Movimiento Armónico Simple

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””Movimiento armónico simple”Movimiento armónico simple”
Laboratorio de Física General
UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
Alejandra Valencia Ramírez
Abelardo Castellejo García
Ana Cristina Chávez Cáliz
Blanca de Jesús Gómez Orozco
Maritza Thalia Bernabé Morales

Resumen
El objetivo de este experimento fue investigar la variación del
periodo de oscilación en función de la masa atada a un resorte.
Creemos que a mayor masa, menor es el periodo.
El valor obtenido para las variables resultaron ser, para este
caso en particular, k= 0.5665 y p=0.6057, donde k y p forman
parte de la ecuación T=pmk
: T y m corresponden al periodo y
masa, respectivamente, obteniendo la fórmula:
T= 0.06057m0.5665

Introducción
Un movimiento armónico simple (m.a.s.) es aquel
movimiento periódico que queda descrito en función
del tiempo por una función armónica (seno o coseno).

Introducción

En el caso de que la trayectoria sea
rectilínea, la partícula que realiza un
m.a.s. oscila alejándose y acercándose
de un punto, situado en el centro de su
trayectoria, de tal manera que su
posición en función del tiempo con
respecto a ese punto es una sinusoide.

Metodología Experimental
Para el experimento,
montamos en el
soporte universal una
varilla, de la cual
colgaba un resorte.
De este, a su vez,
colocamos diferentes
masas (10 en total).

A la izquierda, el esquema del
experimento, arriba,nuestro
montaje.


Los materiales usados
fueron:

Un juego de masas.

Dos reglas.

Dos cronómetros.

Un resorte.

Un soporte universal.


2 personas hicieron la
toma de el tiempo 3
veces por masa. Se usó
un cronómetro, y al
final se obtuvo un
promedio de los
tiempos obtenidos
tomando en cuenta sus
respectivas
incertidumbres


Así mismo, entre otros
2 miembros del equipo
se tomó nota sobre la
disminución en la
longitud del resorte (3
veces por masa), desde
que va a su máxima
longitud, hasta que se
encoge. Se usaron una
regla de un metro, y una
de 30cm.

Resultados
Así, usando 10 masas diferentes (20gr., 40gr., 60gr.,
80gr., 100gr., 120gr., 140gr., 160gr., 180gr. y 200gr.)
se hicieron 3 tomas del incremento en el resorte, y 6
tomas del tiempo por masa, obtentiendo la siguiente
tabla:

Resultados
MASA (gramos) DISTANCIA (metros) Promedio Distancia TIEMPO(segundos) Promedio Tiempo
(20±05)gr. (0.05±0.005)m. (0.53±0.005)s. (0.50±0.005)s. (0.52±0.005)s.
(0.04±0.005)m. (0.05±0.005)m. (0.47±0.005)s. (0.47±0.005)s.
(0.05±0.005)m. (0.60±0.005)s. (0.53±0.005)s.
(40±05)gr. (0.14±0.005)m. (0.57±0.005)s. (0.59±0.005)s. (0.57±0.005)s.
(0.15±0.005)m. (0.15±0.005)m. (0.55±0.005)s. (0.43±0.005)s.
(0.15±0.005)m. (0.63±0.005)s. (0.64±0.005)s.
(60±05)gr. (0.30±0.005)m. (0.77±0.005)s. (0.63±0.005)s. (0.72±0.005)s.
(0.30±0.005)m. (0.30±0.005)m. (0.64±0.005)s. (0.81±0.005)s.
(0.30±0.005)m. (0.66±0.005)s. (0.81±0.005)s.
(80±05)gr. (0.40±0.005)m. (0.75±0.005)s. (0.72±0.005)s. (0.75±0.005)s.
(0.43±0.005)m. (0.41±0.005)m. (0.77±0.005)s. (0.79±0.005)s.
(0.40±0.005)m. (0.84±0.005)s. (0.63±0.005)s.
(100±05)gr. (0.55±0.005)m. (0.70±0.005)s. (0.71±0.005)s. (0.77±0.005)s.
(0.55±0.005)m. (0.57±0.005)m. (0.84±0.005)s. (0.73±0.005)s.
(0.60±0.005)m. (0.88±0.005)s. (0.75±0.005)s.

MASA (gramos) DISTANCIA (metros) Promedio Distancia TIEMPO(segundos) Promedio Tiempo
(120±05)gr. (0.60±0.005)m. (0.96±0.005)s. (0.75±0.005)s. (0.77±0.005)s.
(0.66±0.005)m. (0.63±0.005)m. (0.90±0.005)s. (0.99±0.005)s.
(0.62±0.005)m. (1.02±0.005)s. (0.90±0.005)s.
(140±05)gr. (0.80±0.005)m. (1.05±0.005)s. (1.11±0.005)s. (1.09±0.005)s.
(0.80±0.005)m. (0.80±0.005)m. (1.11±0.005)s. (1.15±0.005)s.
(0.81±0.005)m. (1.04±0.005)s. (1.07±0.005)s.
(160±05)gr. (0.85±0.005)m. (1.14±0.005)s. (1.27±0.005)s. (1.21±0.005)s.
(0.90±0.005)m. (0.88±0.005)m. (1.29±0.005)s. (1.26±0.005)s.
(0.90±0.005)m. (1.17±0.005)s. (1.15±0.005)s.
(180±05)gr. (0.95±0.005)m. (1.46±0.005)s. (1.27±0.005)s. (1.31±0.005)s.
(1.00±0.005)m. (0.98±0.005) (1.30±0.005)s. (1.24±0.005)s.
(1.00±0.005)m. (1.32±0.005)s. (1.26±0.005)s.
(200±05)gr. (1.10±0.005)m. (1.31±0.005)s. (1.36±0.005)s. (1.34±0.005)s.
(1.10±0.005)m. (1.10±0.005)m. (1.39±0.005)s. (1.24±0.005)s.
(1.10±0.005)m. (1.45±0.005)s. (1.32±0.005)s.
Resultados

Tabla 1
MASA (m) Tiempo (t)
(20±0.5)gr. (0.52±0.005)s.
(40±0.5)gr. (0.57±0.005)s.
(60±0.5)gr. (0.72±0.005)s.
(80±0.5)gr. (0.75±0.005)s.
(100±0.5)gr. (0.77±0.005)s.
(120±0.5)gr. (0.77±0.005)s.
(140±0.5)gr. (1.09±0.005)s.
(160±0.5)gr. (1.21±0.005)s.
(180±0.5)gr. (1.31±0.005)s.
(200±0.5)gr. (1.34±0.005)s.
De la tabla anterior,
tomando los
promedios de las
medidas que nos
interesan, obtenemos
esta segunda tabla, a la
que llamaremos Tabla
1.

Gráfica de la Tabla 1 en milimétrico
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
m (gr)
T (s)

Interpretación de las gráficas
Como pudimos ver en la gráfica en papel milimétrico, es
evidente que existe una falla, muy probablemente debida a
algún error en el experimento (el cual especificaremos más
adelante); por lo cual decidimos hacer una nueva toma de
datos, pero antes, haremos un análisis de la Tabla 1, para
después compararla con la segunda muestra de datos.
Debido a que la expresión que estamos manejando (T=pmk
) es
de tipo potencial, trataremos los datos como tal. Graficaremos
en papel logarítmico, linealizaremos por mínimos cuadrados y
llegaremos a la función potencial correspondiente.

Graficando la Tabla 1 en logarítmico.
10 100
m (gr)
T (s)

Linealizando por mínimos cuadrados
Con el cambio de variable x=log(m) ,
Y= log(T)
PUNTOS Xi Yi
1 1.3 -0.28 -0.37 1.69 0.08 0.09 0.01
2 1.6 -0.25 -0.39 2.57 0.6 0 0
3 1.78 -0.14 -0.25 3.16 0.2 0.03 0
4 1.9 -0.13 -0.24 3.62 0.02 0 0
5 2 -0.12 -0.24 4 0.01 -0.04 0
6 2.08 -0.12 -0.24 4.32 0.01 -0.01 0
7 2.15 0.04 0.08 4.61 0 0.06 0
8 2.2 0.08 0.18 4.86 0.01 0.08 0.01
9 2.26 0.11 0.26 5.09 0.01 0.09 0.01
10 2.3 0.13 0.29 5.3 0.02 0.08 0.01
N
10 19.57 -0.67 -0.92 39.21 0.24 0.04
XiYi X1
2
Yi
2 δyi (δyi)2
Σxi ΣY1 ΣxiYi ΣX1 Σyi
2 ΣδYi Σ(δYi)2

Aplicando las fórmulas
m=
N∑
i=1
N
xi yi −∑
i=1
N
xi ∑
i=1
N
yi 
N ∑
i=1
N
xi
2
−∑
i=1
N
xi 2
b=
∑
i=1
N
xi
2
∑
i=1
N
yi −∑
i=1
N
xi ∑
i=1
N
xi yi 
N ∑
i=1
N
xi
2
−∑
i=1
N
xi 2
sy=
∑
i=1
N
δyi 2
N−2
Δm=sy

N
N ∑
i=1
N
xi
2
−∑
i=1
N
xi 2

Aplicando fórmulas
Δb=s y
 ∑
i=1
N
xi
2
N ∑
i=1
N
xi
2
−∑
i=1
N
xi 2
r=
∑
i=1
N
xi yi
∑
i=1
N
xi
2
∑
i=1
N
yi
2
=
{
1,−1 si todos los puntos coinciden
exactamente sobre la recta
0, si no hay relación alguna
entre las variables
}
y=−0. 418±0.061 x 0.888±0.1220 

Gráfica de la función
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0.05
0.1
0.15
X
Y

Conversión a una expresión potencial
Y=mX +b
y=axn
Si n= m= -0.418
Y log(a)= b, entonces, a= 10b
= 7.726
Entonces:
T= 7.726m-0.418
Donde m es la variable independiente y T la variable
dependiente

Gráfica de la función exponencial
En milimétrico En logarítmico
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
m(gr)
T(s)
10 100
X
Y

Tabla 2
Como mencionamos con
anterioridad, la gráfica de los
datos tomados al principio
muestran un error. Tomamos
una nueva muestra, esta vez
con rango en las masas que va
de 10gr. A 100gr. A esta nueva
tabla, la denominaremos Tabla
2
MASA (gramos) PERIODO (segundos)
(10±05)gr. (0.23±0.005)s.
(20±05)gr. (0.34±0.005)s.
(30±05)gr. (0.4±0.005)s.
(40±05)gr. (0.49±0.005)s.
(50±05)gr. (0.52±0.005)s.
(60±05)gr. (0.58±0.005)s.
(70±05)gr. (0.68±0.005)s.
(80±05)gr. (0.75±0.005)s.
(90±05)gr. (0.81±0.005)s.
(100±05)gr. (0.84±0.005)s.

Gráfica de la Tabla 2 en milimétrico
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
m (gr)
T (s)

Graficando la Tabla 3 en logarítmico.
10 100
0.1
m (gr)T (s)

Linealizando por mínimos cuadrados
Con el cambio de variable X=log(m) ,
Y= log(T)
Puntos Xi Yi XiYi Xi² Yi² δYi (δYi)²
1 1.000 -0.638 -0.638 1.000 0.407 0.013 0.000
2 1.301 -0.469 -0.610 1.693 0.220 0.012 0.000
3 1.477 -0.398 -0.588 2.182 0.158 -0.017 0.000
4 1.602 -0.310 -0.497 2.566 0.096 0.000 0.000
5 1.699 -0.284 -0.483 2.887 0.081 -0.029 0.001
6 1.778 -0.237 -0.421 3.161 0.056 -0.027 0.001
7 1.845 -0.167 -0.308 3.404 0.028 0.006 0.000
8 1.903 -0.125 -0.238 3.621 0.016 0.015 0.000
9 1.954 -0.092 -0.180 3.818 0.008 0.019 0.000
10 2.000 -0.076 -0.152 4.000 0.006 0.009 0.000
N Σxi Σyi ΣxiYi Σxi² Σyi² ΣδYi²
10 16.559 -2.796 -4.114 28.332 1.076 0.003

Aplicando las fórmulas
m=
N∑
i=1
N
xi yi −∑
i=1
N
xi ∑
i=1
N
yi 
N ∑
i=1
N
xi
2
−∑
i=1
N
xi 2
b=
∑
i=1
N
xi
2
∑
i=1
N
yi −∑
i=1
N
xi ∑
i=1
N
xi yi 
N ∑
i=1
N
xi
2
−∑
i=1
N
xi 2
sy=
∑
i=1
N
δyi 2
N−2
Δm=sy

N
N ∑
i=1
N
xi
2
−∑
i=1
N
xi 2
m=
10−4.112−16.560−2.795
1028.335−16.5602
=0.5665
b=
28.335−2.795−16.560−4.112
1028.335−16.5602
=−1.2177
S y=
0.003
8
=0.01936
 m=0.01936
 10
1028.335−16.5602
=0.0202

Aplicando fórmulas
Δb=s y
 ∑
i=1
N
xi
2
N ∑
i=1
N
xi
2
−∑
i=1
N
xi 2
r=
∑
i=1
N
xi yi
∑
i=1
N
xi
2
∑
i=1
N
yi
2
=
{
1,−1 si todos los puntos coinciden
exactamente sobre la recta
0, si no hay relación alguna
entre las variables
}
 b=0.01936
 28.335
1028.335−16.560
2
=0.0341
Y =0.5665±0.2020 X−1.2177±0.0341
¿
−4.112
28.3351.076
=−0.7447

Gráfica de la función
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
XY

Conversión a una expresión potencial
Y=mX +b
y=axn
Si n= m= 0.5665
Y log(a)= b, entonces, a= 10b
=0.06057
Entonces:
T= 0.06057m0.5665
Donde m es la variable independiente y T la variable
dependiente

Gráfica de la función exponencial
En milimétrico En logarítmico
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
m(gr)
T(s)
10 100 1000
0.1
X
Y

Discusión
En resumen, a partir de los datos tomados pudimos
comprobar que la expresión que nos muestra el periodo
en función de la masa es de tipo potencial.
La fórmula refreja que conforme se usan objetos de
mayor masa, el aumenta.

Conclusiones
Dentro de las dificultades, como mencionamos, la
primera toma de datos tuvo errores debido a que
nuestro rango de masas era muy alto, lo cual provocó
una alteración en el resorte. Para nuestra segunda toma
de datos, limitamos nuestro rango de masas y
estuvimos al pendiente de que el resorte no sufriera
cambios.
También habría que agregar los errores que como
humanos tenemos al momento de hacer una medición y
errores de conceptos.

Agradecimientos
Al MC. Leonel Abad Ortíz por permitirnos el uso de
las instalaciones del laboratorio y material, así como
las correcciones hechas.
También a la Dra. Mary Carmen Peña Gomar por su
asesoria en el experimento.

Referencias
Movimiento armónico simple. Extraído desde:
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico
Estudio de los modelos de oscilador con un grado de
libertad
http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm
Movimientos armónico
http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-
C/Curiosid/Rc-28/cinemat.htm

Apéndices
Movimiento Armónico Simple (3)

Movimiento Armónico Simple

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