Probabilidad

Introducción
La probabilidad es una parte de las matemáticas que se encarga de estudiar los
sucesos que se originan en la vida cotidiana. Ejemplo: Al comprar un seguro o al
viajar en un medio de transporte, en algún acontecimiento artístico, la salud de
una persona, etc.
Ejercicio:
Lanzar 50 volados con las siguientes monedas: $1, $5 & $10.
MONEDA ÁGUILA TABULACIÓN SOL TABULACIÓN
$1 IIII IIII IIII IIII IIII III 28 IIII IIII IIII IIII II 22
$5 IIII IIII IIII IIII IIII 24 IIII IIII IIII IIII IIII I 26
$10 IIII IIII IIII IIII IIII IIII I 31 IIII IIII IIII IIII 19
Experimento 1: MONEDA DE $1
CARAS # DE VECES PORCENTAJE
SOL 22 44%
ÁGUILA 28 56%
SOL 26 52%
ÁGUILA 24 48%
SOL 19 38%
ÁGUILA 31 62%
Inferencia: Los porcentajes por monedas varían por el peso de las monedas; ya
que la de $1 es más pequeña y ligera, que la de $5 y $10 que son más grandes y
pesadas, el lugar en donde fueron lanzadas y la fuerza con que fueron lanzadas.
0
10
20
30
40
Experimento 1 Experimento 2 Experimento 3
Águila
Sol

Permutación de # 1, 2, 3, 4, 5
1. 12345
2. 12354
3. 12435
4. 12453
5. 12534
6. 12543
7. 13245
8. 13254
9. 13425
10.13452
11.13524
12.13542
13.14235
14.14253
15.14325
16.14352
17.14523
18.14532
19.15234
20.15243
21.15324
22.15342
23.15423
24.15432
25.21345
26.21354
27.21435
28.21453
29.21534
30.21543
31.23245
32.23254
33.23425
34.23452
35.23524
36.23542
37.24235
38.24253
39.24325
40.24352
41.24523
42.24532
43.25234
44.25243
45.25324
46.25342
47.25423
48.25432
49.32145
50.32154
51.32415
52.32451
53.32514
54.32542
55.31245
56.31254
57.31425
58.31452
59.31524
60.31542
61.34215
62.34251
63.34125
64.34152
65.34521
66.34512
67.35234
68.35243
69.35124
70.35142
71.35421
72.35412
73.42315
74.42351
75.42135
76.42153
77.42531
78.42513
79.43215
80.43251
81.43125
82.43152
83.43521
84.43512
85.41235
86.41253
87.41325
88.41352
89.41523
90.41532
91.45234
92.45243
93.45321
94.45312
95.45123
96.45132
97.52341
98.52314
99.52431
100. 52413
101. 52134
102. 52143
103. 53241
104. 53214
105. 53421
106. 53412
107. 53124
108. 53142
109. 54231
110. 54213
111. 54321
112. 54312
113. 54123
114. 54132
115. 51234
116. 51243
117. 51324
118. 51342
119. 51423
120. 51432

PERMUTACIÓN
Una permutación es una combinación en donde el orden es
importante. La notación para permutaciones es P(n,r) que es
la cantidad de permutaciones de “n” elementos si solamente
se seleccionan “r”.
Ejemplo: Si nueve estudiantes toman un examen y todos
obtienen diferente calificación, cualquier alumno podría
alcanzar la calificación más alta. La segunda calificación más
alta podría ser obtenida por uno de los 8 restantes. La tercera
calificación podría ser obtenida por uno de los 7 restantes.
La cantidad de permutaciones posibles sería: P(9,3) = 9*8*7 =
504 combinaciones posibles de las tres calificaciones más
altas.
http://www.aaamatematicas.com/sta-permu.htm
COMBINACIÓN
Una combinación es un arreglo donde el orden NO es
importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que
es la cantidad de combinaciones de “n” elementos
seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de
permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido
por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.
Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve,
¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?
La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! =
(9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
http://www.aaamatematicas.com/sta-combin.htm

Ejercicios:
1:
1.789
2.798
3.879
4.897
5.987
6.978
2:
1.abc
2.acb
3.bac
4.bca
5.cab
6.cba
3:
a a a a a a b b b b b b c c c c c c d d d d d d
b b c c d d a a c c d d a a b b d d a a b b c c
c d b d b c d c a b a c b d a d a b c b c a b a
d c d b c b c d b a c a d b d a b a b c a c a b

RESOLVER LOS SIG. CASOS:
 Se tiene un candado de 3 cilindros y se quieren encontrar el # de
combinaciones posibles, los # de los cilindros van del 0 al 5
1. 000
2. 001
3. 002
4. 003
5. 004
6. 005
7. 010
8. 011
9. 012
10.013
11.014
12.015
13.020
14.021
15.022
16.023
17.024
18.025
19.030
20.031
21.032
22.033
23.034
24.035
25.040
26.041
27.042
28.043
29.044
30.045
31.050
32.051
33.052
34.053
35.054
36.055
 Muestra: 36 combinaciones  N= 216 combinaciones
 Se tiene una fila de 4 personas: Pedro, Juan, Antonio y René. Se
quieren ubicar de todas las formas posibles, ¿Cuántas formas serían?
1. PJAR
2. PJRA
3. PAJR
4. PARJ
5. PRAJ
6. PRJA
 Muestra: 6 formas  N= 24 formas posibles
 Se quieren emplacar vehículos en el Estado de México con 2 letras (A
& B) y 5 # (0-4) ¿cuántas placas se pueden hacer?
1. AA00000
2. AA00001
3. AA00002
4. AA00003
5. AA00004
6. AA00010
 Muestra: 6 combinaciones  N= 12500 placas
Conclusión:
 ¿Los ejercicios anteriores que características tienen?
 ¿Existen ejercicios de permutación y combinación?

EJERCICIO:
Si un hombre tiene 2 camisas y 4 corbatas, entonces tiene
(2)(4)=8 combinaciones para escoger una camisa y luego una
corbata.
Construir un diagrama de árbol.

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un
acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio,
del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones
suficientemente estables.
http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad
TIPOS DE SUCESOS
Suceso elemental
Es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo
al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.
Suceso compuesto
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al
tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el
espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación
que sea menor que 7.
Suceso imposible
Suceso imposible, Conjunto vacío, es el que no tiene ningún elemento. Por
ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.
Sucesos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental
común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3,
A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en
común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5,
A y B son incompatibles.
Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A
no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Al lazar dos dados los resultados
son independientes.

Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se
ve afectada porque haya sucedido o no B. Extraer dos cartas de una baraja, sin
reposición, son sucesos dependientes.
Suceso contrario
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se
denota por suceso contrario. Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar
un dado.
http://www.ditutor.com/probabilidad/sucesos_probabilidad.html
ESPACIO DE SUCESOS
Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios.
Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por:
S= {Conjunto vacio, {C}, {X}, {C,X}}.
Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso
seguro.
Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos
de E es 2n .
Una moneda E= {C, X}.
Número de sucesos = 22 =4
Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}.
Número de sucesos = 24 =16
Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Número de sucesos = 26 = 64
UNIÓN DE SUCESOS
La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y
de B.
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o
ambos.

A B se lee como "A o B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y
B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {2, 3, 4, 6}
PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE SUCESOS
Conmutativa
Asociativa
Idempotente
Simplificación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
INTERSECCIÓN DE SUCESOS
La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos
que son, a la vez, de A y B.
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

A B se lee como "A y B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y
B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {3}
PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE
SUCESOS
Conmutativa
Asociativa
Idempotente
Simplificación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
SUCESOS CONTRARIOS
El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.
Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.

Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par".
Calcular .
A = {2, 4, 6}
= {1, 3, 5}
Propiedades
LAS LEYES DE MORGAN

FÓRMULAS
Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las
permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS
hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Así que la fórmula es simplemente:
nr: donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)
Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
La fórmula se escribe:
𝑛!
( 𝑛−𝑟)!
: Donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa)
Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los
números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
𝑛!
( 𝑛 − 𝑟)!
= (
𝑛
𝑟
)
http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-
permutaciones.html

Permutación
Son las más
fáciles de
calcular
Permutaciones
con repetición
nr
Permutaciones
sin repetición
n!
(n-r)!
2
tipos
Combinación
Combinaciones
sin repetición
n! n
(n-r)! r
Combinaciones
con repetición

1. ¿Qué probabilidades hay de que otro niño cumpla años en una fecha
diferente del 26 de enero?
𝟏
𝟑𝟔𝟒
𝑹 = 𝟑𝟔𝟒 𝒅𝒆 𝟑𝟔𝟓
2. ¿Cómo podrías resolver la probabilidad de que los dos niños nazcan el
mismo día?
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒐𝒔 𝒅í𝒂𝒔 𝟑𝟔𝟓 𝒍𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒐 𝟏 𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂𝒏 𝟑𝟔𝟒
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los
valores de la distribución.
Las medidas de dispersión son:
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de losdatos de una distribución
estadística.
Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable
estadística y la media aritmética.
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las
desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por
Ejemplo: Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviación media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de
la desviación media es:
Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribución estadística.
La varianza se representa por .
Varianza para datos agrupados
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes
expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviación.
La desviación típica se representa por σ.
Desviación típica para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son
equivalentes a las anteriores.
http://www.vitutor.net/2/11/medidas_dispersion.html

 Probabilidad de sacar un A’s en la primera mano:
1
54
 Probabilidad de sacar 2 K en dos manos:
2
54
 Probabilidad de sacar 4 A’s en la primera mano:
4
54
 Probabilidad de sacar una corrida en la primera mano:
1
11
No fue difícil sacar las probabilidades al conocer el número total de tarjetas
MATEMÁTICA RECREATIVA
La matemática recreativa es un área de las matemáticas que se concentra en la
obtención de resultados acerca de actividades lúdicas, y también la que se dedica
a difundir o divulgar de manera entretenida y divertida los conocimientos, ideas o
problemas matemáticos.
El concepto de matemática recreativa es tan viejo como lo son los juegos en los
que interviene la lógica o el cálculo de algún modo.
Una de las personas que más ha contribuido a la divulgación de las matemáticas
recreativas en nuestro tiempo fue Martin Gardner, con libros como El
ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos, Nuevos
pasatiempos matemáticos, como también Perelman, y otros muchos.
 el Sudoku
 el cuadrado mágico y alfa
mágico
 el cubo de Rubik
 el juego de Cram
 el Tangram
 el origami
 el juego del oso
 el timbiriche o juego de los
cuadraditos
 las poliformas
 Pentominó
 Cubo soma
 Torres de Hanói
 Acertijos
 Juegos de lógica
 El ajedrez
 Rithmomachia
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_recreativa

Rango: Es el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte
unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos,
cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.
Desviación media: La desviación media es la media aritmética de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media.
Varianza: La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones
respecto a la media de una distribución estadística.
Desviación estándar: La desviación estándar o desviación típica es la raíz
cuadrada de la varianza.
Medida Qué es Fórmula
Rango
Diferencia entre el valor máximo y el
valor mínimo de los datos de una
distribución estadística
𝑹
= 𝑿𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒎𝒊𝒏
Desviación
Media
Es la diferencia entre cada valor de la
variable estadística y la media aritmética
𝑫𝒎
=
∑ |𝑿 𝟏 − 𝑿|𝒏
𝒊=𝟏
𝑵
Varianza
Es la medida aritmética del cuadrado de
las desviaciones respecto a la media
𝑺 𝟐
=
∑ (𝑿 𝟏 − 𝑿) 𝟐𝒏
𝒊=𝟏
𝑵
Desviación
Estándar
Es la raíz cuadrada de la varianza
𝑺
= √
∑ (𝑿 𝟏 − 𝑿) 𝟐𝒏
𝒊=𝟏
𝑵

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