Unefm Tecnología Ingeniería Civil - Resistencia de Materiales

1. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
Relación Carga – Fuerza Cortante – Momento Flector
Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas
Los elementos estructurales suelen clasificarse de acuerdo con los tipos de
cargas que soportan. Por ejemplo, una barra cargada axialmente soporta
fuerzas con sus vectores dirigidos a lo largo del eje de la barra y una barra en
torsión soporta pares de torsión (o pares) que tienen sus vectores momento
dirigidos a lo largo del eje. En este capítulo, iniciamos nuestro estudio de las
vigas (figura 2.1), que son elementos estructurales sometidos a cargas
laterales, es decir, fuerzas o momentos que tienen sus vectores
perpendiculares al eje de la barra.
Figura2.1. Ejemplo de vigas sometidos a cargas laterales
Las vigas que se muestran en la figura 2.1 se clasifican como estructuras
planares debido a que yacen en un solo plano. Si todas las cargas actúan en
ese mismo plano y si todas las deflexiones (indicadas por las líneas
discontinuas) también ocurren en ese plano, entonces nos referimos a éste
como el plano de flexión.
En este capítulo analizamos las fuerzas cortantes y los momentos
flexionante en vigas y mostraremos cómo estas cantidades están relacionadas
entre sí y con las cargas. La determinación de las fuerzas cortantes y de los
momentos flexionante es un paso esencial en el diseño de cualquier viga. Por
lo general, no sólo necesitamos conocer los valores máximos de estas también
la manera en que varían a lo largo del eje de la viga cantidades, sino una vez
que se conocen las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes podemos
determinar los esfuerzos, las deformaciones unitarias y las deflexiones.
Una viga se desarrolla dos clases de esfuerzos, esfuerzos cortantes y
esfuerzos flexionantes. Los esfuerzos cortantes se desarrollan en la viga
porque las fuerzas cortantes tienden a cizallar, o cortar, la viga. El esfuerzo
flexionante se desarrolla porque los momentos flexionantes internos tienen
tienden a flexionar la viga de tal modo que esta adopte una forma curva. Las
fuerzas cortantes y momentos flexionantes internos se producen en reacción a
las fuerzas y momentos externos aplicados a la viga.

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Antes de estudiar los esfuerzos flexionantes y las fuerzas cortantes
propiamente dichas, este capítulo le ayudara a visualizar y a calcular los
valores de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes internos. Cada uno
depende de la naturaleza de las cargas aplicadas en la viga y la forma en que
está apoyada.
Definimos las fuerzas cortantes como sigue:
Las fuerzas cortantes son fuerzas internas generadas en el material de
una viga para equilibrar las fuerzas externas aplicadas y garantizar el
equilibrio de todas sus partes.
Aun cuando las fuerzas cortantes internas pueden actuar en cualquier
dirección, tenemos que considerar primero aquellas que actúan
perpendiculares al eje largo de la viga. Como en general visualizamos vigas en
posición horizontal que soportan cargas que actúan verticalmente dirigidas
hacia abajo, estas fuerzas cortantes internas en general actúan verticalmente.
Por lo tanto, nos referimos a ellas como fuerzas cortantes verticales, indicadas
por el símbolo V.
Los momentos flexionantes se definen como sigue:
Los momentos flexionantes son momentos internos que se generan en
el material de una viga para equilibrar la tendencia de las fuerzas externas
de hacer que gire cualquier parte de ella.
Los momentos flexionantes hacen que la viga asuma su forma “flexionada”,
una curva característica.
Tal como lo hizo en la actividad al principio de este capítulo, es conveniente
utilizar una viga plana flexible para visualizar el comportamiento general de una
viga en respuesta a diferentes patrones de carga y condiciones de apoyo.
RELACIÓN ENTRE CARGA, CORTE Y MOMENTO FLECTOR.
Resulta particularmente importante, conocer no solo el valor del corte y del
momento flexionante en un punto de la viga, sino mas bien a lo largo de todo el
elemento, debido a que en su diseño, se debe considerar la condición más
desfavorable de esfuerzo resistente en el interior del sólido, por lograr esto se
construyen los llamados diagramas de fuerza cortante y momento flector. La
realización de estos diagramas requiere conocer la relación existente entre las
cargas externas y las fuerzas internas de corte y momento flector.

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Se examinan las relaciones que existen entre las cargas aplicadas, las
fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en una viga cualquiera. Dichas
relaciones proporcionan un método para trazar los diagramas de fuerza
cortante y momento flexionante sin necesidad de escribir sus expresiones
analíticas. Las relaciones no son independientes de las definiciones dadas,
sino que las complementan y se utilizan junto con ellas.
Considerando la viga de la figura que soporta unas cargas cuales quiera
figura (a), en la figura (b) se ha representado el diagrama de cuerpo libre
correspondiente a un elemento de longitud diferencial de la viga. El sistema de
las fuerzas aplicadas en la parte de viga a la izquierda del elemento diferencial
se reduce a una fuerza cortante V y al momento flexionante M, y el sistema de
las fuerzas aplicadas a la porción de viga a la derecha equivale a la fuerza
cortante V + dV y al momento flexionante M + dM, diferentes de los anteriores.
Aunque la carga repartida sea variable, se puede suponer contante y de
intensidad w en la pequeña longitud dx y, por tanto, en el elemento diferencial
también la fuerza w dx hacia arriba, que completa el diagrama de cuerpo libre.
Aplicando las condiciones del equilibrio estático al elemento de la figura, la
suma de las fuerzas verticales da:
Lo cual se reduce a
a
Tomando con respecto al punto B resulta,
Y teniendo en cuenta que el tercer sumando contiene el cuadrado de una
diferencial, es decir, es un diferencial de segundo orden que se puede
despreciar frente a los de primer orden, la ecuación se puede escribir en la
forma:

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Integrando la expresión (a) se obtiene,
En donde los limites de integración son V1 en el punto x1 y V2 en el punto x2.
El primer miembro es, pues, fácilmente integrable, ya que se reduce a V2 – V1 y
representa el incremento, positivo o negativo, de V al pasar de x1 a x2, es decir,
ΔV. En el segundo miembro, el producto w dx representa el área de un
elemento diferencial de área del diagrama de cargas, como el rayado en la
figura, por lo que la integral definida, que mide la suma de estos términos
diferenciales, representa el área del diagrama de cargas comprendidas entre
x1 y x2. Por tanto, la integración de (a) da:
Análogamente, integrando (b) se obtienen:
O bien
Puesto que el producto V dx del segundo miembro representa el área de un
elemento diferencial de área del diagrama de fuerza cortante y, por tanto, la
integral representa el área de este diagrama comprendida entre las ordenadas
en los puntos x1 y x2. La expresión (4) indica la variación del momento
flexionante entre dos secciones cualesquiera es igual al área del diagrama de
fuerza cortante en ese mismo intervalo.
Las fuerzas cortantes positivas se representan gráficamente por encima del
eje X, es de decir, hacia arriba, por lo que un área positiva es la situada por
encima del eje X e indica incrementos positivos del momento flexionante. En
cambio, el diagrama de cargas, las fuerzas se suelen representar actuando,
aunque hacia abajo, en la parte superior de la viga, ya que es su posición
natural, por lo que el área de tales cargas, aunque se dibuje por encima del eje
X, al estar dirigidas hacia abajo, es negativa y representa una disminución de la
fuerza cortante.
Las expresiones (3) y (4) proporcionan un método interesante para calcular
la variación de V y M y, por tanto, su valor numérico en cualquier sección, como
se verá en los próximos ejercicios. De igual importancia que estas son la
expresiones (a) y (b) que, escritas en la forma permite conocer la forma de los
diagramas de fuera cortante y momento flexionante.

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Como aplicación de los principios expuestos, consideremos una viga
simplemente apoyada con una carga variable, como se indica en la figura (a).
Puesto que las pendientes positivas suben hacia la derecha y las negativas
bajan, e s decir,
Según (4-5) el diagrama de fuerza cortante de la figura 4-20b debe tener una
pendiente que baja constantemente hacia la derecha, ya que w es siempre
negativa. La inclinación varia directamente con la ordenada correspondiente del
diagrama de cargas, siendo máxima en el punto en que la carga es máxima, y
horizontal, de pendiente nula, en los extremos donde la intensidad de la carga
es cero.
De la misma manera, por la expresión (4-6) se puede determinar la
pendiente y la forma del diagrama de momentos flexionantes, como se observa
en la figura 4-20c, mediante las correspondientes ordenadas del diagrama de
fuerza cortante. Como en este caso V es inicialmente positiva y continuamente
decreciente, el diagrama de momentos será inicialmente creciente, de
pendiente positiva, pero la inclinación irá disminuyendo hasta anularse cuando
la fuerza cortante sea cero. Al cambiar de signo la fuerza cortante e ir
aumentando en valor absoluto, la pendiente del diagrama de momento empieza
a ser negativa, bajando hacia la derecha, y cada vez con una inclinación
mayor. Esta forma de la curva de momentos hace que tenga un máximo en el
punto de fuerza cortante nula.
Los incrementos de fuerza cortante (ΔV) y de momento (ΔM) definidos por
(4-3) y (4-4) se indican en la figuras 4-20b y 4-20c. El área sombreada negativa
del diagrama de cargas determina que ΔV sea negativo y, por tanto, que V
disminuya al pasar de x1 a x2. El diagrama cortante el área total entre x1 y x2
es `positiva, suma algebraica de las áreas positivas y negativas, por lo que ΔM
es positivo y momento flexionante aumenta al pasar de x1 a x2.

6. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila
El conjunto de los principios que se acaban de exponer en esta sección
sugiere el siguiente procedimiento para el trazado de los diagramas de fuerza
cortante y momento flexionante:
1. Calcular las reacciones.
2. Calcular los valores de la fuerza cortante en los puntos de
discontinuidad, mediante V= (ΣΥ)izq, o bien ΔV= (Área)cargas.
3. Trazar el diagrama de fuerza cortante teniendo en cuenta que ha
de pasar por los puntos que se han determinado, y que la pendiente
viene expresada por (4-5), es decir, igual la ordenada del diagrama de
cargas.
4. Determinar los puntos de fuerza cortante nula.
5. Calcular los valores del momento flexionante en los puntos de
discontinuidad o cambio de cargas y en él puntos de fuerza cortante
nula, empleando para ello M= (ΣΜ)izq = (ΣΜ)der, o bien, ΔΜ =
(Área)cortante, según la conveniencia en cada caso.
6. Trazar el diagrama de momento flexionantes, que pasa por los
puntos determinados en el inicio 5, y teniendo en cuenta que su
pendiente en cada punto está determinada por (4-6), es decir, igual a la
ordenada del diagrama de fuerza cortante en ese mismo punto.