5 5 4,99 0,1 0,01
''(5) 2 2
5,1 4,99 0,11
10,37 10,28 10,28 10,27
0,1 0,01
''(5) 2 0,3122
0,11
f f f f
f
f
       
 
 
 

 

  
Valor real = -0,283
1.4 Segunda Derivada con 3 puntos equispaciados:
2
( ) ( ) 2 ( )
''( ) i i i
i
f x h f x h f x
f x
h
   

Donde:
xi: Punto a evaluar
h: Distancia desde el punto xi hacia los otros puntos

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Diego Beneventti
f(xi): Valor de la función al evaluar el punto xi
f(xi+h): Valor de la función al evaluar el punto xi + h
f(xi-h): Valor de la función al evaluar el punto xi – h
Ejemplo: Calcular la segunda derivada para x = 4 con h = 0,1 ( ) sin( )x
f x e x

Desarrollo:
2
(4 0,1) (4 0,1) 2 (4) 0,0135 ( 0,0139) 2*( 0,0138)
''(4) 0,02398
0,1 0,01
f f f
f
        
  
Valor real = 0,02394
1.5 Primera derivada: Aproximaciones hacia adelante, hacia atrás y central
Aproximación hacia adelante Aproximación hacia atrás Aproximación central
( ) ( )
'( ) i i
i
f x h f x
f x
h
 

( ) ( )
'( ) i i
i
f x f x h
f x
h
 

( ) ( )
'( )
2
i i
i
f x h f x h
f x
h
  

Donde: xi = Punto a evaluar, h = distancia desde el punto a evaluar al otro punto.
Ejemplo: Calcular la primera derivada de la siguiente función para el punto x = 0,5 y h = 0,25
4 3 2
( ) 0,1 0,15 0,5 0,25 1,2f x x x x x     
Desarrollo:
a) Aproximación hacia adelante
( ) ( ) 0,6363281 0,925
'( ) 1,15469
0,25
i i
i
f x h f x
f x
h
  
   
26,5%t 
b) Aproximación hacia atrás
( ) ( ) 0,925 1,1035156
'( ) 0,7140624
0,25
i i
i
f x f x h
f x
h
  
   
21,7%t 
c) Aproximación central
( ) ( ) 0,6363281 1,1035156
'( ) 0,934375
2 2*0,25
i i
i
f x h f x h
f x
h
   
   
2,4%t 
La aproximación central por lo general consigue el menor error

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1.6 Primera derivada: Aproximaciones hacia adelante, hacia atrás y central
Aproximación hacia adelante Aproximación hacia atrás Aproximación central
2
( 2 ) 2 ( ) ( )
''( ) i i i
i
f x h f x h f x
f x
h
   
 2
( ) 2 ( ) ( 2 )
''( ) i i i
i
f x f x h f x h
f x
h
   
 2
( ) 2 ( ) ( )
''( ) i i i
i
f x h f x f x h
f x
h
   

Donde: xi = Punto a evaluar, h = distancia desde el punto a evaluar al otro punto.
Ejemplo: Calcular la segunda derivada de la siguiente función para el punto x = 1 y h = 0,1 4
( )f x x
Desarrollo:
a) Aproximación hacia adelante
4 4 4
2 2
( 2 ) 2 ( ) ( ) (1 2*0,1) 2 (1 0,1) (1) 1,2 2*1,1 1
''( ) ''(1) ''(1) 14,54
0,1 0,01
i i i
i
f x h f x h f x f f f
f x f f
h
         
     
b) Aproximación hacia atrás
4 4 4
2 2
( ) 2 ( ) ( 2 ) (1) 2 (1 0,1) (1 2*0,1) 1 2*0,9 0,8
''( ) ''(1) ''(1) 9,74
0,1 0,01
i i i
i
f x f x h f x h f f f
f x f f
h
         
    
c) Aproximación central
4 4 4
2 2
( ) 2 ( ) ( ) (1 0,1) 2 (1) (1 0,1) 1,1 2*1 0,9
''( ) ''(1) ''(1) 12,02
0,1 0,01
i i i
i
f x h f x f x h f f f
f x f f
h
         
     
1.7 Extrapolación de Richardson
La extrapolación de Richardson es aplicable para derivación numérica mediante la siguiente formula:
2 1
4 1
( ) ( )
3 3
D D h D h 
Utilizando la formula central para la primera derivada, se podrían calcular las aproximaciones de la
siguiente manera:
2 1
1 1
1
1
2 2
2
2
4 1
( ) ( )
3 3
( ) ( )
( )
2
( ) ( )
( )
2
D D h D h
f x h f x h
D h
h
f x h f x h
D h
h
 
  

  

Ejemplo: Aproximar la primera derivada de
1
( ) cos * x
f x x dx
e
 para x = 4
Desarrollo:
Primera aproximación con h1 = 0,01

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Diego Beneventti
4,01 4
1 1
cos4,01* os4*
(4 0,01) (4)
'(4) 0,0256
0,01 0,01
c
f f e ef

 
  
Segunda aproximación con h2 = 0,005
4,005 4
1 1
cos4,005* os4*
(4 0,05) (4)
'(4) 0,00257
0,05 0,05
c
f f e ef

 
  
Tercera Aproximación
2 1
4 1
( ) ( )
3 3
4 1
0,0257 0,0256
3 3
0,02573
D D h D h
D
D
 
 

El valor de la primera derivada es 0,02573
1.8 Puntos no Equispaciados
Existe una manera que permite ajustar un polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado a
cada conjunto de tres puntos adyacentes (los cuales no requieren estar igualmente espaciados).
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
'( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
i i i i i i
i i i
i i i i i i i i i i i i
x x x x x x x x x
f x f x f x f x
x x x x x x x x x x x x
   
 
       
     
  
     
Ejemplo: El flujo de calor en la interfaz del suelo-aire puede calcularse mediante la ley de Fourier:
0
(z 0) k C
z
dT
q
dz


  
Donde q=flujo de calor, k= coeficiente de difusividad térmica en el suelo, 𝜌= densidad del suelo y C =
calor específico del suelo. Observe que un valor positivo del flujo indica que el calor se transfiere del
aire al suelo. Utilice diferenciación numérica para evaluar el gradiente en la interfaz suelo-aire y emplee
dicha estimación para determinar el flujo de calor bajo el suelo. Considere k = 3,5x10-7
, 𝜌 = 1800 y C =
840.

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Desarrollo:
Identificamos Suelo o z (cm) como variable independiente y Aire (T°) como variable dependiente.
Obtenemos los puntos de manera ordenada desde la figura:
1
1
0
1,25
3,75
i
i
i
x
x
x





1
1
( ) 13,5
( ) 12
( ) 10
i
i
i
f x
f x
f x





Ocupamos la fórmula:
2(0) 1.25 3.75 2(0) 0 3.75 2(0) 0 1.25
'( ) 13.5 12 10
(0 1.25)(0 3.75) (1.25 0)(1.25 3.75) (3.75 0)(3.75 1.25)
14.4 14.4 1.33333 1.33333 /
f x
C atm
     
   
     
      
Al cual, al ser sustituida en la ecuación, se obtiene:
7
(z 0) 3.5 10 *1800*840*( 1.33333) 70.56q x 
    
2. Integración Numérica
2.1. Regla del trapecio
0 1( ) [ ( ) ( )] -
2
b
a
h
f x dx f x f x h b a  
Donde:
h: Distancia entre los puntos
f(x0): Valor de la función al evaluar el punto x0, con x0 igual al inicio del intervalo de la integral (a)
f(x1): Valor de la función al evaluar el punto x1, con x1 igual al fin del intervalo de la integral (b)
Ejemplo: Calcular la siguiente integral
1
2/3
0
sin(8 ) 1x
e x dx

Gráfico de la función:

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Diego Beneventti
Desarrollo:
1. Calcular valor de h, puntos (𝒙𝒊) y su evaluación (f(𝒙𝒊))
0
1
2/3 0 2/3
0 0 0 0
2/3 1 2/3
1 1 1 1
1 0 1
0 ( ) sin(8 ) 1 (0) sin(8*0 ) 1 1
1 ( ) sin(8 ) 1 (1) sin(8*1 ) 1,363964
x
x
h b a h h
x a x f x e x f e
x b x f x e x f e
 
 
      
        
       
2. Utilizar formula del trapecio
0 1
1 0
[ ( ) ( )] [ (0) (1)]
2 2
0,5*[1 1,363964] 1,181962
b a
I f x f x I f f
I
 
    
  
3. Fin
El valor de la integral es 1,181962
2.2. Regla de Simpson 1/3
0 1 2( ) [ ( ) 4 ( ) ( )]
3 2
b
a
h b a
f x dx f x f x f x h

   
Donde:

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f(x1): Valor de la función al evaluar el punto x1, con x1 igual al punto medio entre a y b, es decir a + h
3
2
3
ln(4 4)x dx


Desarrollo:
2 2
0 0 0 0
2 2
1 1 1 1 1
2 2
3 ( 3)
3
2 2
3 ( ) ln(4 4) ( 3) ln(4*( 3) 4) 3,688879
3 3 0 ( ) ln(4 4) (0) ln(4*(0) 4) 1,386294
3
b a
h h h
x a x f x x f
x a h x x f x x f
x b x
  
    
           
             
   2 2
2 2( ) ln(4 4) (3) ln(4*(3) 4) 3,688879f x x f     
2. Utilizar formula del Simpson 1/3
0 1 2
3
[ ( ) 4 ( ) ( )] [3,688879 4*1,386294 3,68879] 12,9229
3 3
h
I f x f x f x      
3. Fin

Curso:
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Diego Beneventti
Valor real = 15,129
2.3. Regla de Simpson 3/8
0 1 2 3
3
( ) [ ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )]
8 3
b
a
h b a
f x dx f x f x f x f x h

    
Donde:
f(x1): Valor de la función al evaluar el punto x1, con x1 = a + h
f(x2): Valor de la función al evaluar el punto x2, con x2 = a + 2h
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
21
0
x
e dx

Desarrollo:

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
2 2
0
2 2
1
0
0 0 0
0,33
1 1 1
2 2
1 0
0,33
3 3
0 ( ) (0) 1
0 0,33 0,33 ( ) (0,33) 1,11505
2 0 2*0,33
x
x
b a
h h
x a x f x e f e
x a h x f x e f e
x a h x
 
 
 
   
      
         
     
2 2
2
2 2
3
0,66
2
1
3 3 3
0,66 ( ) (0,66) 1,54589
2 ( ) (1) 2,71828
x
x
f x e f e
x b x f x e f e
 
 
   
      
2. Utilizar formula de Simpson 3/8
0 1 2 3
3
[ ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )]
8
h
I f x f x f x f x   
3*0,33
[ (0) 3 (0,33) 3 (0,66) (1)]
8
I f f f f   
 0,124* 1 3*1,11505 3*1,54589 2,71828
1,45093
I
I
   

3. Fin
Valor real = 1,462
2.4. Trapecio Compuesto
( ) [ ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) ... ( )]
2
b
a
h b a
f x dx f a f a h f a h f b h
n

       
Donde:
n = Número de Subintervalos
f(a): Valor de la función al evaluar el punto a, con a igual al inicio del intervalo de la integral
f(a+h): Valor de la función al evaluar un punto intermedio (Nota: esto puntos siempre se encuentran
entre el inicio y fin del intervalo, y todos son equispaciados).
f(b): Valor de la función al evaluar el punto b, con b igual al fin del intervalo de la integral

Curso:
Semestre:
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Diego Beneventti
Formula con n = 3 subintervalos:
[ ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) ( )]
2
h
I f a f a h f a h f b     
[ ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 ) ( )]
2
h
I f a f a h f a h f a h f b       
[ ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 ) 2 ( 4 ) ( )]
2
h
I f a f a h f a h f a h f a h f b         
[ ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 ) 2 ( 4 ) 2 ( 5 ) ( )]
2
h
I f a f a h f a h f a h f a h f a h f b           
[ ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 ) 2 ( 4 ) 2 ( 5 ) 2 ( 6 ) 2 ( 7 ) ( )]
2
h
I f a f a h f a h f a h f a h f a h f a h f a h f b               
0
cos( ) s (2 )x en x dx

 ; Utilice 3,141 
Desarrollo:

Curso:
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Diego Beneventti
i) Utilizando n = 3
0
1
2
3,141 0
1,047
3
0 (0) cos(0) (2*0) 1
1,047 (1,047) cos(1,047) (2*1,047) 1,366
2 2,094 (2,094) cos(2,094) (2*2,094) 1,365
3,141 (3,141) cos(3,141) (2*3,141) 1,001
b a
h
n
x a f sen
x a h f sen
x a h f sen
b f sen
 
  
    
     
      
    
2. Utilizar formula de trapecio compuesto
[ ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) ( )]
2
1,047
[1 2*1,366 2*( 1,365) ( 1,001)]
2
0,00053
h
I f a f a h f a h f b
I
I
     
     

3. Fin
ii) Utilizando n = 4
3,141 0
0,785
4
0,785
[ (0) 2 (0,785) 2 (1,5705) 2 (2,355) (3,141)]
2
0,00056
b a
h
n
I f f f f f
I
 
  
    

iii) Utilizando n = 5
3,141 0
0,6282
5
0,6282
[ (0) 2 (0,6282) 2 (1,2564) 2 (1,8846) 2 (2,5128) (3,141)]
2
0,000573
b a
h
n
I f f f f f f
I
 
  
     

Valor real = 0,000593004

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
2.5. Simpson 1/3 compuesto
1 2
0
1 2
Inpar par
( ) ( ) 4* ( ) 2* ( ) ( )
3
b n n
i i n
i ia
h b a
f x dx f x f x f x f x h
n
 
 
 
     
 
  
 
Donde:
n = Número de Subintervalos (Nota: n debe ser mayor o igual a 4 y par)
f(xi): Valor de la función al evaluar un punto intermedio (Nota: esto puntos siempre se encuentran entre
el inicio y fin del intervalo, y todos son equispaciados).
f(xn): Valor de la función al evaluar el punto xn, con xn igual al fin del intervalo de la integral (b)
 
4 1 4 2 3 2
0 4 0 4
1 2 1 2
Inpar par Inpar par
0 1 3 2 4
( ) 4* ( ) 2* ( ) ( ) ( ) 4* ( ) 2* ( ) ( )
3 3
( ) 4*( ( ) ( )) 2*( ( )) ( )
3
i i i i
i i i i
h h
I f x f x f x f x I f x f x f x f x
h
I f x f x f x f x f x
 
   
   
           
   
      
     
   
 
6 1 6 2 5 4
0 6 0 6
1 2 1 2
Inpar par Inpar par
0 1 3 5 2 4 6
( ) 4* ( ) 2* ( ) ( ) ( ) 4* ( ) 2* ( ) ( )
3 3
( ) 4*( ( ) ( ) ( )) 2*( ( ) ( )) ( )
3
i i i i
i i i i
h h
h
I f x f x f x f x f x f x f x
 
   
   
           
   
      
       
   
 
8 1 8 2 7 6
0 8 0 8
1 2 1 2
Inpar par Inpar par
0 1 3 5 7 2 4 6 8
( ) 4* ( ) 2* ( ) ( ) ( ) 4* ( ) 2* ( ) ( )
3 3
( ) 4*( ( ) ( ) ( ) ( )) 2*( ( ) ( ) ( )) ( )
3
i i i i
i i i i
h h
h
I f x f x f x f x f x f x f x f x f x
 
   
   
           
   
      
         
   

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
10
3
1
ln(2 )x dx
Desarrollo:
i) Utilizando n = 4
3
0
3
1
3
2
3
3
3
4
10 1
2,25
4
1 (1) ln(2 1) 1,098
3,25 (3,25) ln(2 3,25) 1,247
2 5,5 (5,5) ln(2 5,5) 1,325
3 7,75 (7,75) ln(2 7,75) 1,381
10 (10) ln(2 10) 1,424
b a
h
n
x a f
x a h f
x a h f
x a h f
x b f
 
  
    
     
     
     
    

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
2. Utilizar formula de Simpson 1/3 compuesto
 
 
0 1 3 2 4( ) 4*( ( ) ( )) 2*( ( )) ( )
3
2,25
1,098 4*(1,247 1,381) 2*(1,325) 1,424
3
11,766
h
I
I
    
    

3. Fin
 
10 1
1,5
6
1,5
(1) 4*( (2,5) (5,5) (8,5)) 2*( (4) (7)) (10)
3
11,769
h
I f f f f f f f
I

 
      

iii) Utilizando n = 8
 
10 1
1,125
8
1,125
(1) 4*( (2,125) (4,375) (6,625) (8,875)) 2*( (3,25) (5,5) (7,75)) (10)
3
11,771
h
I f f f f f f f f f
I

 
        

2.6. Simpson 3/8 compuesto
2 1 3
0
1 2 3
+3 + 3 + 3
3
( ) ( ) 3* ( ) 3* ( ) 2* ( ) ( )
8
b n n n
i i i n
i i ia
h b a
f x dx f x f x f x f x f x h
n
  
  
 
      
 
  
  
Donde:
n = Número de Subintervalos (Nota: n debe ser múltiplo de 3 y mayor a 3)

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
f(xi): Valor de la función al evaluar un punto intermedio (Nota: esto puntos siempre se encuentran entre
el inicio y fin del intervalo, y todos son equispaciados).
f(xn): Valor de la función al evaluar el punto xn, con xn igual al fin del intervalo de la integral (b)
6 2 6 1 6 3
0 6
1 2 3
+3 + 3 + 3
4 5 3
0 6
1 2 3
+3 + 3 + 3
0 1 4 2 5
3
( ) 3* ( ) 3* ( ) 2* ( ) ( )
8
3
( ) 3* ( ) 3* ( ) 2* ( ) ( )
8
3
( ) 3*( ( ) ( )) 3*( ( ) ( )) 2
8
i i i
i i i
i i i
i i i
h
h
h
  
  
  
 
     
 
  
 
      
 
  
      
  
  
 3 6*( ( )) ( )f x f x
9 2 9 1 9 3
0 9
1 2 3
+3 + 3 + 3
7 8 6
0 9
1 2 3
+3 + 3 + 3
0 1 4 7 2
3
( ) 3* ( ) 3* ( ) 2* ( ) ( )
8
3
( ) 3* ( ) 3* ( ) 2* ( ) ( )
8
3
( ) 3*( ( ) ( ) ( )) 3*( ( ) (
8
i i i
i i i
i i i
i i i
h
h
h
I f x f x f x f x f x f
  
  
  
 
     
 
  
 
      
 
  
      
  
  
 5 8 3 6 9) ( )) 2*( ( ) ( )) ( )x f x f x f x f x   
12 2 12 1 12 3
0
1 2 3
+3 + 3 + 3
10 11 9
0
1 2 3
+3 + 3 + 3
0 1 4 7 10
3
( ) 3* ( ) 3* ( ) 2* ( ) ( )
8
3
( ) 3* ( ) 3* ( ) 2* ( ) ( )
8
3
( ) 3*( ( ) ( ) ( ) ( )) 3
8
i i i n
i i i
i i i n
i i i
h
h
h
  
  
  
 
     
 
  
 
      
 
  
      
  
  
 2 5 8 11 3 6 9 12*( ( ) ( ) ( ) ( )) 2*( ( ) ( ) ( )) ( )f x f x f x f x f x f x f x f x      

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
5
1/
0,25
x
xe dx
Desarrollo:
i) Utilizando n = 6
1/0,25
0
1/1,041
1
1/1,832
2
1/2,623
3
4
5 0,25
0,791
6 6
0,25 (0,25) 0,25* 13,65
1,041 (1,041) 1,041* 2,72
2 1,832 (1,832) 1,832* 3,16
3 2,623 (2,623) 2,623* 3,84
4 3,414 (3,414) 3
b a
h
x a f e
x a h f e
x a h f e
x a h f e
x a h f
 
  
   
    
    
    
    1/3,414
1/4,205
5
1/5
6
,414* 4,57
5 4,205 (4,205) 4,205* 5,33
5 (5) 5* 6,11
e
x a h f e
x b f e

    
   
2. Utilizar formula de Simpson 3/8 compuesto

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
 
 
0 1 4 2 5 3 6
3
( ) 3*( ( ) ( )) 3*( ( ) ( )) 2*( ( )) ( )
8
3*0,791
(0,25) 3*( (1,041) (3,414)) 3*( (1,832) (4,204)) 2*( (2,623)) (5)
8
22,19
h
I f x f x f x f x f x f x f x
I f f f f f f f
I
      
      

3. Fin
 
5 0,25
0,527
6 8
3*0,527
(0,25) 3*( (0,777) (2,358) (3,939)) 3*( (1,304) (2,885) (4,466)) 2*( (1,831) (3,412)) (5)
8
21,17
b a
h
I f f f f f f f f f f
I
 
  
         

Valor real = 20,01
2.7. Cuadratura Gaussiana
Tabla de puntos:
Z

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
2.7.1. Cuando el intervalo es distinto de -1,1
1
( )
2 2 2
b n
i i
ia
b a b a a b
f x dx w f z

     
    
   

Donde:
a: Inicio del intervalo de integración
b: Fin del intervalo de integración
wi: Peso i extraído de la tabla
zi: Valor del punto xi extraído de la tabla
Fórmula para 2 puntos:
1 1 2 2*
2 2 2 2 2
* 1,00 ( 0,57735) 1,00 (0,57735)
2 2 2 2 2
b a b a a b b a a b
I w f z w f z
b a b a a b b a a b
I f f
           
         
      
           
          
      
1 1 2 2 3 3*
2 2 2 2 2 2 2
0,5555 ( 0,77459) 0,8888 (0)
2 2 2 2
*
2
0,5555 (0,77459)
2 2
b a b a a b b a a b b a a b
I w f z w f z w f z
b a a b b a a b
f f
b a
I
b a a b
f
               
             
        
        
       
               
   
  
1 1 2 2 3 3 4 4*
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0,3478 ( 0,8611) 0,6521 ( 0,3399)
2 2 2 2
*
2
0,6521 (0,3399)
2
b a b a a b b a a b b a a b b a a b
I w f z w f z w f z w f z
b a a b b a a b
f f
b a
I
b a a
f
                   
                 
          
      
       
     
  
 
  0,3478 (0,8611)
2 2 2
b b a a b
f
 
 
 
      
     
    
Ejemplo: Aproximar la siguiente integral por medio de la cuadratura de Gauss usando 3 puntos.

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
1
4
1
1
1
dx
x 

Desarrollo:
1. Calcular
𝒃−𝒂
𝟐
y calcular la evaluación de los puntos f (
𝒃−𝒂
𝟐
𝒛𝒊 +
𝒂+𝒃
𝟐
).
 
 
4
4
1 ( 1) 2
1
2 2
1 ( 1) 1 ( 1) 1
*( 0,774589) 1*( 0,774589) 0 ( 0,774 0,856589)
2 2 1 0,77459
1 ( 1) 1 ( 1) 1
*(0) 0
2 2 1 0
1 ( 1) 1 ( 1) 1
*(0,774589) (0,774589)
2 2 1 0 7
7
4
1
, 7
f f f
f f
f f
    
    
   
    
         
   
    
    
  
    
   
    4
0, 7
59
856
2. Utilizar formula de cuadratura gaussiana
1*(0,5555*0,8567 0,8888*1 0,5555*0,8567)
1,8406
I
I
  

3. Fin
Ejemplo II: Calcular la siguiente integral:
4
/3
1
1 x
e dx
x

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
i) Utilizando 2 puntos:
    
1 1 2 2*
2 2 2 2 2
4 1 4 1 1 4 4 1 1 4
* 1,00 ( 0,57735) 1,00 (0,57735)
2 2 2 2 2
1,5* 1,00 1,5*( 0,57735) 2,5 1,00 1,5*(0,57735) 2,5
1,5* 1,0
b a b a a b b a a b
I w f z w f z
I f f
I f f
I
           
         
      
           
          
      
    
     
1,633/3 3,366/3
0 1,633 1,00 3,366
1 1
1,5* 1,00* 1,00*
1,633 3,366
2,951
f f
I e e
I

    
     
    

ii) Utilizando 3 puntos:
4 1 1 4 4 1 1 4
0,5555 ( 0,77459) 0,8888 (0)
2 2 2 24 1
*
2 4 1 1 4
0,5555 (0,77459)
2 2
2,971
f f
I
f
I
        
       
               
   
  

iii) Utilizando 4 puntos:

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
4 1 1 4 4 1 1 4
0,3478 ( 0,8611) 0,6521 ( 0,3399)
2 2 2 24 1
*
2 4 1 1 4 4 1 1 4
0,6521 (0,3399) 0,3478 (0,8611)
2 2 2 2
2,973
f f
I
f f
I
        
        
                   
       
    

Valor real = 2,973
2.7.1. Cuando el intervalo es igual a -1,1
1
1 1 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )n nf z dz w f z w f z w f z

  
Donde:
wi: Peso i extraído de la tabla
zi: Valor del punto xi extraído de la tabla:
1 1 2 2( ) ( )
1,00 ( 0,57735) 1,00 (0,57735)
I w f z w f z
I f f
 
  
1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )
0,5555 ( 0,77459) 0,8888 (0) 0,5555 (0,77459)
I w f z w f z w f z
I f f f
  
   
1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( )
0,3478 ( 0,8611) 0,6521 ( 0,3399) 0,6521 (0,3399) 0,3478 (0,8611)
I f f f f
   
     
Ejemplo: Calcular la siguiente integral:
3
1
1 1
x
e
dx
x 

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
1 1 2 2
0,57735 0,57735
( ) ( )
1,00 ( 0,57735) 1,00 (0,57735)
1,00* 1,00*
0,57735 1 0,57735 1
2,457
I w f z w f z
I f f
e e
I
I

 
  
 
  

ii) Utilizando 3 puntos:
1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )
0,5555 ( 0,77459) 0,8888 (0) 0,5555 (0,77459)
2,703
I w f z w f z w f z
I f f f
I
  
   

1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( )
0,3478 ( 0,8611) 0,6521 ( 0,3399) 0,6521 (0,3399) 0,3478 (0,8611)
2,8874
I f f f f
I
   
     

2.8 Extrapolación de Richardson
2 1
4 1
( ) ( )
3 3
I I h I h 
Donde:
h1: Distancias entre los puntos con la que se realiza la aproximación 1

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
h2: Distancias entre los puntos con la que se realiza la aproximación 2 (Nota se debe cumplir: h2 = h1/2
I(h1): Aproximación 1
I(h2): Aproximación 2
10
3
1
ln(2 )x dx
Gráfico de función
Desarrollo:
i) Trapecio compuesto con n = 4

Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
 0 1 3 2 4
3
0
3
1
3
2
3
3
3
4
10 1
2,25
4
( ) 4*( ( ) ( )) 2*( ( )) ( )
3
1 (1) ln(2 1) 1,098
3,25 (3,25) ln(2 3,25) 1,247
5,5 (5,5) ln(2 5,5) 1,325
7,75 (7,75) ln(2 7,75) 1,381
10 (10) ln(2 10) 1,424
b a
h
n
h
x f
x f
x f
x f
x f
 
  
    
   
   
   
   
   
 
2,25
1,098 4*(1,247 1,381) 2*(1,325) 1,424
3
11,766
I
I
    

ii) Trapecio compuesto con n = 8
 
10 1
1,125
8
1,125
(1) 4*( (2,125) (4,375) (6,625) (8,875)) 2*( (3,25) (5,5) (7,75)) (10)
3
11,771
h
I f f f f f f f f f
I

 
        

iii) Formula de Richardson
2 1
4 1
( ) ( )
3 3
4 1
11,771 11,766
3 3
11,7726
I I h I h
I
I
 
 

2.9. Romberg – Richardson
Proceso Iterativo:

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1,1
2,1 2,2
3,1 3,2 3,3
,1 ,2 ,3 ,n n n n n
R
R R
R R R
R R R R

 
  
i) Cálculo de la columna 1:
 
 
2
1,1
2
,1 1,1 1
1
1
1
( ) ( ) , 1 subintervalo, trapecio simple
2
1
(2 1)
2
,con 2 subintervalos
2
i
i i i i
k
i
i i
b a
R f a f b
R R h f a k h
b a
h

 




 
 
    
 



Donde:
a: Inicio del intervalo de integración
b: Fin del intervalo de integración
f(a): Valor de la función al evaluar el punto a, con a igual al inicio del intervalo de la integral
f(a+h): Valor de la función al evaluar un punto intermedio (Nota: esto puntos siempre se encuentran
entre el inicio y fin del intervalo, y todos son equispaciados).
f(b): Valor de la función al evaluar el punto b, con b igual al fin del intervalo de la integral
ii) Cálculo de la Columna 2:
,2 ,1 1,1
4 1
2,...,
3 3
i i iR R R con i n  
Donde:
Ri,1: Aproximación de la misma fila y columna 1
Ri-1,1: Aproximación de la fila anterior y columna 1

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Cálculo de la columna 3 hasta n
1
, 1 1, 1
, 1
4
3,...,
4 1
j
i j i j
i j j
R R
R con i n

  


 

Donde:
Ri,j-1: Aproximación de la misma fila y columna anterior
Ri-1,j-1: Aproximación de la fila anterior y columna anterior
Fórmulas para 2 subintervalos:
 
   
1,1
2,1 1,1 1 2 2,2 2,1 1,1
2
3,2 2,2
3,1 2,1 2 3 3 3,2 3,1 2,1 3,3 2
( ) ( )
2
1 4 1
*( ( 1* )
2 3 3
41 4 1
*(( 1* 3* )
2 3 3 4 1
b a
R f a f b
R R h f a h R R R
R R
R R h f a h f a h R R R R

 
       

            
Fórmulas para 3 subintervalos:
 
   
   
   
1,1
2,1 1,1 1 2 2,2 2,1 1,1
2
3,2 2,2
3,1 2,1 2 3 3 3,2 3,1 2,1 3,3 2
4 4
4,1 3,1 3
4 4
( ) ( )
2
1 4 1
*( ( 1* )
2 3 3
41 4 1
*(( 1* 3* )
2 3 3 4 1
( 1* 3*1
*
2 5* 7*
b a
R f a f b
R R h f a h R R R
R R
R R h f a h f a h R R R R
f a h f a h
R R h
f a h f a h

 
       

            
  
     
2 3
3,2 2,2 4,3 3,3
4,2 4,1 3,1 4,3 4,42 3
4 44 1
3 3 4 1 4 1
R R R R
R R R R R
   
           
Ejemplo: Calcular la siguiente integral:
0
2
1
sen dx
x
  
 
 


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 = 3,141
i) Utilizando subintervalos:
1,1
2,1 2,2
3,1
3,141 0 2 2
2 0 1 3,141 1
0,729
1 2 4 1
0,729 3,141*( ) *1,467 0,729
2 1,570 1 3 3
1,7131,467
1 2 2
1,467 1,570*( )
2 0,785 1 2,355 1
R sen sen
R sen R
R sen sen
    
         

  
        

    
           

2
3,2 3,3 2
4 1 4 *2,019 (1,713)
*1,881 *1,467
3 3 4 1
2,019 2,0391,881
R R

  
  
 

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ii) Utilizando 3 subintervalos:
1,1
2,1 2,2
3,1 3,2 3,3
4,1
0,729
1,467 1,713
1,881 2,019 2,039
2
0,392 1
2
1,177 11
1,881 0,782*
2 2
1,962 1
2
2,747 1
R
R R
R R R
sen
sen
R
sen
sen

  
    
   
      
   
      
   
       
  
   
      
2 3
4,2 4,3 4,42 3
4 1 4 *2,419 2,019 4 *2,158 2,039
2,0812 1,811
3 3 4 1 4 1
2,419 2,158 2,161
2,082
R R R




  
       
 




Valor real = 2,2764
2.10 Integrales Múltiples
Es posible aplicar los métodos vistos para integrales múltiples. Se debe aplicar el método de forma
iterativa para cada dimensión
( , )
d b
c a
f x y dxdy 
( , , )
f d b
e c a
f x y z dxdydz  
( , , , )
h f d b
g e c a
f x y z w dxdydzdw   

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Ejemplo: Resolver la siguiente integral múltiple con el método de Simpson 1/3
1 2
2 2 3
1 0
( 2 )x y xy dxdy

  
1. Aplicar Simpson 1/3 para la dimensión de x
     
     
0 1 2
0 1 2
0 1 2
2 2 3 2 2 3 2 2 3
2 2 3 2 3
2 3 2 3
[ ( ) 4 ( ) ( )]
3
2 [ ( ) 4 ( ) ( )]
3
2 0
2 [ ( ) 4 ( ) ( )]
3
1/ 3[ 0 2 0 4 1 2 1 2 2 2 ]
1/ 3[ 2 4 8 4 4 2 2 ]
1/ 3[ 12 6 8] 4 2 2,667
h
I f x f x f x
b a
I f x f x f x
I f x f x f x
I y y y y y y
I y y y y y
I y y y y
  

  

  
        
       
       
2. Aplicar Simpson 1/3 para la dimensión de y
     
     
0 1 2
0 1 2
0 1 2
2 3 2 3 2 3
[ ( ) 4 ( ) ( )]
3
2 [ ( ) 4 ( ) ( )]
3
1 ( 1)
2 [ ( ) 4 ( ) ( )]
3
1/ 3[ 4( 1) 2( 1) 2,667 4 4*0 2*0 2,667 4*1 2*1 2,667 ]
1/ 3[ 4 2 2,667 10,668 4 2 2,667 ]
1/ 3[8,002] 2,667
h
I f x f x f x
b a
I f x f x f x
I f x f x f x
I
I
I
  

  
 
  
             
        
 
Ejemplo II: Calcular la siguiente integral triple con el método del trapecio
2 2 1
2 0 3
3x yz dxdydz
 
  
1. Aplicar trapecio para la dimensión de x

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 
 
 
 
 
0 1( ) ( )
2
( 3) (1)
2
1 ( 3)
(( 3) 3 ) (1 3 )
2
2* ( 3 3 ) (1 3 )
2* ( 2 6 ) 4 12
h
I f x f x
b a
I f f
I yz yz
I yz yz
I yz yz
 

  
 
    
    
     
2. Aplicar trapecio para la dimensión de y
 
 
 
 
 
0 1( ) ( )
2
(0) (2)
2
2 0
( 4 12*0* ) ( 4 12*2* )
2
1* ( 4) ( 4 24 )
1* ( 8 24 ) 8 24
h
I f x f x
b a
I f f
I z z
I z
I z z
 

 

     
    
     
3. Aplicar trapecio para la dimensión de z
 
 
 
 
 
0 1( ) ( )
2
( 2) (2)
2
2 ( 2)
( 8 24*( 2)) ( 8 24*2)
2
2* (40) ( 56)
2* ( 16) 32
h
I f x f x
b a
I f f
I
I
I
 

  
 
      
  
   
2.11 Segmentos desiguales
Los métodos de integración numérica que se han presentado hasta ahora están basados en la partición del
intervalo de integración en sub intervalos que tienen la misma amplitud (es decir, son igualmente
espaciados o equidistantes).

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Sin embargo, en la práctica muchas veces se tienen segmentos de amplitudes desiguales, dificultando el
uso de los métodos anteriores.
En tales casos, existe un método que combina estos métodos, aplicar la regla del trapecio para los tramos
de diferente amplitud, y la regla de Simpson 1/3 y Simpson 3/8 en los tramos de igual amplitud, con el
fin de aprovechar las aproximaciones de menor error que entregan.
 En los tramos en que se tienen 4 puntos igualmente espaciados, se aplica la regla de
Simpson 3/8.
 En los tramos en que se tienen 3 puntos igualmente espaciados, se aplica la regla de
Simpson 1/3.
 Si no se cumple lo anterior, se aplica el método del Trapecio para los intervalos desiguales.
Ejemplo: Evalúe la integral
1,2
0
( )f x dx usando la siguiente tabla
x 0 0,10 0,30 0,50 0,70 0,95 1,20
f(x) 0 6,84 4,00 4,20 5,51 5,77 1,00
Desarrollo:
La distancia entre 0 y 0,1 es de: 0,1 – 0 = 0,1.
La distancia entre 0,1 y 0,3 es de: 0,3 – 0,1 = 0,2. Dado que la distancia es distinta a la anterior se crea
un intervalo entre 0 y 0,1 [0; 0,1]

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La distancia entre 0,1 y 0,3 es de: 0,3 – 0,1 = 0,2.
La distancia entre 0,7 y 0,95 es de: 0,95 – 0,7 = 0,25. Dado que la distancia es distinta a la anterior se
crea un intervalo entre 0,1 y 0,7 [0,1; 0,7]
Dado que no quedan puntos se crea el ultimo intervalo entre 0,95 y 1,2 [0,95; 1,2]
Dado que el primer intervalo [0; 0,1] tiene 2 puntos se aplica la Regla del Trapecio.
Dado que el segundo intervalo [0,1 – 0,7] tiene 4 puntos se aplica Simpson 3/8.
Dado que el tercer intervalo [0,7 – 1,2] tiene 3 puntos se aplica Simpson 1/3.
1. Intervalo desigual [0 – 0,1] por lo que se aplica la Regla del Trapecio.
0 0
1 1
0 ( ) 0
0,1 ( ) 6,84
x f x
x f x
 
 
0 1
0,1 0
[ ( ) ( )] [0 6,84] 0,342
2 2
h
I f x f x I

     
2. Intervalo con 4 puntos equispaciados [0,1 – 0,7] por lo tanto se aplica Simpson 3/8.
0 0
1 1
2 2
3 3
0,1 ( ) 6,84
0,3 ( ) 4
0,5 ( ) 4,2
0,7 ( ) 5,51
x f x
x f x
x f x
x f x
 
 
 
 
0 1 2 3
0,7 0,1
3
3 3
[ ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )] [6,84 3*4 3*4,2 5,51] 2,771
8 8
h
I f x f x f x f x I
 
 
          
3. Intervalo con 3 puntos equispaciados [0,7 – 1,2] por lo tanto se aplica Simpson 1/3.
0 0
1 1
2 2
0,7 ( ) 5,51
0,95 ( ) 5,77
1,2 ( ) 1
x f x
x f x
x f x
 
 
 

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0 1 2
1,2 0,7
2[ ( ) 4 ( ) ( )] [5,51 4*5,77 1] 2,465
3 3
h
I f x f x f x

      
4. Fin
El valor de la Integral es 0,342 + 2,771 + 2,465 con un total de 5,578
2.12 Datos tabulados
En ocasiones se desconoce la función que se desea integrar, pero se conocen los puntos de estas y sus
evaluaciones, por lo que es posible aplicar los métodos vistos para obtener una aproximación, dado que
se desconoce la función es recomendable utilizar todos los puntos para obtener una mejor aproximación.
Para este tipo de ejercicios no se puede utilizar los métodos de cuadratura gaussiana, ni Integración de
Romberg – Rirchardson, ya que se desconoce la función para evaluar los nuevos puntos.
Ejemplo: Evalúe la integral de los datos tabulados a continuación:
x -2 0 2 4 6 8 10
f(x) 35 5 -10 2 5 3 20
Desarrollo:
i) Usando Regla del trapecio
i. Calcular valor de h, puntos (𝒙𝒊) y su evaluación (f(𝒙𝒊))
0 0
1 1
10 ( 2) 12
2 ( ) 35
10 ( ) 20
h b a
x a f x
x a h f x
     
   
   
ii. Utilizar formula del trapecio
0 1
12
[ ( ) ( )] [35 20] 330
2 2
h
I f x f x I     
iii. Fin
El valor de la integral es 330
ii) Usando Simpson 1/3

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0 0
1 1
2 2
10 ( 2)
6
2 2
2 ( ) 35
4 ( ) 2
2 10 ( ) 20
b a
h
x a f x
x a h f x
x a h f x
  
  
   
   
   
ii. Utilizar formula de Simpson 1/3
0 1 2
6
[ ( ) 4 ( ) ( )] [35 4*2 20] 189
3 3
h
I f x f x f x      
iii. Fin
iii) Usando Simpson 3/8
10 ( 2)
4
3 2
b a
h
  
  
0 0
1 1
2 2
3 3
2 ( ) 35
2 ( ) 10
2 6 ( ) 5
3 10 ( ) 20
x a f x
x a h f x
x a h f x
x a h f x
   
    
   
   
ii. Utilizar formula de Simpson 3/8
0 1 2 3
3 3*4
[ ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )] [35 3* 10 3*5 20] 60
8 8
h
I f x f x f x f x I          
iii. Fin
3. Resumen Unidad 5

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4. Ejercicios
4.1. Para un cohete, se recabaron los datos siguientes de la distancia recorrida versus el tiempo:
t (s) 0 25 50 75 100 125
y (km) 0 32 58 78 92 100
Use diferenciación numérica para estimar la velocidad y aceleración del cohete en cada momento
Desarrollo:
i) Momento t = 0
Velocidad:
( ) ( ) (0 25) (0) 32 0
'( ) '(0) '(0) 1,28 /
25 25
i i
i
f x h f x f f
f x f f km s
h
    
     
Aceleración:
2
2 2
( 2 ) 2 ( ) ( ) (0 2*25) 2 (0 25) (0) 58 2*32 0
''( ) ''(0) ''(0) 0,0096 /
62525
i i i
i
f x h f x h f x f f f
f x f f km s
h
         
      
ii) Momento t = 25
Velocidad:
( ) ( ) (25 25) (25 25) 58 0
'( ) '(25) '(25) 1,16 /
2 2*25 50
i i
i
f x h f x h f f
f x f f km s
h
      
     
Aceleración:
2
2 2
( ) 2 ( ) ( ) (25 25) 2 (25) (25 25) 58 2*32 0
''( ) ''(25) ''(25) 0,0096 /
62525
i i i
i
f x f f km s
h
         
      
iii) Momento t = 50
Velocidad:
( ) ( ) (50 25) (50 25) 78 32
'( ) '(50) '(50) 0,92 /
2 2*25 50
i i
i
f x h f x h f f
f x f f km s
h
      
     
Aceleración:

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Diego Beneventti
2
2 2
( ) 2 ( ) ( ) (50 25) 2 (50) (50 25) 78 2*58 32
''( ) ''(50) ''(25) 0,0096 /
62525
i i i
i
f x f f km s
h
         
      
iv) Momento t = 75
Velocidad:
( ) ( ) (75 25) (75 25) 92 58
'( ) '(75) '(75) 0,68 /
2 2*25 50
i i
i
f x h f x h f f
f x f f km s
h
      
     
Aceleración:
2
2 2
( ) 2 ( ) ( ) (75 25) 2 (75) (75 25) 92 2*78 58
''( ) ''(75) ''(75) 0,0096 /
62525
i i i
i
f x f f km s
h
         
      
v) Momento t = 100
Velocidad:
( ) ( ) (100 25) (100 25) 100 78
'( ) '(100) '(100) 0,44 /
2 2*25 50
i i
i
f x h f x h f f
f x f f km s
h
      
     
Aceleración:
2
2 2
( ) 2 ( ) ( ) (100 25) 2 (100) (100 25) 100 2*92 78
''( ) ''(100) ''(100) 0,0096 /
62525
i i i
i
f x f f km s
h
         
      
vi) Momento t = 125
Velocidad:
( ) ( ) (125) (125 25) 100 92
'( ) '(125) '(125) 0,16 /
2*25 50
i i
i
f x f x h f f
f x f f km s
h
    
     
Aceleración:
2
2 2
( ) 2 ( ) ( 2 ) (125) 2 (125 25) (125 2*25) 100 2*92 78
''( ) ''(125) ''(125) 0,0096 /
62525
i i i
i
f x f x h f x h f f f
f x f f km s
h
         
      
4.2 Aproximar la siguiente integral por medio de la cuadratura de Gauss usando 4 puntos.

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2
0
cos( ) ( )x sen x dx
1. Calcular
𝒃−𝒂
𝟐
𝒃−𝒂
𝟐
𝒛𝒊 +
𝒂+𝒃
𝟐
).
 
2 0 2
1
2 2
2 0 0 2
*( 0,8611) 1*( 0,8611) 1 (0,1389) cos(0,1389)*sen(0,1389) 0,1371
2 2
2 0 0 2
*( 0,3399) (0,6601) cos(0,6601)*sen(0,6601) 0,4843
2 2
2 0 0 2
*(0,3399) (1,
2 2
f f f
f f
f f
   
    
   
  
        
 
  
     
 
  
  
 
3399) cos(1,3399)*sen(1,3399) 0,2227
2 0 0 2
*(0,8611) (1,8611) cos(1,8611)*sen(1,8611) 0,2742
2 2
f f
 
  
     
 
1*[0,3478*0,1371 0,6524*0,4843 0,6524*0,2227 0,3478* 0,2742]
0,4135
I
I
    

3. Fin
4.3. La cantidad de masa transportada por un tubo durante cierto periodo de tiempo se calcula con
2
1
( ) ( )
t
t
M Q t c t dt 
Donde M = masa (mg), t1 = tiempo inicial (min), t2 = tiempo final (min), Q(t) = tasa de flujo (m3/min),
y c(t) concentración (mg/m3). Las representaciones funcionales siguientes definen las variaciones
temporales en el flujo y la concentración:
2
0,5 0,15
( ) 9 4cos(0,4 )
( ) 5 2t t
Q t t
c t e e
 
 
Considere t1 = 2 min y t2 = 8 min.
Desarrollo:
Armar la integral

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   
8
2 0,5 0,15
2
9 4cos(0,4 ) * 5 2t t
M t e e dt
  
8 2
1,5
4
b a
h
n
 
  
   
   
   
2 0,5*2 0,15*2
0
2 0,5*3,5 0,15*3,5
1
2 0,5*5 0,15*5
2
3
2 (2) 9 4cos(0,4*2) * 5 2 49,665
2 1,5 3,5 (3,5) 9 4cos(0,4*3,5) * 5 2 38,739
2 2 2*1,5 5 (5) 9 4cos(0,4*5) * 5 2 45,017
3 2 3*1,5 6,5 (
x a f e e
x a h f e e
x a h f e e
x a h f



     
        
        
        
   
2 0,5*6,5 0,15*6,5
2 0,5*8 0,15*8
4
6,5) 9 4cos(0,4*6,5) * 5 2 67,221
8 (8) 9 4cos(0,4*8) * 5 2 87,422
e e
x b f e e


   
     
2. Utilizar formula de trapecio compuesto
[ ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 ) ( )]
2
1,5
[49,665 2*38,739 2*45,017 2*67,221 87,422] =329,281
2
h
M f a f a h f a h f a h f b
M
       
    
3. Fin
La cantidad de masa es de 329,281 mg.
4.4. Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire sobre un objetivo que cae es proporcional
al cuadrado de la velocidad. Para este caso, la velocidad se calcula con:
( ) tanh d
d
gcgm
v t t
c m
 
   
 
Donde cd = coeficiente de arrastre de segundo orden.
a) Si g = 9,8 m/s2
, m = 68,1 kg y cd = 0,25 kg/m. Use la integra analítica para determinar que tan lejos
cae el objeto en 10 segundos.
b) Estime la integral usando el método del Trapecio. Luego, saque el error relativo porcentual verdadero,
usando el valor obtenido en a).
c) Estime la integral usando el método de Simpson 1/3. Luego, saque el error relativo porcentual
verdadero, usando el valor obtenido en a).
d) Estime la integral usando el método de Trapecio compuesto con n = 4. Luego, saque el error relativo
porcentual verdadero, usando el valor obtenido en a).

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Desarrollo:
Se define la integral:
10
0
tanh d
d
gcgm
I t dt
c m
 
   
 

Se reemplazan los valores
 
10 10
0 0
9,8*68,1 9,8*0,25
tanh 51,6673978tanh 0,18967474*
0,25 68,1
I t dt t dt
 
   
 
 
a)
Valor Real 333,92
b) Trapecio
 
 
0
1
10 0 10
0 (0) 51,6673978*tanh 0,18967474*0 0
10 (10) 51,6673978*tanh 0,18967474*10 49,3918693
h b a
t a f
t b f
    
    
    
2. Utilizar formula de Trapecio
   
10
( ) ( ) 0 49,3918693 246,959346
2 2
h
I f a f b    
3. Fin
333,92 246,959346
26,04%
333,92
Error

 
c) Simpson 1/3
 
 
 
0
1
2
10 0
5
2 2
0 (0) 51,6673978*tanh 0,18967474*0 0
5 (5) 51,6673978*tanh 0,18967474*5 38,18457
10 (10) 51,6673978*tanh 0,18967474*10 49,3918963
b a
h
t a f
t a h f
t b f
 
  
    
     
    

Curso:
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2. Utilizar formula de Simpson 1/3
 
 
5
(0) 4* (5) (10)
3
5
0 4*38,18457 49,3918963 336,883
3
I f f f
I
   
   
3. Fin
333,92 336,883
0,888%
333,92
Error

 
d) Trapecio compuesto
 
 
 
0
1
2
3
10 0
2,5
4
0 (0) 51,6673978*tanh 0,18967474*0 0
2,5 (2,5) 51,6673978*tanh 0,18967474*2,5 22,81508
2 5 (5) 51,6673978*tanh 0,18967474*5 38,18457
3 7,5 (7,5) 51,6673978*tanh 0,
b a
h
n
t a f
t a h f
t a h f
t a h f
 
  
    
     
     
      
 4
18967474*7,5 45,9907
10 (10) 51,6673978*tanh 0,18967474*10 49,3918963t b f

    
2. Utilizar formula de Trapecio compuesto
 
 
2,5
(0) 2* (2,5) 2* (5) 2* (7,5) (10)
2
2,5
0 2*22,81508 2*38,18457 2*45,9907 49,3918963 329,215
2
I f f f f f
I
    
     
3. Fin
333,92 329,215
1,41%
333,92
Error

 
4.5. Un campesino desea cubrir un campo de cultivo que posee una forma descrita por la curva

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2
( ) (3 )x
f x e sen x 
Para esto debe calcular el área encerrada por esta curva desde a = 0 hasta b = 3,141
a) Resuelva mediante Trapecio, Simpson 1/3 y Simpson 3/8
b) Resuelva mediante Romberg con 2 subintervalos
c) Considere el valor obtenido en b como exacto, cuáles son los errores de los valores obtenidos en a.
Desarrollo:
Integral:
3,141
2
0
(3 )x
e sen x
a)
Trapecio:
0 1
2*0 2*3,141
[ ( ) ( )]
2
[ (0) (3,141)]
2
3,141 0
[ (3*0) (3*3,141)]
2
1,571[1 534,859]
841,834
h
I f x f x
b a
I f f
I e sen e sen
I
I
 

 

   
 

Simpson 1/3
0 1 2
2*0 2*1,571 2*3,141
[ ( ) 4 ( ) ( )]
3
3,141 0
2 [ (0) 4 (1,571) (3,141)]
3
0,524[ (3*0) 4*( (3*1,571)) (3*3,141)]
0,524[1 4*22,150 534,859]
327,21
h
I f x f x f x
I f f f
I e sen e sen e sen
I
I
  

  
     
  

Simpson 3/8

Curso:
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0 1 2 3
2*0 2*1,047 2*2,094 2*3,141
3,141 0
1,047
3 3
3
[ ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )]
8
3*1,047
[ (0) 3 (1,047) 3 (2,094) (3,141)]
8
0,393[ (3*0) 3*( (3*1,047)) 3*( (3*2,094)) (3*3,141)]
b a
h
h
I f x f x f x f x
I f f f f
I e sen e sen e sen e sen
I
 
  
   
   
       
 0,393[1 3*8,118 3*65,890 534,859]
297,848I
  

b) Romberg con 2 Subintervalos:
 1,1
2*0 2*3,141
1,1
1,1
2,2 2,1 1,1
2,1 1,1 1 2
2,2
2*1,571
2,1
( ) ( )
2
3,141 0
[ (3*0) (3*3,141)]
2
841,834
4 1
3 31
*( ( 1* ) 4 1
2 455,704 841,834
3 3
0,5*[841,834 3,141*( (3*1,571)]
b a
R f a f b
R e sen e sen
R
R R R
R R h f a h
R
R e sen
R

 

  

 
       
  
   
2,2
2,1
3,23,1 2,1 2 3 3
2*0,7855
3,1
2*2,357
3,1
326,994
455,704
41
*(( 1* 3* )
32
0,5*[455,704 1,571*( (3*0,7855)
(3*2,357))]
320,236
R
RR R h f a h f a h
R e sen
e sen
R


      
   
 

2
3,2 2,2
3,1 2,1 3,3 2
3,2 3,3
3,2 3,3
41
3 4 1
4 1 16*275,08 326,994
320,236 455,704
3 3 15
275,08 271,619
R R
R R R
R R
R R

 


   
 
c) Errores

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1/3
3/8
271,619 841,834
*100 209,93%
271,619
271,619 327,21
*100 20,47%
271,619
271,619 297,848
*100 9,66%
271,619
TE
E
E

 

 

 
4.6. Suponga que la temperatura en una placa rectangular se escribe mediante la siguiente función.
2 2
( , ) 2 2 2 72T x y xy x x y    
Si la placa tiene 8 m de largo (x) y 6 m de ancho (y) calcule la temperatura promedio.
Desarrollo:
La integral del problema es (No importa el orden de las dimensiones):
6 8
2 2
0 0
2 2 2 72xy x x y dxdy    
1. Aplicar la regla del trapecio para la dimensión de x
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
2 2 2
1 1
8 0 8
0 ( ) 2* * 2* 2 72 (0) 2*0* 2*0 0 2 72 2 72
8 ( ) 2*8 2*8 8 2 72 (8) 16 16 64 2 72
h b a
x a f x x y x x y f y y y
x a h f x y y f y y
    
               
             
2 2
0 1
2 2
8
[ ( ) ( )] [( 2 72) (16 16 64 2 72)]
2 2
4*[ 4 16 96] 16 64 384
h
I f x f x I y y y
I y y I y y
          
         
2. Aplicar la regla del trapecio para la dimensión de y
2 2
0 0
2
1
6 0 6
0 ( ) 16 64 384 (0) 16*0 64*0 384 384
6 (6) 16*6 64*6 384 (6) 576 384 384 192
h b a
x a f x y y f
x a h f f
    
           
            

Curso:
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0 1
6
[ ( ) ( )] [384 192] 1728
2 2
h
I f x f x I I      
3. Calcular la temperatura promedio
1728
36
6*8
p  
La temperatura promedio en la placa es de 36
4.7. Si se conoce la distribución de la velocidad de un fluido a través de un tubo. La tasa de flujo Q (es
decir, el volumen de agua que pasa por el tubo por unidad de tiempo) se calcular por medio de Q vdA 
, donde v es la velocidad y A es el área de la sección transversal del Tubo. Para un tubo circular, A = 𝜋r2
y Da = 2𝜋r dr. Por lo tanto
0
(2 )
r
Q v r dr 
Donde r es la distancia radial medida hacia fuera del centro del tubo. Si la distribución de la velocidad
está dada por
1/6
0
2 1
r
v
r
 
  
 
donde r0 es el radio total (3 cm), calcule Q a través de algún método visto en clases.
Desarrollo:
Al reemplazar los valores en la integral queda:
1/6
0
2 1 (2 )
3
r r
Q r dr
 
  
 

Utilizando Trapecio:
   
   
1/6 1/6
0
0 0 0
1/6 1/6 1/6
1
1 1 1
0
0
0 ( ) 2 1 2 (0) 2 1 2 *0 0
3 3
( ) 2 1 2 ( ) 2 1 2 4 1
3 3 3
h r r
x
x a f x x f
x r r
x b r f x x f r r r
 
  
  
   
         
  
     
            
    

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1/6 1/6
2
0 1[ ( ) ( )] [0 4 1 ] 2 1
2 2 3 3
h r r r
I f x f x I r I r 
   
           
   
iii. Fin
La tasa de flujo Q tiene un valor de:
1/6
2
2 1
3
r
r
 
 
 
4.8. La integración proporciona un medio para calcular cuánta masa entra o sale de un reactor durante un
periodo específico de tiempo, así:
2
1
( )
t
t
M Qc t dt 
Donde t1 y t2 = tiempos iniciales y final, respectivamente. Esta fórmula es de sentido común si se recuerda
la analogía entre la integración y la suma. Es decir, la integral representa la suma del producto del flujo
por la concentración, lo que da la masa total que entra o sale de t1 a t2. Si la tasa de flujo Q es constate se
puede sacar de la integral:
2
1
( )
t
t
M Q c t dt 
Observe que Q = 4 m3
/min. Utilice integración numérica para evaluar esta ecuación para los datos que
se enlistas a continuación
t (min) 0 10 20 30 40
c (mg/m3
) 10 35 55 52 37
Resuelva mediante:
a) Trapecio
b) Simpson 1/3
c) Trapecio compuesto con n = 4
d) Simpson 1/3 compuesto con n = 4
Desarrollo:
a) Trapecio

Curso:
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1-2019
Diego Beneventti
0 1[ ( ) ( )]
2
[ (0) (40)]
2
40 0
[10 37]
2
940
* 4*940 3760
h
I f x f x
b a
I f f
I
I
M Q I
 

 

 

  
La masa que sale durante el periodo de tiempo es de 3760
b) Simpson 1/3
0 1 2[ ( ) 4 ( ) ( )]
3
40 0
2 [ (0) 4 (20) (40)]
3
6,67*[10 4*55 36]
1774,22
* 4*1774,22 7096,88
h
I f x f x f x
I f f f
I
I
M Q I
  

  
  

  
La masa que sale durante el periodo de tiempo es de 7096,88
c) Trapecio compuesto con n = 4
0 1 2 3 4
40 0
10
4
10
[ ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )]
2
10
[ (0) 2 (10) 2 (20) 2 (30) (40)]
2
10
[10 2*35 2*55 2*52 37]
2
1655
* 4*1655 6620
b a
h
n
I f f f f f
I
I
M Q I
 
  
    
    
    

  
La masa que sale durante el periodo de tiempo es de 6620
d) Simpson 1/3 compuesto con n = 4

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Diego Beneventti
 
 
 
0 1 3 2 4
40 0
10
4
( ) 4*( ( ) ( )) 2*( ( )) ( )
3
(0) 4*( (10) (30)) 2*( (20)) (40)
3
10
10 4*(35 52) 2*(55) 37
3
1683,33
* 4*1683,33 6733,32
b a
h
n
h
h
I f f f f f
I
I
M Q I
 
  
    
    
    

  
4.9. La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la fórmula:
ln o
o
m
v u gt
m qt
 
  
 
Donde v = velocidad hacia arriba, u = velocidad a que se expele el combustible en relación con el cohete,
mo = masa inicial del cohete en el tiempo t = 0, q = tasa de consumo de combustible y g = aceleración de
la gravedad en dirección hacia abajo (9,8 m/s2
). Si u = 1800 m/s, mo = 160000 kg, y q = 2500 kg/s, utilice
algún método para determinar la altura que alcanzará a los 30 segundos.
Desarrollo:
La formula generar de la velocidad es de:
d
v
t

En este caso la distancia es la altura, despejando queda:
*h v t
Reemplazando la formula de velocidad, y armando la integral queda:}
30
0
160000
1800ln 9,8
160000 2500
h t t
t
 
  
 

Utilizando la cuadratura gaussiana con 3 puntos
1. Calcular
𝒃−𝒂
𝟐
𝒃−𝒂
𝟐
𝒛𝒊 +
𝒂+𝒃
𝟐
).

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 
 
30 0
15
2 2
30 0 30 0
*( 0,774589) 15*( 0,774589) 15
2 2
160000
(3,381165) 1800ln 9,8*3,381165 64,563957
160000 2500*3,381165
30 0 30 0 160000
*(0) 15 1800ln
2 2 160000 2500*1
b a
f f
f
f f
    
    
   
  
     
 
 
     
  
   
 
9,8*15 333,713013
5
30 0 30 0 160000
*(0,774589) (26,618835) 1800ln 9,8*26,618835 707,024425
2 2 160000 2500*26,618835
f f
 
  
 
    
          
12 2 2
n
i i
i
b a b a a b
I w f z

       
     
    

 1 1 2 2 3 3*
2
b a
I w f w f w f

  
      15* 0,5555* 3,381165 0,8888* 15 0,5555* 26,618835I f f f  
 15* 0,5555*64,563957 0,8888*333,713013 0,5555*707,024425I   
10878,3221I 
3. Fin
La altura que alcanza el cohete a los 30 segundos es de: 10878,3221*30 326349,663h  
4.10. Se recolectaron los siguientes datos para una sección transversal de un río (y = distancia de una
ribera, H = profundidad y U = velocidad):
y (m) 0 1 3 5 7 8 9 10
H (m) 0 1 1,5 3 3,5 3,2 2 0
U (m/s) 0 0,1 0,12 0,2 0,25 0,3 0,15 0

Curso:
Semestre:
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Diego Beneventti
Use integración numérica para calcular:
a) La profundidad del río
b) El área de la sección transversal
c) El caudal
Observe que el área de la sección transversal (Ac) y el caudal (Q) se puede calcular como
0
0
( )
( ) ( )
y
c
y
A H y dy
Q H y U y dy




Desarrollo:
Observando los datos estos son de segmentos desiguales, por lo que primero hay que identificar los
intervalos:
Intervalo 1 [0, 1]
Intervalo 2 [1, 7]
Intervalo 3 [7, 10]
a) La profundidad del río
La profundidad del rio es el dato mayor de profundidad, el cual e de 3,5 metros.
b) el área de la sección transversal
Dado que son segmentos desiguales se debe calcular una aproximación para cada intervalo
1 7 10
0 1 7
( ) ( ) ( )cA H y dy H y dy H y dy    
Intervalo 1: Trapecio
0 1[ ( ) ( )]
2
[ (0) (1)]
2
1 0
[0 1]
2
0,5
h
I f x f x
b a
I f f
I
I
 

 

 

Intervalo 2: Simpson 3/8

Curso:
Semestre:
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Diego Beneventti
 
0 1 2 3
3
[ ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )]
8
7 1
3*
3 [ (1) 3 (3) 3 (5) (7)]
8
0,75* 1 3*1,5 3*3 3,5
13,5
h
I f x f x f x f x
I f f f f
I
I
   

   
   

 
0 1 2 3
3
[ ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )]
8
10 7
3*
3 [ (7) 3 (8) 3 (9) (10)]
8
0,375* 3,5 3*3,2 3*2 0
7,1625
h
I f x f x f x f x
I f f f f
I
I
   

   
   

El área de la sección transversal es de:
0,5 13,5 7,1625 21,1625cA    
c) El caudal
0
( ) ( )
y
Q H y U y dy 
Dado que son segmentos desiguales se debe calcular una aproximación para cada intervalo
1 7 10
0 1 7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Q H y U y dy H y U y dy H y U y dy    
Intervalo 1: Trapecio
0 1[ ( ) ( )]
2
[ (0) (1)]
2
1 0
[0*0 1*0,1]
2
0,05
h
I f x f x
b a
I f f
I
I
 

 

 


Curso:
Semestre:
Profesor:
1-2019
Diego Beneventti
 
0 1 2 3
3
[ ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )]
8
7 1
3*
3 [ (1) 3 (3) 3 (5) (7)]
8
0,75* 1*0,1 3*1,5*0,12 3*3*0,2 3,5*0,25
2,48625
h
I f x f x f x f x
I f f f f
I
I
   

   
   

 
0 1 2 3
3
[ ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )]
8
10 7
3*
3 [ (7) 3 (8) 3 (9) (10)]
8
0,375* 3,5*0,25 3*3,2*0,3 3*2*0,15 0*0
1,745625
h
I f x f x f x f x
I f f f f
I
I
   

   
   

El caudal es:
0,05 2,48625 1,745625 4,281875Q    
4.11. Mediante la extrapolación de Richadson calcule la segunda derivada del punto 1,5 en la siguiente
función ( ) ln(5 )f x x . Utilice h = 0,9
Desarrollo:
La segunda derivada del punto x = 1,5 es de - 0,4373
4.12. Mediante la extrapolación de Richardson calcule la segunda derivada del punto 1,3 en la siguiente
función 3
( ) x
f x e
 . Utilice h = 0,3
Desarrollo:
La segunda derivada del punto x = 1,3 es de 0,15706
4.13. Mediante el método de Romberg calcule el valor de la siguiente función 1
( ) (1 )x
f x e 
  en el
intervalo [1,6]

Curso:
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1-2019
Diego Beneventti
Desarrollo:
Utilizando 2 Subintervalos:
1,1
2,1 2,2
3,1 3,2 3,3
0,6785
0,4125 0,3238
0,3361 0,3107 0,3085
R
R R
R R R

 
  
Utilizando 6 Subintervalos
1,1
2,1 2,2
3,1 3,2 3,3
4,1 4,2 4,3 4,4
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5
6,1 6,2 6,3 6
0,6785
0,4125 0,3238
0,3361 0,3107 0,3085
0,3171 0,3107 0,3107 0,3107
0,3123 0,3107 0,3107 0,3107 0,3107
0,3111 0,3107 0,3107
R
R R
R R R
R R R R
R R R R R
R R R R

 
  
   
    
   ,4 6,5 6,6
6,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7
0,3107 0,3107 0,3107
0,3109 0,3107 0,3107 0,3107 0,3107 0,3107 0,3107
R R
R R R R R R R
  
      
5. Ejercicios Propuestos
5.1. Calcule la primera y segunda derivada del punto x = 1,3 utilizando las fórmulas de 2 y 3 puntos.
( ) x
f x e
5.2. Un campesino desea cubrir un predio que posee una forma descrita por la curva
2
( ) (3 )x
f x e sen x
Para esto debe calcular el área encerrada por esta curva desde x = 0 hasta x = 3,141 utilizando Simpson
1/3, Simpson 3/8 y Trapecio con n = 4.
5.3. Utilice la cuadratura gaussiana de 2, 4 y 5 puntos para calcular la siguiente integral
3
20 1
x
e senx
dx
x
5.4. Mediante el método de Romberg calcule el valor de la siguiente función en el intervalo [1,2]. Utilice
3 y 4. Subintervalos.
2
( ) tan( ) x
f x x e

Curso:
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Diego Beneventti
5.5. La concentración de salida de un reactor se mide en distintos momentos durante un periodo de 24
horas:
t (h) 0 1 5,5 10 12 14 16 18 20 24
c (mg/L) 1 1,5 2,3 2,1 4 5 5,5 5 3 1,2
El caudal de salida en m3
/s se puede calcular con la siguiente ecuación:
 
2
( ) 20 10 10
24
Q t sen t
 
   
 
Use el mejor método de integración numérica para determinar el promedio ponderado de concentración
de salida del reactor durante el período de 24 horas.
0
0
( ) ( )
( )
t
t
Q t c t dt
c
Q t dt



5.6. El trabajo producido por un proceso termodinámico la temperatura, presión y volumen constante, se
calcular por medio de:
W pdV 
Donde W es el trabajo, p es la presión y V el volumen. Con el empleo de la regla del trapecio compuesto,
la de Simpson 1/3 y la de Simpson 3/8, utilice los datos siguientes para calcular el trabajo en kJ (kJ =
kN*m):
Presión (kPa) 336 294,4 266,4 260,8 260,5 249,6 193,6 165,6
Volumen (m3
) 0,5 2 3 4 6 8 10 11
5.7. La masa total de una barra de densidad variable está dada por:
0
( ) ( )
L
cm p x A x dx 
Donde m = masa, p(x) = densidad, Ac = área de la sección transversal, x = distancia a lo largo de la barra
y L = longitud total de la barra. Se midieron los datos siguientes para una barra de 10 m de longitud.
Determine la masa en kilogramos con la exactitud mejor posible.
x (m) 0 2 3 4 6 8 10
p (g/cm3
) 4 3,95 3,89 3,8 3,6 3,41 3,30
Ac (cm2
) 100 103 106 110 120 133 150
5.8. Se tomaron los siguientes datos en Km. para las coordenadas del recorrido de un cohete: (50, 3.5)
(80, 4.2), (110, 5.7), (140, 3.8), (170, 1.2)

Curso:
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Diego Beneventti
Calcule a través de diferenciación numérica:
a) La velocidad en el centro de la trayectoria
b) La aceleración en el centro de la trayectoria
5.9. En el techado de las casas se utilizan planchas corrugadas con el perfil ondulado, cada onda tiene la
forma de f(x) = sin(x), con un periodo de 2π pulgadas.
El perfil de la plancha tiene 8 ondas y la longitud L de cada onda se puede calcular con la siguiente
integral:
2
2
0
(1 '( ))L f x dx

 
Utilice algún método de integración numérica para calcular el valor de L.
5.10. Cuando un cuerpo de masa m se desplaza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la tierra,
si prescindimos de toda fuerza de resistencia (excepto la fuerza de la gravedad), la velocidad de escape
v está dada por:
2 2
1
2 ;
x
v gR z dz z
R


 
Donde R = 6371 km. es el radio promedio de la tierra, g = 9,81 m/s2
es la constante gravitacional. Utilice
la cuadratura Gaussiana para encontrar el valor de v.
5.11. El siguiente cuadro contiene valores de una función f(x, y). Use la fórmula de Simpson para calcular
el volumen entre el plano x-y y la superficie f(x, y) 0,1 0,5; 0,2 1,0x y   
xy 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,1 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20
0,2 0,41 0,47 0,53 0,58 0,62
0,3 0,81 0,83 0,84 0,83 0,82
0,4 0,76 0,70 0,62 0,53 0,42
0,5 0,06 0,02 0,01 0,01 0,02
5.12. Una placa rectangular metálica de 0,45 m por 0,60 m pesa 5 Kg. Se necesita recortar este material
para obtener una placa de forma elíptica, con eje mayor igual a 50 cm, y eje menor igual a 40 cm. Calcule
el área de la elipse y determine el peso que tendrá esta placa. Para calcular el área de la elipse use la
fórmula de Simpson con m = 4. Finalmente, estime cual es el error de truncamiento en el valor del área
calculada.

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