fundamentos de la probabilidad

1. PROBABILIDAD

2. PROBABILIDAD
El concepto de probabilidad es manejado por
mucha gente. Frecuentemente se escuchan
preguntas como las que se mencionan a
continuación:
¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la
lotería o el melate ?
¿ Qué posibilidad hay de que me pase un
accidente automovilístico ?
¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para
llevar mi paraguas o no.
¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el
primer parcial ?

3. PROBABILIDAD
Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan
como respuesta una medida de confianza
representativa o práctica de que ocurra un
evento futuro, o bien de una forma sencilla
interpretar la probabilidad.
En este curso lo que se quiere es entender con
claridad su contexto, como se mide y como se
utiliza al hacer inferencias.

4. PROBABILIDAD
El conocimiento de la probabilidad es de suma
importancia en todo estudio estadístico.
El cálculo de probabilidades proporciona las
reglas para el estudio de los experimentos
aleatorios o de azar, que constituyen la base
para la estadística inferencial.

5. PROBABILIDAD
Fenómenos probabílisticos
 Fenómeno Aleatorio.-
Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que
va a ocurrir, están relacionados con el azar o
probabilidad.
 Fenómeno Determinista.-
Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe
cual será el resultado.

6. PROBABILIDAD
La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.
Experimento aleatorio.-
 Una acción que se realiza con el propósito de
analizarla. Tiene como fin último determinar la
probabilidad de uno o de varios resultados.
 Puede ser efectuado cualquier número de
veces esencialmente en las mismas
condiciones.

7. PROBABILIDAD
Un experimento es aleatorio si se
verifican las siguientes condiciones:
1. Se puede repetir indefinidamente,
siempre en las mismas condiciones;
2. Antes de realizarlo, no se puede
predecir el resultado que se va a
obtener;
3. El resultado que se obtenga, s,
pertenece a un conjunto conocido
previamente de resultados posibles.

8. PROBABILIDAD
Ejemplos:
Tirar dardos en un blanco determinado
Lanzar un par de dados
Obtener una carta de una baraja
Lanzar una moneda

9. PROBABILIDAD
Otros ejemplos de eventos:
A: que al nacer un bebe, éste sea
niña
B: que una persona de 20 años,
sobreviva 15 años más
C: que la presión arterial de un
adulto se incremente ante un
disgusto

10. PROBABILIDAD
Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados
de interés de un experimento dado, y se le
denota normalmente mediante la letra S.
Ejemplos:
1.- Experimento: Se lanza una moneda.
Espacio muestral = total de formas en como
puede caer la moneda, o sea dos formas de
interés, que caiga sol o que caiga águila. (Si
cae de canto no es de interés y se repite el
lanzamiento).
S = { s, a }

11. PROBABILIDAD
2.- Experimento: Se lanza un dado.
Espacio muestral = total de caras en que puede
caer el dado, o sea seis formas de interés:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

12. PROBABILIDAD
Los eventos aleatorios se denotan normalmente
con las letras mayúsculas A, B, C, ...
Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,…  S
Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden
contener un solo elemento, una infinidad de
elementos, y también no contener ningún
elemento.
Al número de elementos muestrales de S se le
representa por N(S)

13. PROBABILIDAD
Eventos aleatorios que aparecen con gran
frecuencia en el cálculo de probabilidades:
Evento seguro.- Siempre se verifica después del
experimento aleatorio, son los mismos del
espacio muestral.
E = S y N(E) = N(S)
Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica
como resultado del experimento aleatorio. No
tiene elementos de interés para su fenómeno.
Es un subconjunto de S, y la única posibilidad
es que el evento imposible sea el conjunto vacío.
  S, y N() = 0

14. PROBABILIDAD
Evento Elemental.- Es el evento E que
contiene exactamente un punto muestral
de S, esto es, N(E) = 1.
Cada elemento del espacio muestral, es un
evento elemental. También se le
denomina como punto muestral.
Si s1, s2  S entonces s1, s2 son
eventos elementales.

15. PROBABILIDAD
Ejemplos (1) y (2):
En el experimento 1,
S = { s, a }, s y a son sucesos elementales
N(S) = 2
A = Que caiga sol = { s }, N(A) = 1
B = Que caiga águila = { a }, N(B) = 1

16. PROBABILIDAD
En el experimento 2,
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son
sucesos elementales, y
N(S) =6
A = Que caiga un uno = { 1 }
B = Que caiga un dos = { 2 }
: : :
F = Que caiga un seis = { 6 }

17. PROBABILIDAD
Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene
más de un punto muestral de S, por tanto
N(E) > 1
Evento contrario a un evento A: También se
denomina evento complemento de A y es el
evento que se verifica si, como resultado del
experimento aleatorio, no se verifica A.
Ya que los eventos son conjuntos, este evento se
denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define
como:
 
s tal que
c
A s A
  

18. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza una moneda tres veces.
Espacio Muestral:
Ω = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A),
(S,A,A), (A,A,A) },
N(Ω) = 8, S es el evento seguro.
Evento simple:
B:Que salgan tres soles; B ={ (S,S,S) } , N(B) = 1
Evento compuesto:
E: Que salgan al menos dos soles;
E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) }, N(E) = 4
Evento imposible:  (conjunto vacio). N() = 0

19. PROBABILIDAD
Si un espacio muestral contiene n puntos
muestrales, hay un total de 2n subconjuntos o
eventos ( se le conoce como conjunto potencia ).
Por tanto para el ejemplo anterior existen:
28 = 256, eventos posibles.
Para el caso del experimento: se tira una
moneda,
el espacio muestral es de 2 puntos muestrales
S = {A, S}, por lo que se tienen 22 = 4
subconjuntos y el conjunto potencia es: (A,S),
(A), (S),  (conjunto vacio).

20. PROBABILIDAD
Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios
Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del
conjunto Ω, espacio muestral, se pueden
aplicar las conocidas operaciones con
conjuntos, a los eventos, como son la unión, la
intersección y la diferencia de eventos.

21. PROBABILIDAD
OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION
UNION A  B Unión de eventos originales: es el
evento que sucede si y solo si A
sucede o B sucede o ambos
suceden
INTERSECCION A  B Intersección de los eventos
originales, es el evento que sucede
si y sólo si A y B suceden
simultáneamente.
DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos
originales A y B, es el evento que
sucede solo en A pero no en B.

22. PROBABILIDAD
Gráficamente estas operaciones se pueden
representar a través de los diagramas de Venn.
Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que
A, B  Ω gráficamente se puede expresar
como:
S
A B
Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

23. PROBABILIDAD
S
A B
Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.

24. PROBABILIDAD
De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la
unión de dos eventos se presenta de dos formas
diferentes: cuando los eventos son mutuamente
exclusivos (que no tienen elementos en común) y
cuando entre los eventos hay elementos
comunes.
Definición.- Se dice que dos eventos A y B son
mutuamente exclusivos, cuando no pueden
ocurrir simultáneamente, es decir, A  B = , lo
que ocurre en la fig. 1.

25. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza un dado.
Espacio muestral = total de caras en que puede
caer el dado, o sea seis formas de interés:
S = { 1,2,3,4,5,6 }, N(S) = 6
Sean A, B, C los eventos:
A: Que caiga un número impar = { 1, 3, 5 } ,
N(A) = 3
B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5
= { 3, 4 }, N(B) = 2
C: Que caiga un número par = { 2, 4, 6 } ,
N(C) = 3

26. PROBABILIDAD
A B = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } = {1,3,4,5}, N(A B) = 4
A  C = { 1, 3, 5 } { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6}=S, N(A C) = N(S) = 6
B  C = { 3, 4 }  { 2, 4, 6 } = {2,3,4,6}, N(B  C) = 4
A B  C = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } { 2,4,6 }= {1,2,3,4,5,6}=S,
N(A B  C) = 6
S
A
B
C
1
5
3
4
2
6

27. PROBABILIDAD
A  B={ 1, 3, 5 }  { 3, 4 } = {3}, N(AB) = 1
A  C={ 1, 3, 5 }  { 2,4,6 } = {}, N(A  C) = N{) = 0
B  C={ 3, 4 }  { 2, 4, 6 } = {4}, N(B  C) = 1
(A  B)  C = ({ 1, 3, 5 }  { 3, 4 })  { 2,4,6 }= {3} { 2,4,6 }={},
N((A  B)  C) = N{) = 0
A  (B  C) = { 1, 3, 5 }  ({ 3, 4 }  { 2,4,6 })= { 1, 3, 5 }  { 4 }={},
N(A  (B  C)) = N{) = 0
S
A
B
C
3
4

28. PROBABILIDAD
A – B = ={ 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 }, N(A – B) = 2
A – C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A, N( A – C) = N(A) = 3
B – C = { 3, 4 } - { 2,4,6 } = { 3 }, N(B-C) = 1
S
A
B
C
1
5
3

29. PROBABILIDAD
Ac = { 2, 4, 6} = C N(Ac ) = N( C )= 3
Bc = {1, 2, 5, 6 } N(Bc ) = 4
Cc = {1, 3, 5 } = A N(Cc ) = N(A) = 3
S
A
B
C
1
5
3
4
2
6

30. PROBABILIDAD
Probabilidad Clásica y Frecuencial.
Probabilidad frecuencial y regularidad
estadística
Las frecuencias relativas de un evento tienden
a estabilizarse cuando el número de
observaciones se hace cada vez mayor.
Ejemplo: La regularidad estadística en el
experimento del lanzamiento de monedas,
indica que las frecuencias relativas del
evento: que salga sol {s }, se tiende a
estabilizar aproximadamente en .5= 1/2.

31. PROBABILIDAD
Probabilidad frecuencial y regularidad
estadística
La probabilidad de un evento A, denotada
por P(A), es el valor en el que se
estabilizan las frecuencias relativas
del evento A, cuando el número de
observaciones del experimento se
hace cada vez mayor.

32. PROBABILIDAD
Esto es:
donde
N(A) = número de elementos del evento A
N(Ω) = número de elementos del espacio
muestral Ω.
( )
( ) (2)
( )
N A
P A
N



33. PROBABILIDAD
Probabilidad clásica.-
Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de
ese espacio. Se define la probabilidad P del evento
A, como:
donde
NCF - número de casos favorables
NCT - número de casos totales
(1)
)
(
NCT
NCF
A
P 

34. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento.- Se lanza una moneda
Evento A.- que al lanzar una moneda caiga
águila.
Calcular la probabilidad de A:
S = { A, S}, N(Ω) = 2
A = { A }, N(A) = 1
( ) 1
( ) .5
( ) 2
N A
P A
N
  


35. PROBABILIDAD
Leyes De La Probabilidad
Las relaciones que se dan entre los
eventos al ser aplicadas las
operaciones que se presentaron, se
facilitan y comprenden mejor haciendo
uso de los axiomas y teoremas de
probabilidad (Leyes de Probabilidad).
Axioma.- es una verdad evidente que no
requiere demostración.
Teorema.- Es una verdad que requiere
ser demostrada.

36. PROBABILIDAD
Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera
y A un evento, tal que A  S, entonces se
cumple que
0  P(A)  1 (3)
esto significa que la probabilidad de cualquier
evento no puede ser más grande que uno, ni ser
menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento
seguro, y cuando es cero se llama evento
imposible.
P(A)
___________________________________
• -2 -1 0 1 2

37. PROBABILIDAD
Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es
un evento seguro, es uno
P(Ω) = 1
Ejemplo.-
Experimento.- Se lanza un dado
Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al
espacio muestral, entonces.
( ) ( )
( ) 1
( ) ( )
N A N S
P A
N N
  
 

38. PROBABILIDAD
Teorema 1.- Si  es el conjunto vacío,
entonces la probabilidad de  es igual a 0
Ejemplos:
Una persona que quiere ganar la lotería nacional,
pero no compra boleto.
Que aparezca un siete al lanzar un dado
Que una persona viva 250 años
En estos casos los eventos son vacíos
( )
( ) 0
( )
N
P
N

  


39. PROBABILIDAD
Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestral
cualquiera y sean A y B dos eventos tales que
A  Ω, B  Ω y A  B = , es decir, dos
eventos mutuamente exclusivos, entonces
P(A  B) = P(A) + P(B).
A  B
A B

40. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanzan dos monedas
Ω = { ss, aa, sa, as}
N(Ω) = 4
Sean:
A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan
dos soles exactamente
B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un
sol exactamente.
Los elementos de A y B son
A = { ss }
B = {sa, as}
Se puede ver que A  B = , no hay elementos en común,
por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o
disjuntos, por tanto
P(A  B) = P(A) + P(B)

41. PROBABILIDAD
( ) 1
( )
( ) 4
( ) 2
( )
( ) 4
1 2 3
( ) ( ) ( )
4 4 4
N A
P A
N
N B
P B
N
P A B P A P B
 

 

     

42. PROBABILIDAD
Axioma 4.-
Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente
exclusivos:
P(A1  A2  A3  A4, ...  An) =
P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)
Este axioma dice que la probabilidad de varios
eventos mutuamente exclusivos (que no tienen
elementos en común), es igual a la suma de sus
probabilidades.

43. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza un dado
Sean
Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4
Evento B: que al lanzar un dado salga un número
mayor a 4
Evento C: que salga el 1 o 3
Los elementos de A, B y C son
A = {2, 4}, N(A) = 2
B = {5, 6}, N(B) = 2
C = {1, 3} , N(C) = 2

44. PROBABILIDAD
Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya
que A  B = {}, A  C = {},
B  C = {},
Por axioma 4
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)
( ) 2
( )
( ) 6
( ) 2
( )
( ) 6
( ) 2
( )
( ) 6
2 2 2 6
( ) ( ) ( ) ( ) 1
6 6 6 6
N A
P A
N
N B
P B
N
N C
P C
N
P A B C P A P B P C
 

 

 

         

45. PROBABILIDAD
Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad).
Sean A y B dos eventos no excluyentes, A  B 
, entonces
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
A  B

46. PROBABILIDAD
Diferencia
Sean A y B dos eventos:
A-B = { x | x  A y x  B }
A
B
A - B

47. PROBABILIDAD
Ejemplo.-
Experimento.- Se lanza un dado y una moneda
Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(Ω) = 12
A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el
número 2 o 3 con sol.
B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan
números pares con sol.
A = { 2s, 3s }, N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3
A  B = { 2s } N(A  B ) = 1
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
= 2/12 + 3/12 – 1/12 = 4/12 = 1/3

48. PROBABILIDAD
Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un
espacio muestral, tal que AS, si Ac es el
complemento del evento A, entonces la
probabilidad de Ac es igual a 1 menos la
probabilidad de A, es decir
P(Ac) = 1 – P(A)

49. PROBABILIDAD
Experimento.- Se lanza un dado y una moneda
Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(Ω) = 12
A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el
número 2 o 3 con sol.
B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan
números pares con sol.
A = { 2s, 3s }, N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3
Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 2/12 = 10/12
Bc = { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 3/12 = 9/12