Estructuras Discreta I. Proposiciones

1. Proposiciones
Sthefany León

2. Proposiciones
 Es todo aquel enunciado que solo puede ser calificado
como verdadero o falso pero no verdadero y falso a la vez.
Este resultado tiene un valor lógico que son 1 y 0, diremos
que es verdadero cuando le ponemos un 1 y diremos que es
falso cuando se representa con 0. Las proposiciones son
denotadas siempre por letras minúsculas, generalmente
son usadas las letras p,q,r,s.

3. Ejemplos.
 p= Barquisimeto es la capital del estado lara
 q= Los humanos necesitan oxigeno para vivir
 r= La araña es un insecto
En estos 3 ejemplos vemos que le damos una letra minúscula a cada
proposición y así sabremos que si vemos p sabremos que estamos
hablando de que Barquisimeto es la capital del estado Lara. Ahora
para calcular el valor lógico se denotaría de esta manera
 VL(p)= 1 sabemos que la capital del estado Lara es Barquisimeto por lo
tanto es verdadero y se denotara con el numero 1
 VL(q)= 1 los seres humanos no pueden vivir sin oxígeno así que
pondremos 1 ya que es verdad
 VL(r)= 0 las arañas cuentan con 8 patas por lo que pertenecen a el
grupo de los arácnidos por lo tanto es falso y lo denotamos con un 0.

4. Operaciones veritativas.
Los operadores lógicos o también llamados conectivos son símbolos
que se emplean para unir 2 o mas proposiciones, de aquí sale los tipos
de proposiciones que pueden ser simples o atómicas o pueden ser
moleculares o compuestas. Los conectivos lógicos son los siguientes:
Estos son los conectivos
lógicos que se usaran y las
operaciones a usar con
cada uno de ellos las
llamaremos operaciones
veritativas

5. Conectivos lógicos
La negación: su símbolo es ~ y ~p se lee como “no p” o
“no es cierto que p” esto quiere decir que el resultado
de esta operación veritativas es lo contrario al valor
lógico de la proposición y su tabla de la verdad seria la
siguiente:
p ~q
1 0
0 1
Aquí vemos que cuando p es verdadero la
negación de p es falsa y cuando p es falso la
negación de p es verdadera.
Ejemplo
p= El 7 es un número primo ~p= no es
cierto que 7 es un numero primo
q= 2 es un número impar~p= 2 no es un
numero par

6. La conjunción
 Se usa para unir las proposiciones y viene dada por el
símbolo “^” y p^q se lee “p y q” su tabla de la verdad viene
dada de la siguiente manera.
p q p^q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Aquí observamos que la única manera de que el valor lógico
de p y q sea 1 debe cumplirse que p sea verdad y q sea verdad
y en el resto de los casos es falso, esto se debe a que cuando
uno lee la conjunción la lee como p y q al estar la “y” ahí se
entiende que las 2 proposiciones deben ser ciertas para que
la conjunción sea verdad.
Ej.:
p= 3 es un numero par VL(p)= 0
q= 2 es un numero primo VL(q)= 1
r=4 es divisible entre 2 VL(r)= 1
p^q se lee “3 es un numero par y 2 es un numero primo”.
VL(p^q)=0
r^q se lee “2 es un numero primo y 4 es divisible entre 2”
VL(q^r)=1

7. Disyunción inclusiva.
Se usa al igual que la conjunción para unir 2 o mas
proposiciones y su símbolo es “v” y pvq se lee como “pvq”
y su tabla de la verdad viene dada de la siguiente manera:
p q p^q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
En esta tabla de la verdad observamos que la única manera de que el
valor logico de p y q sea 0 debe cumplirse que p sea falso y q sea falso
y en el resto de los casos es verdadero, esto se debe a que cuando uno
lee la disyuncion se lee como p o q al estar la “o” ahí se entiende que
solo hace falta que una proposición sea cierta para que se cumpla.
Ej.:
p= 3 es un numero entero VL(p)= 1
q= 4 es un numero primo VL(q)= 0
r=-6 es un numero natural VL(r)= 0
p v q se lee “3 es un numero entero 0 4 es un número primo”.
VL(p^q)=1
r v q se lee “-6 es un numero natural o 4 es un número primo”
VL(q^r)=0

8. Disyunción exclusiva.
Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la
proposición pvq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la
tabla. En otras palabras, la disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los
valores de p y q son iguales.
VL(pv q) = 0 si VL (p) = VL ( q )
Ejemplo
Si, p: 17 es un número primo.
q: 17 es un número par.
r: 17 es mayor que 2.
Entonces1.p v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un
número par VL(p v q) = 1, ya que
VL(p) = 1 y VL(q) = 0.
p v r: ó 17 es un número primo ó 17 es mayor que 2
VL(p Ú r) = 0, ya que VL(p) = 1 y VL(r) = 1

9. El condicional
Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y
consecuente q es la proposición p ® q, que se lee "si p, entonces q”.
Ejemplo
 a. Observe las proposiciones condicionales siguientes:
 1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
 2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).
 3. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
 4. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Verdadera).

10. Condición Necesaria y Condición Suficiente
El condicional es una de las proposiciones más importantes en la
matemática, ya que la mayoría de teoremas vienen dados en esa
forma. En los teoremas, el antecedente es llamado hipótesis y el
consecuente tesis. Un condicional puede ser expresado también con
las llamadas condiciones necesarias y suficientes. El antecedente es
la condición suficiente y el consecuente la condición necesaria.
Así el condicional A -> C puede ser leído de las siguientes maneras:
 1. Si A entonces C
 2. C es condición necesaria para A
 3. Una condición necesaria para A es C
 4. A es condición suficiente para C
 5. Una condición suficiente para C es A
 6. C si A
 7. A sólo si C
 8. A solamente si C

11. El bicondicional.
Sean p y q dos proposiciones. Se llama bicondicional de p y q a la
proposición p « q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria
y suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.
O en otras palabras el VL (P « q ) = 1 si VL (p) = VL (q)
La tabla nos dice que p « q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa
cuando VL(p) ¹ VL(q)
p q p‹-›q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Formas Proposicionales
A las nuevas expresiones que se obtienen al
aplicar los conectivos lógicos a las variables
proposicionales p, q, r, s, t, etc., se les
llaman formas proposicionales, por ejemplo
t® (q Ù ~ r) ~ [(p« s)Ù (r« q)] son formas
proposicionales y podemos decir, para ser más
preciso que las variables proposicionales
también son formas proposicionales.

12. Tablas de Verdad de las formas
proposicionales
Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de
una proposición compuesta y depende de las proposiciones
simples y de los operadores que contengan.
Es posible que no se conozca un valor de verdad específico para
cada proposición; es este caso es necesario elaborar una tabla de
verdad que nos indique todas las diferentes combinaciones de
valores de verdad que pueden presentarse. Las posibilidades de
combinar valores de verdad dependen del número de
proposiciones dadas.
 Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinaciones
 Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinaciones
 Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones
 Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones

13. Tautologías y Contradicciones
Tautologias: Es aquella proposición molecular que es verdadera (es decir, todos los
valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son 1)
independientemente de los valores de sus variables.
Ejemplo: Probar que P Ú ~ P es una tautología
P Ú ~ P
1 1 0
0 1 1
Contradicción
Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir cuando los valores
de verdad que aparecen en su tabla de verdad son todos 0)
independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la
forman. Por ejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguiente es una
contradicción, p Ù ~ p, para chequearlo recurrimos al método de las tablas de
verdad.
Ejemplo: Probar que p Ù ~ p es una contradicción
p Ù ~ p
1 0 0
0 0 1

14. Leyes del Algebra de Proposiciones
Leyes
Idempotente.
p v p ≡p
p v p ≡p
Leyes Asociativas
(p v q) v r ≡ p v (q v r)
(p v q) v r ≡ p v (q v r)
Leyes
Conmutativas
p v q ≡ q v p
p ∧ q ≡ q ∧ p
Leyes Distributivas
P v ( q ∧ r ) ≡ ( p v q ) ∧ (p v r)
p v ( q v r ) ≡ ( p ∧ q ) v (p ∧ r)
Leyes de Identidad
P v F ≡ P
P ∧ F ≡ F
P v V ≡ V
P ∧ V ≡ P
Leyes de Complementación
P v ~ P ≡ V (tercio excluido)
P ∧~ P ≡ F (contradicción)
~ ~ P ≡ P (doble negación)
~ V ≡ F, ~ F ≡ V
Leyes De Morgan
~ ( P v q ) ≡ ~ P ∧ ~ q
~ ( P ∧ q )≡ ~ P v ~ q

15. Equivalencia e Implicación lógica
Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que
A Implica Lógicamente a B, o simplemente A implica
a B, y se escribe: AÞ B si el condicional A® B es una
tautología
Proposiciones Equivalentes.
Sean A y B dos formas proporsicionales. Diremos que A
es Lógicamente Equivalente a B, o simplemente que
A es equivalente a B, y escribimos
A º B o A Û B,
Si y sólo si la forma bicondicional A Û B es una
tautología.

16. RazonamientosUn razonamiento o una inferencia es la aseveración de que una proposición,
llamada conclusión es consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas premisas.
Forma Proposicional de un Razonamiento
Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C lo escribiremos en forma
proposicional como:
P1
P2
P3
P4
.
.
Pn
----
C
Diremos que un razonamiento es válido o correcto si la conjunción de premisas implica
lógicamente la conclusión, en otro caso se dice que es no válido.
Un razonamiento que no es válido es llamado falacia.
Para saber si un razonamiento es válido utilizaremos una serie de pasos lógicos, tomando en cuenta
las premisas para llegar a la conclusión. Este procedimiento es llamado demostración.
En general, llamaremos demostración al encadenamiento de proposiciones que nos permitan
obtener otra proposición llamada conclusión, a partir de ciertas proposiciones iníciales supuestas
verdaderas. Las proposiciones iniciales las llamaremos premisas y constituyen las hipótesis de la
demostración.

17. Demostraciones.
 Métodos de Demostración
Demostración Directa
En la demostración directa debemos probar una implicación:
P Þ q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una
secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas
o propiedades demostradas previamente.
Demostración Indirecta
Dentro de este método veremos dos formas de demostración:
Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p® C nos
proporciona la Ley del contrarrecíproco: P ® C º ~ C ® ~ P.
Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado el método
del contrarrecíproco, según el cual, para demostrar que pÞ C, se prueba
que ~ C Þ ~ P.
Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la proposición p Þ q es
tautológicamente equivalente a la proposición (p Ù ~ q) Þ (r Ù ~ r) siendo r una
proposición cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.

18. Inferencia

19. Circuitos lógicos.Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos
identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una
forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un
circuito podemos asociarle la forma proposicional
correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra
proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más
sencillos, pero que cumplen la misma función que el original.
Veamos los siguientes interruptores en conexión:
Conexión en serie
>la cual se representa como p ∧ q
Conexión en paralelo la cual se representa como p v q
Estas representaciones nos servirán de base para la
correspondencia entre los circuitos y las proposiciones.