1. Proposición:
Es un juicio declarativo que tiene sentido es decir es verdadero o falso, pero no ambas
simultáneamente y se representa con cualquier letra minúscula
1= Verdadero
0= Falso
Ejemplo
- Toda regla tiene su excepción (F)
- Para todo numeroreal , χ²≥ X (V)
- 3+4=9(F)
OPERACIONES VERITATIVAS:
Son todas aquellas operaciones veritativas que contienen proposiciones que son:
Negacion: No, no es el caso que, no es cierto que (~)
Conjuncion: Sean p y qdos proposiciones la conjunción de p y q es la proposición de p q
y se lee p y q
Disyunción Inclusiva: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la
proposición p v q, que se lee "p o q"
Disyunción Exclusiva ( o…o) (v ): pv q que se lee p o q
Condicional ( SI……. Entonces ) ( ): Sean P y Q las proposiciones el condicional con
antecedentes P llamada hipótesis y consecuentes Q llamada tesis es la proposición p q
Directo: p q
Reciproco: q p
Contrario: ~p ~q
Contra reciproco: ~q ~p
Bicondicional: (si y solo si) ( )
Sean p y q proposiciones se llama biconcicionalde( p y q que se lee p si y solo si q )
Si son iguales asignamos 1 y si son diferentes asignamos 0
Conectivos lógicos de una proposición:
2. Negación:
Sean las proposiciones
p: Mérida es un estado andino
El valor lógico seria :
~p: Mérida no es un estado andino
Conjunción
Sean las proposiciones
p: Pérez peleo en Carabobo
q: Bolívar murió en Colombia
El valor lógico de estas 2 proposiciones seria
p q :
Pérez peleo en Carabobo y bolívar murió en Colombia
Disyunción inclusiva:
Sean las proposiciones
p: 5 es un numero primo
q: 5 es un numero par
r: 5 es mayor que 3
El valor lógico de estas proposiciones seria
p v q: o 5 es un muero primo o 5 es un numero par
VL: (p)=1 VL (p v q) = 1-0=1
VL: (q)=0
q v r= o es 5 un numero par o 5 es mayor que 3
VL: (q)=0 VL(q v r) = 0-1 = 1
VL: (r)=1
Condicional
Si 7 es primo, entonces 1+5 =8
p= si 7 es primo
C.L = entonces ()
q= 1 +5 = 8
VL(p)=1 VL(p
3. VL(q)=0
Bicondicional
5+2 = 7, si y solo si 4 menor que 6
VL(p)=1 VL( p q )= 0
VL(q)=1
Método abreviado
Se asigna una columna a cada variable proposicional luego se le asigna los valores
lógicos a la variable proposicionales y seguidamente se calcula el valor lógico
El número de fila de la tabla de verdad dependerá de del número de variable que
aparezcan.
Tabla de verdad
N=3 (p,q,r) n0
= fila = 23
=8 filas
P q r (p r) [(p q) (q v r ) ]
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 1 0 0
.Leyes del Algebra de Proposiciones
LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Las leyes de la algebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden demostrar con el
desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las leyes del algebra de proposiciones son las
siguientes:
5. Equivalencias Notables
a. p q p q (Ley del condicional)
b. p q (p q) (q p) (Ley del bicondicional)
c. p q ( p q ) ( q p ) (Ley de disyunción exclusiva)
d. p q q p (Ley del contrarrecíproco)
e. p q ( p q )
f. ( (p q ) r ) ( p r ) (q r ) (Ley de demostración por casos)
g. (p q) (p q F) (Ley de reducción al absurdo)
Inferencia
1. Modus PonendoPonens(MPP)
(p q) p q p q
p
----------
q
2. Modus TollendoTollens (MTT)
(p q) q p p q
q
-----------
p
3. Silogismo Disyuntivo (S.D)
(p q) q p p q ó p q
(p q) p q q p
------------ -----------
p q
4. Silogismo Hipotético(S.H)
(p q) (q r) (p r) p q
q r
----------
p r
6. 5. Ley de Simplificación
p q p p q ó p q
p q q p q
6. Ley de la Adición
p p q p q
---------- ó ---------
q p q p q p q
7. Ley de Conjunción
( p ) ( q) ( p q) p
q
---------
p q
7. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e Ingeniería:
La demostración es un razonamientoo serie de razonamiento que prueba la validez de un nuevo
conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros conocimientos. Cuando un conocimiento
quedademostrado,entoncesselereconocecomoválidoyesadmitidodentrodeladisciplinacorrespondiente.
La demostración es el enlace, entre los conocimientos recién adquiridos y el conjunto de los conocimientos
anteriores. El enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los anteriores está constituidos por una
sucesiónfinitadeproposicionesqueobiensonpostuladosobiensonconocimientoscuyavalidezsehainferido
de otras proposiciones, mediante operaciones lógicas perfectamente coordinadas. La demostración permite
explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una prueba rigurosamente racional. Sabemos quetodas
lasproposicionesdeunateoríamatemáticaseclasificanendostipos:lasaceptadassindemostraciónqueson
lasdefiniciones(dondenohaynadapordemostrar)yloso(quesetomancomoproposicionesdepartida)ylas
deducidas, llamadas (que son proposiciones cuya validez ha sido probada).No siempre tenemos evidencia
directa de la validez de un teorema. Eso depende en parte su grado de complejidad y de nuestra mayor o
menor familiaridad con su contenido. Un teorema requiere demostración cuando no hay evidencia de su
validez.
Tiposdedemostración
Consideremos una demostración como un argumento que nos muestra que una proposición
condicionaldelaformaeslógicamenteverdadera(esdecir,verdaderaentodosloscososposibles)dondeesla
o conjunción de las premisas y es la conclusión de argumento. Luego, si en el enunciado de un teorema se
incluyen explícitamente las proposiciones de partida, éste afirma que partiendo de cierta hipótesis se puede
demostrar otra proposición llamada. Los procedimientos utilizados en la demostración están constituidos por
distintas formas de deducción o inferencia y se puede clasificar en varios tipos los cuales serán estudiados se
paradamente.Losprincipalestiposdedemostraciónson:
a)Demostracióndirecta.
b)Demostraciónindirecta.
Demostracióndirecta
Cuando se parte de un conjunto de postulados o de proposiciones cuya validez ha sido probada, para inferir
comoconsecuenciala,atravésdeunaseriedeinferencias,seestableceuna.Enellasepruebalavalidezde
una tesis estableciendo que ésta es una consecuencia necesaria de los fundamentos de la disciplina
correspondiente(matemáticaennuestrocaso).
Una demostración directa deuna proposición consiste enproposiciones cuya validez ya ha sido probada y de
las cuales se infiere la proposición como consecuencia inmediata. En una demostración directa, cada paso
debeiracompañadodeunaexplicaciónquejustifiquela presencia de ese paso.
