Perlas e incógnitas
En estas diapositivas se muestra un problemaextraido de la obra El hombre que calculaba deMalba Tahan, con motivo de hacer...
Conociendo al autor           Malba Tahan, entre otros,           es el pseudónimo de Julio           César de Mello y Sou...
Conociendo la obra           El hombre que calculaba           fue escrito en 1938. En el           año 2001 llegó a su 54...
EnunciadoUn rajá dejo un cierto número de perlas como herencia asus hijas y bajo las siguientes condiciones para su repart...
Definiendo una estrategiaAunque este problema tiene un enunciadopropenso a aplicarle los métodos de laAritmética, vamos a ...
Pasemos a plantear la solución. Lo primero quehemos de hacer es definir una incognita. Eneste problema se nos presenta dos...
Definimos x como el número de perlas queforma la herencia y n al número de hijas delrajá. Tal como se plantea el enunciado...
Ahora toca usar el lenguje matemático. Asípues, todo lo anterior indica con seguridad queel número de perlas de la herenci...
Aplicando este proceso a la segunda hhija,sabemos que ha tomado dos perlas más unseptimo de lo que quedaba. Tenemos quedef...
Ahora, como todas las hijas reciben el mismonúmero de perlas, la herencia correspondientede la primera y segunda hija han ...
Con un poco de reflexión, el lector habrá ciadoen la cuenta que para resolver el problema sehan recurrido a los métodos de...
Calculemos el números de hijas del rajá, n.Según las condiciones del enunciado, este hade ser tal que si dividimos el núme...
Y al ser la cantidad de perlas que recibe cadahija igual a la de las otras y las consideracionesentabladas en las diaposit...
ObservacionesLa belleza de los enunciados de la obra deMalba Tahan radica no solo en la originalidadde los métodos de reso...
Bibliografia    Algunos títulos acordes con los contendos aqui    tratados son los siguientes:●   El enigma de Fermat. Tre...
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Presentación extensión de álgebra (perlas)

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Un breve suplemento de álgebra para 4º de la ESO,1º y 2º de bachillerato.

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Presentación extensión de álgebra (perlas)

  1. 1. Perlas e incógnitas
  2. 2. En estas diapositivas se muestra un problemaextraido de la obra El hombre que calculaba deMalba Tahan, con motivo de hacer unaatractiva introducción al estudio del Álgebra y alos métodos de resolución de ecuacionespropios de 4º ESO y 1º y 2º de Bachillerato,además como motivación y ejercicio de lapractica matemática como ejercicio conjunto derazonamiento lógico y creatividad.
  3. 3. Conociendo al autor Malba Tahan, entre otros, es el pseudónimo de Julio César de Mello y Souza, profesor y escritor brasileño (1895-1974). Durante su vida escribio alrededor de 120 libros, incluyendo cuentos, textos de divulgación y enseñanza de las Matemáticas, así como inovadores desarrollos pedagógicos.
  4. 4. Conociendo la obra El hombre que calculaba fue escrito en 1938. En el año 2001 llegó a su 54a edición. En él, el autor pone en boca de Beremiz Samir una serie de problemas matemáticos combinados con una delicada redacción y poniendo en manifiesto el interes de Mello y Souza por la culturas de Oriente Medio.
  5. 5. EnunciadoUn rajá dejo un cierto número de perlas como herencia asus hijas y bajo las siguientes condiciones para su reparto.A la hija mayor se le dejaria tomar una perla y después sele adjudicaria una septima parte de lo que quedase. A lasegunda, tomar dos perlas y otro septimo de lo quequedase. Y así sucesivamente para el resto de las hijas.Las más jovenes presentaron sus quejas al juez, ya que,según ellas, recibirían menos que las primeras.El juez, habil en la resolución problemas, concluyó que elreparto era justo, pues a cada hija le correspondía elmismo número de perlas que al resto de sus hermanas.¿Cúal es el número de perlas y el número de hijas?
  6. 6. Definiendo una estrategiaAunque este problema tiene un enunciadopropenso a aplicarle los métodos de laAritmética, vamos a darle un enfoquealgebraico, considerando y trabajando en todomomento con el número total de perlas queforman esta misteriosa herencia.La ventaja de seguir este método, además dereducir mucho el número de variables es quepresenta una sorpresa en su solución.
  7. 7. Pasemos a plantear la solución. Lo primero quehemos de hacer es definir una incognita. Eneste problema se nos presenta dos, el númerode perlas que consta la herencia y el númerode hijas que tiene el rajá.Sabemos que el reparto es equitativo, siendo lacantidad de perlas herada por cada hija igual ala de las otras, luego empezaremos definiendoel número de perlas que reciben la primera ysegunda hija en función del número de perlasen total.
  8. 8. Definimos x como el número de perlas queforma la herencia y n al número de hijas delrajá. Tal como se plantea el enunciado,podemos expresar el número de perlas quehan extraido la primera y segunda hija. Segúnesto, la primera coge una perla y una septimaparte de las que queda, que son todas menosla que ha sustraido.En términos algebraicos, podríamos decir queha cogido una perla más una septima parte dex-1 (donde hemos tenido en cuenta la perlaque ha cogido con anterioridad)
  9. 9. Ahora toca usar el lenguje matemático. Asípues, todo lo anterior indica con seguridad queel número de perlas de la herencia asociadas ala hija mayor es de: 1 nº de perlas de la primera hija : 1+ ( x−1) 7
  10. 10. Aplicando este proceso a la segunda hhija,sabemos que ha tomado dos perlas más unseptimo de lo que quedaba. Tenemos quedefinir, como antes, esta cantidad. De las xperlas iniciales hay que restarles lasadjudicadas a la hija mayor menos las dos quetomo la segunda con anterioridad. Así pues: 1 (6+ x)nº de perlas de la segunda hija : 2+ ( x− −2) 7 7
  11. 11. Ahora, como todas las hijas reciben el mismonúmero de perlas, la herencia correspondientede la primera y segunda hija han de seriguales. Así pues: 1 1 (6+ x) 1+ ( x−1) = 2+ ( x− −2) 7 7 7 ( x+ 6) 1 7x (6+ x+ 14) = 2+ ( − ) 7 7 7 7 (6x−20) ( x+ 6) = 14+ 7 7x+ 42 = 98+ 6x−20 7x−6x = 98−20−42 x = 36
  12. 12. Con un poco de reflexión, el lector habrá ciadoen la cuenta que para resolver el problema sehan recurrido a los métodos de igualación yreducción de expresiones, muy frecuentes enla resolución de problemas con una y dosincógnitas, y es exactamente lo que se hahecho.Los métodos algebraicos anteriores, aunque sepueden considerar muy simples en sudefinición, son herramientas muy poderosasque nos permiten acercarnos a la solución decualquier problema surgido en las muchasramas de las ciencias Matemáticas.
  13. 13. Calculemos el números de hijas del rajá, n.Según las condiciones del enunciado, este hade ser tal que si dividimos el número de perlasentre el número de hijas nos ha de dar lacantidad de perlas que recibe cada hija.Veamos primero este número, que escalculable con los datos y la información quetenemos.Si x=36 perlas, y sabiendo lo que recibe, porejemplo, la primera hija, tenemos que: 1 1+ (36−1) = 1+ 5 = 6 7
  14. 14. Y al ser la cantidad de perlas que recibe cadahija igual a la de las otras y las consideracionesentabladas en las diapositivas anteriorespodemos concluir con mucha seguridad que elnumero buscados es: 36 = 6⋅n n = 6 hijas tiene el rajá
  15. 15. ObservacionesLa belleza de los enunciados de la obra deMalba Tahan radica no solo en la originalidadde los métodos de resolución de los problemasnuméricos, sino también en su contenido.La solución de este problema pasa por un tipode número denominado perfecto. Estosnúmeros poseen la propiedad de expresarsecomo suma de sus divisores. Así pues, vemos 2que 6=1+2+3 y 36=6 , siendo el cuadrado deun número perfecto.
  16. 16. Bibliografia Algunos títulos acordes con los contendos aqui tratados son los siguientes:● El enigma de Fermat. Tres siglos de desafio a la matemática. Albert Violant, ed. RBA● Los números primos. Un largo camino al infinito, Enrique Gracián, ed. RBA.● Pasiones, piojos, dioses... y matemáticas, A.J.Durán, ed. Barcelona, Destino.

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