Ecuaciones 9 semana

Notas Ing. Xavier Silva
Matematicas Superiores Galindo
SEMANA 9
ECUACIONES

Ecuaciones
Definición de ecuación
Se denomina ecuación a toda igualdad que solo se satisface para
determinados valores numéricos de ciertas letras que aparecen en ella.
Las letras que representan los números desconocidos se denominan
incógnitas y a los números o letras que acompañan a las incógnitas se
los llama coeficientes.
Definición de raíz o solución de una ecuación.
Los valores numéricos que verifican una ecuación reciben el nombre
de soluciones de la ecuación. Si la ecuación tiene una sola incógnita,
las soluciones también se denominan raíces.
Ahora definamos que es una ecuación polinómica

Definición de ecuación polinómica
Dado un polinomio P(x), llamamos ecuación polinómica a una igualdad
del tipo
P(x)=anxn + an- 1xn-1 + ……+a1x, ao=0
Definición de raíz de polinomio
Un número a se denomina raíz de polinomio P(x) si se verifica que
P(a)=0.
Resolver la ecuación P(x) =0 significa hallar el conjunto de todas sus
raíces; es decir, todos los números para los cuales se cumple P(a)=0.
Si la raíz x=a es un numero entero, se denomina raíz entera de
polinomio.
Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2+4x-21 =0, los números x=3 y x=-7
son raíces de la ecuación puesto que al sustituirlos en la expresión
inicial obtenemos una identidad así:
Para x=3: 32+4x3-21=0; es decir, 0 =0
Para x=-7: (-7)2+4(-7)-21=0; es decir, 0=0

Definición de ecuaciones equivalentes
Considérese las ecuaciones P(x) =0 y Q(x)=0. Si toda raíz de la primera
ecuación es a la vez raíz de la segunda ecuación, y cualquier raíz de la
segunda ecuación es raíz de la primera, entonces dichas ecuaciones se
denominan equivalentes.
Los siguientes teoremas justifican los procedimientos de resolución de
ecuaciones que emplearemos.
Teorema 1 (equivalencia de ecuaciones)
Si a ambos miembros de una ecuación les sumamos un mismo número
o un mismo polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la inicial.
Ejemplo. Dada la ecuación 2x2+5x-8=0, si sumamos a ambos lados de la
igualdad x2-5x+3, resulta la ecuación equivalente 2x2+5x-8+(x2-
5x+3)=0+(x2-5x+3); es decir, 3x2-5=x2-5x+3.

Teorema 2 (equivalencia de ecuaciones)
Si a ambos miembros de una ecuación les multiplicamos por un mismo
número distinto de cero, la nueva ecuación es equivalente a la inicial.
Ejemplo. Dada la ecuación 2x2+5x-8=0, si multiplicamos a ambos lados
de la igualdad por (-3), resulta la ecuación equivalente -6x2-15x+24=0.
Observación. En el teorema 1 se habló de sumar a ambos miembros
de la ecuación un mismo polinomio, pero no una función arbitraria. Si
no se hace esta aclaración, el teorema puede resultar incorrecto,
como se aprecia en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Suponga que tenemos la ecuación inicial x2-12=2x+3, cuya raíz es x=5. Si sumamos a
ambos lados la función racional 1/x-5, obtenemos la nueva ecuación x2-12+1/x-5=2x+3+1/x-5,
para la cual el número 5 ya no es raíz, puesto que al sustituirlo en el primero y segundo
miembros de la ecuación pierden sentido.
En efecto la igualdad 52-12+1/5-5=2x5+3+1/5-5 la fracción 1/0 no tiene sentido.
Consecuentemente las dos ecuaciones no son equivalentes.
En los dos teoremas anteriores se indicó las operaciones con ecuaciones que no alteran su
equivalencia. Ahora ilustraremos con varios ejemplos las operaciones que puedan conducir a
una nueva ecuación no equivalente a la original.
Ejemplos:
1.- Supongamos que tenemos la ecuación 3x(x-1)=5(x-1). Es fácil verificar que sus raíces son
x1=1 y x2=5/3.
Si simplificamos, dividiendo por x-1, la ecuación original obtenemos la ecuación 3x=5, que
posee una sola raíz x=5/3. Así, la segunda ecuación no es equivalente a la primera.

2.- La ecuación 2x-3=5 tiene una sola raíz: x=4.
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad obtenemos (2x-3)2=25.
Resolviendo esta ecuación, hallamos dos raíces: x1=-1 y x2 = 4. Entonces, la segunda
ecuación no es equivalente a la primera.
Anotemos que la segunda raíz corresponde a la ecuación 2x-3=-5, la misma que después
de elevar al cuadrado también nos da (2x-3)2=25.
3.- Si a ambos miembros de la ecuación 2x-1=5 los multiplicamos por x+2, obtenemos la
nueva ecuación (2x-1) (x+2)=5(x+2), la que después de operar nos da la ecuación 2x2-2x-
12=0.
Esta ecuación tiene las raíces x1=-2 y x2=3. Sin embargo, la raíz x1=-2 es impropia, pues no
satisface la ecuación inicial. La raíz x=-2 corresponde a la ecuación x+2=0.
De estos ejemplos deducimos que elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación
(en general a una potencia par) o multiplicar por un factor, que contiene la incógnita y se
anula para los valores reales de la incógnita, pueden ocasionar el aparecimiento de raíces
impropias.

NUMERO DE RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL
Para determinar el número de raíces que tiene un polinomio son útiles
los siguientes dos teoremas.
Teorema fundamental del algebra
Todo polinomio P(x) de grado n> 1 tiene por lo menos una raíz, la cual
puede ser real o compleja.
Este teorema fue enunciado por A. Giraud en 1629, pero fue
demostrado rigurosamente casi dos siglos después, en 1797 por K F
Gauss.
Teorema del número de raíces una ecuación polinomial
Todo polinomio P(x) de grado n> 1 tiene exactamente n raíces.
.

Definición de multiplicidad de una raíz
A la raíz r de un polinomio P(x), diremos que es de multiplicidad m (m>
1), si dicho polinomio se puede expresar en la forma P(x) =(x-r)m Q(x),
donde Q(x) es otro polinomio.
Ejemplo. La ecuación x6+5x5-19x4-61x3+182x2+20x-200=0 es una
ecuación de grado 67;por tanto tiene 6 raíces que son -5, -5.-1, 2,2,2.
Esta ecuación se puede poner en la forma (x-2)3 (x+5)2 (x+1)=0,
entonces x = 2 es una raíz triple, x = -5 es una raíz doble y x=-1 es
una raíz simple.
Teorema de las raíces enteras
Si la ecuación polinómica P(x)=0 tiene raíces enteras, entonces estas
raíces son divisores del termino independiente.

Verifique que los números -2 y 1 son raíces de los siguientes polinomios.
1. (x2+x)2+4(x2+1)-12
2. (x2+x+1)(x2+x+2)-12
3. 2x4+7x3-2x2-13x+6
4. (x+2)3-8(x-2)2+2(x+2)-(x-1)
5. X4+2x3-x-2
6. (a2-2)x2-a2x+2a2.

Ejemplos
Resolver la ecuación 8x+7=3x-6
Solución: Si a ambos miembros de la ecuación le sumamos – 3x queda
8x+7(-3x) = 3x -6 + (-3x)
5x+7 = 0 - 6
Si restamos 7 a ambos miembros de esta última igualdad, tenemos
5x + 7-7 = -6 -7
5x = -13.
Dividiendo para 5 queda x = -13 / 5, que es la raíz de la ecuación dada.

Problemas
Hallar dos números cuya suma sea 20 y cuya diferencia sea 6.
Solución
Sigamos la siguiente secuencia
1 Sea x el mayor de los números
El menor será 20 – x
La diferencia entre los dos números es 6, entonces x – (20-x) = 6
La solución de esta ecuación es x =13
Consecuentemente el número mayor es 13 y el menor es 7

Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de
ella.
¿Cuántos años tiene el?
Solución:
Si denotamos por x la edad del hombre. La edad de su esposa deber ser x – 7
Hace 10 años la edad del hombre era x – 10. De manera similar, hace 10 años la edad
de la esposa era x – 7 – 10 = x -17
Nos dice que la edad del hombre era el doble de la de su esposa, es decir.
X – 10 = 2 (x -17)
Si despejamos x tenemos
x- 10 = 2x -34
x – 2x = -34 + 10
X = - 24
X = 24
La edad actual del hombre es 24 años y la de su esposa 24 – 7 = 17 años.

En un transecto encontramos 64 especímenes entre acacias
y manzanos, si el número de acacias es 7 mas el doble de
los manzanos. Cuantas acacias hay.
Número de acacias 64+x
Número de manzanos x
Número de acacias es 7 más el doble de manzanos
(64-x)=2.x+7
64-7=2x+x
57=3x
x=57/3
x=19
Numero de acacias 64-19=45

Producimos hongos comestibles queremos comercializarlos. Generamos un
pack de 1,5 libras de champiñones de un dólar y 2,5 de portobellos,
encontramos que debemos venderlos a 1,3 dólares. Cual es el precio de los
portobellos?
Plateamos
Champiñones 1,5 lb a 1 dólar
Portobellos 2,5 lb a ?
Total pack 4 1,3 dólares
De aquí planteamos la ecuación
Cantidad por el precio a mas cantidad por el precio b = cantidad por el precio
pack
1,5.1+2,5.x= 4.1,3
1,5+2,5x=5,2
2,5x=5,2-1,5
x=3,7/2,5
x= 1,48 Los hongos Portobellos cuestan 1,48 dólares la libra.

Un árbol de acacia tiene cinco veces la edad de un rosal, un
árbol cadufolios pyrus tiene cinco veces la edad de la acacia
y el eucalipto el doble del cadufolios.
El roble tiene la edad de todos los árboles revisados que es
81 años.
Determinar la edad de cada uno de los arboles restantes.
Acacia 5 x años
Rosal x años
Cadufolios pyrus 5.(5x)años
Eucalipto 2.(5(5x) años
Roble 81 años

Problema
5 es el resto de semillas de girasol por plantar, si le sumas
3/4 de lo que tenias al inicio de la siembra, con cuantas
semillas contabas.
x= número de semillas
x-3/4 x=5
-3/4x=5-x
-3/4=5-x/x
-3x=20-4x
4x-3x=20
x=20

Problema
Estamos en una salida de campo y nos quedan 20 litros de agua, hemos
consumido primero la tercera parte de lo que teníamos, y luego la mitad
del resto resto, cuantos litros teníamos al inicio de la salida de campo.
x= litros de agua
x
3
+
1
2
3
4
x+20=x
x
3
+
5x
4
+20=x
9x
12 +20=x
9x
12 =x-20
9x=12x-240
9x-12x=-240
-3x=-240
x=
240
3
=60
Contamos al inicio de la salid de campo con 60 litros de agua

DEFINICIÓN DE LA RECTA
Analíticamente hablando, una recta se define como una ecuación de primer grado de dos
variables de la forma:
Ax + By + C = 0 donde ,A ,B C son coeficientes numéricos y las variables son x y y .
La recta esta representada en el plano cartesiano por los puntos P( x,y ) que cumplen con
la ecuación Ax + By + C = 0 .
Las características de una recta son la pendiente y la ordenada al origen.
La pendiente (m) se define como su grado de inclinación y es la tangente del ángulo
(medido en sentido contrario a las manecillas del reloj) que forma la recta con el eje x .
m = tan θ =
cateto opuesto
cateto adyacente

ORDENADA AL ORIGEN
La ordenada al origen (b) es la distancia que existe del
origen al punto donde la recta cruza al eje y .
Una recta es la sucesión de puntos que comparten la misma pendiente

PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA
Observamos que la pendiente es: m = tan θ =
y2−y1
x2−x1
ahora, si se despeja y2 − y1 queda: = y2−y1= m(x2−x1) ecuación punto pendiente de la
recta.

Problema 1.
Determinar la ecuación de la recta que pase por el
punto (3,-4) con pendiente 6.
Desarrollo
y −(−4) = 6(x −3) ⇒ y + 4 = 6 x −18 ⇒
6 x −18− y −4 = 0 ⇒
6 x − y −22 = 0 ecuación punto pendiente

Problema 2.
Determinar la ecuación de la recta que pase por el
punto (− 7, −11) con pendiente
5
3
.
Desarrollo
y − (−11) =
5
3
(x −(-7)) ⇒ y+11=
5
3
(x+7) ⇒
3(y+11)=5(x+7)⇒ 3y + 33 = 5x + 35 ⇒
5x + 35 − 3y − 33= 0 ⇒
5x − 3y + 2 = 0 ecuación punto pendiente

Problema 3.
Pendiente
8
7
y que pase por el punto[−9,
3
4
],
Desarrollo
y −
3
4
=-
8
7
(x −(-9))⇒ y −
3
4
= -
8
7
(x+9) ⇒ 28(y-
3
4
)=
28(−
8
7
(x+9)⇒ 28y − 21= −32(x+9) ⇒ 28y − 21=
−32x-288 ⇒ 32x + 288+ 28y − 21= 0 ⇒
32x + 28y + 267 = 0 ecuación punto pendiente

PENDIENTE- ORDENADA AL ORIGEN
El punto P1 se mueve hasta coincidir con el eje de las ordenadas y , se tiene:
Vemos que el punto P1( x1,y1) se convierte en P1 (0, b) , donde b es la ordenada al
origen.
La ecuación de la pendiente aquí es: m=
y−b
x−0
ahora, si se despeja y − b : y − b = m(x − 0) ⇒ y − b = mx , es decir
: y = mx + b
que es la ecuación pendiente-ordenada al origen de la recta.

Problema
Determinar la ecuación de la recta con la pendiente 4 y
ordenada al origen −8
Desarrollo
y = 4x + (−8) ⇒ y = 4x − 8 ⇒
4x − 8 − y=0 ⇒
4x − y − 8 = 0 Ecuación de la recta

Problema 2
Pendiente-
6
7
, ordenada al origen −10
Desarrollo
Y= -
6
7
x+(- 10)
7y = −6x − 70 ⇒
6x + 7y + 70 = 0 Ecuación

Problema 3
Pendiente-
5
2
, ordenada al origen −
13
5
Desarrollo
Y= -
5
2
x+
13
5
10y= - 25 x+26 ⇒
25x +10y − 26 = 0 Ecuación

ECUACIONES Y FUNCIONES
Ecuaciones funciones y sistema de ecuaciones lineales.
Sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse
simultáneamente, se clasifican en lineales y no lineales.
Lineal cuando todas son de primer grado o lineales.
Dos ecuaciones con dos ecuaciones
O tres ecuaciones con tres incógnitas
Los coeficientes y los términos independientes de cada ecuación son números reales, la
solución de cada ecuación en el sistema de ecuaciones son aquellos valores que satisfacen
simultáneamente todas las ecuaciones del sistema, si tiene solución decimos que es
compatible, si es de solución única decimos que es compatible determinado, si tiene
infinitas soluciones decimos que es compatible indeterminado, en el caso de que el sistema
no tenga ninguna solución diremos que es incompatible.
Sistema de Ecuaciones
Definición: Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que
comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los
valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de
las ecuaciones se intersectan.

Se pueden resolver de manera algebraica o de manera grafica
Algebraicamente contamos con tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones
con dos incognitas.
Método
1. Igualación
2. Sustitución
3. Reducción
Primero despejamos la misma incógnita de ambas ecuaciones la incognita x o la
incognita y luego las igualamos y nos queda una ecuación lineal con una incognita

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