1. UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
SEPARATA 8
ESTÁTICA (GEAF 204)
SEMESTRE 2013 – II
CONTENIDO: SEMANA 8
Fuerzas internas
 Fuerzas desarrolladas en elementos estructurales.
 Ecuaciones y diagramas de fuerza cortante.
AUTOR: Mg. Martín Sandoval Casas.
Dirección Académica | E.A.P. Ingeniería Civil | Telf. 202 4342 Anexo 2037 | www.ucvlima.edu.pe
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2. FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
SEPARATA 8
ESTÁTICA (GEAF 204)
1.
GENERALIDADES:
FUNDAMENTACIÓN DEL CURSO:
La asignatura de Estática corresponde al área de formación profesional y es de naturaleza teórico –
práctica y de carácter obligatorio.
Esta asignatura tiene como propósito hacer comprender a los estudiantes que en toda estructura, así
como en todos sus elementos que lo conforman deben considerarse tres conceptos importantes:
equilibrio, estabilidad y resistencia.
En este curso se tratan los dos primeros aspectos, es decir, que la estructura y sus partes
componentes deben disponerse de tal manera que se asegure el estado de reposo con respecto a su
base.
COMPETENCIAS.
Identifica los distintos tipos de estructuras de Ingeniería Civil que se presentan en la vida diaria en la
práctica profesional.
2.
INTRODUCCIÓN
Esta
separata desarrolla los puntos
contenidos en la programación del sílabo
correspondientes a la octava semana: Las
fuerza internas.
3.
CONTENIDO
SEGUNDA UNIDAD: EQUILIBRIO CUERPOS RÍGIDOS Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL
(Duración: 6 semanas)
Semana
SEMANA 8
8
Contenidos
Fuerzas internas
en vigas
Fuerzas
desarrolladas
en
vigas.
Ecuaciones
y
diagramas
de
fuerza cortante.
Capacidad
Indicador de
logro
Actitudes
Indicador de
logro
Resuelve
situaciones
problemáticas
sobre
fuerzas
internas.
Resuelve
problemas sobre
fuerzas internas
producidas
en
vigas.
Respeto a los
demás.
Trata en forma
cordial y amable
a los demás.
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3. FUERZAS INTERNAS
8.1 Fuerzas internas vigas
Aplicaremos
los principios de la estática para analizar los efectos
internos en las vigas principalmente el efecto de corte y el efecto de
la flexión a lo largo de toda la viga, ambos efectos importantes en el
diseño de viga.
Toda viga puede soportar efectos de tensión, compresión, torsión,
corte y flexión.
M
representa el momento flexionante, T es el par
torsionante. Estos efectos son aplicados en toda sección transversal de
la viga y actúan simultáneamente como se aprecia en la figura 9.1 d,
sin embargo para su entendimiento analizaremos dichos efectos de
manera individual.
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4. Consideremos la fuerza cortante V y el momento flexionante M causado por
fuerzas aplicadas a la viga en un determinado plano. Casi todos los autores
han convenido que los valores positivos de V y M son los que se muestran en
la figura 9.2, dependiendo si se toma en cuenta la secciòn izquierda o
derecha de la viga.
RELACION ENTRE LA FUERZA CORTANTE Y EL
MOMENTO FLECTOR
Se puede hallar una relaciòn muy ùtil entre la fuerza cortante y el momento
flector a lo largo de toda la vida. Para ello (fig 9.4) seccionaremos una
pequeña porciòn de la viga de longitud dx, vemos que a la izquierda actùan
V y M y a la derecha toda vez que V y M varìan con el eje X tendremos
valores diferentes de V y M : V +dV y
M + dM y por equilibrio de fuerzas y
momentos podemos escribir
V – ω dX – ( V + dV) = 0
Transformando la expresiòn anterior tenemos
ω=−
dV
dX
---------- (I)
Esta ecuaciòn indica que la pendiente
del diagrama de fuerza
cortante
deberà ser igual al negativo del valor de la carga aplicada. Podemos expresar
la fuerza cortante en funciòn de la carga distribuida aplicada ω por medio de
la integraciòn
𝑉
𝑉𝑜
𝑑𝑉 = −
𝑥
𝑥𝑜
𝜔 𝑑𝑥
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5. Luego de integrar obtenemos otra expresiòn importante :
𝑉 = 𝑉𝑜 + ( 𝑒𝑙 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒𝑙 à𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 𝑜 𝑕𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 )
En esta expresiòn 𝑉𝑜 es la fuerza cortante en 𝑥 𝑜 y V es la fuerza cortante en
x .
En la fig 9.4 se aprecia que para el equilibrio estàtico la suma de
momentos debe ser cero. Sumando momentos alrededor del lado izquierdo
del elemento obtenemos:
𝑀 + 𝜔 𝑑𝑥
𝑑𝑥
2
+ 𝑉 + 𝑑𝑉
𝑑𝑥 −
𝑀 + 𝑑𝑀 = 0 --------------------- (II)
en esta expresiòn se cancelan los M y se puede despreciar la expresiòn
resultante
𝜔(𝑑𝑥)2 /2 igualmente se puede despreciar el producto (dV dx)
por lo cual la ecuaciòn (II) queda reducida a 𝑉 =
𝑑𝑀
𝑑𝑋
---- (III)
La expresión (III) indica que la fuerza cortante en cualquier lugar de la viga
es igual a la pendiente de la gràfica del momento flector.
El momento flector M en cualquier lugar del viga se puede expresar en
función de la fuerza cortante V por medio de la integración :
𝑀
𝑥
𝑑𝑀 =
𝑀𝑂
𝑉 𝑑𝑥
𝑥𝑜
La ecuación anterior se puede escribir como sigue :
𝑀 = 𝑀 𝑂 + (à𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 𝑜 𝑕𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 )
En donde 𝑀 𝑂 es el momento flexionante en 𝑋 𝑂 y M es el momento
flexionante en X
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6. .
Las ecuaciones (I) : ω = −
dV
dX
y (III) :
𝑉=
𝑑𝑀
𝑑𝑋
se pueden combinar
dM
d( )
dV
d2 M
dx
−ω =
=
=
dX
dx
dx 2
Es decir :
d2 M
= −ω
dx 2
Por lo tanto si ω es una función conocida en función de x, el momento M se
puede obtener por medio de dos integraciones
cuidando evaluar
correctamente los límites de integral en cada integración. Mucho cuidado,
esta
expresión es útil sòlo si
ω (la carga distribuída sobre la viga) es
continua como una función de x. si la flexión sobre una viga ocurre en màs de
un plano podemos realizar un análisis y al final combinar los resultados en
forma vectorial.
Si la carga distribuìda fuera una función discontinua de x es posible introducir
un juego especial de expresiones llamadas
funciones singulares
las
mismas que permiten escribir analíticamente expresiones para la fuerza
cortante y el momento flector sobre un intervalo de longitud que incluye
discontinuidades, ese tipo de funciones son analizados en el curso siguiente
Resistencia de Materiales o Mecànica de Sòlidos.
Ejercicio 1
Determine la distribución de fuerza cortante y de momento
flector producido en la viga AB por la carga concentrada de 4 kN aplicada en
el punto C (Fig 1)
Primero calculamos las reacciones en los apoyos usamos un DCL (Fig 1.a)
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7. En la Fig 1.c planteamos ecuaciones de equilibrio por la izquierda para
hallar las funciones V y M para el primer tramo es decir para x: 0 ≤ 𝑥 < 6
En la misma figura Fig 1.c planteamos un análisis de equilibrio estàtico por la
derecha para hallar las funciones V y M para : 6 ≤ 𝑥 < 10
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8. Los máximos valores del momento flexionante ocurren donde la fuerza
cortante cambia de dirección.
Ejercicio 2
La viga Cantilever es sometida a la carga distribuida (peso por
unidad de longitud) la cual varía como 𝜔 = 𝜔0 𝑆𝑒𝑛
𝜋𝑥
𝑙
, Determine la fuerza
cortante V y y el momento flector como una función de la razón x/l
El diagrama de cuerpo libre de toda la viga se dibuja primero tal que la fuerza
cortante 𝑉0 y el momento flector 𝑀 𝑂 actúan en el apoyo A ( x = 0). Por
convención
Una
suma
𝑉0 y 𝑀 𝑂 son mostrados con sus sentidos matemáticos positivos.
de
fuerzas
verticales
debe
estar
equilibrada
Una sumatoria de momentos alrededor del extremo izquierdo en x = 0
muestra que
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9. Diagrama de cuerpo libre de una parte seccionada de la viga de longitud x
por integración podemos hallar la fuerza cortante interna así :
O en forma adimensional
El momento flector se obtiene por integración
O en forma adimensional
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10. La siguente gráfica muestra ls resultados de momento flector y de fuerza
cortante.
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11. Problema 9.1
Determine la
fuerza cortante y el momento
flector producido en la viga por
la carga concentrada. Cúal es
el valor de la fuerza cortante y
el momento flector en x = l/2
valores de V y M en el punto
medio de la viga?
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Problema 9.2
Dibuje los
diagramas de fuerza cortante y
el momento flector para la viga
Canteliver cargada como se
muestra.
Problema 9.3
Dibuje los
diagramas de fuerza cortante y
de momento flector
y
determine la distancia
a la
derecha de A donde el
momento es cero
Problema 9.5
Dibuje los
diagramas de fuerza cortante y
de momento flector para la viga
sometida a las cargas en dos
puntos. Determine el máximo
momento flector M max y su
localización.
Problema 9.6
Dibuje los
diagramas de fuerza cortante y
de momento flectorpara la viga
cargada uniformemente y halle
el máximo momento flector
Problema 9.4
Dibuje los
diagramas de fuerza cotante y
de momento flector de la viga
cargada. ¿Cuáles son los
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12. PROBLEMAS PROPUESTOS – FUERZAS INTERNAS
7. Calcule la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector a 7 m a la derecha de A.
400 N/m
250 N
200 N/m
D E
C
A
4m
2m
B
2m
3m
3m
8. El eje del arco ABC con
tres goznes en una
parábola con vértice en B.
Sabiendo que P = 20 kN y
Q = 10 kN, determine las
fuerzas internas en J.
2m
P
B
Q
J
2,5 m
A
C
2m
5m
5m
9. Determinar las fuerzas internas (fuerza axial, fuerza cortante y momento de flexion) en
el punto J de la estructura indicada.
300 N/m
200 N/m
C
A
4m
E
J
2m
2m
B
3m
60 N
10. Determinar las fuerzas internas
(fuerza axial, fuerza cortante y
momento de flexion) en el punto J
de la estructura indicada.
A
D
B
C
J
2m
2m
E
G
F
1,5 m
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1,5 m
1,5 m
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13. 11. La ménsula AD se sostiene
por un pasador en A y por el
cable DE. Determinar las
fuerzas internas justamente a
la izquierda de la carga si a =
2 m.
E
3m
A
1m
C
D
B
a
3m
450 N
12. Calcule la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector a 7 m a la derecha de A.
Considere la parte curva como una parábola.
400 N/m
250 N
200 N/m
C
A
3m
3m
D E
2m
B
3m
4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS






Riley W, Sturges L. Ingeniería Mecánica – Estática. Editorial Reverte, S.A. 2008.
Hibbeler, Russel; Mecánica Vectorial para Ingenieros Tomo I Estática Editorial
Pearson Prentice Hill, 2004, Décima Edición.
Meriam,J.L., Kraige L.G.; Mecánica para Ingenieros ESTÁTICA , Editorial Reverté
S.A. University of California . 1998 , Tercera Edición
Shames, Irving; Mecánica para Ingenieros Estática Ed. Prentice Hill Cuarta Edición.
1998 Madrid.
Mc Gill, Mecánica para Ingeniería Estática, Grupo Editorial Iberoamérica, México D.F.
Sandor, Bela; Ingeniería Mecánica Estática, Segunda Edición, Editorial Prentice Hall,
2006.
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