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MÉTODO DEL LUGAR
GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES
Miguel A. Sánchez Bravo

Introducción
 La estabilidad y el funcionamiento transitorio de un
sistema está directamente relacionado con la
ubicación en el plano s de las raíces de la ecuación
característica ó polos de lazo cerrado.
 Si los parámetros del sistema varían, las raíces de la
ecuación característica también sufrirán variación en
su ubicación en el plano s. La gráfica del
desplazamiento de las raíces características en el
plano s cuando cierto parámetro del sistema varía, se
denomina lugar geométrico de las raíces (LGR).

Introducción
 El método del LGR fue desarrollado por W.R.Evans
(1948) , se trata de un método gráfico para dibujar el
LGR sobre el plano s.
 El LGR permite conocer información acerca de las
características de funcionamiento del sistema en lazo
cerrado. En el diseño de sistemas, este método
permite seleccionar el controlador adecuado y ajustar
uno o más parámetros para obtener la ubicación
necesaria de las raíces características con la finalidad
de cumplir con las especificaciones de funcionamiento
requeridas.

Introducción
 Luego que el diseño se completa y todos los
parámetros están fijados, pueden existir otros
parámetros de la planta que cambian o se alejan de
sus valores nominales. Por ejemplo, los componentes
resistivos e inductivos de un sistema de potencia
eléctrico varían al cambiar la carga. Para asegurar si
el sistema opera de forma fiable bajo estas
condiciones, es necesario analizar este efecto de los
cambios de parámetros, mediante la técnica del lugar
geométrico de las raíces.

Introducción
 El bosquejo del LGR se puede obtener con la
aplicación de algunas reglas simples. Para trazarlo en
forma exacta se puede emplear algún programa.
 Es importante conocer las bases del LGR, sus
propiedades, así como la forma de interpretar los
gráficos para fines de análisis y diseño.
 Cuando más de un parámetro varía, el LGR resultante
se denomina contorno de las raíces , los cuales
poseen las mismas propiedades del LGR.

Condiciones Básicas del LGR
 Sea la ecuación característica de un sistema:
q(s) = 1 + F(s) = 0  F(s) = - 1
Como F(s) está en función de la variable s , que es
compleja, es necesario que:
F(s) = 1 : Condición de magnitud ó de módulo
F(s) = 180º + 360ºk : Condición de ángulo
k = 0, ±1, ±2, …
 Los valores de s que cumplen las condiciones de
ángulo y magnitud, son las raíces características del
sistema ó polos de lazo cerrado.

 La condición de ángulo permite determinar las
trayectorias del LGR.
 Los valores del parámetro que varía se determinan
mediante la condición de magnitud.
 En general : F(s) = KP(s)
(s + z1)(s + z2)…(s + zm)
P(s) = -----------------------------------
(s + p1)(s + p2)…(s + pn)
donde K es el parámetro a variar

 Si un punto s = s1 pertenece al LGR debe cumplir con:
 Condición de magnitud:
(s1 + z1)(s1 + z2)…(s1 + zm)
K|P(s1)| = K ------------------------------------ = 1
(s1 + p1)(s1 + p2)…(s1 + pn)
Por lo tanto, K se puede evaluar en un punto del LGR
dividiendo el producto de las longitudes de los
vectores desde los polos de P(s) a si por el producto
de las longitudes de los vectores desde los ceros de
P(s) a si .

 Condición de ángulo ( K ≥ 0 )
∟P(s1) = ∑ ∟(si + zi) - ∑ ∟(si + pi) = 180° + k.360°
k = 0, ± 1, ± 2, …
De otro modo, si la suma de los ángulos de los
vectores desde los ceros de P(s) a si ,menos la suma
de los ángulos de los vectores desde los polos de P(s)
a si es igual a 180° + k.360°, entonces el punto si
pertenece al LGR.

 En el caso del sistema realimentado:
G(s)
H(s)
+
-
F(s) = GLA(s) = G(s)H(s)
Se observa, que las características de funcionamiento del
sistema en lazo cerrado se estudian a partir del conocimiento
de la ubicación de los polos y ceros de la función de transferencia
en lazo abierto.

Construcción del LGR
 Para un sistema con realimentación negativa con el
parámetro a variar K, tal que K > 0:
 1º Escribir la ecuación característica:
1 + F(s) = 0
y reordenarla, si es necesario, para que aparezca el
parámetro de interés K, como factor en la forma:
1 + KP(s) = 0
 2º Localizar los polos y ceros de P(s) en el plano s, con
marcas apropiadas: los polos con “ x “ y los ceros con
“o” .
 3º Aplicar las reglas que se presentan a continuación, las que
están basadas en la condición de ángulo.

Reglas para trazar el bosquejo del LGR
 1º Puntos de comienzo y finalización.
El LGR está formado por ramas que empiezan
(K=0) en los polos de P(s) y terminan (K=oo) en
los ceros de P(s) ó en el infinito. Tiene tantas
ramas independientes como el máximo entre el
número de polos (nP) y el de ceros (nZ) de P(s).
 2º Simetría .
El LGR es simétrico con respecto al eje real del
plano s, pues la raíces complejas deben aparecer
como pares de raíces conjugadas complejas.

 3º LGR sobre el eje real.
Pertenecen al LGR aquellos segmentos del eje real que
tienen a su derecha un número total de polos mas ceros
de P(s) que sea impar.
 4º Ángulos de salida y de llegada.
Los ángulos de salida de polos y ángulos de llegada a ceros
denotan el ángulo de la tangente del LGR cerca del polo ó cero,
según corresponda. Se calculan escogiendo un punto s1 que
pertenezca al LGR muy cercano al polo ó cero y se aplica la
condición de ángulo en dicho punto.
Si el punto de partida es un polo múltiple, se debe considerar un
ángulo para cada polo. Si la llegada es un cero múltiple se realiza
un procedimiento similar.

Ejemplo de cálculo de ángulo de salida
φ1 – ( θsal + θ2 ) = 180°
arctan (5/1) – (θsal + 90°) = 180°
78.7° - (θsal + 90°) = 180°
θsal = 168.7°

 5º Ramas que terminan en el infinito.
Si nZ < nP , entonces N = (nP – nZ) ramas deben terminar en
el infinito. Estas ramas se dirigen hacia el infinito a lo largo de
asíntotas a medida que K tiende a infinito.
Si hay dos o mas ramas que van al infinito, las rectas
asíntotas parten de un punto del eje real dado por:
Sumatoria de parte real Sumatoria de parte real
de los polos de P(s) de los ceros de P(s)
c0 = -------------------------------------------------------------------------
nP – nZ
Los ángulos que forman con el eje real son determinados por:
( 2q + 1 ) . 180º
θq = --------------------- , q = 0, 1, 2, … ,(nP – nZ – 1)
nP - nZ

 6º Intersección de ramas con el eje imaginario.
Si hubiere se calcula aplicando el criterio de R - H a la
ecuación característica. También se le puede hallar,
sustituyendo s = jw en la ecuación característica y
resolviéndola.
 7º Puntos de ruptura en el LGR.
Corresponden a puntos donde hay raíces múltiples. Es decir
donde dos o mas ramas se encuentran y se separan. Se les
determina mediante el siguiente procedimiento:
 De la ecuación característica despejar : K = - 1 / P(s)
 Resolver : dK / ds = 0
 Las soluciones de esta ecuación son puntos de ruptura si
pertenecen al LGR y el valor de K asociado es real y positivo.

 8º Cálculo de valores de K sobre el LGR.
El valor de K en cualquier punto s1 sobre el LGR
puede determinarse mediante la condición de
magnitud:
Producto de distancias desde los polos de P(s) a s1
K = --------------------------------------------------------------------------
Producto de distancias desde los ceros de P(s) a s1
 NOTA:
La experiencia en trazar el LGR aplicando las reglas,
es de gran valor en la interpretación del gráfico
obtenido por computadora.

Ejemplo:
1. Trace el LGR del sistema de la figura cuando K > 0. Indique el
rango de estabilidad.
2. Describa como evolucionará la respuesta transitoria del sistema
según K aumenta desde 0 hasta infinito.
3. Encuentre el valor de K para el cual las raíces dominantes
tengan una relación de amortiguamiento de 0.707.

Solución
1. Ecuación característica:
1 + K ( 1 / ( s ( s + 2 ) ( s + 6 ) ) ) = 0
P(s)
 P(s) tiene 3 polos ubicados en 0, -2 y -6. No tiene ceros finitos.
np = 3 , nz = 0
 Puntos de comienzo y finalización: Hay tres ramas que
empiezan (K=0) en los polos de P(s) y finalizan (K=∞) en el
infinito.
 Existe simetría respecto al eje real.
 LG sobre eje real: En los segmentos comprendidos en: (-∞,-6] y
en [-2,0].

Solución
 Asíntotas: Son 3, cuyos ángulos serán 60°, 180° y -60°.
Parten del eje real de: с0 = (( 0 - 2 – 6 ) – 0 ) / 3 = -2.67
 Puntos de ruptura: Se despeja: K = - 1 / P(s) = - s (s+2) (s+6)
y se resuelve:
dK/ds = 0  - ( 3s2 + 16s + 12 ) = 0
de donde, las soluciones son -4.43 y -0.9. Como la primera no
pertenece al LGR, se elimina. Por lo que el punto de ruptura está
en -0.9, donde el valor de K = 0.9 ( 1.1 ) ( 5.1 ) = 5.
 Intersección con eje imaginario: Resolviendo la ecuación
característica con s = jw: jw (jw+2) (jw+6) = - K
se obtiene: w = 0 , K = 0 (origen del plano s)
w = 3.46 , K = 96 ( intersección con eje imaginario )

Solución
Es estable : 0 < K < 96

Solución
2. Análisis:
Con K=0, sistema marginalmente estable (una raíz en el origen)

Solución
 Con 0 < K < 5: Hay 2 raíces reales dominantes entre [-2,0],
mientras que la tercera raíz se ubica a la izquierda de -4. La
respuesta del sistema será del tipo sobreamortiguado.

Solución
 Con K = 5: Las 2 raíces dominantes coinciden en el punto de
ruptura. La tercera se va alejando hacia -∞. La respuesta es tipo
críticamente amortiguada.

Solución
 Con 5 < K < 96: Las dos raíces pasan a ser complejas
conjugadas por lo que su respuesta será tipo subamortiguada.
Inicialmente el sobreimpulso a una entrada escalón será
pequeño y el tiempo de establecimiento algo superior a 4 seg,
pero al ir aumentando K, las raíces se van acercando al eje
imaginario y aumenta el tiempo de establecimiento y el
porcentaje de sobreimpulso.
 Con K = 96: La respuesta es marginalmente estable (sistema
oscilará).

Solución
3. Para que las raíces dominantes tengan una relación de
amortiguamiento de 0.707, el ángulo que forman respecto al
origen será θ = cos-1(0.707). Trazando esta línea sobre el LGR,
la solución para el valor de K será la intersección (-0.8+j0.8)

Solución
Aplicando condición de magnitud:
K = 5.26x1.44x1.13 / 1 = 8.56

Comentario sobre el LGR
 Un cambio en la ubicación de polos ó ceros de P(s)
puede producir modificaciones significativas en la
gráfica. A continuación se muestra como el cambio de
ubicación de un cero, hace que el gráfico presente
aspectos bastante diferentes.
En este ejemplo
( s + a )
P(s) = ---------------------------------
s ( s + 1 ) ( s2 + 6s + 18 )

Efectos de añadir polos y ceros a GH
 En general, la adición de polos a la FTLA : G(sH(s)
en un sistema realimentado en el lado izquierdo del
plano s tiene el efecto de mover el LGR original
hacia el lado derecho del plano s, limitando la
estabilidad del sistema en lazo cerrado.
 La adición de ceros tiene el efecto contrario.
 Para el diseño de controladores es necesario conocer
estos efectos.
 Veamos un ejemplo.

Efectos de añadir polos y ceros a GH

1
)
(
)
(
1 


s
K
s
H
s
G
• Estable para K>0
Gráficos para funciones típicas

)
1
)(
1
(
)
(
)
(
2
1 



 s
s
K
s
H
s
G
• Estable para K>0

•Inestable para valores altos
de K
•Puede estabilizarse
reduciendo la ganancia K
)
1
)(
1
)(
1
(
)
(
)
(
3
2
1 





 s
s
s
K
s
H
s
G

s
K
s
H
s
G 
)
(
)
(
• Integrador Ideal
• Estable

)
1
(
)
(
)
(
1 


s
s
K
s
H
s
G
• Sistema servo elemental
• Inherentemente Estable

•Puede desestabilizarse
aumentando la ganancia K
)
1
)(
1
(
)
(
)
(
2
1 



 s
s
s
K
s
H
s
G

•Siempre Estable
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
(
)
(
2
1 






s
s
s
s
K
s
H
s
G a

2
)
(
)
(
s
K
s
H
s
G 
•Integrador Ideal doble
•Marginalmente Estable
(Inherentemente Inestable)
•Debe ser siempre
compensado

)
1
(
)
(
)
(
1
2



s
s
K
s
H
s
G
•Inherentemente Inestable
•Debe ser siempre compensado

•Sistema Siempre Estable para
todas las ganancias
1
1
2
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(








a
a
s
s
s
K
s
H
s
G

3
)
(
)
(
s
K
s
H
s
G 

3
)
1
(
)
(
)
(
s
s
K
s
H
s
G a 



3
)
1
)(
1
(
)
(
)
(
s
s
s
K
s
H
s
G b
a 




•Condicionalmente Estable
reduciendo la ganancia K

)
1
)(
1
)(
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
)
(
)
(
4
3
2
1 












s
s
s
s
s
s
s
K
s
H
s
G b
a
aumentando la ganancia K
hasta un punto donde se
vuelve a estabilizar.
•Para ganancias K muy altas
se convierte definitivamente
en inestable

)
1
)(
1
(
)
1
(
)
(
)
(
2
1
2







s
s
s
s
K
s
H
s
G a
•Para ganancias K a partir
de determinado valor se
convierte en inestable

Uso del MATLAB para LGR
 Para trazar el LGR y hacer cálculos se tienen los
comandos:
rlocus : calcula y grafica.
rlocfind : calcula el valor de la ganancia en cualquier
punto del gráfico.
sgrid : traza las líneas para z = cte. y wn = cte.
pzmap : calcula y grafica los polos y ceros de una
F.T.
 Con la interfase gráfica (GUI) rltool se realiza el
cálculo de controladores en los problemas de diseño.

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