Este documento presenta las ecuaciones reducidas y elementos característicos de las curvas cónicas elipse, hipérbola y parábola. Describe que las ecuaciones reducidas dependen de la posición de los focos y centro, y que los elementos característicos incluyen focos, centro, semiejes y excentricidad. También incluye ejemplos gráficos de cada curva cónica.
1. Curvas cónicas. Elementos
característicos y ecuaciones reducidas
( y−k) = 2 p(x−h)
2
( y−k)
2
= 2 p(x−h)
(x−h)
2
a
2
+
( y−k)
2
b
2
= 1
(x−h)
2
b
2
+
( y−k)
2
a
2
= 1
(x−h)2
a2
−
( y−k)2
b2
= 1
( y−k)
2
b
2
−
(x−h)
2
a
2
= 1
2. Introducción
En estas diapositivas repasaremos las
ecuaciones reducidas de las cónicas curvas
cónicas elipse, hipérbola y parábola y veremos
un ejemplo gráfico de cada una.
Al ser una diapositiva pensada para el repaso
de solo los temas citados antes, el lector
deberá saber los conceptos relativos a
definición, posición de los focos y elementos
característicos de una curva cónica para
entenderla en su totalidad.
3. Elipse
Recordemos que la elipse es el lugar
geométricos de todos los puntos que distan lo
mismo a dos puntos denominados focos. Esta
distancia es una constante igual al valor del eje
mayor.
Los elementos característicos de la elipse son
el centro, los focos, el semieje menor, el
semieje mayor, la semidistancia focal y la
excentricidad.
4. Elementos característicos de la
elipse
● Focos ( se suelen representar por F y F')
● Centro (se suele representar (h,k); si es
(0,0) decimos que la elipse está centrada
en el origen de coordenadas).
● Semieje mayor (a)
● Semieje menor (b)
● Semidistancia focal (c)
● Excentricidad (exc)
5. Ecuación reducida de la elipse con
focos en el eje OX
(x−h)2
a
2
+
( y−k)2
b
2
= 1
Recordemos que a2
=b2
+c2
y la exc=c/a. Estas
expresiones será muy útil cuando nos falte el
valor de algún característico que defina la curva
cónica en nuestra ecuación reducida.
7. Ecuación reducida de la elipse con
focos en el eje OY
(x−h)2
b
2
+
( y−k)2
a
2
= 1
Aquí también se cumple que a2
=b2
+c2
pero se
define la excentricidad como exc=a/c. Este
cambio provoca el intercambio de los término a
y b con respecto la expresión anterior.
9. Hipérbola
Recordemos que la hipérbola es el lugar
geométrico de todos los puntos tal que su
distancia a uno de los focos menos la distancia
del punto al otro foco es una constante igual al
valor del eje mayor.
Los elementos característicos de la hipérbola
son el centro, los focos, el semieje menor, el
semieje mayor, la semidistancia focal y la
excentricidad.
10. Elementos característicos de la
hipérbola
● Focos ( se suelen representar por F y F')
● Centro (se suele representar (h,k); si es
(0,0) decimos que la hipérbola está
centrada en el origen de coordenadas).
● Semieje mayor (a)
● Semieje menor (b)
● Semidistancia focal (c)
● Excentricidad (exc)
11. Ecuación reducida de la hipérbola
con focos en el eje OX
(x−h)2
a
2
−
( y−k)2
b
2
= 1
Recordemos que c2
=a2
+b2
. Además exc=c/a,
siendo un valor mayor que 1.
Ojo con el signo del segundo término de la
suma del miembro izquierdo de la expresión;
en una hipérbola siempre tendremos una
resta y en una elipse una suma.
13. Ecuación reducida de la hipérbola
con focos en el eje OY
( y−k)2
b2
−
(x−h)2
a2
= 1
Aquí se sigue cumpliendo la relación c2
=a2
+b2
y
lo que comentamos sobre el signo menos del
miembro izquierdo de la expresión y la
expresión. Ojo con el signo de esta expresión,
es lo que le diferencia de la ecuación reducida
de la elipse.
15. Parábola
Definimos la parábola como el lugar geométrico
de todos los puntos tales que distan lo mismo
de un punto denominado foco que a una recta,
la cual llamamos recta directriz.
Los elementos característicos de una parábola
son el foco, la recta directriz, la distancia entre
el foco y la directriz y el vértice de la parábola.
16. Elementos de la parábola
● Foco (se suelen representar por F )
● Centro (se suele representar (h,k); si es
(0,0) decimos que la parábola está
centrada en el origen de coordenadas).
● Vértice (V)
● distancia foco-directriz (2p)
● Excentricidad (exc)
17. Ecuación reducida de la parábola
con foco en el eje OX
( y−k)2
= 2 p(x−h)
En algunos textos se llama p a la distancia que
existe entre el foco de una parábola y su
recta directriz. Nosotros nos hemos decantado
por la distancia del foco al vértice (y por lo
tanto, la distancia del vértice a la directriz),
que suele ser la más usual.
19. Ecuación reducida de la parábola
con foco en el eje OY
( y−k) = 2 p(x−h)2
En algunos textos se llama p a la distancia
que existe entre el foco de una parábola y
su recta directriz. Nosotros nos hemos
decantado por la distancia del foco al vértice
(y por lo tanto, la distancia del vértice a la
directriz), que suele ser la más usual.
