1. El documento presenta propiedades y definiciones relacionadas con el valor absoluto y desigualdades, incluyendo once desigualdades importantes como la desigualdad del triángulo, la desigualdad de la media aritmética y geométrica, y la desigualdad de Cauchy-Schwarz. 2. También presenta cuatro casos para la fórmula general de inecuaciones de segundo grado dependiendo de si a es positivo o negativo y si b2 - 4ac es positivo o negativo. 3. Finalmente,

1. Valor Absoluta y Desigualdades
Ana Cristina Ch´vez C´liz
a a
5 de octubre de 2009
1. Propiedades y Definiciones
Para x ∈ R|x| :=x, si x ≥ 0; −x si x < 0
1.1. Propiedades
a) | − x| = |x|
b) √ = |a||b|; a > 0, |ab| = a|b|
|ab|
c) x2 = |x|, |x|2 = |x2 | = x2
d) [Desigualdad del tri´ngulo] |a + b| ≤ |a| + |b|
a
e) |x| = 0 ⇔ x = 0
f) −|x| ≤ x ≤ |x|
1.2. Proposiciones importantes
1. Proposici´n: Sean a > 0, b > 0, a < b ⇔ a2 < b2
o
√ √ √ √
2. Proposici´n: x2 < a ⇔ − a < x < a y, cuando x2 > a ⇔ a < x < − a
o
2. F´rmula general para inecuaciones de segun-
o
do grado
Sea ax2 + bx + c > 0 la desigualdad. Tenemos 4 casos
√
2
Caso 1: Cuando a > 0 y b2 − 4ac > 0, la soluci´n es x ∈ (−∞, −b− 2a −4ac ) ∪
o b
√
b2
( −b+ 2a −4ac , ∞)
√ √
b2 b2
Caso 2: Cuando a < 0 y b2 −4ac > 0, la soluci´n es x ∈ ( −b− 2a −4ac ), −b+ 2a −4ac )
o
√ √
b2 b2
Caso 3: Cuando a < 0 y b2 −4ac < 0, la soluci´n es x ∈ ( −b−i 2a −4ac ), −b+i 2a −4ac )
o
√
b2
Caso 4: Cuando a > 0 y b2 − 4ac < 0, la soluci´n es x ∈ (−∞, −b−i 2a −4ac ) ∪
o
√
2 −4ac
b
( −b+i 2a , ∞)
1

2. 2.1. Desigualdades importantes
1. Desigualdad de la media aritm´tica y media geom´trica:
√ e e
∀ a, b, se tiene que a+b ≥ ab
2
La primera parte de la desigualdad es la media aritm´tica, mientras que el otro
e
t´rmino es conocido como media geom´trica
e e
2. Generalizaci´n de la desigualdad de la media aritm´tica y geom´trica:
o e e
√
Sea a1 , a2 , . . . an tenemos que a1 +a2 +...+an ≥ n a1 a2 . . . an
n
1 1
3. Proposici´n: a > c > 0 ⇔
o a < c
4. Proposici´n: a > 1 ⇒ a2 > a
o
5. Proposici´n: a > 1, x > y > 0 ⇒ ax > ay > 1
o
6. Proposici´n: 0 < a < 1, x > y > 0 ⇒ 1 > ay > ax
o
7. Teorema: Si a > 1, x > y, entonces ax > ay > 0
8. Proposici´n: a > b > 0 y x < 0 ⇒ bx > ax
o
9. Desigualdad de Bernoulli:
Si x ≥ −1 y 0 < α < 1 ⇒ (1 + x)α ≤ 1 + αx
La igualdad se tiene si y solo si x = 0
Si x ≥ 1 y α > 1 ´ a < 0 ⇒ (1 + x)α ≥ 1 + αx
o
10. Desigualdad de la media arm´nica, media geom´trica y media aritm´tica:
o e e
n √ a1 + a2 + . . . + an
1 1 1 ≤ n
a1 a2 . . . an ≤
a1 + a2 + ... + an
n
11. Desigualdad de Cauchy-Schwarz:
Sean
a1 , a2 , . . . an , b1 , b2 , . . . bn ∈ R ⇐ a1 b1 +a2 b2 +. . .+an bn ≤ a2 + . . . + a2
1 n b2 + . . . + b2
1 n
2