1) El documento describe los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluyendo sus definiciones, propiedades y ejemplos. 2) Explica que un espacio vectorial es un conjunto no vacío dotado de operaciones de suma y producto por escalares que cumplen ciertas propiedades algebraicas. 3) También introduce conceptos como subespacios vectoriales, vectores linealmente dependientes/independientes y bases vectoriales.

1. ESPACIOS VECTORIALES
VICTOR CAMARGO
MAQUINAS Y HERRAMIENTAS
UPTC
2013

2. Espacios Vectoriales
• Un espacio vectorial es
un estructura algebraica
creada a partir de un
conjunto no vacío.
• A los elementos de un
espacio vectorial se les
llama A los elementos
de un espacio vectorial
se les llama escaladores
• Un espacio
vectorial sobre
un cuerpo (como el
cuerpo de los números
reales o los números
complejos) es
un conjunto no vacío,
dotado de dos
operaciones para las
cuales será cerrado:

3. DEFINICION
• Sea V un conjunto no vacío
con dos operaciones + : V V
! V y
• : RV ! V , decimos que V es
un espacio vectorial sobre R
si para todo
• x; y; z 2 V y para todo
; 2 R se cumple lo siguiente:
• 1 (x+y) +z = x+ (y +z)
• 2 Existe 2 V tal que +x = x+
= x para todo x 2 V (A se le
• llama neutro de V )
• 3 Para todo x 2 V existe w 2
V tal que x+w = w +x = ,(A w
se le
• llama el inverso aditivo de x)
• 4 x+y = y +x
• 5
(x+y) =
x+
y
• 6 (
+) x =
x+ x
• 7
( x) = (
) x
• 8 1 x = x

4. OBSERVACIONES
• La denominación de las dos operaciones no
condiciona la definición de espacio vectorial por lo
que es habitual encontrar traducciones de obras en
las que se utiliza multiplicación para
el producto y adición para la suma, usando las
distinciones propias de la aritmética

5. DEFINICIONES BASICAS Y EJEMPLOS
• 1 El conjunto de vectores
en R
• m es un espacio vectorial.
• 2 El conjunto Mmn de
matrices m n es un
espacio vectorial.
• 3 El conjunto Pn = fa0
+a1t+ +ant
• n
• j a0; ; an 2 Rg es el
• cunjunto de polinomios
de grado a lo sumo n es
un espacio vectorial.
• TEOREMA:
• Sea V un espacio vectorial, x
2 V y
2 R entonces
• 1 El neutro es único.
• 2 El inverso aditivo de x es
único.
• 3
=
• 4 1 x = x
• 5 0 x =
• 6 Si
x = entonces
= 0 o x =

6. PROPIEDADES
En un espacio
vectorial V,
1. El elemento neutro
es ´único. Se denotar
'a por 0.
2. El elemento
opuesto de un vector
es ´único. Si v es un
vector, su opuesto lo
denotamos por −v.
• • Asociativa: (u+v)+w =
u+(v+w)
• • Conmutativa: v+u=u+v.
• • Existe un elemento
neutro, el vector 0 , tal que
+ v = v para cualquier
vector v.
• K
• 0
• K
• • Para cada vector v existe
un elemento opuesto, –v,
que sumado con él da 0 .

7. EJEMPLOS ESPACIOS
VECTORIALES
• con la suma y producto por
escalares siguientes:
• (x1 ...,xn)+(y
• 1,...,yn)0(x1
• +y
• 1. Si nes un n´umero
natural, se considera el
espacio eucl´ıdeo R
• n
• = {(x1,...,xn);xi
• ∈
• R}
• 1,...,xn
• +y
• n).
• λ(x1,...,xn)=(λx1, . . . ,
λxn).
• Siempre se supondr´a que
R
• n
• tiene esta estructura
vectorial y que
llamaremos
• usual.

9. Ejemplos de espacios vectoriales
• El espacio , formado por los vectores de n componentes (x1, . .
.,xn) es un espacio
• vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar
por un escalar (real) de la
• forma habitual.
• n
• ℜ
• Se puede comprobar que se cumplen las propiedades
requeridas para ambas operaciones.
• El vector cero es (0,. . .,0).
• No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos
multiplicar por escalares complejos
• (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ).

10. SUBESPACIOS VECTORIALES
• Dado un espacio vectorial
V, se dice que un
subconjunto S de V es un
subespacio vectorial
• si contiene al vector
• K
• , y si al efectuar las
operaciones de suma y
producto por escalar
entre
• vectores de S, el resultado
permanece en S.
• (Se puede decir que S es
“cerrado” para las
operaciones suma y
producto por escalar.)
• Es decir:
• • 0∈ S .
• K
• • Si v, w ∈ S entonces v + w
∈ S.
• • Si v ∈ S y λ es un escalar,
entonces λv ∈ S.

11. Ejemplos de subespacios
• La recta x=y es un subespacio de . Está formado
por los vectores de la forma (a,a). 2
• ℜ
• Contiene al vector (0,0).
• Además, es cerrado para la suma y producto por
escalar:
• • Suma: (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b) que también es
un elemento de la recta.
• • Producto por un escalar: λ∈ℜ , λ(a,a) = (λa, λa)
que también es un elemento de la recta

12. Intersección de subespacios.
• La intersección,
indicada por el símbolo
∩ , puede aplicarse a
• conjuntos cualesquiera,
no sólo a espacios
vectoriales. Consiste en
• encontrar los elementos
comunes a dos
conjuntos.
• Por ejemplo, la
intersección de dos
planos en 3 podrá ser una
• recta.
• ℜ
• Notar que dados dos
subespacios cualesquiera,
siempre hay vectores
comunes a ambos (al
• menos el
• K
• 0 , que está en todos los
subespacios.)

13. Vectores linealmente dependientes
• Un conjunto de vectores será linealmente
dependiente si alguno de ellos se puede
expresar como combinación lineal del resto.
Otra definición equivalente será que el vector
cero se podrá expresar como combinación
lineal de este conjunto de vectores en el que al
menos algún coeficiente será distinto de cero

14. PROPIEDADES
• Si
varios vectores son line
almente dependientes,
entonces al
menos uno de ellos se
puede expresar
como combinación
lineal de los demás.
• También se cumple el
reciproco: si
un vector es combinaci
ón lineal de otros,
entonces todos
los vectores son linealm
ente dependientes.

15. Vectores linealmente independientes
• Un conjunto de vectores será linealmente
independiente si ninguno de ellos se puede
expresar como combinación lineal del resto
de los vectores. Otra forma de definirlo será
si el vector cero sólo se puede expresar como
combinación lineal de estos vectores cuando
los coeficientes que multiplican a cada vector
son nulos.

16. EJEMPLOS BASES VECTORIALES
Las bases revelan la estructura de los espacios
vectoriales de una manera concisa. Una base es el
menor conjunto (finito o infinito)B = {vi}i ∈ I de
vectores que generan todo el espacio. Esto significa
que cualquier vector v puede ser expresado como
una suma (llamada combinación lineal) de
elementos de la base

17. Observación
• Todo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se
basa en el lema de Zorn, una formulación equivalente
del axioma de elección. Habida cuenta de los otros
axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-
Fraenkel, la existencia de bases es equivalente al
axioma de elección. El ultrafilter lemma que es más
débil que el axioma de elección, implica que todas las
bases de un espacio vectorial tienen el mismo
"tamaño", es decir, cardinalidad. Si el espacio es
generado por un número finito de vectores, todo lo
anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a
la teoría de conjuntos

18. BASES RECIPROCAS
• Bases reciprocas:Consideremos A un vector arbitrario
que se puede expandir con respecto a tres vectores no
coplanares e1,e2,e3 que ni son ortogonales ni
unitarios. Entonces la expansión en coeficientes
A1,A2,A3 puede escribirse como:
A=A1e1+A2e2+A3e3El problema se reduce a hacer la
proyección de A sobre los ejes de un sistema
coordenado y resolver el sistema resultante de tres
ecuaciones escalares para las incógnitas A1,A2,A3. Esto
se resuelve directamente mediante el método de bases
reciprocas.Dos bases e1,e2,e3 y e1,e2,e3 se dicen
reciprocas si satisfacen la siguiente condición: