Unidad1 probabilidad

Unidad 1
Introduccion a la
probabilidad
Mtro. Romero Diaz Jesus Uriel

Concepto de probabilidad
Probabilidad: es
la probabilidad
de que algo pase
Las probabilidades se expresan como
fracciones (1/6, 1/2, 8/9) o como decimales
(0.167, 0.500, 0.889) que están entre cero y
uno.
Tener una probabilidad de cero significa que
algo nunca va a suceder; una probabilidad de
uno indica que algo va a suceder siempre.
En la teoría de la probabilidad, un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer
algo.
Al lanzar una moneda al aire, si cae cruz es un evento, y si cae cara es otro.
2

En la teoría de probabilidad, la actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como
experimento.
Utilizando un lenguaje formal, podríamos hacer la siguiente pregunta: en un experimento de
lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad del evento cara? Y, desde luego, si la moneda
no está cargada y tiene la misma probabilidad de caer en cualquiera de sus dos lados (sin
posibilidades de que caiga parada), podríamos responder, “1/2” o “0.5”. Al conjunto de todos
los resultados posibles de un experimento se le llama espacio muestral del experimento. En
el de lanzar una moneda, el espacio muestral es:
S {cara, cruz}
3

TRES TIPOS DE PROBABILIDAD
4
*PLANTEAMIENTO CLASICO
*PLANTEAMIENTO DE FRECUENCIA RELATIVA
*PLATEAMIENTO SUBJETIVO

Frecuencia Relativa
6
Supónganse que nos hacemos una pregunta.
¿Cuál es la probabilidad de que yo viva hasta los 85 años?
¿Cuál es la probabilidad que dañe unas bocinas de mi aparato de música?
A estas probabilidades se les llaman frecuencias relativas de presentación de un evento y define la
probabilidad:
 La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos
 La fracción de veces que un evento se presenta a larga, cuando las condiciones son estables.

Ejemplo: en una compañía de seguros, por la información obtenida de los datos
actuariales registrados, que de los hombres 40 años de edad, 60 de cada 100,000 morirán
en un periodo de un años.
=?
* Probabilidades subjetivas
Están basadas en las creencias de las personas que efectúan la estimación de
probabilidad.
Se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo,
basada en la evidencia que tenga disponible.
8

9
Eventos Mutuamente excluyentes:
Son los eventos que si uno, y solo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo.
Ejemplo: dos resultados posibles, cara y cruz. Que en cualquier lanzamiento
obtendremos un cara o cruz, nunca ambas. En consecuencia, se dice que los eventos
cara y cruz solo son mutuamente excluyentes.
Eventos Colectivamente Exhaustiva: son todos los eventos que pueden
resultar de un experimento, se dice que la lista es colectivamente exhaustiva.
Ejemplo: en la moneda cara o cruz, es colectivamente exhaustiva
(a menos, que la moneda caiga parada cuando la lanzamos)

Clasificacion de los conjuntos
Conjunto infinito
No tiene cantidad finita de
elementos.
Ejemplo. A={numero de
pares positivos}
Conjunto finito
Tiene exactamente finitos
con principio y fin
Ej. A={habitantes de la
ciudad}
Conjunto Universal
Es el que se encuentra
conformado por
elementos del tema
referencial.
U; RE={letras del alfabeto
en español}
20

conjuntos
Conjunto vacio
Es el que se encuentra
conformado por elementos
del tema referencial
A={numero pr e impar a la
vez}…..{ } =0
Conjunto unitario
Se encuentra conformado por un
elemento determinado del tema
referencial
A={1}.
21

EVENTOS COMPUESTOS
Se forman combinando dos o más eventos simples. A continuación
discutiremos tres operaciones básicas con conjuntos que generan
eventos compuestos.
Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S, entonces: 1.
La unión de A y B, denotada por A B , es el evento que reúne todos
los elementos de A con los elementos de B (evitando la duplicidad de
elementos).
22

23
Ejemplo 16: En un grupo de 10 estudiantes universitarios hay 3 que toman un curso de inglés, 4
que toman un curso de matemáticas y 2 que toman ambos cursos. Halle la probabilidad de que al
seleccionar uno de estos estudiantes al azar, el mismo tome el curso de inglés o el curso de
matemáticas.

DIAGRAMAS DE VENN
Una de las gráficas más utilizadas para representar eventos compuestos
y que facilita la interpretación y el cálculo de probabilidades es el
diagrama de Venn. Los diagramas de Venn son gráficas pictóricas en las
que comúnmente se utiliza un rectángulo para representar al espacio
muestral (S) y círculos dentro del rectángulo para representar los
eventos.
26

Probabilidad condicional
Ahora consideraremos el principio de que la probabilidad de un evento
suele afectarse por el conocimiento previo de las circunstancias. Por
ejemplo, si seleccionamos una persona al azar de la población de Puerto
Rico, la probabilidad de obtener un varón es cercana a 50%, pero si usted
ya sabe que además la persona a seleccionar es fanática del hipismo,
entonces la probabilidad de obtener varón aumenta drásticamente ya que
cerca del 90% de los fanáticos del hipismo son varones.
31

Probabilidad condicionada: Teorema de Bayes
Las probabilidades condicionales y el Teorema de Bayes conviven con
nosotros en las formas más insólitas. El uso de la fórmula de Bayes no es
simple (para mi siempre fue dificultoso utilizarla correctamente), sin
embargo existen alternativas que permiten aplicar el resultado sin hacer uso
de la fórmula. Este artículo surgió de un taller encuadrado dentro de la
Primeras Olimpíadas del Golfo San Jorge, desarrollado en agosto del 2010.
Sin entrar en los detalles matemáticos técnicos, mostraremos algunos
ejemplos sobre el uso del Teorema de Bayes en contexto, y que pueden servir
como actividades motivadoras para introducir estas ideas importantes en el
aula.
40

Probabilidad condicionada: Teorema de Bayes
Introducir la probabilidad condicionada y su uso en resolver
problemas. Introducir el concepto de independencia. Estudiar
las aplicaciones del teorema de Bayes y la interpretación
subjetiva de la probabilidad.
41

A1 A2
A3 A4
An
S
B
Teorema de Bayes: Para un espacio S, los eventos A1, …, An constituyen una
partición de S, tal que P(Ai) > 0 donde i = 1, …, n; y B sea un evento arbitrario tal
que P(B) > 0.
Suponga que desea obtener la probabilidad de que suceda el evento A1, dado
que ya sucedió el evento arbitrario B; es decir P (A1  B), de acuerdo con la
definición de probabilidad condicional, esto es:
   
 
B
P
B
A
P
B
A
P 1
1  (1)

   
 
B
P
B
A
P
B
A
P 1
1 
   
 
1
1
1
A
P
B
A
P
A
B
P 
A1 B
P (A1  B)
A1 B
P (B  A1 )
La interpretación geométrica
de P(A1B):
A1 B
P (A1 B)
La interpretación geométrica de las
probabilidades condicionales:
ó
En ambos casos se observa que:
     
B
A
P
B
P
B
A
P 1
1 
     
B
A
P
A
P
A
B
P 1
1 
(2)
(3)
De la ecuación (1):

P(A1B)
P(A2B)
P(A3B) P(A3B) P(AnB)
      )
(
...
2
1 B
A
P
B
A
P
B
A
P
B
P n



 (4
)
De acuerdo a la ecuación (3) se desarrolla la ecuación (4):
             
n
n A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
P 


 ...
2
2
1
1 (5
)
La interpretación geométrica de la probabilidad de B es:
B
Sustituyendo (3) y (5) en la ecuación (1):
     
           
n
n A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
A
P




...
2
2
1
1
1
1
1
Generalizando:
     
       
n
n
i
i
i
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
A
P



...
1
1

De un determinado juicio se quiere saber la probabilidad de que el acusado sea culpable
dadas las evidencias:
Sean, A1: Culpable
A2: Inocente
B: Evidencias
Se define la probabilidad de que sea culpable dadas las evidencias como:
Del teorema de Bayes obtenemos:
(6)
 
   
       
1 1
1
1 1 2 2
P B A P A
P A B
P B A P A P B A P A


 
1
P A B

Asignamos Probabilidades:
Sustituimos en la ecuación (6):
Por lo tanto la probabilidad de que sea culpable dadas las evidencias
es :
 
 
1
1
1
1
2
1
|
2
1
( )
2
P A B
P B A
P A



 
2
2
1
( )
2
1
|
2
P A
P B A


 
1
1 1 1 1
4 1
2 2 4 4
1 1 2
1 1 1 1 8 2
4 4 4
2 2 2 2
P A B
 
 
 
    
      

     
     
 
1
1
2
P A B 

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