Este documento describe las propiedades de los números reales. 1) Los números reales forman un campo ordenado completo donde se cumplen propiedades como asociatividad, conmutatividad y distributividad. 2) Los números reales pueden dividirse en intervalos como abiertos, cerrados y semiinfinitos. 3) Cualquier subconjunto acotado superiormente de números reales tiene una mínima cota superior.

1. N´meros reales
u
Ana Cristina Ch´vez C´liz
a a
5 de octubre de 2009
1. Propiedades de Campo
Consideremos el conjunto X que tiene dos operaciones llamadas suma y pro-
ducto, es decir: Dado a, b ∈ X : a + b ∈ X y Dado a, b ∈ X : a × b ∈ X
Ejemplo de un conjunto que tenga estas dos operaciones esta el conjunto de los
numeros Naturales (denotado como N)
Dentro de N las operaciones de suma y producto tiene las siguientes propiedades:
1. Asociatividad:
1a. La suma es asociativa: Pues es lo mismo a + (b + c) que (a + b) + c
1b. El producto es asociativo: Pues a × (b × c) = (a × b) × c
2. Conmutatividad:
2a. La suma es conmutativa: Pues a + b = b + a
2b. El producto es conmutativo: Pues a × b = b × a
3. Distributividad: Significa que la multiplicaci´n reparte sumas: dicho de otra
o
manera: a × (b + c) = ab + ac
Adem´s, tenemos otras propiedades importantes:
a
4. Existencia de neutros:
4a. Existencia de neutro aditivo: Un conjunto cumple con esta propiedad si: ∀
a∈X ∃ 0∈X :a+0=0+a=a
4b. Existencia de neutro multiplicativo: Un conjunto cumple con esta propiedad
si: ∀ a ∈ X ∃ 1 ∈ X : a × 1 = 1 × a = a
5. Existencia de inversos:
5a. Existencia de inverso aditivo: Un conjunto cumple con esta propiedad si: ∀
a ∈ X ∃ −a ∈ X : a + (−a) = −a + a = 0
5b. Existencia de inverso multipicativo: Un conjunto cumple con esta propiedad
1 1 1
si: ∀ a ∈ X ∃ a ∈ X : a × a = a × a = 1. Este inverso multiplicativo se define
para cualquier elemento del conjunto diferente de cero.
1

2. Es f´cil ver que el conjunto de los numeros enteros ((−∞ . . . , −1, 0, 1, . . . ∞)
a
(denotado como Z)) cumple con las propiedades 1, 2, 3, 4 y 5a, pero no cumple
con 5b, ya que no existen inversos multiplicativos en el conjunto. Por otra parte
el conjunto de los numeros fraccionarios (definido como a : a, b ∈ Z, b = 0 y
b
denotado como Q) cumple con todas las propiedades mencionadas previamente.
´
DEFINICION: Entonces, un conjunto que cumple con todas las propiedades
(asociatividad, conmutatividad, distributividad, existencia de neutros e inver-
sos tanto en la suma como en el producto) es llamado CAMPO. Por lo tanto,
podemos decir que Q es un campo.
Adem´s, un campo cumple con las siguientes propiedades, las cuales, se de-
a
ducen de las primeras propiedades mencionadas:
1. 0 × a = 0
2. (−1) × a = −a
3. (−1) × −a = a
4. −(a + b) = (−a) + (−b)
5. (−a)(−b) = ab
6. (−a)b = −ab = a(−b)
7. 1 = a, ∀ a = 0
1
a
1 1 1
8. ab = a × b
.
.
.
2. Propiedades de orden
Dados a, b ∈ Z decimos que a < b si b − a ∈ N
Y las propiedades de orden son las siguientes:
i) Tricotom´ Dados a, b ∈ Z una y s´lo una posibilidad ocurre: a < b ´ a = b
ıa: o o
´a>b
o
ii) Transitividad: Si a < b y b < c ⇔ a < c
iii) a < b ⇒ a + c < b + c ∀ c ∈ Z
iv) a < b y c > 0 ⇔ ac < bc
´
DEFINICION: Un campo que adem´s cumple con estas ultimas propiedades
a ´
es un CAMPO ORDENADO.
Q tamb´ cumple con las propiedades de orden, por lo que es un campo orde-
ıen
nado.
3. Cotas Superiores
Dados X ⊂ Q decimos que a ∈ Q es COTA SUPERIOR de X si ∀ x ∈ X se
tiene que x ≤ a
2

3. Dados X ⊂ Q decimos que si a es cota superior, decimos que α es M´
INIMA
COTA SUPERIOR si α es cota, y ademas ∀ a α ≤ a y se denota como SupX
o Suprema de X
4. Sobre los numeros reales
R (Conjunto de los numeros reales):
1.Tiene las propiedades 1, 2, 3, 4 y 5; adem´s de i), ii), iii) y iv)
a
2. Cumple con la propiedad de completitud: Todo cunjunto superiormente aco-
tado tiene una m´ınima cota superior.
3. Tambi´n es EL campo ordenado completo.
e
5. Intervalos
a < b a, b ∈ R
1. Abiertos
(a, b) = x ∈ R : a < x < b
2. Semiabierto
(a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b
[a, b) = x ∈ R : a ≤ x < b
3. Cerrado
[a, b] = x ∈ R : a ≤ x ≤ b
4. Semi-infinito
(a, ∞) = x ∈ R : a < x
(−∞, b) = x ∈ R : b > x
[a, ∞) = x ∈ R : a ≤ x
(−∞, b] = x ∈ R : b ≥ x
6. Proposiones importantes
1. Proposici´n: N ⊂ R no es acotable superiormente.
o
2. Proposici´n: R se puede partir como uni´n disjunta de intervalos [k, k + 1)
o o
k ∈ Z; es decir: R = [k, k + 1)
2.a Corolario: ∀r ∈ R, r > 0 , R = [kr, (k + 1)r), k ∈ R
3. Teorema: Sea p > 1 p ∈ N, ⇒ ∀ n ∈ N ∃! 0 , 1 , . . . n d´ ıgitos o elementos 0, 1,
2, ... p-1 tales que n = 0 + 1 p+. . .+ m pm es la expansion de n = m m−1 . . . 1 0
en base p. Existe una coleccion infinita −1 , −2 . . . de digitos : t = −1 + p2 +. . .
p
−2
3

4. es la expansi´n en base p de t que se escribe: t = 0.
o −1 −2 . . . por lo tanto r ∈ R,
r = n + t, n ∈ N, t ∈ (0, 1)
r= m m−1 ... 2 1 . −1 −2 ...
4. Proposici´n: Todo r ∈ Q tiene expansi´n decimal finita o peri´dica y rec´
o o o ıpro-
camente: Todo irracional tiene expansi´n decimal infinita y no peri´dica.
o o
5. Teorema: Sea a, b ∈ R, a < b ⇒ ∃ r ∈ Q : a < r < b
1
6. Proposici´n: ∀
o >0∃n∈N: n <
7. Proposici´n: Si a ∈ R : a ≥ x ∀ x ∈ R y a ∈ X, entonces a = SupX
o
4