Este documento describe las funciones racionales. Define una función racional como una expresión donde el numerador y denominador son polinomios y el denominador no es cero. Explica el dominio, simplificación, multiplicación, división, suma y resta de funciones racionales, y cómo resolver ecuaciones y graficar funciones racionales.
1. Funciones racionales
P
Def. Una expresión racional es aquella que se expresa como: donde P y Q son
Q
polinomios y Q ≠ 0.
A. Dominio de las funciones racionales
El dominio es todo aquellos valores que puedan ser x pero recordando que el
denominador nunca puede ser cero.
1 x2 − 4 m+2
Ejemplos: 1. y= 2. y= 3. y=
x x−2 m − 5m + 6
2
D: {R excepto x ≠ o} D: {R excepto x ≠ 2} D:{R excepto x ≠ 2, x
≠ 3}
B. Simplificación
Para simplificar una expresión raciónal:
1. se factoriza el numerador y denominador.
2. se cancelan aquellos factores comunes.
3. se establece las restricciones de la variable x.
5a + 10 3x − 6
Ejemplos: 1. 2. x 2 + x − 20
5a x + x−6
2 3.
16 - x 2
C. Multiplicación y División expresiones racionales
Para multiplicar dos o más expresiones racionales:
1. de ser posible, se factoriza los numeradores y denominadores.
2. se cancelan factores comunes.
3. se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.
4. de ser necesario se simplifica.
5. se establece las restricciones de la variable x.
Para dividir expresiones racionales se cambia la división a multiplicación y el recíproco
de la segunda expresión y se sigue los pasos de multiplicación.
Ejemplos: x −2 x +3 x + 2 x − 3 3x x−2 x−2
1. • 2. • • 3. ÷
x +3 x −5 6x 2 x + 2 5 x x −3
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2. D. Suma y resta de expresiones racionales
Para sumar o restar expresiones racionales:
1. si las expresiones tienen denominador común salta al paso 3; si no tiene, se busca
un denominador común. Debes factorizar las expresiones para hallar ese
denominador común.
2. se halla la(s) fraccion(es) equivalentes al denominador común que se encontró.
3. se suman los numeradores y se escribe el denominador común.
4. se simplifica y se halla las restricciones de la variable x.
Ejemplos:
3 2 x x 2x x −1 3a 2
1. − 2. + 3. − 4 −
x-2 x−2 x + 2 x −1 x +3 x−4 a -4 a+2
2
E. Resolver ecuaciones racionales
Para resolver ecuaciones racionales se debe:
1. factorizar todas las expresiones que no lo están.
2. hallar el denominador común de la ecuación.
3. multiplicar toda la ecuación por el denominador común hallado.(Al multiplicar se
cancelarán todos los factores comunes y obtendrás una expresión no racional)
4. simplificar y factorizar de ser necesario.
5. hallar los valores de la variable utilizando la Propiedad de la Igualdad de Cero.
Ejemplos:
6 12 7 18
1. +2= 2 2. +2=
x -1 x −1 x-2 ( x − 2)( x + 3)
F. Graficando funciones racionales
1. Hallamos la raíces de la función racional. Para esto, factorizamos el numerador y
el denominador de la función.
2. Se hallan los puntos de discontinuidad de la función.
a. Valores de la variable que el denominador da cero. Éstos son los
valores de la asíntota lim f ( x) = ∞
vertical.
x →k
b. La asíntota horizontal se halla obteniendo el lim x →∞ f ( x) = b
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3. c. Si no hay asíntota horizontal probablemente tenga un asíntota oblicua
en y= mx + b. Para hallar esta, primero, se divide el numerador entre el
denominador y se expresa como:
residuo
f ( x) = cociente +
deno min ador
La asíntota oblicua será el cociente. También se podrá denominar como:
lim x →∞ f ( x) − (mx + b) = 0
3. Hallar los interceptos igualando la expresión a cero.
Ejemplos: Halla las asíntotas de las gráficas y verifica haciendo la gráfica.
x 2x 2 + 3
1. y = 3. y =
x −1 x2 −1
1 x2 + 2
2. y = x + 4. y =
x x−2
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