Ecuaciones

1. Resolución de ecuaciones lineales
Una ejemplo de ecuación lineal:
4
3 25 2
3
x x x− + =
incógnita
El planteamiento clásico del problema es: ¿para qué valor de x se satisface
la ecuación anterior?
Entonces surge una interrogante: ¿qué es una ecuación? ¿qué es una
ecuación lineal?

2. Resolución de ecuaciones lineales
Se dice que una ecuación es una igualdad con una o más incógnitas.
Por ejemplo es clara la igualdad 3 + 4 = 7
Esa es una igualdad y no es una ecuación puesto que no tiene ningún
misterio. Sin embargo si ocultamos la cantidad 4 y la reemplazamos por
una letra, por ejemplo la x, tenemos
3 7x+ =
Esta es entonces una ecuación, y observemos que el nombre de la letra no
tiene importancia. Es la misma ecuación que
3 7z+ =

3. Resolución de ecuaciones lineales
Además diremos que es una ecuación lineal o de primer grado, porque se
asegura que la incógnita no tiene un exponente distinto de 1.
Una ecuación que no es lineal es la siguiente:
2
3 7x+ =
Y son difíciles de resolver. Debemos dominar el desarrollo de las
soluciones de ecuaciones lineales para poder emprender otros desafíos.
Vamos a dirigir nuestros esfuerzos entonces a resolver
4
3 25 2
3
x x x− + =

4. Resolución de ecuaciones lineales
4
3 25 2
3
x x x− + =
{
4
3 25 2
3 segundo miembro
primer miembro
x x x− + =
1442443

5. Resolución de ecuaciones lineales
4
3 25 2
3
x x x− + =
La ecuación se trabaja como en una suerte de balanza
4
3 25
3
x x− + = 2x

6. Resolución de ecuaciones lineales
Para tener la balanza equilibrada significa que lo que hagamos en un
platillo de la balanza (en un miembro) debemos hacerlo exactamente en
el otro, de tal forma que se mantenga el equilibrio de la balanza (la
igualdad)
4
3 25
3
x x− + = 2x

7. Resolución de ecuaciones lineales
4
3 25 2
3
x x x− + =
Es un denominador
“incómodo”
Multiplicamos entonces por 3 cada platillo de la balanza, o si lo prefiere cada
miembro de la igualdad
4
3 3 3 3 25 3 2
3
x x x⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅
9 4 75 6x x x− + =

8. Resolución de ecuaciones lineales
4
3 25 2
3
x x x− + =
9 4 75 6x x x− + =
5 75 6x x+ =
En ambos miembros de la ecuación restamos 5x
5 5 75 6 5
75
x x x x
x
− + + = −
=
¡Esta es la solución!

9. Resolución de ecuaciones lineales
4
3 25 2
3
x x x− + =
Para comprobar que nuestro desarrollo fue exitoso reemplazamos el valor
obtenido de x = 75 en la ecuación original
4
3 75 75 25 ? 2 75
3
⋅ − + ⋅
225 4 25 25 ? 150− ⋅ +
225 100 25 150− + =

10. Resolución de ecuaciones lineales
Algunas indicaciones para que el niño o niña aprenda.
•Empiece con ejercicio fáciles, sin fracciones, pero que las incógnitas estén
en ambos lados de la ecuación.
• No le enseñe el fatídico algoritmo de que “si está un término con signo
más pasa al otro lado con signo menos, y si está con menos pasa al otro
lado con signo más”. Deje que el propio estudiante, a base de varios
ejercicios, descubra por sí solo esa regla.
• Luego empiece con coeficientes fraccionados, pero tampoco enséñe el
fatídico algoritmo “si está dividiendo pasa al otro lado multiplicando, y
si está multiplicando pasa al otro lado dividiendo”. Nuevamente deje que
el propio estudiante descubra esa regla.
• Convenza al estudiante que las ecuaciones lineales existen en la vida
diaria, de modo que usted deberá plantearles problemas reales o lúdicos
(nada más real que los juegos para los niños).

11. Resolución de ecuaciones lineales
Juan, Pedro y Diego deciden hacer una “vaca” para salir a divertirse un fin
de semana. Juan puso una cierta cantidad, Pedro puso el doble que Juan, y
Diego puso el triple del aporte de Juan. En total reunieron 6000 pesos.
¿Cuánto puso cada uno?
Sea z la cantidad desconocida que puso Juan, entonces Pedro puso 2 z, y
Diego entonces puso 3 z, y puesto que el total de los aportes es de 6000
pesos, tenemos la ecuación:
2 3 6000z z z+ + =
Resolviendo
6 6000z =
Dividiendo en ambos miembros por 6, nos queda
6000
1000
6
z = =
1000 pesos aportó
Juan, 2000 pesos
aportó Pedro y 3000
pesos Diego