COLUMNAS EXCENTRICA.docx

COLUMNAS CON CARGA EXCÉNTRICA
Se produce cuando la carga “P” no actúa en el centroide de la sección de la columna.
La carga “P” se desvía una distancia “e” conocida como excentricidad.
Esta desviación “e” genera un momento: M = P.e
CARGACRITICAPARA COLUMNAS
La carga “P”no debe pasarel valor crítico:
𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡 =
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
𝐼 = 𝐴. 𝑟2
Le = (ver tabla)
𝜋2
. 𝐸. 𝐴
(
𝐿𝑒
𝑟
)
2

Ymáx
P crit = Carga críticade Euler E = Módulo elástico del material
I = momento de inercia de la sección A = área de la sección
L = longitud de la columna r = radio de giro de la sección
σ crit = Esfuerzo crítico en la columna
Le = longitud efectiva (ver tabla)
DEFLEXION MÁXIMA
Para una columna concarga excéntrica, tenemos la
deflexión máxima:
𝑌𝑚á𝑥 = 𝑒 (𝑠𝑒𝑐
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
ESFUERZO MÁXIMO
Tenemos:
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
𝑠𝑒𝑐 (√
𝑃
𝐸. 𝐼
.
𝐿𝑒
2
))
Alternativamente:
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
sec(
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
)))

NOTA: secanteen radianes
MODULOS ELASTICOS:
Concreto:
E = 15 000 (raíz f´c) kgf/cm2
f´c = Resistencia a la compresión del concreto
Acero:
E = 2 000 000,00 kgf/cm2
E = 20 000 000,00 tonf/m2
Madera:
E = 100 000,00 kgf/cm2
E = 1 000 000,00 tonf/m2
Albañilería:
E = 500 f´m kgf/cm2
Unidad artesanal: f´m = 35 kgf/cm2
Unidad mecanizada: f´m = 65 kgf/cm2

Equivalencias:
1 Kgf = 9,81 N 1 Pa = 1 N/m2 1 pulg = 2,54 cm 1 pie = 12 pulg
1 lb = 0,454 kgf 1 psi= 1 lb/pulg2 1 ksi = 1000 psi
FACTOR DE SEGURIDAD
𝐹𝑆 =
𝑃 𝑐𝑟𝑖𝑡
𝑃 𝑝𝑒𝑟𝑚
P crit = Carga críticade Euler
P = Carga actuante
𝐹𝑆 =
𝜎 𝑐𝑟𝑖𝑡
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚
σ crit = Esfuerzo crítico en la columna
σ = Esfuerzo actuante

1. La columna de acero tiene una altura de4,00 m. Para un factorde seguridad de 3 hallar la
carga céntrica permisible y el correspondiente esfuerzo normal. Si la carga permisible se
aplica en un punto a 0,05 m del centroide, determine la deflexión horizontal del extremo
superior de la columna y el esfuerzo normal máximo. Seccióncuadradade lado 0,15 m; E =
20 000 000,00 tonf/m2
Le = 2L = 2x4 = 8 m
Solución
Columnas concarga excéntrica
Formulación:
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
𝐼 = 𝐴. 𝑟2
Le = K.L
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
𝑠𝑒𝑐
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
))
𝐹𝑆 =
𝑃𝑝𝑒𝑟𝑚

CASO: Carga céntrica permisible
𝐹𝑆 =
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
FS = 3
Le = 2L = 2 x 4 m = 8,00 m
E = 20 000 000,00 tonf/m2
I = lado4 / 12 = 0,154 / 12 = 0,00004219 m4
Hallando la carga crítica:
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
𝜋2
𝑥20 000 000 𝑥 0,00004219
82
= 130,12 𝑡𝑜𝑛𝑓
Carga yesfuerzo permisibles
𝐹𝑆 =
𝑃𝑝𝑒𝑟𝑚 =
𝐹𝑆
𝑃𝑝𝑒𝑟𝑚 =
130,12 𝑡𝑜𝑛𝑓
3
P perm = 43,37 tonf
Area = lado2 = 0,15 x 0,15 = 0,0225 m2
σ perm = P perm / Area
σ perm = 43,37 tonf / 0,0225 m2
σ perm = 1927,56 tonf/m2
σ perm = 192,76 kgf/cm2

CASO: Carga excéntrica
Para Ymáx correspondeP perm.
Luego:
P = P perm = 43,37 tonf
P crit = 130,12 tonf
e = 0,05 m
Tenemos:
𝑌𝑚á𝑥 = 𝑒 (sec(
𝜋
2
√
𝑃𝑐𝑟
) − 1)
𝑌𝑚á𝑥 = 0,05(sec(
𝜋
2
√
43,37
130,12
) − 1) = 0,05 ( sec (0,91) – 1 ) = 0,05 m (1,63 – 1)
Y máx = 0,0315 m
Y máx = 3,15 cm
Máximo esfuerzo normal:
e = 0,05 m
c = 0,075 m
r = √ (I / A) = √ ( 0,00004219 / 0,0225 ) = 0,043 m
A = 0,0225 m2
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
sec(
𝜋
2
(√
𝑃𝑐𝑟
)))
𝜎 𝑚á𝑥 =
43,37 𝑡𝑜𝑛𝑓
0,0225 𝑚2
(1 +
0,05 𝑥 0,075
0,0432
sec(
𝜋
2
(√
43,37
130,12
)))
𝜎 𝑚á𝑥 = 1927,56 𝑡𝑜𝑛𝑓/𝑚2(1+ 2,03 sec(0,91))
𝜎 𝑚á𝑥 = 1927,56 𝑡𝑜𝑛𝑓/𝑚2(4,31)
𝜎 𝑚á𝑥 = 8307,78 𝑡𝑜𝑛𝑓/𝑚2
𝜎 𝑚á𝑥 = 830,78 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

A
B
T T
T
T
2. La columna de acero tiene una altura de 8 pies. Para un factor de seguridad de 2 halla la
aplica en un punto a 0,75” del centroide, determine la deflexión horizontal del extremo
superior de la columna y el esfuerzo normal máximo. (Sección en la derecha): A = 4”, B =
4”, Espesor T = 1/2”. E = 29 x 106 psi
Solución
Formulación:
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
𝐼 = 𝐴. 𝑟2
Le = K.L
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
𝑠𝑒𝑐
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
))
Carga céntricapermisible
Le = K . L = 2 x 8 pies = 16 pies = 16 x 12 pulg = 192,00 pulg
E = 29 x 106 psi = 29 x 106 lib/pulg2
Hallando la carga céntrica permisible:
𝜋2
𝑥29𝑥1000000𝑥14,583
1922
= 113 224,96 𝑝𝑠𝑖 = 133,22 𝑘𝑖𝑝𝑠
Ancho b (pulg) = 4.000
Peralte d (pulg) = 4.000
Espesor t (pulg) = 0.5000
Inercia (pulg4) = 14.583

𝐹𝑆 =
𝑃𝑒𝑟𝑚
P perm = P crit / FS = 133,22 kips / 2
P perm = 66,61 kips
σ perm = 66,61 kips / 7,00 pulg2
σ perm = 9,52 ksi
Carga excéntrica
Para Ymáx correspondeP perm.
Luego: P = P perm = 66,61 kips
P crit = 133,22 kips
e = 0,75 pulg
Tenemos:
𝑌𝑚á𝑥 = 𝑒 (sec(
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
) − 1)
𝑌𝑚á𝑥 = 0,75(sec(
𝜋
2
√
66,61
133,22
) − 1) = 0,75 ( sec (1,11) – 1 ) = 0,75 (2,249 – 1)
Y máx = 0,94 pulg
Area (pulg2) = 7.000

P = P perm = 66,61 kips
P crit = 133,22 kips
e = 0,75 pulg
c = 2 pulg
r = 1,443 pulg
A = 7,00 pulg2
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
sec(
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
)))
𝜎 𝑚á𝑥 =
66,61 𝑘𝑖𝑝𝑠
7 𝑝𝑢𝑙𝑔2
(1 +
0,75𝑥2
1,4432
sec(
𝜋
2
(√
66,61
133,22
)))
𝜎 𝑚á𝑥 = 9,52 𝑘𝑠𝑖(1 + 0,72 sec(1,11))
𝜎 𝑚á𝑥 = 9,52(2,62)
𝜎 𝑚á𝑥 = 24,92 𝑘𝑠𝑖
Area (pulg2) = 7.000
Radio de giro (pulg) = 1.443

3. La columna de concreto f´c = 210 kgf/cm2 tiene una altura de 6,00 m. Para un factorde
seguridad de 2 hallar la carga céntrica permisible y el correspondienteesfuerzo normal. Si la
carga permisible se aplica en un punto a 0,10 m del centroide, determine la deflexión
horizontal del extremo superior de la columna y el esfuerzo normal máximo. Sección
cuadrada de lado 0,40 m.
Solución
Formulación:
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
𝐼 = 𝐴. 𝑟2
Le = K.L
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
𝑠𝑒𝑐
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
))
Le = 2x6 m = 12 m
E = 2173706,51 tonf/m2
I = 0,00213 m4
P perm = 157,67 tonf

𝐹𝑆 =
𝑃𝑒𝑟𝑚
Area = 0,16 m2
Carga excéntrica
P perm =157,67 tonf
e = 0,10 m
Y máx = 0,1252 m
e = 0,10 m
c = 0,20 m
r = 0,1154 m
A = 0,16 m2
σ max = 4347,04 tonf/m2

4. La columna de madera tiene una altura de 5,00 m. Para un factor de seguridad de 2,50
hallar la cargacéntrica permisible y elcorrespondienteesfuerzo normal. Sila cargapermisible
se aplica en un punto a 0,05 m del centroide, determine la deflexión horizontal de la columna
y el esfuerzo normal máximo. Sección circular de radio 0,15 m.
Solución
Formulación:
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
𝐼 = 𝐴. 𝑟2
Le = K.L
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
𝑠𝑒𝑐
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
))
Le = 5 x 0,70 = 3,50 m
E = 1 000 000,00 tonf/m2
I = 0,00039761 m4
FS = 2,50

𝐹𝑆 =
𝑃𝑒𝑟𝑚
Area = 0,0707 m2
Carga excéntrica
e = 0,05 m
Y máx = 0,0416 m
e = 0,05 m
c = 0,15m
r = 0,075 m
A = 0,0707 m2
σ max = 6240,92 tonf/m2

5. La columna de albañilería mecanizada tiene una altura de 8,00 m. Para un factor de
seguridad de3,50 hallar la carga céntrica permisible y el correspondienteesfuerzo normal. Si
la carga permisible se aplica en un punto a 0,10 m del centroide, determine la deflexión
horizontal de la columna y el esfuerzo normal máximo. Sección cuadrada de lado 1,00 m.
Solución
Formulación:
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
𝐼 = 𝐴. 𝑟2
Le = K.L
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
𝑠𝑒𝑐
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
))
Carga céntrica permisible
Le = 8 x 0,50 = 4,00 m
Albañilería:
E = 500 f´m kgf/cm2
Unidad mecanizada: f´m = 65 kgf/cm2
E = 500 x f´m
E = 500 x 65 kgf/cm2 = 32 500 kgf/cm2
E = 325 000 tonf/m2

Lado = 1,00 m
I = lado4 / 12
I = 1,004 / 12
I = 0,0833 m4
FS = 3,50
P crit = 16 699,68 tonf
P perm = 4 771,34 tonf
Area = 1,00 m2
σ perm = 4 771,34 tonf /1,00 m2
σ perm = 4 771,34 tonf/m2
Carga excéntrica
P perm = 4 771,34 tonf
P crit = 16 699,68 tonf
e = 0,10 m
Y máx = 0,0498 m
Y máx = 4,98 cm
P = P perm = 4 771,34 tonf
P crit = 16 699,68 tonf
e = 0,10 m
c = 0,50 m
r = 0,2886 m
A = 1,00 m2
σ max = 9060,34tonf/m2

6. Se aplica una carga axial P a la varilla de acero AB con un diámetro de 36 mm que se
muestra en la figura. Para P = 90 kN se observaque la deflexión horizontal del punto medio
C es 0.8 mm. Si E = 200 GPa, determine a) la excentricidad e de la carga, b) el esfuerzo
máximo en la varilla. (considere viga con extremos articulados)
Incógnitas:
e = ¿?
σ max = ¿?
Datos:Pa = N/m2
D = 36 mm
Radio = 18 mm = 0,018 m
I = 0,00000008 m4
P = 90 kN = 90 000,00 N
Y máx = 0,80 mm = 0,0008 m
E = 200 GPa= 200x109 Pa
L = 750 mm = 0,75 m
Le = 0,75 m
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
Pcr= 210 551,56 N
Fórmula:
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
𝑌𝑚𝑎𝑥 = 𝑒 (𝑠𝑒𝑐 (
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
) − 1)
0,0008 = 𝑒 (𝑠𝑒𝑐 (
𝜋
2
√
90000
210551,56
)− 1)
0,0008 = 𝑒(𝑠𝑒𝑐(1,027) − 1)
0,0008 = 𝑒(1,933 − 1)
0,0008 = 𝑒(0,933)

7. La columna uniforme AB constadeuna secciónde 8 ft de tubo estructural cuya secciónse
muestra. a) Usando la fórmula de Euler y un factor deseguridad de 2, halle la carga céntrica
admisible para la columna y el correspondienteesfuerzo normal. b) Si la carga permisible,
hallada en la parte a, seaplica como semuestra en un punto a 0.75 in. del eje geométrico de
la columna, determine la deflexión horizontal del topede la columna y el esfuerzo normal
máximo en la columna. Considere E = 29x106 psi.
Solución
Formulación:
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
𝐼 = 𝐴. 𝑟2
Le = K.L
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
𝑠𝑒𝑐
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
))
E = 29x106 psi= 29x106 lb/in2
I = 8 in4
Le = 2L = 2x8 ft = 16 ft x 12 = 192 in
FS = 2
A = 3,54 in2
e = 0,75 in
c = 2 in

Le = 192 in
E = 29x106 lb/in2
I = 8 in4
FS = 2
P crit = 62 113,40 lb
P perm = 31 056,70 lb
Area = 3,54 in2
σ perm = 8773,08 lb/in2
Carga excéntrica
P perm = 31 056,70 lb
P crit = 62 113,40 lb
e = 0,75 in
Y máx = 0,9391 in
P = P perm = 31 056,70 lb
P crit = 62 113,40 lb
e = 0,75 in
c = 2 in
r = 1,50 in
A = 3,54 in2
σ max = 21887,77 lb/in2

A
B
T T
T
T
8. La columna de acero tiene una altura de 10 m. Para un factor de seguridad de 2 halla la
aplica en un punto a 3,00 cm del centroide, determine la deflexión horizontal de la columna
y el esfuerzo normal máximo. (Sección en la derecha): A = 8”, B = 8”, Espesor T = 3/8”.
E=2 000 000 kgf/cm2.
Solución
Formulación:
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
𝐼 = 𝐴. 𝑟2
Le = K.L
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
𝑠𝑒𝑐
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
))
Datos:
Le = 0,70 L = 0,70 x 10m = 7,00 m = 700 cm
E = 2 000 000 kgf/cm2
I = 4624,274 cm4
FS = 2
A = 73,79 cm2
e = 3,00 cm
c = 4 in = 4 x 2,54 cm = 10,16 cm

Le = 700 cm
E = 2 000 000 kgf/cm2
I = 4624,274 cm4
FS = 2
P crit = 62113,40 kgf
P perm = 31056,70kgf
Area = 73,79 cm2
Carga excéntrica
P perm = 31056,70kgf
P crit = 62113,40 kgf
e = 3,00 cm
Y máx = 0,9391 cm
P = P perm = 31056,70 kgf
P crit = 62113,40 kgf
e = 3,00 cm
c = 10,16 cm
r = 1,50 cm
A = 73,79 cm2
σ max = 21887,77 kgf/cm2

9. La columna de madera tiene una altura de 6 m. Para un factor de seguridad de 3 halla la
aplica en un punto a 5,00 cm del centroide, determine la deflexión horizontal de la columna
y el esfuerzo normal máximo. Sección cuadrada de lado 30 cm. Madera tipo A.
Solución
Formulación:
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
𝐼 = 𝐴. 𝑟2
Le = K.L
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
𝑠𝑒𝑐
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
))
Datos:
Le = 0,50 L = 0,50 x 6m = 3,00 m = 300 cm
E = 130 000,00 kgf/cm2
I = 67 500,00 cm4
FS = 3
A = 30x30 = 900 cm2
e = 5,00 cm
c = 15,00 cm

Le = 300 cm
E = 130 000 kgf/cm2
I = 67 500 cm4
FS = 3
P crit = 962 286,43kgf
P perm = 320762,14 kgf
Area = 900 cm2
Carga excéntrica
P perm = 320762,14 kgf
P crit = 962 286,43 kgf
e = 5,00 cm
Y máx = 3,1144 cm
P = P perm = 320762,14 kgf
P crit = 962 286,43 kgf
e = 5,00 cm
c = 15 cm
r = 8,66 cm
A = 900 cm2
σ max = 934,80 kgf/cm2

10. La columna de concreto f´c=240 kgf/cm2 que tiene una altura de 12 m. Para un factor
de seguridad de 2 halla la carga céntrica permisible y el correspondiente esfuerzo normal. Si
la carga permisible se aplica en un punto a 10,00 cm del centroide, determine la deflexión
horizontal de la columna y el esfuerzo normal máximo. Sección cuadrada de lado 50 cm.

11. La columna de concreto f´c=210kgf/cm2 que tiene una altura de 5 m. Para un factorde
seguridad de 1,50 halla la carga céntrica permisible y el correspondienteesfuerzo normal. Si
la carga permisible se aplica en un punto a 3,00 cm del centroide, determine la deflexión
horizontal de la columna y el esfuerzo normal máximo. Sección circular hueca de diámetro
25 cm y espesor 5,00 cm.
d

12. Para la columna de acero y un factor de seguridad de 2,50 halle la carga céntrica
permisible y el correspondienteesfuerzo normal. Sila carga permisible se aplica en un punto
a 3,00 mm delcentroide, determine la deflexión horizontal dela columna y el esfuerzo normal
máximo. E=2 000 000 kgf/cm2.

13. Para la columna de madera tipo B y un factor de seguridad de 2 halle la carga céntrica
permisible y el correspondiente esfuerzo normal si L=6m. Si la carga permisible se aplica en
un punto a 1,00 in delcentroide, determine la deflexión horizontal dela columna y el esfuerzo
normal máximo.
Solución
Formulación:
𝜋2
. 𝐸. 𝐼
𝐿𝑒2
𝐼 = 𝐴. 𝑟2
Le = K.L
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
𝑠𝑒𝑐
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
))
Datos:
Le = 0,7 L = 0,70 x 6 m = 4,20 m = 165,35 in
E = 100 000,00 kgf/cm2 = 1 422 334,30 lb/in2
I = bh3/12 = 5 x 7,53/12 = 175,78 in4
FS = 2
A = 5 x 7,50 = 37,50 in2
e = 1,00 in
c = 7,50 / 2 in = 3,75 in
Le = 165,35 in
E = 1 422 334,30 lb/in2
I = 175,78 in4
FS = 2
P crit = 90 253,18 lb

P perm = 45126,59lb
Area = 37,50 in2
σ perm = 1203,38 lb/in2
Carga excéntrica
P perm = 45126,59lb
P crit = 90 253,18 lb
e = 1,00 in
Y máx = 1,2522 in
𝜋
2
√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
− 1)
P = P perm = 45126,59 lb
P crit = 90 253,18 lb
e = 1,00 in
c = 3,75 in
r = 2,1651 in
A = 37,50 in2
σ max = 3371,56 lb/in2
𝜎 𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
(1 +
𝑒. 𝑐
𝑟2
𝑠𝑒𝑐
𝜋
2
(√
𝑃
𝑃𝑐𝑟
))

14. Para la columna de acero y un factor de seguridad de 3 halle la carga céntrica permisible
y el correspondienteesfuerzo normal. Sila cargapermisible seaplica en un punto a 18,00mm
del centroide, determine la deflexión horizontal de la columna y el esfuerzo normal máximo.
d = 80mm.

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