1. Espacios vectoriales

2. Trabajo Final de Álgebra Lineal
Unidad 5
Introducción
5.1 Definición de vectores.
5.2 Definiciones y propiedades básicas de los espacios vectoriales
5.3 Combinación Lineal y espacio generado
5.4 Base y dimensión de un espacio vectorial
5.5 Espacio vectorial y producto interno y sus propiedades
5.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización de
Gram-Schmidt

3. 5.1
Definición de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector
posee unas características que son:
Origen: también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto
sobre el que actúa el vector.
Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso
conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el
módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo
contiene.
Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo
del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el
vector.
Sistema de Coordenadas Cartesianas es usado comúnmente para
vectores.

4. 5.2 Espacio vectorial
Un espacio vectorial es una terna (V, +, ·), donde V es un conjunto
no vacío y +, · son dos operaciones del tipo +: V × V → R, · : R × V
→ V a las que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por
escalares respectivamente y con las siguientes propiedades:
denotando +(u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv,
1. u + (v + w) = (u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).
2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa).
3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).
4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento
opuesto).
5. λ(µv) = (λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo-asociativa).
6. λ(u+v) = λu+λv y (λ+µ)v = λv +µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R
(distributiva).
7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).

5. 5.3 Combinación Lineal y
espacio generado
Combinación lineal.
Dado un conjunto de vectores v1, . . ., vn se llama una
combinación lineal de ellos a cualquier vector de la forma
v = α1 v1 + . . . + αn vn
donde α1 , . . . , αn son escalares, llamados coeficientes de la
combinación lineal.
Espacio generado
Sea V un espacio vectorial, y v1, v2, . . . ,vk vectores de V . El
conjunto formado por todas las posibles combinaciones lineales
de los vectores v1, v2, . . . ,vk se llama el espacio generado por
v1, v2, . . . ,vk.

6. 5.4 Base y dimensión de un
espacio vectorial
Base: Se llama base de un espacio (o subes pació) vectorial a un
sistema generador de dicho espacio o subes pacio, que sea a la
vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador mínima de S (lo más
pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente máxima dentro de S (lo
más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como
combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

7. Dimensión
La dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de una
base vectorial para dicho espacio. Por el axioma de elección todo
espacio tiene una base (incluso el espacio {0}, ya que el vacío es una
base), y puesto que puede demostrarse que todas las bases vectoriales
tienen el mismo cardinal, el concepto de dimensión está bien definido.
Conviene notar que existen espacios vectoriales de tanto de dimensión
finita como de dimensión infinita (el espacio vectorial de los polinomios
de una variable, por ejemplo tiene dimensión.
La dimensión de un espacio coincide además con los dos cardinales
siguientes:
El máximo número de vectores linealmente independientes de dicho
espacio.
El mínimo número de vectores que forman un conjunto generador para
todo el espacio

8. 5.5 Espacio vectorial y producto
interno y sus propiedades
El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con
producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un
único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal
que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces
Propiedades:
I. (v, v) ≥ 0
II. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
III. (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
IV. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
V. (u, v) = (v, u)
VI. (αu, v) = α(u, v)
VII. (u, αv) = α(u, v)
La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.

9. 5.6 Cambio de base, base orto normal,
proceso de orto normalización de
Gram-Schmidt
Cambio de base
El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a
una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’.
(La inversa de la matriz de transición).
Si P es la matriz de transición de una base B a una base B’ en , entonces P es
invertible y la matriz de transición de B’a B es .
(Matriz de transición de una base B a una base B’).
Sean y dos bases de Rn, entonces la matriz de transición P-1 de B a B’ puede
determinarse mediante eliminación de Gauss – Jordan en la matriz.
En la matriz B’ representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los
vectores de la base B’ respectivamente, de forma similar B representa la matriz que
tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B respectivamente.

10. Base ortonormal
En álgebra lineal, una base orto normal de un espacio
prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto
interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un
conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el
que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es
decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las
mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy
sencillo transformar una base ortogonal en una base orto normal
mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta
es la forma habitual en la que se obtiene una base orto normal:
por medio de una base ortogonal.
Así, una base orto normal es una base ortogonal, en la cual la
norma de cada elemento que la compone es unitaria.

11. Estos conceptos son importantes tanto para espacios de
dimensión finita como de dimensión infinita.
Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en
general no es posible escribir a cada elemento del espacio como
una combinación lineal de un número finito de elementos de la
base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción
cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span
de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no
que iguale al espacio entero.

12. Proceso de ortonormalización
Gram – Schmidt
El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un proceso
utilizado en matemática y análisis numérico, para ortogonalizar un conjunto de
vectores en un espacio prehilbertiano, más comúnmente el espacio euclídeo Rn.
Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores
v1,…, vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar
mutuamente vectores ortogonales u1, …, uk los cuales generan el mismo subespacio
que los vectores v1, …, vk.
Este proceso lleva el nombre en honor a Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.
Proceso de Gram–Schmidt Definimos el operador proyección condonde los corchetes
angulares representan el producto interior, proyecta el vector v ortogonalmente en el
vector u. Antes de ver el proceso, debemos comprender el porqué de la definición de
proyección. Si recordamos la definición de producto escalar, tenemos para el caso del
numerador, módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman.
En el denominador tenemos módulo de u por módulo de u, ya que el coseno sería 1. Si
separamos los dos módulos de u en el denominador, vemos que a la izquierda tenemos
únicamente “módulo de v * cos (ángulo que forman)”, lo que nos da claramente el
módulo del vector proyección. Teniendo el módulo del vector proyección lo único que
debemos hacer es asignarle una dirección, cosa que hacemos multiplicándolo por
u/módulo(u), lo que es el vector de módulo 1 con dirección u (el vector unitario).