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Ecuaciones reducibles a variables separables

Este documento presenta cómo reducir ecuaciones diferenciales a variables separables mediante sustituciones. Explica que si una ecuación diferencial tiene la forma dy/dx = f(x,y), entonces puede reducirse a variables separables haciendo la sustitución z = ax + by + c. Proporciona demostraciones y ejemplos para ilustrar el proceso de reducción y resolución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

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NOTAS DE CLASES DEL PROFESOR JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES
Si una ecuación diferencial tiene la forma
( )
dy
f ax y c
dx
   con 0b 
Entonces puede reducirse a una Ed en variables separable mediante la sustitución
z ax by c  
Demostración:
Al hacer el cambio
z ax by c  
1
dz dy
a b
dx dx
dy dz
a
dx b dx
 
 
  
 
Sustituyendo en la ED
1
( )
( )
dz
a f z
b dx
dz
bf z a
dx
 
  
 
 
Separando variables se tiene la forma:
( )
dz
dx
bf z a


Ejemplo. Hallar la solución general de la ED sin( 1)
dy
x y
dx
  
La ED tiene la forma () , entonces hacemos la sustitución:
NOTAS DE CLASES DEL PROFESOR JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
1
1
1
z x y
dz dy
dx dx
dy dz
dx dx
  
 
 
Sustituyendo en la ED
1 sin( )
dz
z
dx
 
Separando variables
1 sin( )
dz
dx
z


Integrando
 
2
2
1
1 sin( )
1 sin( )
cos ( )
sec ( ) sec( )tan( )
tan
1 sin( )
1 sin( )
( ) sec( )
dx dz
z
z
dx dz
z
dx z z z dz
x z z C
z
z









 
 
 
 
Regresando a la variable x
tan( 1) sec( 1)x x y x y C      
Ejemplo: Resolver la ED 4 4 8
dy
y x
dx
    .
Haciendo
4 8
4
4
z y x
dz dy
dx dx
dy dz
dx dx
  
 
 
NOTAS DE CLASES DEL PROFESOR JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
Sustituyendo en la Ed y separando variables
4 4
dz
z
dx
dz
dx
z
  

Integrando se tiene la solución general
2
2 4 8
z x C
y x x C
 
   
DESARROLLANDO TUS COMPETENCIAS
Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales mediante una sustitución
apropiada y representa gráficamente a la familia de soluciones o a la curva integral según
corresponda.
1. 2
tan ( )
dy
y x
dx
 
2. 4
( 4)
dy
x y
dx
   (1) 1y 
3. 1
dy
x y
dx
   (0) 4y 
4.
2
2 3
dy x y
dx x y


 
5. 2
1
( 2 )
dy
dx x y



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  • 1. NOTAS DE CLASES DEL PROFESOR JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES Si una ecuación diferencial tiene la forma ( ) dy f ax y c dx    con 0b  Entonces puede reducirse a una Ed en variables separable mediante la sustitución z ax by c   Demostración: Al hacer el cambio z ax by c   1 dz dy a b dx dx dy dz a dx b dx          Sustituyendo en la ED 1 ( ) ( ) dz a f z b dx dz bf z a dx          Separando variables se tiene la forma: ( ) dz dx bf z a   Ejemplo. Hallar la solución general de la ED sin( 1) dy x y dx    La ED tiene la forma () , entonces hacemos la sustitución:
  • 2. NOTAS DE CLASES DEL PROFESOR JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN 1 1 1 z x y dz dy dx dx dy dz dx dx        Sustituyendo en la ED 1 sin( ) dz z dx   Separando variables 1 sin( ) dz dx z   Integrando   2 2 1 1 sin( ) 1 sin( ) cos ( ) sec ( ) sec( )tan( ) tan 1 sin( ) 1 sin( ) ( ) sec( ) dx dz z z dx dz z dx z z z dz x z z C z z                  Regresando a la variable x tan( 1) sec( 1)x x y x y C       Ejemplo: Resolver la ED 4 4 8 dy y x dx     . Haciendo 4 8 4 4 z y x dz dy dx dx dy dz dx dx       
  • 3. NOTAS DE CLASES DEL PROFESOR JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN Sustituyendo en la Ed y separando variables 4 4 dz z dx dz dx z     Integrando se tiene la solución general 2 2 4 8 z x C y x x C       DESARROLLANDO TUS COMPETENCIAS Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales mediante una sustitución apropiada y representa gráficamente a la familia de soluciones o a la curva integral según corresponda. 1. 2 tan ( ) dy y x dx   2. 4 ( 4) dy x y dx    (1) 1y  3. 1 dy x y dx    (0) 4y  4. 2 2 3 dy x y dx x y     5. 2 1 ( 2 ) dy dx x y  