1. SEGUNDO MATERIAL PRACTICO´
´
DE ANALISIS REAL I
(N´meros reales)
u
1. Demostrar que si m y n son √
√ naturales √
cuyo producto no es cuadrado
√
perfecto, entonces tanto√ n + m como n − m son irracionales.
√
Estudiar el car´cter de p − 1 − p + 1 para p un natural cualquiera.
a
ax + b
2. Si a, b, c, d son racionales siendo c no nulo y x irracional, probar que
cx + d
es irracional si, y s´lo si, ad = bc.
o
3
√ 3
√
3. Demostrar que 20 + 14 2 + 20 − 14 2 es racional.
m
4. Dado p > 1, probar que los racionales de la forma n donde m ∈ Z y
p
n ∈ N constituyen un subconjunto denso en .
5. Probar que I es denso en .
6. Dado x ∈ probar que ∃! n ∈ Z tal que n x < n + 1.
7. Si x1 , . . . , xn son n´meros reales del mismo signo, mayores que −1, probar
u
que: (1 + x1 ).(1 + x2 )...(1 + xn ) 1 + x1 + x2 + . . . + xn
2 − a2
8. Dados a, b ∈ Q+ tal que 1 < a2 < 2 < b2 .Pruebe que si ξ = ,
1 + 2a
b2 − 2
δ= entonces a2 < (a + ξ)2 < 2 < (b − δ)2 < b2 .
2b
9. Si x, y, z son n´meros reales no negativos tales que x + y + z = 1, probar
u
que
4
0 xy + yz + zx − 2xyz
27
10. Considere los siguiente conjuntos, halle sup e inf, m´ximo y m´
a ınimo:
(−1)n n + 1
(a) U = n ∈ Z+
n
2
(b) N = (−1)n (1 + ) n ∈ Z +
n
(−1)n n
(c) M = n ∈ Z+
1+n
n2 π + 2
(d) S = sen( ) n ∈ Z+
2n
1

2. n n
(e) M = − n ∈ Z+
3 3
11. Considere ∅ = A ⊆ y acotado superiormente, si supA = a probar que
los enunciados siguiente son equivalentes:
(a) i. ∀x ∈ A x a
ii. ∀ε > 0, ∃u ∈ A a − ε < u a
(b) i. ∀x ∈ A x a
ii. ∀x ∈ A x v ⇒ a v
(c) i. ∀x ∈ A x a
ii. α ∈ , α < a ⇒ ∃v ∈ A α < v a
Enunciar y demostrar para b = inf A (suponga A acotado inferiormente).
12. Probar que si A y B son subconjuntos acotados de , tambi´n lo es su
e
uni´n teniendose que:
o
sup(A ∪ B) = max(supA, supB), inf (A ∪ B) = min(inf A, inf B)
Dar un ejemplo de una uni´n infinita de conjuntos acotados cuya uni´n
o o
no est´ acotada.
e
13. Considere ∅ = A ⊆ y acotado en probar que:
(a) Si k > 0 entonces sup(kA) = ksupA e inf (kA) = kinf A.
(b) Si k < 0 entonces sup(kA) = kinf A e inf (kA) = ksupA.
(c) sup(AB) = supAsupB.
14. Si In = [an , bn ], n ∈ Z + es una sucesi´n decreciente de intervalos acotados
o
cerrados, probar que existe ξ ∈ tal que ξ ∈ In ∀n ∈ Z + .Si adem´s a
inf {bn − an n ∈ Z + } = 0 probar que dicho elemento ξ es unico.
´
15. Sea A ⊆ .Una funci´n f : A →
o se dir´ acotada cuando su imagen
a
f (A) ⊆ sea un conjunto acotado.En dicho caso definimos el supremo de
f como el supremo del conjunto f (A).
(a) Pruebe que la suma de dos funciones acotadas f, g : A → es una
funci´n acotada f + g : A → .
o
(b) Pruebe que (f + g)(A) ⊆ f (A) + g(A).
(c) Pruebe que supA (f + g) supA (f ) + supA (g).
(d) Pruebe que infA (f + g) infA (f ) + infA (g).
D´ ejemplos mostrando las desigualdades estrictas.
e
16. Si a, b > 0 tales que a + b = 1, demostrar que
2 2
1 1 25
a+ + b+
a b 2
2
1
sugerencia: considere F (x) = 1+ para x > 0
x
Individualmente... nada somos.
Helmuth villavicencio f ern´ndez
a
(30/04/10)
2