PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
El concepto de probabilidad es manejado por
mucha gente.
Frecuentemente se escuchan
preguntas como las que se...
PROBABILIDAD
Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan
como respuesta una medida de confianza
representativa o prác...
PROBABILIDAD
El conocimiento de la probabilidad es de suma
importancia en todo estudio estadístico.
El cálculo de probabil...
PROBABILIDAD

Fenómenos Aleatorios y
Fenómenos Deterministicos.
Fenómeno Aleatorio.Es un fenómeno del que no se sabe que e...
PROBABILIDAD
La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.

Experimento aleatorio.Una acción que se realiza con...
PROBABILIDAD

Un

experimento es aleatorio si se
verifican las siguientes condiciones:
1. Se puede repetir indefinidamente...
PROBABILIDAD
Ejemplos:
Tirar dardos en un blanco determinado
Lanzar un par de dados
Obtener una carta de una baraja
Lanzar...
PROBABILIDAD

Otros ejemplos de eventos:
A: que al nacer un bebe, éste sea
niña
B: que una persona de 20 años,
sobreviva 1...
PROBABILIDAD
Probabilidad e Inferencia.
Se presentan dos candidatos al cargo de la
presidencia del CEUDLA, y se desea
dete...
PROBABILIDAD
Supóngase que todos los estudiantes de la
UDLA van a las urnas y se elige de manera
aleatoria, una muestra de...
PROBABILIDAD
1.- EL CANDIDATO X GANARA
2.- EL CANDIDATO Y GANARA
3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADA
PROBABILIDAD
1.- EL CANDIDATO X GANARA
GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL 50%
Y COMO LA FRACCION QUE LO FAVORECE
EN LA MUESTRA ...
PROBABILIDAD
TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA
20 VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS.
LLAME X = CAE AGUILA
Y = CAE SOL.
¿ CUAL ...
PROBABILIDAD
TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA
20 VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS.
LLAME X = CAE AGUILA
Y = CAE SOL.
¿ CUAL ...
PROBABILIDAD
1.- EL CANDIDATO X GANARA
SERIA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20
VOTANTES
DE
LA
MUESTRA
LO
APOYARAN, SI EN REALIDAD...
PROBABILIDAD
NO.
SI BIEN NO ES IMPOSIBLE OBTENER 20
VOTANTES A FAVOR DE X EN UNA
MUESTRA DE 20, SI ES PROBABLE QUE
MENOS D...
PROBABILIDAD
Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados
de interés de un experimento dado, y se le
d...
PROBABILIDAD
2.- Experimento: Se lanza un dado.
Espacio muestral = total de caras en que puede
caer el dado, o sea seis fo...
PROBABILIDAD
Los eventos aleatorios se denotan normalmente
con las letras mayúsculas A, B, C, ...
Son subconjuntos de S, e...
PROBABILIDAD
Eventos aleatorios que aparecen con gran
frecuencia en el cálculo de probabilidades:
Evento seguro.- Siempre ...
PROBABILIDAD

Evento Elemental.- Es el evento E que
contiene exactamente un punto muestral
de S, esto es, N(E) = 1.
Cada e...
PROBABILIDAD

Ejemplos (1) y (2):
En el experimento 1,
S = { s, a }, s y a son sucesos elementales
N(S) = 2
A = Que caiga ...
PROBABILIDAD

En el experimento 2,
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son
sucesos elementales, y
N(S) =6
A = Que ...
PROBABILIDAD
Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene
más de un punto muestral de S, por tanto
N(E) > 1
Evento contr...
PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza una moneda tres veces.
Espacio Muestral:
Ω = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S...
PROBABILIDAD
Si un espacio muestral contiene n puntos
muestrales, hay un total de 2n subconjuntos o
eventos ( se le conoce...
PROBABILIDAD
Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios
Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del
conjunto Ω, esp...
PROBABILIDAD
OPERACIÓN
UNION

EXPRESION DESCRIPCION
A∪B

INTERSECCION

A∩B

DIFERENCIA

A-B

Unión de eventos originales: ...
PROBABILIDAD
Gráficamente estas operaciones se pueden
representar a través de los diagramas de Venn.
Sea Ω el espacio mues...
PROBABILIDAD

S

A

B

Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.
PROBABILIDAD
De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la
unión de dos eventos se presenta de dos formas
diferentes: ...
PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza un dado.
Espacio muestral = total de caras en que puede
caer el dado, o sea se...
PROBABILIDAD

S
A

1

B
3
4

5
2

C
6

A ∪B = { 1, 3, 5 }∪ { 3, 4 } = {1,3,4,5}, N(A ∪B) = 4
A ∪ C = { 1, 3, 5 }∪ { 2,4,6 ...
PROBABILIDAD

S
B
A

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C

A ∩ B={ 1, 3, 5 } ∩ { 3, 4 } = {3}, N(A∩B) = 1
A ∩ C={ 1, 3, 5 } ∩ { 2,4,6 } = {Φ}, N(A ∩ C) =...
PROBABILIDAD

S
A
5

1

B
3
C

A – B = ={ 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 },
A – C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A...
PROBABILIDAD

S
A

1

B
3
4

5
2

Ac = { 2, 4, 6} = C
Bc = {1, 2, 5, 6 }
Cc = {1, 3, 5 } = A

C
6

N(Ac ) = N( C )= 3
N(Bc...
PROBABILIDAD
Probabilidad Clásica y Frecuencial.
Probabilidad frecuencial y regularidad
estadística
Las frecuencias relati...
PROBABILIDAD

Probabilidad frecuencial y regularidad
estadística
La probabilidad de un evento A, denotada
por P(A), es el ...
PROBABILIDAD

Esto es:

N ( A)
P( A) =
N (Ω)

(2)

donde
N(A) = número de elementos del evento A
N(Ω) = número de elemento...
PROBABILIDAD
Probabilidad clásica.Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de
ese espacio. Se define la probabil...
PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento.- Se lanza una moneda
Evento A.- que al lanzar una moneda caiga
águila.
Calcular la prob...
PROBABILIDAD

Leyes De La Probabilidad
Las relaciones que se dan entre los
eventos
al
ser
aplicadas
las
operaciones que se...
PROBABILIDAD
Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera
y A un evento, tal que A ⊂ S, entonces se
cumple que
0 ≤ P(A)...
PROBABILIDAD
Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es
un evento seguro, es uno
P(Ω) = 1
Ejemplo.Experimento.- ...
PROBABILIDAD

Teorema 1.- Si Φ es el conjunto vacío,
entonces la probabilidad de Φ es igual a 0
N (∅)
P (∅) =
=0
N (Ω)
Eje...
PROBABILIDAD
Axioma 3.- Sea
Ω un espacio muestral
cualquiera y sean A y B dos eventos tales que
A ⊂ Ω, B ⊂ Ω y A ∩ B = ∅, ...
PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanzan dos monedas
Ω = { ss, aa, sa, as}
N(Ω) = 4
Sean:
A: el evento de que al lanza...
PROBABILIDAD

N ( A) 1
P ( A) =
=
N (Ω) 4
N ( B) 2
P( B) =
=
N (Ω) 4
1 2 3
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) = + =
4 4 4
PROBABILIDAD
Axioma 4.Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente
exclusivos:
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, ... ∪ An) =
P(A1) +...
Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:

P( A1 U A2 U ... U An ) = P( A1 ) + P( A2 ) +...
PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza un dado
Sean
Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4
Evento B: que a...
PROBABILIDAD
Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya
que A ∩ B = {Φ},
A ∩ C = {Φ},
B ∩ C = {Φ},
Por axioma 4

P(A ∪ B...
PROBABILIDAD
Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad).
Sean A y B dos eventos no excluyentes, A ∩ B ≠
∅, entonces
P(A ...
PROBABILIDAD
Diferencia
Sean A y B dos eventos:
A-B = { x | x ∈ A y x ∉ B }
A
B

A-B
PROBABILIDAD
Ejemplo.Experimento.- Se lanza un dado y una moneda
Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(Ω...
PROBABILIDAD
Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un
espacio muestral, tal que A⊂S,
complemento

del

evento

A,

si...
PROBABILIDAD
Experimento.- Se lanza un dado y una moneda
Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(Ω) = 12
A...
PROBABILIDAD
Probabilidad Condicional.

Sea A un evento arbitrario de un espacio
muestral Ω, con P(E) > 0. La probabilidad...
PROBABILIDAD
Eventos Independientes:
Se dice que los eventos A y E son independientes si
se cumplen:

P( A / E ) = P( A)
P...
PROBABILIDAD
Probabilidad Condicional.
Ley Multiplicativa de la Probabilidad.
Ya que (A∩E) = (E∩A) y despejamos a P(A∩E), ...
PROBABILIDAD
Probabilidad Condicional.
Si A y B son independientes:

P( A ∩ E ) = P( A / E ) P( E ) = P ( A) P ( E )
= P( ...
PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado.
A: que al lanzar el dado caiga 3
E: que al lanzar un dado salga un impa...
PROBABILIDAD
Otra forma de calcular las probabilidades de la
intersección y las probabilidades condicionales,
de dos event...
Se tienen los eventos A y B y sus complementos
Ac, Bc
B

Bc

Total

A

A∩B

A∩Bc

A

Ac

Ac∩B

Ac∩Bc

Ac

Total

B

Bc

Ω
Tabla de número de elementos de A, B y sus
complementos Ac, Bc
B

Bc

Total

A

N(A∩B)

N(A∩Bc)

N(A)

Ac

N(Ac∩B)

N(Ac∩B...
Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus
intersecciones
B

Bc

Total

A

P(A∩B)

P(A∩Bc)

P(A)

Ac

P(Ac∩B)

P(Ac∩Bc)...
PROBABILIDAD
Probabilidades condicionales:
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
P(A/Bc) = P(A ∩ Bc)/P(Bc)
P(B/Ac)...
PROBABILIDAD
Ejemplo.En cierta ciudad, las mujeres representan el 50%
de la población y los hombres el otro 50%. Se
sabe q...
PROBABILIDAD
a).b).c).d).e).-

Mujer
Hombre
Mujer dado que está empleado
Desempleado dado que es hombre
Empleado dado que ...
Tabla Número de elementos de los Eventos M, H, D, E y S

Desempleados Empleados
D
E

Total

Mujeres
M

800

3200

4000

Ho...
Tabla de Probabilidades
D

E

Total

M

800/8000 = .1

3200/8000= .4

4000/8000= .5

H

200/8000= .025

3800/8000= .475

4...
PROBABILIDAD
P(M) = .50
P(H) = .50
P(E) = .875
P(D) = .125
P(M/E) = P(M∩E)/P(E) = .40/.875
P(D/H) = P(D∩H)/P(H) = .025/.5
...
PROBABILIDAD

Eventos dependientes e independientes
En el ejemplo anterior se tiene que
P(M) = .50
P(H) = .50
P(E) = .875
...
PROBABILIDAD
Por tanto los eventos M y E ,
D y H,
M y D,
EyH
son dependientes.
Ley general Multiplicativa para n
eventos
P( A1 I A2 I A3 I ... I Ak ) = P( A1 ) P ( A2  A1 ) P ( A3  A1 I A2 )...P ( Ak  ...
PROBABILIDAD
Probabilidad total.Sean A1, A2, A3..., An
eventos disjuntos
(mutuamente excluyentes), que forman una
partició...
PROBABILIDAD
Y sea E otro evento tal que E ⊂ Ω y E ∩ Ai ≠ ∅
A2
A5
A3
A1

A4

E
A6
An

E
PROBABILIDAD
Entonces
E = Ω ∩ E = (A1 ∪ A2∪ A3∪…∪ An) ∩ E
= (A1 ∩ E) ∪(A2 ∩ E) ∪(A3∩ E)
∪…∪ (An∩ E)
Al aplicar la función ...
PROBABILIDAD
Como (Ai ∩ E) = (E ∩ Ai) entonces
P(Ai ∩ E) = P(E ∩ Ai) = P(E/Ai) P(Ai)
Entonces la probabilidad completa de ...
PROBABILIDAD
Ejemplo.En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
su producción con tres máquinas hiladoras M1,
M2 y M3 qu...
PROBABILIDAD
Sea
D el evento: Que sea un artículo defectuoso.
P(M1) = .50
P(D/M1) = .03
P(M2) = .30

P(D/M2) = .04

P(M3) ...
P(D/M1)=.03

P(M1)=.50

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P(ND/M1)=.97
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P(ND/M2)=.96
P(D/M3)=.05

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P(ND/M3)=.95

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PROBABILIDAD
Teorema de Bayes.- Supóngase que A1, A2, A3,...,An
es una partición de un espacio muestral Ω. En cada
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PROBABILIDAD

Como la probabilidad completa de E es :
P(E) = P(A1 )P(E/A1 ) + P(A2 )P(E/A2 ) +  + P(An )P(E/An )
entonces...
PROBABILIDAD
Ejemplo.En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
su producción con tres máquinas hiladoras M1,
M2 y M3 qu...
PROBABILIDAD
Ejemplo.En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
su producción con tres máquinas hiladoras M1,
M2 y M3 qu...
PROBABILIDAD
Sea
D: Que el artículo sea defectuoso
ND: Que el artículo no sea defectuoso
M1: Que haya sido producido por l...
P(D/M1)=.03

P(M1)=.50

M1
P(ND/M1)=.97
P(D/M2)=.04

P(M2)=.30

M2
P(ND/M2)=.96
P(D/M3)=.05

P(M3)=.20

M3
P(ND/M3)=.95

D...
PROBABILIDAD
Por teorema de Bayes se tiene:

P ( M 1 / D) =
=

P(M 1 ) P( D / M 1 )
P(M 1 ) P( D / M 1 ) + P(M 2 ) P( D / ...
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Probabilidad1

  1. 1. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PROBABILIDAD
  2. 2. PROBABILIDAD El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación: ¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería o el melate ? ¿ Qué posibilidad hay de que me pase un accidente automovilístico ? ¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no. ¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el primer parcial ?,
  3. 3. PROBABILIDAD Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan como respuesta una medida de confianza representativa o práctica de que ocurra un evento futuro, o bien de una forma sencilla interpretar la probabilidad. En este curso lo que se quiere es entender con claridad su contexto, como se mide y como se utiliza al hacer inferencias.
  4. 4. PROBABILIDAD El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico. El cálculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la estadística inferencial.
  5. 5. PROBABILIDAD Fenómenos Aleatorios y Fenómenos Deterministicos. Fenómeno Aleatorio.Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, están relacionados con el azar o probabilidad. Fenómeno Determinista.Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cual será el resultado.
  6. 6. PROBABILIDAD La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios. Experimento aleatorio.Una acción que se realiza con el propósito de analizarla. Tiene como fin último determinar la probabilidad de uno o de varios resultados. Se considera como aleatorio y estocástico, si sus resultados no son constantes. Puede ser efectuado cualquier número de veces esencialmente en las mismas condiciones.
  7. 7. PROBABILIDAD Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: 1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones; 2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener; 3. El resultado que se obtenga, s, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.
  8. 8. PROBABILIDAD Ejemplos: Tirar dardos en un blanco determinado Lanzar un par de dados Obtener una carta de una baraja Lanzar una moneda
  9. 9. PROBABILIDAD Otros ejemplos de eventos: A: que al nacer un bebe, éste sea niña B: que una persona de 20 años, sobreviva 15 años más C: que la presión arterial de un adulto se incremente ante un disgusto
  10. 10. PROBABILIDAD Probabilidad e Inferencia. Se presentan dos candidatos al cargo de la presidencia del CEUDLA, y se desea determinar si el candidato X puede ganar. Población de interés: Conjunto de respuestas de los estudiantes que votarán el día de las elecciones. Criterio de gane: Si obtiene el más del 50% de los votos.
  11. 11. PROBABILIDAD Supóngase que todos los estudiantes de la UDLA van a las urnas y se elige de manera aleatoria, una muestra de 20 estudiantes. Si los 20 estudiantes apoyan al candidato ¿ Qué concluye respecto a la posibilidad que tiene el candidato X de ganar las elecciones ?
  12. 12. PROBABILIDAD 1.- EL CANDIDATO X GANARA 2.- EL CANDIDATO Y GANARA 3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADA
  13. 13. PROBABILIDAD 1.- EL CANDIDATO X GANARA GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL 50% Y COMO LA FRACCION QUE LO FAVORECE EN LA MUESTRA ES 100%, ENTONCES LA FRACCION QUE LO FAVORECERA EN LA POBLACION SERA IGUAL. ¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.
  14. 14. PROBABILIDAD TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA 20 VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS. LLAME X = CAE AGUILA Y = CAE SOL. ¿ CUAL ES LA FRACCION DE AGUILAS Y CUAL ES LA FRACCION DE SOLES ?.
  15. 15. PROBABILIDAD TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA 20 VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS. LLAME X = CAE AGUILA Y = CAE SOL. ¿ CUAL ES LA FRACCION DE AGUILAS Y CUAL ES LA FRACCION DE SOLES ?.
  16. 16. PROBABILIDAD 1.- EL CANDIDATO X GANARA SERIA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20 VOTANTES DE LA MUESTRA LO APOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES PENSARIA VOTAR POR EL. ¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.
  17. 17. PROBABILIDAD NO. SI BIEN NO ES IMPOSIBLE OBTENER 20 VOTANTES A FAVOR DE X EN UNA MUESTRA DE 20, SI ES PROBABLE QUE MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES ESTE A FAVOR DE EL, AUN CUANDO SEA MUY POCO PROBABLE.
  18. 18. PROBABILIDAD Espacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S. Ejemplos: 1.- Experimento: Se lanza una moneda. Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sol o que caiga águila. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento). S = { s, a }
  19. 19. PROBABILIDAD 2.- Experimento: Se lanza un dado. Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
  20. 20. PROBABILIDAD Los eventos aleatorios se denotan normalmente con las letras mayúsculas A, B, C, ... Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,… ⊂ S Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún elemento. Al número de puntos muestrales de S se le representa por N(S)
  21. 21. PROBABILIDAD Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades: Evento seguro.- Siempre se verifica después del experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral. E = S y N(E) = N(S) Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de S, y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío. Φ ⊂ S, y N(Φ) = 0
  22. 22. PROBABILIDAD Evento Elemental.- Es el evento E que contiene exactamente un punto muestral de S, esto es, N(E) = 1. Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. También se le denomina como punto muestral.   Si s1, s2 ∈ S entonces s1, s2 son eventos elementales.
  23. 23. PROBABILIDAD Ejemplos (1) y (2): En el experimento 1, S = { s, a }, s y a son sucesos elementales N(S) = 2 A = Que caiga sol = { s }, N(A) = 1 B = Que caiga águila = { a }, N(B) = 1
  24. 24. PROBABILIDAD En el experimento 2, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son sucesos elementales, y N(S) =6 A = Que caiga un uno = { 1 } B = Que caiga un dos = { 2 } : : : F = Que caiga un seis = { 6 }
  25. 25. PROBABILIDAD Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene más de un punto muestral de S, por tanto N(E) > 1 Evento contrario a un evento A: También se denomina evento complemento de A y es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A. Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define como: c A = { s ∈ Ω tal que s ∉ A}
  26. 26. PROBABILIDAD Ejemplo: Experimento: Se lanza una moneda tres veces. Espacio Muestral: Ω = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A), (S,A,A), (A,A,A) }, N(Ω) = 8, S es el evento seguro. Evento simple: B:Que salgan tres soles; B ={ (S,S,S) } , N(B) = 1 Evento compuesto: E: Que salgan al menos dos soles; E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) }, N(E) = 4 Evento imposible: φ (conjunto vacio). N(φ) = 0
  27. 27. PROBABILIDAD Si un espacio muestral contiene n puntos muestrales, hay un total de 2n subconjuntos o eventos ( se le conoce como conjunto potencia ). Por tanto para el ejemplo anterior existen: 28 = 256, eventos posibles. Para el caso del experimento: se tira una moneda, el espacio muestral es de 2 puntos muestrales S = {A, S}, por lo que se tienen 22 = 4 subconjuntos y el conjunto potencia es: (A,S), (A), (S), φ (conjunto vacio).
  28. 28. PROBABILIDAD Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto Ω, espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.
  29. 29. PROBABILIDAD OPERACIÓN UNION EXPRESION DESCRIPCION A∪B INTERSECCION A∩B DIFERENCIA A-B Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden Intersección de los eventos originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente. La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.
  30. 30. PROBABILIDAD Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn. Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B ⊂ Ω gráficamente se puede expresar como: S A B Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.
  31. 31. PROBABILIDAD S A B Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.
  32. 32. PROBABILIDAD De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes: cuando los eventos son mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común) y cuando entre los eventos hay elementos comunes. Definición.- Se dice que dos eventos A y B son mutuamente exclusivos, cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, A ∩ B = ∅, lo que ocurre en la fig. 1.
  33. 33. PROBABILIDAD Ejemplo: Experimento: Se lanza un dado. Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés: S = { 1,2,3,4,5,6 }, N(S) = 6 Sean A, B, C los eventos: A: Que caiga un número impar = { 1, 3, 5 } , N(A) = 3 B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5 = { 3, 4 }, N(B) = 2 C: Que caiga un número par = { 2, 4, 6 } , N(C) = 3
  34. 34. PROBABILIDAD S A 1 B 3 4 5 2 C 6 A ∪B = { 1, 3, 5 }∪ { 3, 4 } = {1,3,4,5}, N(A ∪B) = 4 A ∪ C = { 1, 3, 5 }∪ { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6}=S, N(A ∪C) = N(S) = 6 B ∪ C = { 3, 4 } ∪ { 2, 4, 6 } = {2,3,4,6}, N(B ∪ C) = 4 A ∪B ∪ C = { 1, 3, 5 }∪ { 3, 4 }∪ { 2,4,6 }= {1,2,3,4,5,6}=S, N(A ∪B ∪ C) = 6
  35. 35. PROBABILIDAD S B A 3 4 C A ∩ B={ 1, 3, 5 } ∩ { 3, 4 } = {3}, N(A∩B) = 1 A ∩ C={ 1, 3, 5 } ∩ { 2,4,6 } = {Φ}, N(A ∩ C) = N{Φ) = 0 B ∩ C={ 3, 4 } ∩ { 2, 4, 6 } = {4}, N(B ∩ C) = 1 (A ∩ B) ∩ C = ({ 1, 3, 5 } ∩ { 3, 4 }) ∩ { 2,4,6 }= {3}∩ { 2,4,6 }={Φ}, N((A ∩ B) ∩ C) = N{Φ) = 0 A ∩ (B ∩ C) = { 1, 3, 5 } ∩ ({ 3, 4 } ∩ { 2,4,6 })= { 1, 3, 5 } ∩ { 4 }={Φ}, N(A ∩ (B ∩ C)) = N{Φ) = 0
  36. 36. PROBABILIDAD S A 5 1 B 3 C A – B = ={ 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 }, A – C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A, B – C = { 3, 4 } - { 2,4,6 } = { 3 }, N(A – B) = 2 N( A – C) = N(A) = 3 N(B-C) = 1
  37. 37. PROBABILIDAD S A 1 B 3 4 5 2 Ac = { 2, 4, 6} = C Bc = {1, 2, 5, 6 } Cc = {1, 3, 5 } = A C 6 N(Ac ) = N( C )= 3 N(Bc ) = 4 N(Cc ) = N(A) = 3
  38. 38. PROBABILIDAD Probabilidad Clásica y Frecuencial. Probabilidad frecuencial y regularidad estadística Las frecuencias relativas de un evento tienden a estabilizarse cuando el número de observaciones se hace cada vez mayor. Ejemplo: La regularidad estadística en el experimento del lanzamiento de monedas, indica que las frecuencias relativas del evento: que salga sol {s }, se tiende a estabilizar aproximadamente en .5= 1/2.
  39. 39. PROBABILIDAD Probabilidad frecuencial y regularidad estadística La probabilidad de un evento A, denotada por P(A), es el valor en el que se estabilizan las frecuencias relativas del evento A, cuando el número de observaciones del experimento se hace cada vez mayor.
  40. 40. PROBABILIDAD Esto es: N ( A) P( A) = N (Ω) (2) donde N(A) = número de elementos del evento A N(Ω) = número de elementos del espacio muestral Ω.
  41. 41. PROBABILIDAD Probabilidad clásica.Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como: NCF P ( A) = NCT (1) donde NCF - número de casos favorables NCT - número de casos totales
  42. 42. PROBABILIDAD Ejemplo: Experimento.- Se lanza una moneda Evento A.- que al lanzar una moneda caiga águila. Calcular la probabilidad de A: S = { A, S}, N(Ω) = 2 A = { A }, N(A) = 1 N ( A) 1 P( A) = = = .5 N (Ω ) 2
  43. 43. PROBABILIDAD Leyes De La Probabilidad Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad). Axioma.- es una verdad evidente que no requiere demostración. Teorema.- Es una verdad que requiere ser demostrada.
  44. 44. PROBABILIDAD Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A ⊂ S, entonces se cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1 (3) esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible. P(A) ___________________________________ • -2 -1 0 1 2
  45. 45. PROBABILIDAD Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es un evento seguro, es uno P(Ω) = 1 Ejemplo.Experimento.- Se lanza un dado Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces. N ( A) N ( S ) P( A) = = =1 N (Ω ) N (Ω )
  46. 46. PROBABILIDAD Teorema 1.- Si Φ es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de Φ es igual a 0 N (∅) P (∅) = =0 N (Ω) Ejemplos: Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto. Que aparezca un siete al lanzar un dado Que una persona viva 250 años En estos casos los eventos son vacíos
  47. 47. PROBABILIDAD Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que A ⊂ Ω, B ⊂ Ω y A ∩ B = ∅, es decir, dos eventos mutuamente exclusivos, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B). A B A∪ B
  48. 48. PROBABILIDAD Ejemplo: Experimento: Se lanzan dos monedas Ω = { ss, aa, sa, as} N(Ω) = 4 Sean: A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan dos soles exactamente B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un sol exactamente. Los elementos de A y B son A = { ss } B = {sa, as} Se puede ver que A ∩ B = ∅, no hay elementos en común, por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o disjuntos, por tanto P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
  49. 49. PROBABILIDAD N ( A) 1 P ( A) = = N (Ω) 4 N ( B) 2 P( B) = = N (Ω) 4 1 2 3 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) = + = 4 4 4
  50. 50. PROBABILIDAD Axioma 4.Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente exclusivos: P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An) Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.
  51. 51. Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria: P( A1 U A2 U ... U An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) − n n ∑ P( A I A ) + ∑ i≠ j i j i≠ j= k P( Ai I Aj I Ak ) − ... + P( A1 I A2 I ... I Ak )
  52. 52. PROBABILIDAD Ejemplo: Experimento: Se lanza un dado Sean Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4 Evento B: que al lanzar un dado salga un número mayor a 4 Evento C: que salga el 1 o 3 Los elementos de A, B y C son A = {2, 4}, B = {5, 6}, C = {1, 3} , N(A) = 2 N(B) = 2 N(C) = 2
  53. 53. PROBABILIDAD Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que A ∩ B = {Φ}, A ∩ C = {Φ}, B ∩ C = {Φ}, Por axioma 4 P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) N ( A) 2 P ( A) = = N (Ω) 6 N ( B) 2 P( B) = = N (Ω) 6 N (C ) 2 P (C ) = = N (Ω) 6 2 2 2 6 P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) = + + = = 1 6 6 6 6
  54. 54. PROBABILIDAD Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad). Sean A y B dos eventos no excluyentes, A ∩ B ≠ ∅, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) A∪B
  55. 55. PROBABILIDAD Diferencia Sean A y B dos eventos: A-B = { x | x ∈ A y x ∉ B } A B A-B
  56. 56. PROBABILIDAD Ejemplo.Experimento.- Se lanza un dado y una moneda Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } N(Ω) = 12 A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el número 2 o 3 con sol. B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan números pares con sol. A = { 2s, 3s }, N(A) = 2 B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3 A ∩ B = { 2s } N(A ∩ B ) = 1 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 2/12 + 3/12 – 1/12 = 4/12 = 1/3
  57. 57. PROBABILIDAD Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un espacio muestral, tal que A⊂S, complemento del evento A, si Ac es el entonces la probabilidad de Ac es igual a 1 menos la probabilidad de A, es decir P(Ac) = 1 – P(A)
  58. 58. PROBABILIDAD Experimento.- Se lanza un dado y una moneda Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } N(Ω) = 12 A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el número 2 o 3 con sol. B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan números pares con sol. A = { 2s, 3s }, N(A) = 2 B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3 Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 2/12 = 10/12 Bc = { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 3/12 = 9/12
  59. 59. PROBABILIDAD Probabilidad Condicional. Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral Ω, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como: P( A ∩ E ) P( A / E ) = P( E )
  60. 60. PROBABILIDAD Eventos Independientes: Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen: P( A / E ) = P( A) P( E / A) = P( E ) P( A ∩ B) = P ( A) P( B ) Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.
  61. 61. PROBABILIDAD Probabilidad Condicional. Ley Multiplicativa de la Probabilidad. Ya que (A∩E) = (E∩A) y despejamos a P(A∩E), se tiene que la probabilidad de la intersección es: P( A ∩ E ) P( A / E ) = P( E ) P ( E ∩ A) P ( E / A) = P ( A) P( A ∩ E ) = P( A / E ) P( E ) = P( E/A ) P( A )
  62. 62. PROBABILIDAD Probabilidad Condicional. Si A y B son independientes: P( A ∩ E ) = P( A / E ) P( E ) = P ( A) P ( E ) = P( E/A ) P( A ) = P(E)P(A) P ( A ∩ E ) P ( A) P ( E ) P( A / E ) = = = P ( A) P( E ) P( E ) P ( E ∩ A) P ( E ) P ( A) P ( E / A) = = = P( E ) P ( A) P ( A)
  63. 63. PROBABILIDAD Ejemplo: Experimento: Lanzar un dado. A: que al lanzar el dado caiga 3 E: que al lanzar un dado salga un impar Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar. Ω = {1,2,3,4,5,6} A = {3}, E = { 1,3,5}, (A∩E) = {3}, P(A) = 1/6 P(A/E) = P(A∩E)/ P(E) = 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3) = 6/18 = 1/3
  64. 64. PROBABILIDAD Otra forma de calcular las probabilidades de la intersección y las probabilidades condicionales, de dos eventos A y B, tal que A ∪ AC = Ω B ∪ BC = Ω es elaborando primero la tabla de número de elementos de los eventos y después la tabla de sus probabilidades.
  65. 65. Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac, Bc B Bc Total A A∩B A∩Bc A Ac Ac∩B Ac∩Bc Ac Total B Bc Ω
  66. 66. Tabla de número de elementos de A, B y sus complementos Ac, Bc B Bc Total A N(A∩B) N(A∩Bc) N(A) Ac N(Ac∩B) N(Ac∩Bc) N(Ac) Total N(B) N(Bc) N(Ω)
  67. 67. Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus intersecciones B Bc Total A P(A∩B) P(A∩Bc) P(A) Ac P(Ac∩B) P(Ac∩Bc) P(Ac) Total P(B) P(Bc) P( Ω)
  68. 68. PROBABILIDAD Probabilidades condicionales: P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A) P(A/Bc) = P(A ∩ Bc)/P(Bc) P(B/Ac) = P(Ac ∩ B)/P(Ac) P(Ac/B) = P(Ac ∩ B)/P(B) P(Bc/A) = P(A ∩ Bc)/P(A)
  69. 69. PROBABILIDAD Ejemplo.En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista estudia la situación de empleo, elige al azar una persona desempleada. Si la población total es de 8000 personas, ¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?:
  70. 70. PROBABILIDAD a).b).c).d).e).- Mujer Hombre Mujer dado que está empleado Desempleado dado que es hombre Empleado dado que es mujer Sean los eventos: M: Que sea Mujer H: Que sea Hombre D: Que sea Desempleado E: Que sea Empleado
  71. 71. Tabla Número de elementos de los Eventos M, H, D, E y S Desempleados Empleados D E Total Mujeres M 800 3200 4000 Hombres H 200 3800 4000 Total 1000 7000 8000
  72. 72. Tabla de Probabilidades D E Total M 800/8000 = .1 3200/8000= .4 4000/8000= .5 H 200/8000= .025 3800/8000= .475 4000/8000= .5 Total 1000/8000= .125 7000/8000= .875 8000/8000= 1
  73. 73. PROBABILIDAD P(M) = .50 P(H) = .50 P(E) = .875 P(D) = .125 P(M/E) = P(M∩E)/P(E) = .40/.875 P(D/H) = P(D∩H)/P(H) = .025/.5 P(E/M) = P(M∩E)/P(M) = .40/.5 P(M/D) = P(M∩D)/P(D) = .10/.125 P(H/D) = P(H∩D)/P(D) = .025/.125 = .4571 = .05 = .8 = .8 = .2
  74. 74. PROBABILIDAD Eventos dependientes e independientes En el ejemplo anterior se tiene que P(M) = .50 P(H) = .50 P(E) = .875 P(D) = .125 P(M∩E) = .40 P(M) P(E) = .4375 P(D∩H) = .025 P(D) P(H) = .0625 P(M∩D) = .10 P(M) P(D) = .0625 P(E∩H) = .475 P(E) P(H) = .4375
  75. 75. PROBABILIDAD Por tanto los eventos M y E , D y H, M y D, EyH son dependientes.
  76. 76. Ley general Multiplicativa para n eventos P( A1 I A2 I A3 I ... I Ak ) = P( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 I A2 )...P ( Ak A1 I A2 I ... I Ak −1 ) INDEPENDENCIA DE n EVENTOS P ( A1 I A2 I A3 I ... I Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )...P ( Ak )
  77. 77. PROBABILIDAD Probabilidad total.Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos (mutuamente excluyentes), que forman una partición de Ω. Esto es Ai ∩ Aj = ∅ para toda i y toda j, y además Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪…∪ An A2 A1 A3 A5 A4 A6 An
  78. 78. PROBABILIDAD Y sea E otro evento tal que E ⊂ Ω y E ∩ Ai ≠ ∅ A2 A5 A3 A1 A4 E A6 An E
  79. 79. PROBABILIDAD Entonces E = Ω ∩ E = (A1 ∪ A2∪ A3∪…∪ An) ∩ E = (A1 ∩ E) ∪(A2 ∩ E) ∪(A3∩ E) ∪…∪ (An∩ E) Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos, se tiene que: P(E) = P(A1∩E) + P(A2∩E) +P(A3∩E) +…+P(An ∩E) Ya que (Ai ∩ E) es ajeno a (Aj ∩ E) para i ≠ j
  80. 80. PROBABILIDAD Como (Ai ∩ E) = (E ∩ Ai) entonces P(Ai ∩ E) = P(E ∩ Ai) = P(E/Ai) P(Ai) Entonces la probabilidad completa de E es: P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) + P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)
  81. 81. PROBABILIDAD Ejemplo.En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, ¿ Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso ?
  82. 82. PROBABILIDAD Sea D el evento: Que sea un artículo defectuoso. P(M1) = .50 P(D/M1) = .03 P(M2) = .30 P(D/M2) = .04 P(M3) = .20 P(D/M3) = .05 P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3) = .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037
  83. 83. P(D/M1)=.03 P(M1)=.50 M1 P(ND/M1)=.97 P(D/M2)=.04 P(M2)=.30 M2 P(ND/M2)=.96 P(D/M3)=.05 P(M3)=.20 M3 P(ND/M3)=.95 D P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015 ND D P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012 ND D P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01 ND P(D) = .015+.012+.01=.037
  84. 84. PROBABILIDAD Teorema de Bayes.- Supóngase que A1, A2, A3,...,An es una partición de un espacio muestral Ω. En cada caso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2, A3,...,An, son eventos mutuamente exclusivos. Sea E cualquier evento, entonces para cualquier Ai, P( Ai / E ) = P( Ai ) P( E / AI ) P( A1 ) P( E / A1 ) + P( A2 ) P( E / A2 ) +  + P( An ) P( E / An )
  85. 85. PROBABILIDAD Como la probabilidad completa de E es : P(E) = P(A1 )P(E/A1 ) + P(A2 )P(E/A2 ) +  + P(An )P(E/An ) entonces P( Ai / E ) = P( Ai ) P( E / AI ) P(E)
  86. 86. PROBABILIDAD Ejemplo.En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Supóngase que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina M1?
  87. 87. PROBABILIDAD Ejemplo.En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Supóngase que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina M1?
  88. 88. PROBABILIDAD Sea D: Que el artículo sea defectuoso ND: Que el artículo no sea defectuoso M1: Que haya sido producido por la máquina 1 M2: Que haya sido producido por la máquina 2 M3: Que haya sido producido por la máquina 3 P(M1) = .50 P(D/M1) = .03 P(M2) = .30 P(D/M2) = .04 P(M3) = .20 P(D/M3) = .05
  89. 89. P(D/M1)=.03 P(M1)=.50 M1 P(ND/M1)=.97 P(D/M2)=.04 P(M2)=.30 M2 P(ND/M2)=.96 P(D/M3)=.05 P(M3)=.20 M3 P(ND/M3)=.95 D P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015 ND D P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012 ND D P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01 ND P(D) = .015+.012+.01=.037
  90. 90. PROBABILIDAD Por teorema de Bayes se tiene: P ( M 1 / D) = = P(M 1 ) P( D / M 1 ) P(M 1 ) P( D / M 1 ) + P(M 2 ) P( D / M 2 ) + P(M 3 ) P( D / M 3 ) P(M 1 ) P( D / M 1 ) P ( D) = (.50)(.03) .037 = .4054 La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%

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