Capitulo i. fisica ii. elasticidad

CAPITULO I
Elasticidad
I. ANALISIS DE ESFUERZOS: Conceptos y Definiciones

Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
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1.1. INTRODUCCIÓN
Las diversas estructuras y máquinas, de cuyo diseño y construcción se ocupa el ingeniero en su actividad
práctica, deben tener ente otras, la propiedad de resistencia mecánica, es decir, deben oponerse a la rotura al ser
sometidas a la acción de fuerzas externas (cargas). Con este propósito, los elementos (piezas) de las estructuras y
máquinas deberán ser fabricadas del material correspondiente y tener las correctas dimensiones.
El primer objetivo de la Resistencia de materiales, es estudiar los métodos de cálculo de la resistencia de las
construcciones.
Además de esto, en muchos casos, es necesario determinar las variaciones de forma y de las dimensiones
(deformaciones), que surgen en los elementos de las construcciones sometidas a cargas.
Los cuerpos rígidos, indeformables, estudiados en la Mecánica, en realidad no existen
Las deformaciones de un sólido sometido a carga en general son pequeñas y se detectan con los extensómetros.
Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes de equilibrio y de movimiento. Sin
embargo, estas deformaciones son de gran utilidad para el diseño de estructuras y piezas. Al mismo tiempo, en
muchos casos, resulta necesario limitar el valor de las deformaciones, a pesar de ser pequeñas en comparación con
las dimensiones del elemento, ya que en caso contrario sería imposible el funcionamiento normal de la
construcción.
La propiedad del elemento de oponerse a las deformaciones de llama Rigidez. De aquí que el segundo objetivo es
la exposición de los métodos de cálculo de la rigidez de los elementos de las construcciones.
El problema siguiente de la Resistencia de Materiales es el estudio de la estabilidad de las formas de equilibrio de
los cuerpos reales. La estabilidad, es la capacidad de un elemento de oponerse a grandes perturbaciones del
equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas. También se dice que el equilibrio es
estable, si a una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de las deformaciones. Por tanto
el tercer objetivo es la exposición de los métodos de cálculo de la estabilidad de los elementos de las
construcciones.
Al realizar los tipos de cálculo indicados anteriormente, se debe tender a una economía máxima del material, es
decir, las dimensiones de las piezas de las máquinas y estructuras no deben ser superiores a las necesarias. Para
ello es necesario del estudio de las propiedades de los materiales utilizados, así como de las características de las
cargas aplicadas. Ello se consigue realizando experimentos en el laboratorio, así como de la experiencia en el
diseño y el mantenimiento de la construcciones.
1.2. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.
Para el mejor entendimiento de la Resistencia de Materiales se introducen ciertas suposiciones (hipótesis)
respecto a las propiedades de los materiales, a las cargas (fuerzas) y al carácter de interacción con los elementos
estructurales, para simplificar el cálculo de los elementos de las construcciones. Estas son:
Primera suposición: El material debe ser considerado macizo y continuo. Es decir, debe despreciarse la estructura
atomística, discontinua de la materia. Esto se explica por el hecho de que las dimensiones de las piezas reales son
muy superiores a la distancia entre átomos.
Segunda suposición: El elemento del cual está hecho el elemento se considera homogéneo, es decir tiene
propiedades idénticas en todos los puntos. En este caso los metales son materiales altamente homogéneos. Menos
homogéneos son la madera, el hormigón, la piedra, los plásticos de relleno. El hormigón por ejemplo, está
compuesto por piedras pequeñas, grava, gravilla, cuyas propiedades son distintas de las del cemento. La madera
tiene nudos, de propiedades diferentes al resto de madera. Sin embargo, los cálculos realizados de los
experimentos muestran que la suposición de homogeneidad es satisfactoria.
Tercera suposición: El material del cual se hace la pieza debe ser isótropo, es decir sus propiedades en
todas las direcciones deben ser iguales. Las investigaciones demuestran que los cristales que forman muchos
materiales tienen propiedades muy diferentes según las diferentes direcciones que se considere. Sin embargo, en el

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caso de materiales compuestos por granos finos, las propiedades en distintas direcciones son iguales. Para
materiales como la madera, el hormigón armado esta suposición es lícita con cierta aproximación.
Cuarta suposición: Se considera que las fuerzas internas, originales, las mismas que preceden a la aplicación de
cargas externas se consideran nulas. Es sabido que las fuerzas de interacción entre partículas del material, cuyas
distancias varían, se oponen a la variación de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas exteriores. Al
hablar de fuerzas interiores, en adelante tendremos en cuenta estas fuerzas despreciando las fuerzas moleculares
que existen en el cuerpo sometido a cargas. Esta suposición no se cumple cabalmente en ninguno de los materiales
utilizados en ingeniería. Así por ejemplo, se sabe que en el acero existen fuerzas internas como producto del
enfriamiento que experimenta el material, en la madera estas fuerzas aparecen como producto del secamiento de la
misma, y en l concreto armado aparecen durante el fraguado.
Quinta suposición: Esta suposición también se llama principio de superposición de cargas. Se expresa como el
efecto debido a la acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es igual a la suma de los efectos de las acciones
de estas fuerzas, aplicadas consecutivamente, en orden arbitrario. Esta hipótesis se cumple cuando se cumplen las
siguientes condiciones:
 Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños comparados con las
dimensiones del sólido.
 Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas.
Sexta suposición: También llamado principio de SAINT – VENANT. El valor de las fuerzas interiores en los
puntos del sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del
modo concreto de aplicación de estas cargas. Este principio permite en muchos casos sustituir un sistema de
fuerzas por otro, estáticamente equivalente, lo que nos permite simplificar los cálculos.
1.3. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS
Consideremos un sólido de forma arbitraria sobre el que actúan un conjunto de fuerzas exteriores
(concentradas o distribuidas) tal como se muestra en la figura 1.1a
(a) (b)
Figura 1.1 (a) Cuerpo sometido a fuerzas externas mostrando un plano de corte imaginario; (b) Porción de cuerpo
separado mostrando las fuerzas internas.
Para obtener las fuerzas internas que actúan sobre una región específica dentro del cuerpo es necesario utilizar el
método de las secciones. Para ello debe hacerse un corte imaginario a través de una región específica dentro del
cuerpo donde van a determinarse las fuerzas internas. Las dos partes son separadas y se procede a trazar el
diagrama de sólido libre de una de las partes. Esta situación se ilustra en la figura 1.1b. En el diagrama puede
observarse que existe realmente una distribución de fuerzas interiores las que actúan sobre el área expuesta de la
sección. Estas fuerzas representan los efectos del material de la parte superior del cuerpo actuando sobre el
material adyacente.
Aunque la distribución de las fuerzas internas es desconocida se acude a las ecuaciones de equilibrio estático para
relacionar las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo con la fuerza y momento resultantes de la distribución,
RF

y ORM

en cualquier punto específico O sobre el área seccionada como se muestra en la figura 1.2a. Al hacerlo

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así, observe que RF

actúa a través del punto O, aunque su valor no dependa de la localización del punto. De otro
lado,
ORM

si depende de la localización. En general puede escogerse como el centroide del área seccionada.
(a) (b)
Figura 1.2. (a) Fuerza y momento resultante de las fuerzas internas; (b) Componentes rectangulares de la fuerza y
momentos resultantes.
Las componentes de RF

y ORM

según las direcciones x, y y z, mostradas en la figura 1.2b, indican la aplicación de
cuatro diferentes tipos de carga definidas como sigue:
1.3.1. Fuerza normal (Nz). Es aquella fuerza que actúa perpendicularmente al área. Ésta fuerza se desarrolla
siempre que las fuerzas externas tienden a jalar o empujar los dos segmentos.
1.3.2. Fuerza cortante (V). Es aquella fuerza que reside en el plano imaginario de corte y se desarrolla cuando
las fuerza externas tienden a ocasionar el deslizamiento de una parte del cuerpo sobre el otro.
1.3.3. Momento o par torsional (Tz). Aquel momento que aparece cuando las fuerzas externas tienden a torcer
una parte del cuerpo respecto a la otra.
1.3.4. Momento flexionante (M). Aquel momento causado por las fuerzas externas que tienden a flexionar al
cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano.
1.4. ESFUERZO
En esta sección se muestra la forma para determinar la fuerza y el momento internos resultantes en un
punto específico sobre el área seccionada del cuerpo tal como se muestra en la figura 1.3a, la obtención de la
distribución de cargas internas es muy importante en la mecánica de materiales. Para resolver este problema es
necesario desarrollar un medio para describir la distribución de una fuerza interna en cada punto del área
seccionada. Para esto, es necesario establecer el concepto de esfuerzo.
Figura 1.3. (a) Fuerza y momento resultantes de las fuerzas internas; (b) Fuerza ΔF actuando sobre un ΔA y (c) Fuerza
normal y cortante

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Consideremos al área seccionada subdividida en pequeñas áreas ΔA, tal como se muestra en la figura 1.3b. La
fuerza finita muy pequeña que actúa sobre ΔA es ∆𝐹⃗. Esta fuerza como todas las demás tendrá una dirección
única, pero para nuestro estudio la descomponemos en dos ∆𝐹⃗𝑛 y ∆𝐹⃗𝑡 las mismas que son normales y tangenciales
al área respectiva como se ve en la figura 1.3c.
Cuando el área ΔA tiende a cero, la fuerza ∆𝐹⃗ o sus componentes también tiende a cero. Sin embargo, el cociente
entre la fuerza y el área tenderán a un límite finito. Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la
fuerza interna sobre un plano específico (área) que pasa por un punto.
1.4.1. Esfuerzo normal (σ). Se define como esfuerzo normal a la intensidad de fuerza, o fuerza por unidad
de área, actuando perpendicularmente a ΔA. Matemáticamente se escribe
A
Fn
A 


 0
lim (1.1)
Si la fuerza o esfuerzo normal “jala” sobre el elemento de área ΔA como se muestra en la figura 1.4a, se
llama esfuerzo de tensión, mientras que si “empuja” sobre ΔA se denomina esfuerzo de compresión.
1.4.2. Esfuerzo cortante (τ). Se define como esfuerzo cortante a la intensidad de fuerza o fuerza por unidad
de área, que actúa tangencialmente a ΔA. Matemáticamente este esfuerzo se escribe.
A
Ft
A 


 0
lim (1.2)
1.4.3. Componentes cartesianas del esfuerzo. Para especificar mejor la dirección del esfuerzo, se
descompone en componentes rectangulares x, y y z, orientados como se muestra en la figura 1.4a. El
elemento de área yxA  y las tres componentes cartesianas de la fuerza ∆𝐹⃗ se muestra en la
figura 1.4b. Bajo estas condiciones las componentes del esfuerzo son
A
Fz
A
z



 0
lim (1.3)
A
Fx
A
zx



 0
lim (1.4)
A
Fy
A
zy



 0
lim (1.5)
El subíndice z se usa para indicar la dirección de la línea normal hacia fuera, que especifica la
orientación de ΔA y los subíndices x e y se refieren a los ejes coordenados en cuya dirección actúan los
esfuerzos cortantes.
(a) (b) (c)
Figura 1.4. Determinación de esfuerzos normales y cortantes.

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1.5. ESFUERZO NORMAL MEDIO DE UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE.
En la figura 1.5a, se muestra un elemento estructural al cual se le aplica las cargas P, estas fuerzas son
colineales con el eje centroidal de la barra y producen cargas de tensión. Estas fuerzas se llaman fuerzas axiales.
Si cortamos imaginariamente a la barra a través de la sección transversal a-a, se puede dibujar el DCL de la mitad
inferior de la barra como se muestra en la figura 1.5b. El equilibrio nos indica que en la sección hay una
distribución de fuerzas cuya resultante es F, la misma que es normal a la superficie e igual en magnitud a la fuerza
externa P y tiene una línea de acción que es colineal con P. La intensidad media de la fuerza interna por unidad
de área normal es el esfuerzo normal medio expresado como
A
F
m  (1.6)
En este libro se usa el símbolo σ para denotar el esfuerzo normal. Se adopta la convención de asignarle un signo
positivo si el esfuerzo es de tensión por el contrario se asigna un signo negativo si el esfuerzo es de compresión.
Para determinar el esfuerzo en un punto se divide al área en elementos ΔA sobre los que actúa una fuerza ∆𝐹⃗ la
misma que representa la resultante de las fuerzas internas transmitidas, como se muestra en la figura 1.5c. En estas
condiciones es esfuerzo se determina mediante la ecuación
A
F
A 


 0
lim (1.7)
(a) (b) (c)
Figura 1.5. Elemento estructural cargado axialmente
En general el valor obtenido para el esfuerzo obtenido para un punto dado en una sección transversal es diferente
al obtenido mediante la ecuación (1.6) y se encuentra que el esfuerzo varía en la sección. La figura 1.6 muestra a
una barra delgada sometida a fuerzas axiales de compresión P y P’, estas variaciones son pequeñas en puntos
alejados del extremo, pero notoria en puntos cercanos al extremo.
Figura 1.6. Variación del esfuerzo normal en un elemento estructural cargado axialmente

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1.6. ESFUERZO CORTANTE MEDIO
En la sección 1.3 se definió al esfuerzo cortante como la componente del esfuerzo que actúa paralelamente
al plano de la sección transversal de corte. Para ver como aparece este esfuerzo consideremos un elemento tal
como se muestra en la figura 1.7 al que se le ha aplicado una fuerza P. Si los soporte B y D se consideran rígidos
y P es suficientemente grande, ésta ocasionará que el material de la barra falle a lo largo de los planos AB y CD.
El diagrama de cuerpo libre del segmento central no apoyado mostrado en la figura 1.7b, indica que una fuerza
cortante V = F/2 debe aplicarse a cada sección para mantener el equilibrio. Bajo estas condiciones el esfuerzo
cortante medio distribuido sobre cada área seccionada se define por
A
V
med  (1.8)
Donde: τmed = Esfuerzo cortante medio en la sección, se asume que es el mismo en toda la sección; V = fuerza
cortante interna resultante en la sección determinada a partir del equilibrio; y A = Área de la sección
La distribución del esfuerzo cortante medio se muestra actuando sobre la sección derecha de la figura 1.7c. Debe
observarse que τmed tiene la misma dirección que V.
(a) (b) (c)
Figura 1.7. Esfuerzo cortante medio en un elemento estructural
1.6.1. Cortante simple.
Las placas unidas por un perno (1,8a) y (1,8e) así como las placas pegadas mostradas en la figuras
1.8c, respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante simples. Los diagramas de
cuerpo libre mostradas en las figuras 1.8b; 1.8d, 1.8f y las ecuaciones de equilibrio muestran que las
fuerzas internas cortantes V son iguales a la fuerza exterior aplicada P, respectivamente, y el esfuerzo
cortante viene expresado por 𝜏 = 𝑉 𝐴⁄ = 𝐹
𝐴⁄
(e) (f)
Figura 1.8. Elementos sometidos a esfuerzo cortante simple

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1.6.2. Cortante doble
Las placas unidas por un perno, figura 1.9a cuya vista transversal se da en la figura 1.9e, y las placas
pegadas mostradas en la 1ig figuras 1.9a y 1.9c, respectivamente son ejemplos de elementos con
conexiones a cortante dobles, en este caso debe observarse que aparecen dos superficies cortantes Los
diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras 1.9b; 1.9d; 1.9e y las ecuaciones de equilibrio muestran
que las fuerzas internas cortantes V= F/2 y el esfuerzo es 𝜏 = 𝑉 𝐴⁄ = 𝐹 2𝐴⁄ .
(e) (f)
Figura 1.9. Elementos sometidos a esfuerzo cortante doble
1.7. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO
El esfuerzo de aplastamiento o de apoyo se presenta sobre la superficie de contacto entre dos elementos
interactuantes. Para el caso de la conexión mostrada en la figura 1.10a. El remache ejerce sobre la platina A una
fuerza 𝑃⃗⃗ igual y opuesta a la fuerza 𝐹⃗ que ejerce la platina sobre el remache véase figura 1.10b. En este gráfico 𝑃⃗⃗
es la resultante de todas las fuerzas distribuidas en la superficie interior de un cilindro de diámetro d y longitud t
igual al espesor de la platina. Debido a que la distribución de esfuerzos, es muy compleja, se usa un valor medio
para el esfuerzo de aplastamiento σb, el mismo que se obtiene dividiendo la fuerza 𝑃⃗⃗ y el área proyectada del
remache en la platina (figura 1.10c). Debido a que esta área es igual a td, donde t es el espesor de la platina y d el
diámetro del remache, se tiene.
b
b
P P
A td
   (1.9)
(a) (b) (c)
Fig. 10. Definición de esfuerzo de aplastamiento.
1.6. ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUO
Consideremos un elemento de sección transversal A0 sometido a dos fuerzas 𝑃⃗⃗y 𝑃′⃗⃗⃗⃗ tal como se muestra en
la figura 1.11a. Si trazamos imaginariamente un plano inclinado que forma un ángulo θ con el plano normal
(figura 1.11b) y dibujamos el DCL de la parte izquierda del elemento (figura 1.11c) se halla a partir de la
ecuaciones de equilibrio, que las fuerzas distribuidas en la sección inclinada deben ser equivalentes a la fuerza 𝑃⃗⃗.

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Figura 1.11. Esfuerzo normal y cortante en planos inclinados
Descomponiendo P en sus componentes F y V, normal y tangencial a la respectiva sección, se obtiene que
cosPF  (1.10)
PsenV  (1.11)
La fuerza 𝑭⃗⃗⃗ representa la resultante de las fuerzas normales distribuidas en la sección y 𝑉⃗⃗ representa la resultante
de las fuerzas distribuidas paralelas al plano inclinado (figura 1.11d). El valor medio de los correspondientes
esfuerzos será


A
F
 (1.12)


A
V
 (1.13)
Remplazando las ecuaciones (1.10) y (1.11) en las ecuación (1.12) y (1.13), resulta



A
P cos
 (1.14)



A
Psen
 (1.15)
De la gráfica se observa que


cos
0A
A  (1.16)
Al sustituir este valor del área en las ecuación (1.14) y (1.15), se obtiene:
 2
0
cos
A
P
 (1.17)
  2
2 0
sen
A
P
 (1.18)
De la ecuación (1.17) se observa que el esfuerzo normal es máximo cuando θ = 0º y que tiende a cero a medida
que θ se aproxima a 90º. El valor máximo del esfuerzo es
0
max
A
P
 (1.19)
De la ecuación (1.18) se observa que el esfuerzo cortante es máximo cuando el ángulo θ = 45º.
oA
P
2
max  (1.20)

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II. ANALISIS DE LA DEFORMACIÓN UNITARIA: Conceptos y Definiciones
2.1. INTRODUCCIÓN.
Utilizando los conceptos de la estática en la sección anterior se establecieron las relaciones entre las fuerzas
internas y los esfuerzos, evaluándose los esfuerzos normales y cortantes para distintos elementos sometidos a
cargas externas. Así mismo se evaluaron esfuerzos sobre superficies inclinadas de elementos. En ningún momento
se observó las deformaciones que producen la aplicación de cargas externas a un cuerpo deformable. Es sabido
que en el diseño de elementos estructurales o componentes de máquinas es de importancia considerar en el
mencionado diseño las deformaciones que experimentan los cuerpos. Por ello es importante discutir en esta
sección las deformaciones producidas por las fuerzas externas cuando son aplicadas a un cuerpo deformable real,
estableciéndose algunos métodos para medir tales deformaciones.
2.2. DESPLAZAMIENTO, DEFORMACIÓN Y DEFOMACIÓN UNITARIA
2.2.1 Desplazamiento.
Si sobre un cuerpo deformable se aplica un sistema de cargas externas, cada una de las partículas
que componen el cuerpo puede experimentar desplazamientos entre sí. Para determinar tales
desplazamientos se utiliza el desplazamiento que es una magnitud vectorial que mide el movimiento de
una partícula de una posición a otra.
Para evaluar las deformaciones que experimenta un cuerpo deformable consideremos un cuerpo hecho de
un material continuo tal como se muestra en la figura 1.12. Las tres partículas A, B y C antes de la
aplicación de fuerzas están localizadas en el cuerpo como se ve en la figura. Después de la aplicación de las
fuerzas externas el cuerpo se deforma cambiando de posición y por tanto las nuevas posiciones de las
partículas son A’, B’ y C’. El desplazamiento de la partícula A viene descrito por el vector u(A).
Figura 1.12. Desplazamiento que experimenta una partícula.
2.2.2 Deformación.
La aplicación de las cargas externas ocasionan que las líneas AB y BC inicialmente rectas, se
convierten en líneas curvas A’B’ y A’C’. Por lo tanto, las longitudes de AB y AC así como el ángulo θ,
serán diferentes de las longitudes curvas A’B’ y A’C’ y el ángulo θ’. Es decir la deformación se define
como la diferencia entre las longitudes y las orientaciones relativas de las dos líneas en el cuerpo debido a
los desplazamientos de cada partícula debido a la aplicación de las cargas externas al cuerpo.
2.2.3 Deformación unitaria.
La deformación unitaria se utiliza para describir la deformación por cambios en la longitud de
segmentos de línea y los cambios en los ángulos entre ellos. Existen dos tipos de deformación unitaria:

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Deformación unitaria normal. Designada por la letra griega épsilon (ε), expresa el alargamiento o
acortamiento de un segmento de línea por unidad de longitud de un cuerpo durante la deformación.
Para encontrar una expresión matemática para la deformación unitaria normal, considere una línea recta
AB dentro de un cuerpo no deformado como se muestra en la figura 1.13a, esta línea está ubicada a lo
largo del eje n y tiene una longitud inicial Δs. Después de la deformación la línea recta se transforma en
una línea curva con una longitud Δs’ como se muestra en la figura 1.13b.
(a) (b)
Figura 1.13. (a) Cuerpo sin deformación y (b) Cuerpo deformado
El cambio en la longitud es entonces (Δs’ – Δs). La deformación unitaria normal promedio εprom se define
como
s
ss
prom



'
 (1.21)
A medida que el punto B se escoge cada vez más cercano al puno A, la longitud de la línea se vuelve cada
vez más corta, de tal modo que 0s . De igual forma B’ se aproxima a A’ de modo que 0's . Por
lo tanto, la deformación unitaria normal en el punto A es la dirección n está dada por
s
ss
AB 



'
lim
ndelargoloa
 (1.22)
En algunos casos se conoce la deformación unitaria normal, por lo que se desea determinar la longitud final
del segmento corto en la dirección n para ello se usa la relación
  ss  1' (1.23)
Por tanto cuando ε es positiva, la línea inicial se alargará, mientras que si ε es negativa la línea se acortará.
Debido a que la deformación unitaria es el cambio de longitud por unidad de longitud, entonces ella será
una cantidad adimensional. Por la pequeñez de esta cantidad, la deformación unitaria normal en el SI se
expresa como (μm/m).
Deformación unitaria normal de elementos sometidos a cargas axiales.
Consideremos un barra de peso despreciable BC, de longitud L y área transversal A, suspendida de su
extremo B tal como se muestra en la figura 1.14a. Si ahora se aplica una carga externa P al extremo libre C,
la barra experimentará un alargamiento δ como se ve en la figura 1.14b.
Figura 1.14. (a) Elemento sin carga axial, (b) elemento sometido a carga axial P mostrando la
deformación que le produce y (c) diagrama fuerza-deformación.

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Al elaborar un diagrama fuerza-deformación, se obtiene una gráfica como se ve en la figura 1.14c. Debe
señalarse que aunque este diagrama contiene información útil para el análisis de la barra en estudio, no
puede utilizarse para predecir el comportamiento de otra barra del mismo material pero con dimensiones
diferentes. Así por ejemplo, la barra B’C’ de sección transversal 2A y longitud L, experimentará la misma
deformación δ cuando se aplica una fuerza 2P (ver figura 1.15a) siendo en ambos casos el esfuerzo
normal el mismo. Por otro lado, cuando la barra B’’C’’ de longitud 2L y área transversal A es sometida a
una fuerza P experimenta una deformación 2δ (ver figura 1.15b) obteniéndose además que el cociente entre
el alargamiento y la longitud inicial es el mismo.
(a) (b)
Figura 1.15. (a) Elemento de longitud L sometido a una carga 2P y (b) elemento de área y longitud 2L sometido a
una carga P
Por ello la deformación unitaria normal está dado por
L

  (1.24)
Si el desplazamiento es a lo largo de una línea recta. Consideremos dos puntos A y B sobre la recta x como
se muestra en la figura 1.16a,. Después de la aplicación de la carga externa, los puntos A y b se desplazan a
los puntos A1 y B1, respectivamente. Las coordenadas de los puntos xA y xB a xA + uA y xB + uB. Entonces
las longitudes inicial y final son L0 = xB – xA y Lf = (xB + uB) –( xA + uA).
Figura 1.16. Deformación unitaria en una línea recta
La deformación unitaria será
0
0
f B A
med
B A
L L u u
L x x

 
 

(1.25)
Donde uA y uB son los desplazamientos de los puntos A y B B Au u es el desplazamiento relatico
Si ahora se construye una gráfica esfuerzo (σ) - deformación unitaria normal (ε), se obtiene una curva
característica para cada uno de los materiales la que no depende de las dimensione de la probeta. Esta
relación se discutirá más adelante. Por otro lado, cuando la sección del elemento sometido a cargas

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externas es de sección variable como se muestra en la figura 1.17a, el esfuerzo normal varía a lo largo del
elemento por ello es necesario definir la deformación en cierto punto Q considerando un pequeño elemento
de longitud no deformado x como se ve en la figura 1.17b.
(a) (b)
Figura 1.17 (a) Elemento de sección variable sin carga axial y (b) elemento de sección variable
sometido a carga axial.
Si  es el alargamiento del pequeño elemento bajo la carga exterior dada, la deformación unitaria en
estas condiciones será.
dx
d
xx

 



 0
lim (1.26)
Deformación angular o cortante.
La deformación unitaria angular o cortante se define como el cambio en el ángulo que ocurre entre dos
segmentos de línea inicialmente perpendiculares. Este ángulo se denota por γ y su valor se mide en
radianes. Para mostrar esto consideremos dos segmentos de línea AB y AC a lo largo de los ejes
perpendiculares n y t como se muestra en la figura 1.18a. Después de la deformación las líneas rectas AB y
AC se vuelven curvas y el ángulo entre eles es θ’ ver la figura 1.18b. Por lo tanto, la deformación unitaria
angular será
'lim
2 tdelargoloaAC
ndelargoloa






AB
nt (1.27)
Debe observarse que si θ’ es menor que 90º, la deformación angular es positiva por el contrario si θ’ es
mayor de 90º la deformación angular es negativa.
(a) (b)
Figura 1.18. (a) Angulo entre dos rectas perpendiculares de un cuerpo sin deformación y (b) ángulo entre dos
líneas de cuerpo deformado
Por otro lado cuando un cuerpo es sometido a una fuerza cortante Fs tal como se muestra en la figura 1.19,
el cuerpo cambia su forma de rectangular a romboidal. Si uno de los lados se mantiene fijo el lado superior
experimenta un desplazamiento δs

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Figura 1.19. Deformación angularo cortante en un plano
La deformación angular promedio se obtiene dividiendo la deformación δs en una dirección normal y la
longitud L
x
yx yxtg
L

   (1.28)
Para aquellos casos en los cuales la deformación no es uniforme, la deformación angular en un punto viene
dada por
0
( ) lim x x
xy
L
d
P
L dL
 

 

 

(1.29)
Análisis de deformaciones unitarias pequeñas.
En muchos problemas ingenieriles, un cuerpo solo experimenta pequeños cambios en sus dimensiones. La
aproximación de pequeñas deformaciones simplifica en alto grado la solución de tales problemas. En la
figura 1.20 se muestra un ejemplo de cómo evaluar la deformación.
Figura 1.20. Deformaciones pequeñas.
La fuerza que actúa sobre la barra provoca que el punto P se mueva en una cantidad D en un ángulo θ
referido a la dirección de la barra. La ley de los cosenos aplicada al triángulo nos permite determinar Lf,
esto es
 cos21cos2
0
2
0
00
22
0 












L
D
L
D
LDLDLLf (a)
Teniendo en cuenta la ecuación (1.24) se puede determinar la deformación promedio en la barra AP, es
decir.
1cos21
0
2
00
0














 
L
D
L
D
L
LLf
(b)

15
Si se considera de que D << L0, en este caso se desprecia el término cuyo exponente es 2 y si se usa el
binomio de Newton se obtiene
1.............cos1
0






 
L
D
(c)
Simplificando la ecuación anterior se obtiene
0
cos
L
D
peq

  (1.30)
El cambio dimensional y deformación están linealmente relacionados en la ecuación (1.30), lo cual no
ocurre con la ecuación (a), esto implica que los cálculos de pequeña deformación resultarán en un sistema
lineal, eso simplifica los cálculos
III. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES
3.1. INTRODUCCIÓN.
Si se tiene un alambre de un metal y una cuerda de hule con igual longitud antes de experimentar una
deformación al someterlos a cargas externas iguales experimentarán deformaciones diferentes. No debe de
sorprenderse al observar que el hule se deforma mucho más que el alambre de acero. Esta situación pone de
manifiesto que las propiedades mecánicas cumplen una importante función en el desarrollo de las fórmulas para
relacionar el cambio dimensional con las cargas aplicadas.
La descripción cualitativa de un material mediante adjetivos como elástico, dúctil, frágil tiene un significado muy
específico que es necesario conocer, ya que estos adjetivos nos permiten describir a los materiales. La
descripción cuantitativa se realiza a través de ecuaciones que describen las curvas esfuerzo- deformación de cada
uno de los materiales. Los parámetros en las ecuaciones se determinan experimentalmente.
Por ello el objetivo de esta sección es comprender la descripción cualitativa y cuantitativa de las propiedades
mecánicas de los materiales.
3.2. DIAGRAMAS ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA.
Se ha visto en la sección anterior que cuando se traza un diagrama carga-deformación se obtiene un
diagrama tal como el mostrado en la figura 1.14c. Debe señalarse que aunque este diagrama contiene información
útil para el análisis de elemento en estudio, no puede utilizarse para predecir el comportamiento de otros
elementos del mismo material pero con dimensiones diferentes. Por ello es necesario buscar otro tipo de diagrama
que nos permitan caracterizar a un material en general. Estos diagramas son los diagramas esfuerzo-deformación
unitaria.
Para obtener estos diagramas se realizan ensayos de tensión o de compresión estandarizados uno de ellos es lo
normado por la ASTM.
3.2.1. Ensayo de tensión.
Uno de los ensayos mecánicos esfuerzo-deformación más comunes es el realizado a tracción. Este
ensayo es utilizado para determinar varias propiedades de los materiales que son importantes para el
diseño. Normalmente se deforma una probeta hasta la rotura, con una carga de tracción que aumenta
gradualmente y que se aplica axialmente a lo largo del eje de una probeta. En la figura 1.21a se muestra
algunas probetas cilíndricas normalizadas y en la figura 1.21b se muestran probetas planas normalizadas.
Generalmente la sección de la probeta es circular, pero también se utilizan probetas de sección rectangular.
Durante el ensayo, la deformación está confinada en la región más estrecha del centro, la cual tiene una
sección uniforme a lo largo de su longitud. El caso de probetas cilíndricas el diámetro normalizado es
aproximadamente 12,8 mm (0,5 pulgadas), mientras que la longitud de la sección reducida de ser igual a

16
por lo menos cuatro veces su diámetro, siendo usual 60 mm. La longitud de prueba es de 50 mm (2
pulgadas) como se ve en la figura 1.21c.
(a) (b)
(c)
Figura 1.21. Probeta de tracción normalizada con sección circular
La probeta se instala con sus extremos en las mordazas de la máquina de ensayos de tracción como se
muestra en la figura 1.22. Máquina que se diseña para alargar la probeta a una velocidad constante, y para
medir continua y simultáneamente la carga instantánea aplicada (con una celda de carga) y el alargamiento
resultante (utilizando un extensómetro). El ensayo dura varios minutos y es destructivo, o sea la probeta del
ensayo es deformada de forma permanente y a menudo rota,
Figura 1.22. Máquina de ensayos de tracción con un sistema de procesamiento automático de datos.

17
3.2.2. Diagrama esfuerzo normal - deformación unitaria.
El resultado del ensayo se registra en una banda de papel como carga en función del alargamiento.
Estas características carga-deformación dependen del tamaño de la probeta. Para minimizar los factores
geométricos, la carga y la deformación son normalizadas para obtener los parámetros esfuerzo nominal y
deformación nominal, respectivamente ver la figura 1.23.
Figura 1.23. Muestra normalizada utilizada en ensayo de tracción
El esfuerzo nominal o de ingeniería σ se determina mediante la ecuación.
0A
P
 (1.31)
En donde P es la carga instantánea aplicada perpendicularmente a la sección de la muestra y A0 es el área
de la sección transversal original antes de aplicar la carga.
La deformación nominal o de ingeniería se define como
00
0
LL
LLi 
 

 (1.32)
Dónde: L0 es la longitud original antes de aplicar la carga, y Li es la longitud instantánea. Algunas veces Li
- L0 se expresa mediante δ y es el alargamiento producido por la deformación, o cambio en la longitud en
un instante determinado.
Si se grafican lo valores correspondientes de σ y ε, la curva se llama diagrama convencional de esfuerzo-
deformación unitaria. Este diagrama es importante ya que nos permite obtener la resistencia a tensión (o
compresión) de un material sin considerar la geometría del material. Sin embargo, debe de precisarse de
que nunca serán exactamente iguales los diagramas esfuerzo-deformación para un material particular, ya
que los resultados dependen entre otras variables de la composición del material, las imperfecciones
microscópicas, de la forma en que fueron fabricados, de la velocidad de la carga y de la temperatura de
ensayo.
A continuación discutiremos la curva convencional del acero, material muy utilizado en la fabricación de
componentes estructurales y mecánicos. En la figura 1.24 se muestra el diagrama σ – ε de una probeta de
acero. En dicha gráfica se observa cuatro maneras diferentes en que el material se comporta dependiendo
de la cantidad de deformación unitaria inducida en el material.

18
Figura 1.24. Diagrama esfuerzo-deformación para un acero estructural
Comportamiento elástico. Decimos que el material es elástico cuando recobra su forma original después de
la suspensión de la carga aplicada a ella. Este comportamiento elástico ocurre hasta cuando el material
alcanza el límite de proporcionalidad el diagrama σ – ε es prácticamente una línea recta. En estas
condiciones el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. El esfuerzo que le corresponde al límite
de proporcionalidad se llama esfuerzo elástico (σpl). Si el esfuerzo excede un poco el límite de
proporcionalidad el material todavía puede responder elásticamente. Sin embargo, la curva tiende a
aplanarse causando un incremento mayor en la deformación unitaria. Esto continúa hasta que el esfuerzo
alcanza el límite elástico. Para determinar este esfuerzo es muy complicado debido a la cercanía en que se
encuentran estos puntos.
Fluencia. Un ligero incremento del esfuerzo más allá del límite elástico provoca un colapso del material
ocasionando que el material se deforme permanentemente. Este comportamiento se llama fluencia. El
esfuerzo que origina la fluencia se llama esfuerzo de fluencia (σy) y la deformación que ocurre se llama
deformación plástica. En algunos aceros se encuentra dos valores para el límite de fluencia uno superior y
otro inferior pero una vez que se alcanza éste último el material se deforma sin la aplicación de carga.
Endurecimiento por deformación. Una vez que la fluencia termina, la aplicación de carga a la probeta
ocasiona que se eleve nuevamente pero más suavemente hasta alcanzar el esfuerzo último (σu). La
elevación en la curva se denomina endurecimiento por deformación.
(a) (b)
Figura 1.25. (a) Probeta de acero mostrando el inicio de la estricción y (b) probeta fracturada, observe la
formación del cono y la copa

19
Estricción. Cuando la probeta alcanza el esfuerzo último, comienza a experimentar una disminución en la
sección transversal en una zona localizada, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este efecto se debe al
reacomodo de los planos de deslizamiento que se forman dentro del material y las deformaciones
producidas se deben a esfuerzos cortantes. Como resultado aparece una estricción o cuello en la zona a
medida que la probeta se alarga cada vez más como se muestra en la figura 1.25a. Una vez que se alcanza
el esfuerzo cortante máximo la probeta fractura tal como se ve en la figura 1.25b.
3.2.3. Materiales Dúctiles y frágiles.
Materiales Dúctiles. Todo aquel material que puede experimentar deformaciones grandes antes de la
fractura se llama material dúctil. Esta propiedad mecánica hace que el ingeniero escoja a estos materiales
para el diseño de estructuras o elemento de máquinas por su capacidad de estos materiales para absorber
energía sin sufrir sobrecarga exhibiendo una deformación grande antes de fallar.
Una forma como expresar el grado de ductilidad de un material es el porcentaje de elongación o el
porcentaje de reducción de área en el momento de fractura. Esto es:
)%100(
L
elongacióndePorcentaje
0
0f
L
L
 (1.33)
)%100(
A
áreadereduccióndePorcentaje
0
0f
A
A
 (1.34)
Donde Af es el área de la sección transversal después de la fractura y A0 es el área de la sección trasversal
inicial.
Además del acero existen muchos otros materiales que tienen este comportamiento tales como el latón, el
molibdeno y el zinc experimentando curvas esfuerzo deformación análogas es decir presentan una zona
elástica, una zona de fluencia, una zona de deformación por deformación sufriendo una estricción para
llegar a fracturar. Sin embargo, muchos otros materiales no presentan fluencia más allá de la zona elástica.
El aluminio por ejemplo no presenta un punto de fluencia bien definido, y por consiguiente se ut iliza el
método de la desviación para determinar el esfuerzo de fluencia. Esto se consigue escogiendo una
deformación unitaria del 0,2% y desde este punto situado sobre el eje ε en el diagrama esfuerzo -
deformación se traza una recta paralela a la porción recta inicial de la curva. El punto de intersección de
esta línea con la curva define el esfuerzo de fluencia. Este criterio se muestra en la figura 1.26
Figura 1.26. Esquema donde se indica cómo se obtiene el esfuerzo de fluencia para el aluminio.
Materiales frágiles. Aquellos materiales que presentan poca o ninguna fluencia antes de la fractura se
denominan frágiles. Destacan entre otros la fundición gris, el concreto armado, el vidrio, etc. Estos
materiales en general son ensayados en máquinas de compresión tal como se muestra en la figura 1.27a. La
forma como se produce la fractura frágil está mostrada en la figura 1.26a. En el caso del concreto el
diagrama esfuerzo-deformación dependen fuertemente de la composición (agua, arena, grava y cemento);
del tiempo y de la temperatura de curado. En la figura 1.27c se muestra el diagrama esfuerzo-deformación
para el concreto. En él se observa que el esfuerzo de compresión máximo es de casi 12,5 veces mayor que
su esfuerzo de fractura a tensión. Por ello es que el concreto siempre se refuerza con acero en estructuras.

20
(a) (c)
Figura 1.27. (a) Máquina de compresión (b) Probeta fracturada de un material frágil y (b) rotura frágil de una
probeta de acero (c) Diagrama esfuerzo-deformación para una muestra de concreto.
3.2.4. Ley de Hooke.
En un ensayo de tracción, la relación esfuerzo normal y deformación unitaria normal en la región
lineal establece que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación normal, esto se traduce en la
expresión.
 E (1.35)
La ecuación (1.34) se conoce como ley de Hooke, siendo E la pendiente de la recta y se denomina módulo
de Young o módulo de elasticidad. Las unidades de E son las mismas que las del esfuerzo por ser la
deformación unitaria una cantidad adimensional.
3.2.5. Razón de Poisson.
Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza de tracción axial, no sólo se alarga sino
también experimenta una contracción lateral. Sucede el efecto inverso cuando las cargas son de
compresión. Estos casos se muestran en las figuras 1. 28a y 1.28b.
Al aplicar la carga P a la barra, su longitud se incrementa en una cantidad δ y su radio experimenta una
contracción δ’. Las deformaciones axial y lateral se expresan
L
long

  y
r
lat
'
  (1.36)
S. D. Poisson descubrió que dentro del rango elástico, la razón entre estas deformaciones unitarias es
constante. A esta relación se le llama módulo de Poisson (ν) y tiene un valor único para cada uno de los
materiales considerado homogéneo e isótropo, expresado por
long
lat


  (1.37)
El módulo de Poisson es adimensional y para la mayoría de materiales toma un valor dado por
5,00 
(b)

21
Figura 1.28. (a) Elemento sometido a carga de tensión y (b) elemento sometido a una carga de compresión
3.2.6. Diagrama esfuerzo-deformación unitaria por cortante.
La figura 1.29a, muestra una sección de un material homogéneo e isótropo, sometido a esfuerzos
cortantes, el efecto de tale esfuerzos ocasiona que el material se distorsione quedando como lo muestra la
figura 1.29b. La deformación angular unitaria a cortante será γxy.
Los materiales sometidos a esfuerzos cortantes también pueden ser estudiados en el laboratorio utilizando
muestras en forma de tubos y sometidos a pares torsores. Los datos obtenidos nos permiten determinar el
esfuerzo cortante y la deformación angular, con estos datos se traza un diagrama esfuerzo cortante-
deformación angular unitaria cortante. Este diagrama para un material dúctil se observa en la figura 1.29c.
Al igual que en el ensayo de tracción, este material exhibe un comportamiento elástico – lineal cuando se
somete a corte y tendrá un esfuerzo de proporcionalidad definido. También presenta un endurecimiento por
deformación hasta llegar al esfuerzo cortante último. Finalmente el material comenzará a perder su
resistencia al cortante hasta que se produce la fractura.
(a) (b) (c)
Figura 1.29. (a) Forma del elemento inicial (b) elemento después de ser sometido a esfuerzos cortantes y (c)
Diagrama esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante
Múltiples materiales de ingeniería presentan el comportamiento elástico lineal, de modo que el esfuerzo
cortante es proporcional a la deformación angular por cortante, cumpliéndose en estos casos también la ley
de Hooke
 G (1.38)
Donde G es el módulo de rigidez, su valor se determina calculando la pendiente de la línea recta en el
diagrama. Al igual que el módulo de Young el módulo de rigidez tiene las mismas unidades (N/m2).
Una relación muy importante que relaciona las tres constantes del material E, G y ν se da a continuación
 2 1
E
G



(1.39)

22
IV. ELEMENTOS AXIALES.
4.1. INTRODUCCIÓN.
En esta sección se analiza el método para determinar el esfuerzo normal en elementos estructurales o
mecánicos cargados axialmente, de otro lado se determina la deformación de estos elementos. Así mismo se
mostrará un método para determinar las reacciones en los soportes en los que se encuentran empotrados
elementos deformables.
4.2. DEFORMACIÓN DE MIEMBROS SOMETIDOS A CARGAS AXIALES
4.2.1. Miembro uniforme sometido a dos cargas axiales
Cuando una barra recta de sección uniforme es sometida a una carga axial en sus extremos,
experimentará una deformación constante y un esfuerzo constante como se mues tra en la figura 1.30.
Figura 1.30. Elemento de sección constante sometido a fuerzas axiales
Si no se sobrepasa el límite de proporcionalidad se puede aplicar la ley de Hooke para encontrar una
relación entre la deformación y la fuerza aplicada, es decir
 E







L
E
A
P 
EA
PL
 (1.40)
4.2.2. Miembro uniforme sometido a varias cargas axiales.
Si una barra está sometida a varias cargas axiales en diferentes puntos a lo largo de la barra, o si la
barra está compuesta por partes que tienen diferentes secciones de diferentes materiales tal como se
muestra en la figura 1.31, entonces el cambio de longitud de cada una de las parte se determina utilizando
la ecuación (1.40). Finalmente el cambio total de longitud de la barra compuesta se determina sumando
algebraica las deformaciones individuales de cada porción. Esto es
ii
ii
i
AE
LP
  (1.41)

23
Donde Ai y Ei son ambos constantes para el segmento i-ésimo y la fuerza Pi es la fuerza interna en el
segmento i-ésimo de la barra, fuerza que es calculada a partir de las ecuaciones de equilibrio.
Figura 1.31. Elemento sometido a varias fuerzas
4.2.3. Elemento de sección no uniforme sometido a carga axial variable.
Para aquellos casos en los cuales la fuerza axial es variable o el área transversal varía continuamente
como se muestra en la figura 1.32a, la ecuación (1.40) no es aplicable. Para determinar la deformación se
divide al elemento estructural en elementos diferenciales en forma de obleas de longitud dx y área A(x). El
DCL de la oblea muestra que la fuerza interna sobre ella es P(x). Esta carga deformará a la oblea en una
cantidad dδ tal como se ve en la figura 1.32b.
Figura 32. (a) Elemento de sección variable sometida a carga axial variable y (b) Oblea de material
utilizada para determinar la deformación en el elemento
El esfuerzo y la deformación unitaria en el elemento son
)(
)(
xA
xP
 (1.42)
dx
d
  (1.43)
Si se cumple con la ley e Hooke, se tiene
 E







dx
d
E
xA
xP 
)(
)(
dx
xEA
xP
d
)(
)(
 (1.44)
Para determinar la deformación total de la barra se procede a integrar la ecuación (1.44) sobre toda la
longitud del elemento estructural. Esto es

L
xEA
dxxP
0 )(
)(
 (1.45)*

24
4.3. ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE ESTÁTICAMENTE INDETERMINADO.
Cuando una barra tal como se muestra en la figura 1.33, está sometida a una fuerza axial, la aplicación de
las ecuaciones de equilibrio a lo largo del eje nos permite determinar la reacción en el soporte fijo. Este tipo de
problema se llama estáticamente determinado. Por el contrario si la barra esta empotrada en ambos extremos
como se muestra en la figura 1.33a, el DCL de dicha barra (figura 1.33b) muestra que existen dos reacciones
desconocidas.
La ecuación de equilibrio de fuerzas se expresa
0 0y B AF F F P      (1.46)
(a) (b)
Figura 1.33. (a) Elemento estáticamente indeterminado y (b) DCL del elemento
Debido a que la ecuación estática por sí sola no permite determinar las reacciones, este problema es estáticamente
indeterminado.
Para resolver el problema se utiliza la geometría de las deformaciones. Especificándose una ecuación que
determina las condiciones de desplazamiento llamado condición de compatibilidad. En este caso es el
desplazamiento relativo de un extremo de la barra respecto al otro el mismo que es igual a cero ya que los muros
no ceden. Por tanto
0/ BA (1.47)
Esta ecuación puede expresarse en términos de las cargas aplicadas obteniéndose
0
EA
LF
EA
LF BCBACA
(1.48)
La solución de las Ecuaciones (1.45) y (1.47) permite obtener las reacciones en los soportes.







L
L
PF CB
A 






L
L
PF AC
B (1.49)
V. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN.
Consideremos una barra BC de longitud L y sección transversal A, empotrada en B y sometida a una carga axial P
que se incrementa lentamente como se muestra en la figura 1,33a. Si se traza una gráfica P en función de δ se
obtiene una curva como se muestra en la figura 1.33b la cual es característica de la barra BC.

25
El trabajo 𝑑𝑈 realizado por P cuando la barra se alarga una pequeña cantidad 𝑑𝛿 es igual al producto de la
magnitud de P y el desplazamiento 𝑑𝛿, esto es
dU Pd (1.50)
El trabajo total cuando l barra experimenta una deflexión 𝛿 será
U Pd  (1.51)
Y es igual al área bajo la curva P Vs δ.
El trabajo realizado por 𝑃⃗⃗, cuando se aplica lentamente a la barra, debe producir el incremento de alguna energía
asociada con la deformación de la barra- Esta energía se llama energía de deformación y se expresa como
1
0deformaciònE U Pd

   (1.52)
En el caso de deformaciones lineales y elásticas la relación P – δ, es una línea recta cuya ecuación es 𝑃 = 𝑘𝛿,
entonces la energía se escribe
2
0
1 1
( )
2 2
1
2
E k d k k
E P

    

  


Si las deformaciones están en el rango elástico se cumple que  = 𝑃𝐿
𝐸𝐴⁄ , entonces la energía es
2
2
1 1
2 2
1 1
2 2 2
PL
E P P
EA
P L EA
E
EA L


 
   
 
 
(1.53)
Para barras de secciones variables sometidas a cargas externas variables, la energía se determina usando la
ecuación
1
2
0 2
x
x
x
P dx
E
EA
  (1.54)
Densidad de Energía. Se define como la energía por unidad de volumen, esto es

26
1
0
0
E
E x
E Pd
V AL
d




  
 



(1.54)
Donde 𝜀1 es la deformación correspondiente a la elongación 𝛿1. Para el caso en que 𝜀1 = 𝜀 𝑅 = deformación de
ruptura, se conoce como tenacidad del material. Por tanto la tenacidad de un material es igual al área bajo la
gráfica esfuerzo-deformación.
Por otro lado si el esfuerzo aplicado permanece dentro del límite elástico (proporcionalidad) se cumple la ley de
Hooke ( 𝜎 = 𝐸𝜀 𝑥
) entonces la densidad de energía es
1 1
0 0
2
2 1
1
1
2 2
E x x x
E
d E d
E
E
 
    

 
 
 
 
(1.55)
Si el esfuerzo correspondiente es el de fluencia, a la densidad de energía se le llama módulo de resilencia
2
2
f
resilencia
E

  (1.56)

27
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 01
Dos barras sólidas cilíndricas están soldadas en B como
se muestra en la figura. Halle el esfuerzo normal en el
punto medio de cada barra.
Solución
Para determinar el esfuerzo en cada una de las secciones
de las barras, se determina las fuerzas internas en cada
una de ellas. Para esto se traza el DCL de cada porción
de la barra y se aplica las ecuaciones de equilibrio.
En la figura (a) se muestra el DCL para la barra AB y
en (b) el DCL para ABC
Ecuaciones de equilibrio para la barra AB
)1........(..............................30
0
kNF
PF
F
AB
AB
y



Ecuaciones de equilibrio para la barra ABC
kNF
kNkNF
F
BC
BC
x
70
4030
0



Los esfuerzos en cada una de las barras serán
Barra AB
 
..........................4,42
10.30
120
4/
30
2232
RtaMPa
m
kN
d
kN
A
F
AB
AB
AB
AB






Barra BC.
 
RtamMN
m
kN
d
kN
A
F
BC
BC
BC
BC
........................./65,35
10.50
280
4/
70
2
2232






Problema 02
Una barra homogénea AB de 150 kg de masa soporta
una fuerza de 2 kN, como puede verse en la figura. La
barra está sostenida por un perno en B y un cable CD de
10 mm de diámetro. Determine el esfuerzo ejercido en
el cable.
Solución
En la figura se muestra el DCL de la barra homogénea
AB, cuyo peso es W = 1470 N
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
     
0
2000 6 3 3
4
12000 4410 3
5
6837,5 ..................................(1)
B
CD
CD
CD
M
N m W m F sen m
F
F N

 
 
 
   
 


28
Conocida la fuerza FCD (tensión), el esfuerzo estará
dado por
 
 
.........................................1,87
10.10
4,68394
4/
4,6839
2232
RtaMPa
m
N
d
N
A
F
CD
CD
CD
CD






Problema 03.
Sabiendo que la porción central del eslabón BD tiene
una sección uniforme de 800 mm2
. Determine la
magnitud de la carga P para la cual el esfuerzo normal
en la barra BD sea de 50 MPa. φ
Solución
Datos e incógnitas
??;..800;..50 2
 PmmAMPa BDBD
En la figura se muestra el DCL de ABC
   
2 2 2 2
0
1,4 cos 1,4 1,4 30º
0,56 1,92 3
20,56 1,92 0,56 1,92
BM
Qsen Q P sen
Q P
 
 
  
 
  
   
2 2
2 0,56 1,92
3 0,56 1,92
Q
P
 
  
  
 
2 2,48
3 2
33066,7 .......................... .
BD BDP A
P N Rta

 
  
 

Problema 04
Se quiere punzonar una placa, tal como se indica en la
figura, que tiene un esfuerzo cortante último de 300
MPa. (a) si el esfuerzo de compresión admisible en el
punzón es de 400 MPa, determine el máximo espesor de
la placa para poder punzonar un orificio de 100 mm de
diámetro. (b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm,
calcular el máximo diámetro que puede punzonarse.
Solución
Datos e incógnitas
τ u = 300 MPa, σ ad =400 MPa, e = ??; d =
100 mm;
e1 =10 mm; d1 =??.
En primer lugar se determina la relación entre la carga
de rotura de la placa y el esfuerzo cortante
)1.(.................................
2
2
RR
RRRR
deP
e
d
AP
















Como se conoce el esfuerzo máximo de compresión, se
determina la carga máxima necesaria que se debe
aplicar para poder punzonar la placa, esto es
)2..(....................
4
. 2
maxmax
maxmax










d
P
AP



El corte de la placa se producirá cuando la carga de
rotura es igual a la carga axial admisible

29
)3.........(..............................maxPPR 
Remplazando las ecuaciones (1) y (2) en (3), se tiene
 
 
...................................3,33
3004
400100
4
4
.
...
max
2
max
Rtamme
MPa
MPammd
e
d
de
R
R















El valor de dmax si e1 =10 mm, será
 
............................................30
400
300
1044
max
Rtammd
MPa
MPa
mmdd R


















Problema 05
Si la palanca representada en la figura está en
equilibrio. (a) Determinar el diámetro de la barra AB si
el esfuerzo normal está limitado a 100 MPa. (b)
Determinar el esfuerzo cortante en el pasador situado en
D, de 20 mm de diámetro.
Solución
Datos e incógnitas
mmddMPa PPABAB 20??;..??;..;..100  
En la figura se muestra el DCL de la palanca
   
)3.(..............................31177
24,0º30300002,0
0
)2.......(....................315000
º6030000
0
)1.....(....................15000
º60cos30000
0
NP
msenmP
M
ND
NsenD
F
NPD
NPD
F
D
y
y
y
x
x
x









Remplazando la ecuación (3) en (1), resulta
)4(..............................46177
1500031177
ND
NND
x
x


La fuerza de reacción en la articulación D, sera
)5.........(..............................52984
2598146177 2222
ND
DDD yx


Parte (a). Cálculo del diámetro de la barra AB. De la
definición de esfuerzo normal, se tiene
 
 
...........................9,19
10.100.
311774
.
4
.
4
6
2
Rtammd
P
d
d
P
A
P
AB
AB
AB
AB
AB






Parte (b). Para determinar el esfuerzo cortante en el
pasador D de 20 mm de diámetro, primero se
determina la fuerza cortante, esto es
La ecuación de equilibrio proporciona

30
)6......(....................26492
529842
0
NP
NDP
F
t
t
y



El esfuerzo cortante será
 
 
..................33,84
10.20
2649244
32
RtaMPa
m
N
d
Pt

 



Problema 06
Dos barras cilíndricas sólidas unidas en B están
cargadas como se muestra en la figura. La barra AB es
de acero (E = 200 GPa) y la barra BC es de latón (E =
105 GPa). Determinar: (a) La deformación total de la
barra compuesta; (b) La deflexión del punto B.
Solución
Datos e incógnitas
.????;..;..105;..200  BTACAB GPaEGPaE 
En primer lugar se determina las fuerzas internas en
cada una de las barras. Para ello se traza el DCL de las
diferentes pociones tal como se ve en la figura
Barra AB
)1.......(....................30
0
kNF
F
AB
y


Barra BC
 
)2.........(....................70
4030
0
kNF
kNkNQPF
F
BC
BC
y



La deformación total de la barra será
   
...............................155,0
102,0053,0
05,0
4
10.105
3,070000
03,0
4
10.200
25,030000
2929
Rtamm
mmmm
AE
LF
AE
LF
AE
LF
BCBC
BCBC
ABAB
ABAB
ii
ii
















 





La deflexión del punto B, viene expresado por el
acortamiento de la varilla BC.
 
............................102,0
05,0
4
10.105
3,070000
29
Rtamm
AE
LF
B
BCBC
BCBC
B











Problema 07.
Un bloque prismático de concreto de masa m ha de ser
suspendido de dos varillas cuyos extremos están al
mismo nivel, tal como se muestra en la figura.
Determinar la relación de las secciones de las varillas,
de tal manera que el bloque no se desnivele.
Solución
Datos e incógnitas
“m”; Eac = 200 GPa; Lac= 3 m; EAl = 70 Gpa
LAl = 6 m; AAl/Aac = ??
En la figura se muestra el DCL del bloque

31
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
   
0
...................................(1)
0 5 3
3
.................................(2)
5
y
ac al
A al
al
F
F F mg
M F m mg m
F mg
 
 
   

Remplazando la ec.(2) en (1), se tiene
)3.......(....................
5
2
5
3
mgF
mgmgF
ac
ac


Como el bloque no debe desnivelarse, entonces las
deformaciones de las varillas de acero y de aluminio
deben ser iguales, es decir
200 6 3 /5
70 3 2 /5
8,57........................ .
ac ac al al
ac al
ac ac al al
al ac al al
ac al ac ac
al
ac
F L F L
E A E A
A E L F
A E L F
GPa m mg
GPa m mg
A
Rta
A
   
   
    
   
   
    
   

Problema 07
Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente
rígidas, están articuladas en A y en D y separadas en C
mediante un rodillo, como se muestra en la figura. En B
una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN.
Determinar el desplazamiento vertical del rodillo
situado en C, así como el desplazamiento del punto B.
Solución
Datos e incógnitas
????;..;..3
;300;..200;..50 2


BCac
acac
mL
mmAGPaEkNP

En la figura se muestra el DCL de la barra rígida CD
Aplicando la segunda condición de equilibrio, se tiene
   
)1.........(....................25000
4250000
0
NN
mNmN
M
C
C
D



En la figura se muestra el DCL de la barra rígida ABC
Al aplicar la segunda condición de equilibrio, se tiene
   
 
)2.......(....................37500
250005,43
35,4
0
NF
NF
mFmN
M
ac
ac
acC
A




Para determinar las deflexiones, se grafica la barra ABC
después de aplicada la carga P = 50kN.
Del gráfico por triángulos semejantes, se tiene
)3....(....................5,1
5,43
acC
Cac





32
La deflexión del punto B, será
 
.................................87,1
10.30010.200
)3(37500
69
Rtamm
AE
LF
B
B
acac
acac
acB







...........................8,1 Rta
B

La deflexión del punto C será
 
............................80,2
87,15,1
Rtamm
mm
C
C




Problema 08
El conjunto consta de tres barras de titanio y una barra
rígida AC. El área de la sección transversal de cada
barra se da en la figura. Si se aplica una fuerza vertical
de P = 20 kN al anillo F, determine el desplazamiento
vertical del punto F. Considere que ETi = 350 GPa.
Solución
Datos e incógnitas
??;..350;..20  FTi GPaEkNP 
En la figura se muestra el DCL de la barra rígida AEC
   
0
20 ...................(1)
0
1,25 20 0,5
8 .......................(2)
Y
AB CD
A
CD
CD
F
F F kN
M
F m kN m
F kN
 
 
 


Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
)3.(....................12
208
kNF
kNkNF
AB
AB


En la figura se muestra la relación entre las
deformaciones
Por semejanza de triángulos, se tiene
 
 
  
 
33
9 6 9 6
3 4
1,67 0,67
0,75 1,25
1,67 0,67
0,67 8.10 212.10 2
350.10 60.10 350.10 45.10
1,67 1,14.10 6,8.10
1,08 .......................(4)
E CD AB CD
E AB CD
E
AB CD
E
E
FL FL
EA EA
m m
mm
   
  



 
 
 
   
   
    
   
 
 

La deformación de la barra EF, está dado por
 
 
)5........(....................14,1
10.7510.350
5,110.20
69
3
mm
EA
FL
EF
EF
EF







 


El desplazamiento del punto F, será
.................22,2
14,108,1
Rtamm
mmmm
F
EFEF




Problema 09
La viga rígida horizontal ABCD está soportada por
barras verticales BE y CF y está cargada por fuerzas
verticales P1 = 90 kip y P2 = 80 kip que actúan en los
puntos A y D, respectivamente, como se muestra en la
figura. Las barras BE y CF son de acero (E = 29.106

33
psi) y tienen un áreas transversales de ABE =19,5 pul2 y
ACF =16.8 pul2. Determinar los desplazamientos
verticales de los puntos A y B.
Solución
Datos e incógnitas.
????;..lg;3,18
lg1,22;..5,29;90,..100


ADCF
BE
puA
puAksiEkipQkipP

En la figura se muestra el DCL de la viga ABCD.
     
)2..(....................110
89061006
0
)1(....................190
0
kipF
pkippkippF
M
kipFF
F
CF
CF
B
CFBE
y





Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), resulta
)3..(....................80
190110
kipF
kipkipF
BE
BE


En la figura se muestra el diagrama de los
desplazamientos de cada una de las barra cuando se
aplican las cargas externas
  
 
 
 
3 3
6 6
3 3
3
6 12
2 ´ 2
2 80.10 12 110.10 9
29.10 22,1 29,5.10 18,3
2,895.10 1,83.10
1,12.10 .........................(4)
CF ABE A
A BE CF
BE CF
A
A
A
FL FL
EA EA
pie pie
pies
  
  



 



   
      
   
 
 

Calculemos ahora el desplazamiento del punto
 
 
......................10.29,2
)10.73,310.9,410.12,1(
10.12,110.47,1
3
10
10.12,110.47,1
3
10
206
3
333
33
33
Rtapie
pie
pie
pie
D
D
AD
AD
ADABE
















Problema 10
Cada uno de los conectores AB y CD es de acero
(29.106 psi) y tienen una sección transversal uniforme
de 0,25 pulg x 1 pulg. Halle la mayor carga que puede
suspenderse de E si la deflexión del punto E no debe
pasar de 0,01 pulg.
Solución
Datos e incógnitas
??lg;..25,0,..29 max  PpuAksiE
En la figura se muestra el DCl de la barra rígida BCE.

34
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene.
0
0
0
(10 lg) (25 lg) 0
2,5 ............(2)
Y
CD AB
CD AB
B
CD
CD
F
F F P
F F P
M
F pu P pu
F P
 
  
 
 
 

Remplazando la ec (2) en la ec.(1), resulta
)3..(....................5,1
5,2
PF
PFP
AB
AB


Asumiendo que las fuerzas en las barras AB y CD son
de tensión, las deflexiones de los puntos B y C son:
 
6 2
6
8 lg
1
29.10 / lg 1 lg
4
1,1.10 ..............(4)
AB
B
AB
B AB
F puFL
EA
lb pu x pu
F

 
 
  
  
 
 

 
6 2
6
8 lg
1
29.10 / lg 1 lg
4
1,1.10 ...................(5)
CD
C
CD
C CD
F puFL
EA
lb pu x pu
F

 
 
  
  
 
 

En la figura se muestra el diagrama de las
deformaciones
)7(..........
15
15
)6.........(
10
10
CB
CCE
CB
CCB
x
xx
x
xx










De las ecuaciones (6) y (7), resulta
    )8.......(..........1015 CECB  
Teniendo en cuenta que δE =0,01 pulg, la ecuación (8),
se escribe
)9..(..........lg1,02515 puCB  
Remplazando las ec. (4) y (5) en (9), resulta
....Rta...........lbf.......1066P
Problema 11.
La plataforma rígida de la figura tiene una
masa despreciable y descansa sobre dos barras de
aluminio, cada una de 250 mm de longitud. La barra
central es de acero y tiene una longitud de 249,9 mm.
Calcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que la
carga central P de 400 kN se haya aplicado. Cada barra
de aluminio tiene un área de 120 mm2 y un módulo de
elasticidad de 70 GPa. La barra de acero tiene un área
de 2400 mm2 y un módulo elástico de 200 GPa.
Solución
Datos e incógnitas
.??;..200
2400;..70;..120
;400;..2499,0;..25,0
22



acac
acalal
acal
GPaE
mmAGPaEmmA
kNPmLmL

En al figura se muestra el DCL de la placa rígida.
Además se supone que P también deforma al acero.

35
3
3
0
2
2 400.10
2 400.10 ..............(1)
y
al ac
al ac
al al ac ac
F
F F P
F F N
A A N 
 
 
 
 
Independientemente a la ecuación de equilibrio estático
se determina la relación entre los esfuerzos a través de
la relación entre las deformaciones, esto es
   
)2(..........10.2834986,0
10.1,0
10.200
2499,0
10.70
25,0
..
6
3
99
















acal
acal
acal
acal
m
E
L
E
L




Sustituyendo la ec. (2) en (1), resulta
 6 4 4 3
2 0,35 28.10 (1,2.10 ) 2,4.10 400.10ac ac  
  
Simplificando, resulta
..............7,163 RtaMPaac 
Problema 12.
Una barra rígida, de masa despreciable, está articulada
en un extremo y suspendida de una varilla de acero y
una de bronce, según se muestra en la figura. ¿Cuánto
vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder
un esfuerzo en el acero de 120 MPa ni uno en el bronce
de 70 MPa?.
Solución
Datos e incógnitas
.70;..120??;..max MPaMPaP brac  
En la figura se muestra el DCL de la barra AB
Aplicando las ecuaciones de equilibrio a la barra, se
tiene
     
)1.....(..........652
652
652
0
PAA
PFF
mPmFmF
M
brbracac
brac
brac
A





En la figura se muestra la geometría de las
deformaciones
)2..(....................56,1
5,2
5,2
52
acbr
ac
acac
br
brbr
acbr
brca
E
L
E
L








La ec. (2), determina una relación que debe existir
necesariamente entre esfuerzos, es evidente que si se
llega a σac = 120 MPa, se sobrecarga el bronce por
alcanzar según la ec. (2) un esfuerzo de 186,7 MPa. Por
lo tanto es el esfuerzo en el bronce el que limita la carga
y entonces el esfuerzo en el acero será
)3..(....................87,44
56,170
MPa
MPa
ac
ac




Remplazando el valor máximo del esfuerzo en el bronce
y el valor del esfuerzo obtenido para el acero, en la
ec.(1), se obtiene
     
...............96,30
610.30010.70510.90010.87,442 6666
RtakNP
P

 

36
Problema 13.
Las dos barras de aluminio AB y AC tienen diámetros
de 10 mm y 8 mm, respectivamente. Determinar la
fuerza P máxima vertical que puede ser soportada. El
esfuerzo admisible de tensión para el aluminio es σad
=150 MPa.
Solución
En la figura se muestra el DCl del nudo A
0
45º
2......................(1)
y
AB
AB
F
F sen P
F P
 


0
cos 45º
1
2
2
.........................(2)
x
AC AB
AC
AC
F
F F
F P
F P
 

 
  
 

Utilizando el esfuerzo admisible, se tiene
 
 23
6
2
10.10
24
10.150
4
2






P
d
P
A
F
AB
AB
AB
adAB
Despejando el valor de P se tiene
)3....(..........4.8330 NP 
Utilizando el esfuerzo admisible para la barra AC, se
tiene
 
 
....................82,7539
10..8
4
10.150
4
2
23
6
2
RtaNP
P
d
P
A
F
AC
AC
AC
adAC







Problema 14.
Una barra de cobre AB sometida a una carga
de tensión P = 500 kN, cuelga de un perno sostenido
por dos pilares de acero. La barra de cobre tiene una
longitud de 10 m, área transversal de 8100 mm2 y un
módulo de elasticidad EC =103 GPa. Cada pilar de
acero tiene una altura de 1 m, un área A= 7500 mm2
y
E = 200 GPa. Determinar el desplazamiento δ del punto
A.
Solución
Datos e incógnitas
.200
7500;..1;..103
;8100;..10;..500
2
2
GPaE
mmAmLGpaE
mmAmLkNP
ac
acaccu
cuCu



En la figura se muestra el DCL de una porción de la
barra AB
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se obtiene
)1.....(....................500
0
kNPF
F
AB
y


La deformación será

37
 
 
)2.........(....................99,5
10.810010.103
10)10.500(
/
69
3
/

 
mm
AE
LF
BA
ABAB
ABAB
BA


En seguida se determina la deformación de cada una de
las barra de acero. Para ello se traza el DCL del perno,
en donde actúan las fuerzas: F1 ; F2 y la fuerza exterior
P
)3(....................2502
0
11
21
kNFPF
PFF
Fy



Del diagrama de una porción de la barra de acero se
obtiene la fuerza interna en el acero
Las ecuaciones de equilibrio nos da
)4.(..............................250
0
1 kFF
F
ac
y


La deformación de las barras de acero con respecto al
punto fijo D es
 
 
)5.(..............................167,0
10.750010.200
110.250
/
69
3
/







 
mm
EA
FL
DE
ac
DE


El desplazamiento del punto A será
..................16,6
167,099,5//
Rtamm
mmmm
A
DEBAA




Problema 15.
Una barra vertical de acero ABC tiene una longitud L1
= 0,5 m y un área de sección transversal A1 = 160 mm2
desde A hasta B; una longitud L2 = 0,8 my un área A2 =
100 mm2 desde B hasta C como se ve en la figura. En el
punto C actúa una carga P1 = 10 kN. Un brazo
horizontal BD está articulado en B con la barra vertical
y soporta una carga P2 = 26 kN en el extremo D.
Calcular la deflexión vertical δ en el punto C. Considere
que a = b y E = 200 GPa para el acero, además
desprecie el peso de la barra.
Solución
Datos e incógnitas
??;..200;..26;..10
100;.8,0;.160;.5,0
21
2
22
2
11


CGPaEkNPkNP
mmAmLmmAmL

En la figura se muestra el DCL de la barra horizontal
BDE.
   
)1.........(..........26PP
tienseb,a
0
2
2
kNP
como
bPaP
MO




En la figura se muestra el DCL de la barra compuesta
ABC

38
Trazando el DCL de una porción de barra BC se
procede a determinar la fuerza interna en BC.
)2......(..........10
0
1 kNFPF
F
ACAC
y


En la figura se muestra una porción de la barra ABC
para determinar la fuerza interna en AB
)3..(162610
0
1
kNFkNkNF
PPF
F
ABAB
AB
y



Calculo de la deflexión total del punto C
 
 
 
 
..............................10.5,1
10.410.25
10.10010.200
8,010.10
10.16010.200
5,010.16
4
44
69
3
69
3
Rtam
mm
m
EA
FL
EA
FL
C
BCAB
BCABC
























Problema 16
Una varilla está formada de tres partes distintas, como
se muestra en la figura, y soporta las fuerzas axiales P1
= 120kN y P2 = 50kN. Determinar los esfuerzos en cada
uno de los materiales si cada uno de los extremos está
firmemente empotrado en muros rígidos e
indeformables. Considere para el acero: L = 300mm; A
= 600mm2; E = 200GPa, para el aluminio L = 400 mm;
A = 1200 mm2, E = 70 GPa y para el bronce: L = 600
mm; A = 2400 mm2; E = 83 GPa.
Solución
En la figura se muestra el DCL de la barra compuesta
)1....(....................170
50120
0
21
kNRR
kNkNRR
PPRR
F
BA
BA
BA
x




Para determinar la fuerza interna en la barra de acero, se
traza el DCL de una porción de ella como se muestra en
la figura y se aplica las ecuaciones de equilibrio
)2.........(.......................
0
tensiónRF
F
Bac
x


Para determinar la fuerza interna en el bronce se traza el
DCL tal como se muestra en la figura y se aplica las
ecuaciones de equilibrio

39
)3.(.........................
0
nCompresiónRF
F
Abr
x


Para determinar la fuerza interna en el aluminio se traza
el DCL tal como se muestra en la figura y se aplica las
ecuaciones de equilibrio
10
............ ........(4)
x A al
al A
F R F P
F P R tensión
    
 
Por condición del ejercicio, como los muros no ceden la
deformación total es nula, entonces
 
 
  
 
 
 
0
0,6 120 ,4 0,3
0....(5)
83 2400 70 1200 200 600
br al ac
A A B
FL FL FL
EA EA EA
R R o R
     
       
     
 
  
Resolviendo simultáneamente las ec. (1), (2), (3), (4) y
(5), resulta
tensiónkNF
tensiónkNRF
compresiónkNRF
al
Bac
Abr
...........01,23
...01,73
....99,96



Finalmente los esfuerzos serán
MPa
A
F
MPa
A
F
MPa
A
F
br
br
br
br
al
al
ac
ac
ac
4,40
10.2400
10.99,96
17,19
10.1200
10.01,23
7,121
10.600
10.01,73
6
3
6
3
6
3









Problema 17.
La junta está sometida a la fuerza axial de miembro de 6
kip. Determine el esfuerzo normal medio que actúa
sobre las secciones AB y BC. Suponga que el miembro
es liso y que tiene 1,5 pulg de espesor.
Solución
En la figura se muestra el DCL de la cuña.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio
(1)3000º70cos
º60cos6000º70cos
0



BCAB
BCAB
x
FF
FF
F
(2)5529
º606000º70
0
lbF
sensenF
F
BC
BC
y



Remplazando la ec (2) en (1), se tiene
(3)4891
º70cos55293000
lbF
F
AB
AB


El esfuerzo normal medio está dado por
Rta.lg/819
lg)5,1lg(5,4
5529
Rta.lg/1630
lg)5,1lg(2
4891
2
2
pulb
pupu
lb
A
F
pulb
pupu
lb
A
F
AB
BC
BC
BC
AB
AB
AB
AB








Problema 18.
La estructura de dos miembros está sometida a la carga
mostrada. Determine el esfuerzo normal medio y el
esfuerzo cortante medio que actúa en las secciones a-a
y b-b. El elemento estructural CB tiene una sección
transversal cuadrada de 2 pulg por lado.

40
Solución
En la figura se muestra el DCL de la viga AB.
(1)68,135
.300)8(80)8(º60
0
lbF
pielbmlbmsenF
M
BC
BC
A



El esfuerzo normal medio en la sección a-a
Rta.lg/92,33
lg)2lg(2
68,135
2
pulb
pupu
lb
A
F
AB
BC
BC
BC




Se determina el normal y cortante medios en la sección
b-b, para esto se determina las fuerzas internas
Del diagrama se tiene
lbF
sensenFF
lbF
FF
n
BCn
t
BCt
84,67
º3068,135º30
50,117
º60cos68,135º30cos




Se procede a determinar el área de acción de Ft y Fn
lg)3lg)(4(lg)2)(( pupupuxAA tn 
Los esfuerzos normal y cortante medios serán
Rta.lg/68,14
lg)2lg(4
50,117
Rta.lg/48,8
lg8
84,67
2
2
2
pulb
pupu
lb
A
F
pulb
pu
lb
A
F
bb
t
t
bb
bb
n
n
bb












Problema 19.
La barra BC está hecha de acero cuyo esfuerzo
admisible de tensión es σadm =155 MPa. Determine su
diámetro más pequeño para que pueda soportar la carga
mostrada. Suponga que la viga está conectada por un
pasador en A.
Solución.
En primer lugar se procede a determinar la resultante de
las fuerzas distribuidas que actúan sobre la viga.
  
   NmNmF
NmNmF
11250/150005,1
2
1
22500/150003
2
1
2
1


Se traza el DCL de la viga rígida AB
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se determina la
fuerza en A.
   
NF
FmmNmN
mFmFmF
M A
15000
)5,4()5,2(22500)1(11250
5,45,2)1(
0
12





41
Se procede a determinar el diámetro “d”.
Rta.mm10.11
/10.155(
)15000(44
4/
26
2



d
mN
NF
d
d
F
A
F



Problema 20.
La viga rígida AC está soportada por las barras AB y
CD cuyos diámetros son de 10 mm y 15 mm,
respectivamente. Determine la intensidad w de la carga
distribuida de manera que el esfuerzo normal medio en
cada barra no exceda de 150 MPa.
Solución.
En la figura se muestra el DCL de la viga AC rígida de
masa despreciable.
 
(2)
3
2
4)6(
0M
(1)
0
A
R
CD
RCD
RCDAB
y
F
F
mFmF
FFF
F





Remplazando la ecuación (2) en (1), se tiene
(3)
3
3
2
R
AB
RRAB
F
F
FFF


La fuerza resultante de las fuerzas distribuidas es igual
al área
     
(4)3
6
2
1
2
1
wF
wmalturabaseF
R
R


Remplazando la ec. (4) en (2) (3), resulta
 
  (6)3
3
1
F
(5)23
3
2
AB wFw
wFwF
AB
CDCD


Sustituyendo el valor del esfuerzo dado en el enunciado
del problema, el varilla CD, resulta
 
(7)/6,13253
210.15
4
/150
2
4
/10.150
232
226
mNw
wmmMN
wdmN
FA CDCDCD

















Sustituyendo el valor del esfuerzo dado en el enunciado
del problema, el varilla AB, resulta
 
(7)/9,11780
10.10
4
/150
4
/10.150
232
226
mNw
wmmMN
wdmN
FA ABABAB

















De las ecuaciones (7) y (8) se concluye que la
intensidad w menor que se puede aplicar sin sobrepasar
el valor del esfuerzo admisible es w = 11780,9 lb.
Problema 21.
Una estructura simple se usa para sostener una carga de
65 kN, tal como se muestra en la figura. Determine: (a)
el diámetro mínimo del tirante AB si el esfuerzo normal
en la varilla se limita a 100 MPa. (b) Los diámetros
mínimos para los pasadores A y B si el esfuerzo
cortante en los seguros se limita a 70 MPa. (c) El
diámetro mínimo para el seguro C si el esfuerzo
cortante en el seguro se limita a 85 MPa.

42
Solución
En la figura se muestra el DCL de la estructura BCD
(1)
13
5
65
5
3
cos65
0









ABx
ABx
x
FC
senFC
F

(2)
13
12
65
5
4
65cos
0









ABx
ABx
y
FC
senFC
F

     
 
(3)25.181
360754
5
3
6
13
12
653
13
5
654
0
kNF
kNkNF
mmmsenF
M
AB
AB
AB
C






















Remplazando las ec. (3) en (1) y (2)
(4)75.83
2525,181
5
3
kNC
kNkNC
x
x








(5)205
6025,181
5
4
kNC
kNkNC
x
y








La reacción en la articulación C será
(6)45.221
20575.83 22
22
kNR
CCR
C
yxC



Se procede a determinar el diámetro del tirante AB.
Como éste está sometido a esfuerzo normal se tiene.
2
4
d
F
A
F AB
AB
AB

 
 
 6
10.100
18125044

 ABF
d
mmd 48 (Rta)
El diámetro mínimo del segura en A y B se determina
utilizando la definición de esfuerzo cortante y
observando que ambos pasadores actúan a cortante
simple.
2
4
d
F
A
F t
t
t

 
 6
10.79
)181250(44

 tF
d
mmd 57 (Rta)
El diámetro mínimo del seguro C se determina
utilizando la definición de esfuerzo cortante y
observando que el pasador también está sometido a
cortante simple.
2
4
d
R
A
R C
t
C

 
 6
10.85
)221450(44

 CR
d
mmd 58 (Rta)
Problema 22.
Una barra rígida AD está sostenida por dos varillas,
como se muestra en la Fig. No hay deformación unitaria
en las barras verticales antes de aplicar la carga P.
Después de aplicar la carga P, la deformación unitaria
axial en la varilla BF es de 400 μm/m. Determine: (a) la
deformación unitaria axial en la varilla CE; (b) la
deformación unitaria axial en la varilla CE si hay un
espacio libre de 0,25 mm en la conexión del seguro C
antes de aplicar la carga.

43
Solución
Datos e incógnitas.
εBF = 400.10-6m/m; εCE
En primer lugar se determina el desplazamiento del
punto B.
)1(/10.400 6
mmmL
L
BFB
BF
B 
 


mB
6
10.400 
 (1)
En la figura se muestra el diagrama de desplazamientos
de la estructura
Utilizando triángulos semejantes se tiene
 
m
m
mmmm
C
BC
BC
6
6
10.1200
10.40033
80240








La deformación unitaria en la varilla CE será
(Rta)/10.2
10.600
10.1200
3
3
6
mm
m
m
L
CE
CE
C
CE








Determinación de la deformación unitaria cuando existe
un espacio libre de 0,25 mm en C. Para esto se traza el
diagrama de desplazamientos como se muestra en la
figura.
Utilizando triángulos semejantes se tiene
 
m
mm
mmmm
C
BC
BC
3
363
3
10.95,0
10.25,010.400310.25,03
80240
10.25,0










La deformación unitaria en la varilla CE será
(Rta)/10.58,1
10.600
10.950
3
3
6
mm
m
m
L
CE
CE
C
CE








Problema 23.
Una barra rígida ABC está sostenida por dos eslabones
como se muestra en la figura. El eslabón BD está hecho
de una aleación de aluminio (E = 73 GPa) y tiene un
área transversal de 1250 mm2. El eslabón CE está hecho
de acero estructural (E =200 GPa) y tiene una sección
transversal de 750 mm2: determine el esfuerzo normal
en cada uno de los eslabones y la deflexión del punto A
cuando se aplica la carga P de 50 kN:
Solución
Datos e incógnitas
Eal = 73 GPa; Aal =1250 mm2; Eac= 200GPa; Aac =750
mm2; P = 50kN, σac = ¿????; σal = ¿????;
En la figura se muestra el DCL de la barra ABC
(1)50
0
kNFF
F
acal
y


   
(2)150
9,0503,0
0
kNF
KNF
M
al
al
C



Remplazando la ec. (2) en (1), resulta

44
kNFkN ac 50150 
)(100
100
compresiónkNF
kNF
ac
ac


(3)
La deformación de la varilla de acero (CE) será
)10.200(10.750
)4,0(10.100
96
3



acac
acac
ac
EA
LF

 
mac
4
10.667,2
La deformación de la varilla de aluminio (BD) será
)10.73(10.1250
)6,0(10.150
96
3


alal
alal
al
EA
LF

 
mac
4
10.86.9
Los esfuerzos en ambos elementos serán:
2
3
1250
10.150
mm
N
A
F
al
al
al 
MPaal 120 Rta
2
3
750
10.100
mm
N
A
F
ac
ac
ac 
MPaal 133 Rta
Para determinar la deflexión del punto A, se traza la
geometría de las deformaciones la misma que se
representa en la Fig.
De la semejanza de triángulos se tiene
44
10.667.2
3,0
10.86,9
3,0





xx
xx
acal 
mx 236,0
Por otro lado se tiene
236,0
10.86.9
236,06,0
6,0
4




A
alA
xx


mmA 49,3 Rta
Problema 24.
Una barra rígida CD está sometida a carga y sostenida
como se muestra en la figura. Las barras A y B están
libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra
A es de acero inoxidable (E = 190 GPa) y tiene un área
transversal de 750 mm2. La barra B está hecha de una
aleación de aluminio (E = 73GPa) y tiene un área
transversal de 1250 mm2. Después de aplicar la carga P,
se encuentra que la deformación unitaria en la barra B
es de 1200 μm/m. Determine: (a) Los esfuerzos en las
barras A y B; (b) El desplazamiento vertical (deflexión)
del seguro D y (c) la carga P.
Solución
En primer lugar se procede a determinar la deflexión de
B
)5,0(10.1200 6
mL
L
BBB
B
B 
 


mB
6
10.600 
 (1)
En la figura se muestra el diagrama de las
deformaciones a partir del cual se procede a determinar
la deflexión de A.
Mediante triángulos semejantes

45
)10.600(
2
5
2,05,0
6
m
mm
E
BE 
 

mE
6
10.1500 
 (2)
De la geometría de la deformación de la barra A, se
tiene



 cosEA
E
A
Cos 






 
5
4
10.1500 6
mA
mA
6
10.1200 
 (3)
Parte (a). Cálculo de los esfuerzos
 
m
mNm
L
E
B
BB
B
5,0
/10.7310.600 296



PaB 6,87 (Tensión) Rta.
 
m
mNm
L
E
A
AA
A
1
/10.19010.1200 296



MPaA 228 (Tensión) Rta.
Parte (b). Cálculo del desplazamiento del seguro en D
los esfuerzos. Del diagrama de deformaciones se
obtiene
)10.600(3
2,06,0
6
m
mm
D
BD 
 

mD
6
10.1800 
 Rta.
Parte (c). Cálculo de la fuerza P
En la figura se muestra el DCL de la Barra CED
0 CM
     mPmsenFmF AB 6,05,02,0  
P
PAA
PFF
AABB
AB
6)10.750)(10.228(4)10.1250)(10.6,87(2
642
6
5
4
52
6666











kNP 5,150 Rta.
Problema 25.
Una pila de concreto de sección cuadrada tiene 6 m de
altura como se muestra en la figura. Los lados
convergen desde un ancho de 1.0 men la base hasta 0,5
m en la parte superior. Determine el acortamiento del
pilar bajo una carga de compresión P = 1400 kN
(desprecie el peso propio de la pila). Suponga que el
módulo de elasticidad del concreto es 24 GPa.
Solución
Para resolver el problema se divide a la estructura en
elementos diferenciales a una distancia z y de espesor
dz, tal como se muestra en la figura.

46
La deformación unitaria del elemento diferencial será
dz
d
 
La deformación de la pila será
 
(1)
25,0
6
0 2
6
0
6
0





x
dz
E
P
dz
EA
P
dz
E Z



Mediante triángulos semejantes se tiene
zx
x
z
04167,0
25,0
6
 (2)
Remplazando la ec. (2) en (1) se tiene
  
 08,05,0/10.24
10.1400
04167,025,0/10.24
10.1400
6
0 229
3
6
0 229
3






z
dz
mN
N
z
dz
mN
N


Integrando la ecuación anterior, se obtiene
mm714,0 Rta.
Problema 26
El miembro a tensión de la figura consta de un tubo A
de acero estructural (Eac = 29.106
lb/pulg2
),que tiene un
diámetro exterior de 6 pulg y un diámetro interior de
4,5 pulg; y de una barra sólida B de aleación de
aluminio (Eal = 10,6.106
lb/pulg2
) que tiene un diámetro
de 4 pulg. Determine: (a) El cambio de longitud del
tubo de acero, (b) La deflexión total del miembro, (c)
Los esfuerzos normal y cortante máximos en el tubo de
acero
Solución
Fuerza interna en la barra sólida B
3
3
0 120.10 0
120.10
y B
B
F F lb
F lb
   


Fuerza interna en el tubo de acero
3 3
3
0 85.10 120.10 0
205.10
y A
A
F F lb lb
F lb
    


Parte (a) Cambio de longitud del tubo A
0, 0,
2 2
( )
4
A A A A
A
A A
A e i
F L F L
E A
E d d


 
 
  
3
6 2 2 2
2
4(205.10 )(50) .
29.10 (6 4,5 ) lg
lg
A
lb pul
lb
pu
pu



  
3
28,57.10 lgA pu 
 
Cambio en la longitud de B
0, 0,
2
4
B B B B
B
B B
B B
F L F L
E A
E d


 
 
  
3
6 2
2
4(120.10 )(40) .
(10,6.10 )(4 )
lg
B
lb pul
lb
pul
pu



3
36,04.10 lgB pu 
 
Parte (b) Deflexión total
3 3
3
8,57.10 lg 36,04.10 lg
64,1.10
T
T
pu pu
pul


 

   


47
Parte (c). Esfuerzos cortante máximo: En la figura se
muestra la fuerza en la sección inclinada y el área
correspondiente. Para que los esfuerzo cortante sea
máximo el ángulo θ = 45°
3 2
cos45 205.10 ( ) 144,96
2
t AF F lb klb   
2 2 20 0
2
45 ( 2)(6 4,5 ) lg )
45 4
17,49 lg
A A
sen A pu
A sen
A pu

     


Esfuerzo cortante máximo
max 2 2
144,96
8286
17,49 lg lg
tF klb lb
A pu pu
   
El esfuerzo normal es máximo cuando el ángulo es 0°.
Entonces su valor será
max 2
2 2 20
205
16570
lg(6 4,5 ) lg
4
AF klb lb
A pupu


  

Problema 27
La barra C mostrada en la figura es una varilla de
aleación de aluminio (Eal = 73 GPa) tiene un área de
sección transversal de 625 mm2
. El miembro D es un
poste de madera (Em = 12 GPa) y tiene una sección
transversal de 2500 mm2
. Si los esfuerzos normales
admisibles son 100 MPa para el aluminio y 30 MPa
para la madera. Determine el valor máximo admisible
de la carga P.
Solución
En la figura se muestra el DCL de la barra rígida AB en
una posición inclinada
0
6 6
6
0
(0,3cos ) (0,05cos ) (0,1cos ) 0
0,3 0,05 0,1
0,3 0,05 0,1
0,3 0,05(2500.10 ) 0,1(625.10 )
0,3(10 ) 125 62,5 (1)
D C
D C
D D C C
D C
D C
M
P F F
P F F
P A A
P
P
  
 
 
 
 

  
 
 
 
 

Principio de compatibilidad
3
3
0, 0, 3
3
9 9
6
0.09.10
2( 0.09.10 )
50 100
2( ) 0,18.10
0,3 0,15
2( ) 0,18.10
73.10 12.10
6,08 43,8.10 (2)
CD
C D
C C D D
C D
C D
C D
mm mm
L L
E E

 
 
 
 





   
 
 
 
Si el esfuerzo en la madera es 30D MPa  ,
entonces se tiene
6 6
6,08(30.10 ) 43,8.10
226
C
C MPa


 

La ecuación anterior indica que se sobrecarga el
aluminio, entonces es el esfuerzo en el aluminio el que
debe usarse. Entonces tenemos
6
6 6
6,08 43,8.10
100.10 6,08 43,8.10
9,24
C D
D
D MPa
 


 
 

Remplazando este valor en la ecuación (1) resulta
6 6 6
max
max
0,3(10 ) 125(9,24.10 ) 62,5(100.10 )
= 24683 N Rta.
P
P
 

48
PROBLEMAS SOBRE ESFUERZO.
1. Dos barras Cilíndricas AB y BC Están soldadas por
una placa rígida en B y sometida a las cargas
indicadas. Sabiendo que la fuerza P = 28,2 kip.
Determine los esfuerzos normales promedios en:
(a) AB y (b) en BC
2. La lámpara de 6 kg que aparece en la figura cuelga
de un techo por medio de alambres de 0,75 mm de
diámetro. Determine el esfuerzo de tensión en los
alambres AB y BC
3. El dispositivo mostrado en la figura sirve para
determinar la resistencia de la madera al esfuerzo
cortante. Las dimensiones del bloque de madera son
6 pulg x 8pulg x1.5pulg. Si la fuerza requerida para
partirla es de 12 kip, determine la resistencia
promedio de la madera al esfuerzo cortante.
4. Dos tubos de hierro de fundición se unen con
adhesivo en una longitud de 200 mm como se
muestra en la figura. Los diámetro externos de cada
uno de los tubos son de 50 mm y 70 mm,
respectivamente y el espesor de su pared es de
10 mm. Si se separan al transmitir una fuerza de
100 KN. ¿Cuál fue el esfuerzo cortante promedio
en el adhesivo justo antes de la separación
5. La sección transversal del punzón y la matriz de la
figura es un círculo de una pulgada de diámetro.
Una fuerza P = 6 kips se aplica al punzón. Si el
espesor de la placa es t = 1/8 pulg. Determine el
esfuerzo cortante promedio en la placa a lo largo de
la trayectoria del punzón.
6. En la figura se muestra el croquis de un punzón y
matriz para hacer arandelas. Determine la fuerza P
necesaria para troquelarlas en términos del espesor
t de la placa, la resistencia promedio de ésta al
esfuerzo cortante τ y los diámetros internos y
externo de las arandelas d1 y d2.
7. La estructura mostrada en la figura soporta una
carga P = kN. Determine: (a) el esfuerzo normal en
el elemento BD si este tiene una sección transversal
de área ABD = 8.103 mm2. (b) El esfuerzo cortante
en el perno en A si este tiene un diámetro de 25
mm y actúa a cortante doble.
8. La fuerza axial P = 12.103 lb actúa sobre un
miembro rectangular, como se muestra en la figura.
Determine los esfuerzos normal y cortante
promedio sobre el plano inclinado AA.
9. La pieza de madera está sometida a una fuerza de
tensión de 85 lb. Determine los esfuerzos normales
y cortantes medios desarrollados en las fibras de la
madera orientadas a lo largo de la sección a-a a 15°
con el eje de la pieza.
Rta: σ = 1,90 psi; τ = 7,08 psi.

49
10. En la figura se muestra un modelo simplificado del
brazo de un joven al levantar un peso. El área de la
sección transversal del bíceps se estima en 2 pulg2.
Determine el esfuerzo normal promedio en el
músculo y la fuerza cortante promedio en la
articulación del codo A.
11. Calcule el esfuerzo de compresión en la biela
mostrada en la figura cuando se aplica una fuerza P
= 10 lb al pedestal de freno. Suponga que la línea
de acción de la fuerza P es paralela a la biela, cuyo
diámetro es d = 0,22 pulgadas y las otras
dimensiones ilustradas se miden
perpendicularmente a la línea de acción de P.
Rta: σ = 1446,9 lb/pulg2.
12. Todos los pernos mostrados en la figura trabajan en
cortante simple y tienen un diámetro de 40 mm. La
sección transversal de todos los miembros es
cuadrada. Determine el esfuerzo cortante máximo
en el perno A y los esfuerzos axiales en el miembro
BD.
13. Un conjunto de puntal y cable ABC sostiene una
carga vertical P = 15 kN. El cable tiene una sección
transversal efectiva de 120 mm2 y el puntal un área
de 250 mm2: determine los esfuerzos normales en
el cable y en el puntal e indicar si son de tensión o
de compresión.
14. Cada uno de los cuatro eslabones verticales tienen
una sección transversal rectangular de 8 por 36 mm
y cada uno de los cuatro pines tienen 16 mm de
diámetro. Determine los valores máximos de los
esfuerzos normales medios en cada eslabón
conector en: (a) en los puntos B y D y (b) y en los
puntos C y E.
Rta: σBD = 101,6 MPa; σCE = -21,7 MPa
15. Sabiendo que la porción central del eslabón BD
tiene una sección uniforme de 800mm2. determine
la magnitud de la carga P para la cual el esfuerzo
normal en esa porción BD sea de 50 MPa.
Rta: P = 62,745 N
16. En la figura se ve un punzón para perforar placas
de acero, Si se usa un punzón con diámetro de 0,75
pulg para perforar un agujero en una placa de ¼
pulg, Si se requiere una fuerza de P = 28000 lb.

50
¿Cuál es el esfuerzo cortante medio en la placa y el
esfuerzo normal medio en el Punzón.
17. El elemento de madera inclinado AB de una
armadura está ensamblada en una cuerda inferior de
4 x 6 pulg, como se muestra en la figura. Determine
la fuerza de compresión axial en el miembro AB
cuando el esfuerzo cortante promedio paralelo al
grano en el extremo de la cuerda inferior es de 225
lb/pulg2
.
Rta: P = 4,88 klb
18. Las dos barras de aluminio soportan la fuerza
vertical de P = 20 kN. Determine sus diámetros
requeridos si el esfuerzo permisible de tensión para
el aluminio es de σ = 150 MPa.
Rta: dAB = 15,5 mm y dAC = 13 mm
19. Una viga horizontal AB con sección transversal
rectangular y longitud de 2,4 m está sostenida
mediante un puntal inclinado CD como se muestra
en la figura. El puntal, que se compone de dos
barras planas está unido a la viga en el punto C por
un perno de diámetro d = 16 mm. Si el esfuerzo
tangencial admisible es el perno es de 90 MPa.
¿Cuál es el valor admisible de la carga P que actúa
sobre la unión B
20. La pieza mostrada en la figura está hecha de acero
con un peso específico de 7500 kg/m3
. Determine el
esfuerzo de compresión medio que actúa en los
puntos A y B.
21. Un empalme en madera se fabrica con adhesivo
como se muestra en la figura. La longitud de la
región pegada es L = 4 pulg y el espesor de la
madera es de 3/8 pulg. Determine el esfuerzo de
corte promedio en el adhesivo.
22. Un empalme en madera se fabrica con adhesivo
como se muestra en la figura. La unión transmite
una fuerza P = 20 kips y tiene las siguientes
dimensiones L = 3 pulg, a = 8 pulg y h = 2 pulg.
Determine el máximo esfuerzo normal promedio y
el esfuerzo cortante en el adhesivo.
23. Dos tiras de un material plástico están unidas,
como se muestra en la figura. El esfuerzo cortante
medio en el adhesivo debe limitarse a 950 kPa.
Halle la longitud L de la placa de empalme

Capitulo i. fisica ii. elasticidad

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