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El desplazamiento vertical de la cimentación puede descomponerse, (fig. 4.2) como:
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  1. 1. Página 1 de 11 4 ZAPATAS AISLADAS CON TRABES DE LIGA 4.1 Introducción En este capítulo se efectúa la interacción suelo estructura de una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga, considerando la rigidez de la estructura de cimentación. 4.2 Interacción suelo estructura de cimentación 4.2.1 Ecuación matricial de flexibilidades La figura 4.1 muestra una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga. Por conveniencia, se denotará a las zapatas de los extremos con las letras a y b; y a las zapatas intermedias con los números 1, 2, 3,…, n (Fig. 4.1 a). Fig. 4.1 Cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga; a) cimentación real, b) condición R = 0 y c) condición Ri = 1. (c) (b) (a) =1R'i biRaiR 1i ni ii2i Ra0 Rb0 L ii n i2 1 ba 1 ni2 2P iP nP bPPa 1P PbPnPiP2P1a R R R R R Wa bni21a P d dd d y x
  2. 2. Página 2 de 11 La estructura de cimentación es hiperestática, por lo que para resolverla se utilizará el método de las fuerzas, también llamado de flexibilidades o método de las deflexiones compatibles. Para la utilización del método de las fuerzas, se suprimirán las zapatas intermedias, con lo que se obtiene una estructura estáticamente determinada a la que se llama estructura primaria. A la estructura primaria se aplican las cargas que actúan sobre la estructura de cimentación real, y se calculan los desplazamientos ∆i, en cada uno de los puntos en donde se retiraron las zapatas intermedias (fig. 4.1 b). Después a la estructura primaria se le aplica una fuerza unitaria R1=1 en el punto 1 y se calculan las deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,..., n, a esta condición se le llama R1=1. En seguida se aplica a la estructura primaria una carga unitaria R2=1 en el punto 2 y se calculan las deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,…, n, y se le llama condición R2=1. Se continua con este procedimiento hasta aplicar una carga unitaria Rn=1 en el punto n. Por compatibilidad de deformaciones para la condición R = 0 y las condiciones R1=1, R2=1,… y Rn=1, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: F nnnnnnn F nn F nn RdRdRd RdRdRd RdRdRd δ δ δ −∆=+++ −∆=+++ −∆=+++ ... ... ... 2211 222222121 111212111 (4 .1) donde: . .ReR .0 1. F i i i byazapataslasarespectoconizapataladerelativoentoDesplazami izapatalaenacción RcondiciónlaparaipuntoelenentoDesplazami RcondiciónlaparajpuntoelenentoDesplazamid iji = = ==∆ == δ ba n F A n n i F A i i 2 F A 2 2 1 1 A F 1 Fig. 4.2 Descomposición del desplazamiento vertical de una cimentación
  3. 3. Página 3 de 11 El desplazamiento vertical de la cimentación puede descomponerse, (fig. 4.2) como: F i A ii δδδ += (4.2) donde: . . , . ncimentaciódeestructuraladedeflexiónporipuntodelentoDesplazami rígidancimentacio deestructuradoconsideranbyazapataslasdetoasentamienporipuntodelentoDesplazami izapataladeverticalentoDesplazami F i A i i = = = δ δ δ Introduciendo la ecuación 4.2 en las ecuaciones 4.1 se tiene: n A nnnnnnn A nn A nn RdRdRd RdRdRd RdRdRd δδ δδ δδ −+∆=+++ −+∆=+++ −+∆=+++ ... ... ... 2211 2222222121 1111212111 (4 .3) El sistema de ecuaciones anterior puede escribirse en forma matricial, como se muestra a continuación: n A n A A nnnnnn n n R R R ddd ddd ddd δ δ δ δ δ δ 2 1 2 1 2 1 2 1 21 22221 11211 ... ... ... −+ ∆ ∆ ∆ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ (4.4) La ecuación matricial 4.4 relaciona las reacciones R1, R2,…, Rn con los desplazamientos δ1, δ2,…, δn de la estructura de cimentación, considerando la rigidez de la cimentación. A la ecuación 4.4 se le llama Ecuación Matricial de Flexibilidades (EMFLE) y se escribe en forma abreviada de la siguiente forma: [ ] i A iiiji Rd δδ −+∆= (4.5) donde:
  4. 4. Página 4 de 11 . .doconsideran , .0 . . verticalesentosdesplazamideVector rígidancimentaciodeestructura byaapoyoslosdetoasentamienporentodesplazamiVector RcondiciónlaparantodeplazamiedeVector ncimentaciósuelocontactodereaccionesdeVectorR adesflexibiliddeMatrizd i A i i i ji = = ==∆ = =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ δ δ 4.2.2 Ecuación matricial de asentamientos A partir de la ecuación 2.9 se obtiene la ecuación matricial de asentamientos (EMA), para la cimentación a base de zapatas aisladas unidas con trabe de liga, como se ilustra en la figura 4.1 a); a continuación se muestra la EMA: b n a b n a bbbnbbba nbnnnnna bna bna abanaaaa R R R R R δ δ δ δ δ δδδδδ δδδδδ δδδδδ δδδδδ δδδδδ 2 1 2 1 21 21 2222212 1112111 21 ... ... ... ... ... = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ (4.6) 4.2.3 Ecuación matricial de interacción suelo estructura Nótese que con las ecuaciones matriciales EMA y EMFLE se tienen 2n + 2 ecuaciones con 2n + 4 incógnitas, por lo que las 2 ecuaciones restantes se obtienen con la sumatoria de momentos igual a cero en las zapatas a y b, con lo que el sistema de ecuaciones puede resolverse y obtenerse Ra, R1, R2,…, Rn, Rb y δa, δ1, δ2,…, δn, δb. A continuación se presenta un algoritmo para la solución de estos sistemas de ecuaciones.
  5. 5. Página 5 de 11 La ecuación EMA tiene n + 2 ecuaciones; mientras que la EMFLE posee n ecuaciones, por lo que para poder trabajar con estas ecuaciones simultáneamente, se debe reducir la ecuación EMA a un sistema de n ecuaciones: Del primer y último renglón de EMA se obtiene: babnanaaaaaa RRRRR δδδδδδ +++++= ...2211 (4 .7) bbbnbnbbabab RRRRR δδδδδδ +++++= ...2211 (4 .8) De los renglones 1 a n de EMA se tiene: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ bnbana bbaa bbaa nnnnnn n n RR RR RR R R R δδ δδ δδ δ δ δ δδδ δδδ δδδ 22 11 2 1 2 1 21 22221 11211 ... ... ... (4.9) Despejando | δ i| de la ecuación anterior: b a nbna ba ba nnnnn n n n R R R R R ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = δδ δδ δδ δδδ δδδ δδδ δ δ δ 22 11 2 1 21 22221 11211 2 1 ... ... ... (4.10) Despejando el vector | δ i| de la ecuación (4.4): nnnnn n n A n A A nn R R R ddd ddd ddd 2 1 21 22221 11211 2 1 2 1 2 1 ... ... ... ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ ∆ ∆ ∆ = δ δ δ δ δ δ (4.11)
  6. 6. Página 6 de 11 Igualando las ecuaciones 4.10 y 4.11 tenemos: nnnnn n n A n A A n b a nbna ba ba nnnnn n n R R R ddd ddd ddd R R R R R 2 1 21 22221 11211 2 1 2 1 22 11 2 1 21 22221 11211 ... ... ... ... ... ... ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ ∆ ∆ ∆ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ δ δ δ δδ δδ δδ δδδ δδδ δδδ (4.12) A n A A n b a nbna ba ba nnnnn n n nnnn n n R R R R R ddd ddd ddd δ δ δ δδ δδ δδ δδδ δδδ δδδ 2 1 2 1 22 11 2 1 21 22221 11211 21 22221 11211 ... ... ... ... ... ... + ∆ ∆ ∆ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ (4.13) A continuación se desarrollara cada uno de los siguientes términos: b a nbna ba ba R R ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ δδ δδ δδ 22 11 y A n A A δ δ δ 2 1 Termino: b a nbna ba ba R R ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ δδ δδ δδ 22 11 (4.14)
  7. 7. Página 7 de 11 bni21a RRRRR R b0R a0 ba 1 ni2R Fig. 4.3 Sistema equivalente para la obtención de las reacciones Ra y Rb. De la figura 4.3 se obtiene: )...( 22110 nnaa RRRRR ψψψ +++−= (4.15) )...( 22110 nnbb RRRRR ξξξ +++−= (4.16) donde: L i i x =ψ (4.17) L i i y =ξ (4.18) Sustituyendo las ecuaciones 4.15 y 4.16 en la ecuación 4.14 tenemos: n n n nbna ba ba b a nbna ba ba b a nbna ba ba R R R R R R R 2 1 21 21 22 11 0 0 22 11 22 11 ... ... ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ξξξ ψψψ δδ δδ δδ δδ δδ δδ δδ δδ δδ (4.19) Termino: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ A n A A δ δ δ 2 1 (4.20)
  8. 8. Página 8 de 11 Sustituyendo la ecuación 4.2 en la ecuación 4.20 obtenemos: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = bnan ba ba A n A A δξδψ δξδψ δξδψ δ δ δ 22 11 2 1 (4.21) b a nn A n A A δ δ ξψ ξψ ξψ δ δ δ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 22 11 2 1 (4.22) Sustituyendo las ecuaciones 4.7 y 4.8 en la ecuación 4.22: b n a bbbnbbba abanaaaa nn A n A A R R R R R 2 1 21 21 22 11 2 1 ... ... ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = δδδδδ δδδδδ ξψ ξψ ξψ δ δ δ (4.23)
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  10. 10. Página 10 de 11 − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ bnbb anaa nn n n bbba abaa nnnnnn n n aaa aaa aaa δδδ δδδ ξψ ξψ ξψ ξξξ ψψψ δδ δδ ξψ ξψ ξψ ... ... ... ... ... ... ... 21 21 22 11 21 21 22 11 21 22221 11211 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − n n nbna ba ba ξξξ ψψψ δδ δδ δδ ... ... 21 21 22 11 (4.27) 0 0 22 11 22 11 2 1 b a nbna ba ba bbba abaa nnn R R b b b ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = δδ δδ δδ δδ δδ ξψ ξψ ξψ (4.28) A la ecuación 4.26 se le llama “Ecuación Matricial de Interacción Suelo Estructura” (EMISE), y puede simplificarse de la siguiente forma: [ ] [ ] [ ] iiijijiji bRad ∆+=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++δ (4.29) La ecuación anterior puede escribirse de la siguiente manera: iiji VRM =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ (4.30)
  11. 11. Página 11 de 11 donde: [ ] [ ] [ ]jijijiji adM ++=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ δ (4.31) iii bV ∆+= (4.32) Entonces: [ ] ijii VMR 1− = (4.33) donde: [ ] [ ]jiji MdeinversaMatrizM 1 = − Con la ecuación matricial 4.33 se obtienen las reacciones R1, R2, …, Rn. Por sumatoria de momentos en las zapatas b y a se obtienen Ra y Rb, respectivamente; y de la ecuación matricial de asentamientos EMA se obtienen los desplazamientos δa, δ1, δ2, …, δn y δb.

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