Ejemplos de composición de funciones

1. Composici´n de Funciones
o
´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Ejercicios de Repaso II
Ma del Carmen Torres Alonso
IES Laguna de Toll´n
o
7 de marzo de 2011
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

2. Composici´n de Funciones
o
Ejercicio
Dadas las siguientes funciones efect´a (g ◦ j), (j ◦ g), (f ◦ h) y (j ◦ h),
u
calculando en cada caso el dominio de la funci´n resultante:
o
1
(a) f (x) = (b) g(x) = x2 − 6
x2 − 4
x−1
(c) h(x) = (d) j(x) = x − 4
x+1
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

3. Composici´n de Funciones
o
(g ◦ j)(x)
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

4. Composici´n de Funciones
o
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x)
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

5. Composici´n de Funciones
o
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x))
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

6. Composici´n de Funciones
o
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x − 4)
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

7. Composici´n de Funciones
o
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x − 4) = (x − 4)2 − 6
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

8. Composici´n de Funciones
o
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x − 4) = (x − 4)2 − 6 = x2 − 8x + 10
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

9. Composici´n de Funciones
o
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x − 4) = (x − 4)2 − 6 = x2 − 8x + 10
Puesto que (g ◦ j)(x) es una funci´n polin´mica, su dominio ser´ todo el
o o a
conjunto de n´meros reales.
u
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

10. Composici´n de Funciones
o
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x − 4) = (x − 4)2 − 6 = x2 − 8x + 10
Puesto que (g ◦ j)(x) es una funci´n polin´mica, su dominio ser´ todo el
o o a
conjunto de n´meros reales.
u
Dom (g ◦ j) = R
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

11. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ g)(x)
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

12. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x)
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

13. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x))
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

14. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j x2 − 6
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

15. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j x2 − 6 = (x2 − 6) − 4
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

16. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j x2 − 6 = (x2 − 6) − 4 = x2 − 10
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

17. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j x2 − 6 = (x2 − 6) − 4 = x2 − 10
Puesto que (j ◦ g)(x) es una funci´n polin´mica, su dominio ser´ todo el
o o a
conjunto de n´meros reales.
u
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

18. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j x2 − 6 = (x2 − 6) − 4 = x2 − 10
Puesto que (j ◦ g)(x) es una funci´n polin´mica, su dominio ser´ todo el
o o a
conjunto de n´meros reales.
u
Dom (j ◦ g) = R
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

19. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

20. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x)
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

21. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f (j(x))
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

22. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f (j(x)) = f (x − 4)
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

23. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
1
(f ◦ j)(x) = f (j(x)) = f (x − 4) =
(x − 4)2 − 4
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

24. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
1 1
(f ◦ j)(x) = f (j(x)) = f (x − 4) = = 2
(x − 4)2 − 4 x − 8x + 12
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

25. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
1 1
(f ◦ j)(x) = f (j(x)) = f (x − 4) = = 2
(x − 4)2 − 4 x − 8x + 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funci´n racional, su dominio ser´ todo el conjunto
o a
de n´meros reales salvo los que anulen el denominador.
u
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

26. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
1 1
(f ◦ j)(x) = f (j(x)) = f (x − 4) = = 2
(x − 4)2 − 4 x − 8x + 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funci´n racional, su dominio ser´ todo el conjunto
o a
de n´meros reales salvo los que anulen el denominador.
u
x2 − 8x + 12 = 0
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

27. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
1 1
(f ◦ j)(x) = f (j(x)) = f (x − 4) = = 2
(x − 4)2 − 4 x − 8x + 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funci´n racional, su dominio ser´ todo el conjunto
o a
de n´meros reales salvo los que anulen el denominador.
u
√
8± 64 − 48 8±4
x2 − 8x + 12 = 0 ⇒ x = =
2 2
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

28. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
1 1
(f ◦ j)(x) = f (j(x)) = f (x − 4) = = 2
(x − 4)2 − 4 x − 8x + 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funci´n racional, su dominio ser´ todo el conjunto
o a
de n´meros reales salvo los que anulen el denominador.
u
√
8± 64 − 48 8±4 x=2
x2 − 8x + 12 = 0 ⇒ x = = ⇒
2 2
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

29. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
1 1
(f ◦ j)(x) = f (j(x)) = f (x − 4) = = 2
(x − 4)2 − 4 x − 8x + 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funci´n racional, su dominio ser´ todo el conjunto
o a
de n´meros reales salvo los que anulen el denominador.
u
√
8± 64 − 48 8±4 x=2
x2 − 8x + 12 = 0 ⇒ x = = ⇒
2 2 x=6
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

30. Composici´n de Funciones
o
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
1 1
(f ◦ j)(x) = f (j(x)) = f (x − 4) = = 2
(x − 4)2 − 4 x − 8x + 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funci´n racional, su dominio ser´ todo el conjunto
o a
de n´meros reales salvo los que anulen el denominador.
u
√
8± 64 − 48 8±4 x=2
x2 − 8x + 12 = 0 ⇒ x = = ⇒
2 2 x=6
Luego:
Dom (f ◦ j) = R − {2, 6}
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

31. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ h)(x)
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

32. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x)
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

33. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x) = j(h(x))
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

34. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
x−1
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j
x+1
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

35. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
x−1 x−1
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j = −4
x+1 x+1
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

36. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
x−1 x−1 x − 1 − 4x − 4
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j = −4 =
x+1 x+1 x+1
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

37. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
x−1 x−1 x − 1 − 4x − 4 −3x − 5
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j = −4 = =
x+1 x+1 x+1 x+1
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

38. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
x−1 x−1 x − 1 − 4x − 4 −3x − 5
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j = −4 = =
x+1 x+1 x+1 x+1
Puesto que (j ◦ h)(x) es una funci´n racional, su dominio ser´ todo el conjunto
o a
de n´meros reales salvo los que anulen el denominador.
u
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

39. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
x−1 x−1 x − 1 − 4x − 4 −3x − 5
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j = −4 = =
x+1 x+1 x+1 x+1
Puesto que (j ◦ h)(x) es una funci´n racional, su dominio ser´ todo el conjunto
o a
de n´meros reales salvo los que anulen el denominador.
u
x+1 =0
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

40. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
x−1 x−1 x − 1 − 4x − 4 −3x − 5
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j = −4 = =
x+1 x+1 x+1 x+1
Puesto que (j ◦ h)(x) es una funci´n racional, su dominio ser´ todo el conjunto
o a
de n´meros reales salvo los que anulen el denominador.
u
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

41. Composici´n de Funciones
o
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
x−1 x−1 x − 1 − 4x − 4 −3x − 5
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j = −4 = =
x+1 x+1 x+1 x+1
Puesto que (j ◦ h)(x) es una funci´n racional, su dominio ser´ todo el conjunto
o a
de n´meros reales salvo los que anulen el denominador.
u
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
Luego:
Dom (j ◦ h) = R − {1}
Ma del Carmen Torres Alonso ´
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL