Es una asignación de la profesora de matemáticas discretas para que apliquemos el tema grupos y códigos a la materia

1. MATEMÁTICAS DISCRETAS
Dayarina Santos
12-0441
Profesora
Rina Familia
Grupos y Codigos
• Codificación de información binaria y detección del er
• Códigos de grupo
• Decodificación y correlación de errores

2. GRUPOS Y CÓDIGOS
La teoría de los códigos (teoría de clave o tipografía) ha desarrollado técnicas
que introducen redundancias en a información transmitida, las cuales ayuda a
detectar, y, algunas veces, a corregir los errores. Algunas de ellas se valen de la
teoría de los grupos.

3. Codificación de información binaria y detección
del error.
Mensaje, es una sesión finita de caracteres de un alfabeto
finito. Se elegirá como alfabeto al conjunto B={0,1}. Cualquier
carácter de M elementos de B, todo carácter o símbolo s
representara en forma binaria.
El canal de transmisión puede sufrir perturbaciones a las que
en general se les llama ruido, debido a las interferencias
climatológicas, problemas eléctricos, etc., que podrían causar
que un cero se reciba como un uno, o viceversa.

4. A la función codificadora e: BmBn+1 se le llama
código de verificación de paridad (m,m+1) si
b=b1b2…bm E Bm, se define
e(b)=b1b2… bmbm+1,
donde bm+1={0 si|b| es par
bm+1={}1 si |b| es non

5. Teorema 1. (Propiedades de la función distancia), sea
x,y,z elementos de bm. Entonces
a) d(x,y) = d(y,x)
b) d(x,y) > o igual a 0
c) d(x,y) = 0 si y solo si x=y
d) d(x,y)< o igual d(x,z) + d(z,y)
Teorema 2. Una función codificadora (m,n) e: BmBn
puede detectar k o menos errores si y solo si su distancia
mínima es a menos k+1.

6. A una función codificadora (m,n) e: BmBn se le llama código
de grupo si
E(Bm) = {e(b)|b E Bm}= Ran (e)
es un subgrupo de Bn.
Teorema 3. Sea e: BmBn un código de grupo. La distancia
mínima de es el peso mínimo de una clave distinta de cero.
Códigos de grupo

7. Teorema 4. sean D y E matrices booleanas de
m x p y v sean F una matriz booleana de p x n.
entonces
(D⊕E)*F= (D*F) ⊕(E*F)
Ahora se considerara al elemento x=x1x2… xn
E Bn como la matriz del 1xn [x1x2…xn].

8. Teorema 5. Sean m y n enteros negativos con m<n,n-m, y sean H
una matriz booleana de nxr. Entonces la función fn:BnBr definida
por
fH(x)= x*H, x E Bn
es un isomorfismo del grupo Bn en el grupo Br.
Teorema 6. Sean x= y1y2… ymx1… xr E Bn. entonces x*H=0 si y
solo si x=eH(b) para alguna b E Bm.

9. Los códigos detectores y correctores de error se
refieren a los errores de transmisión en las líneas se
deben a mucho a diversos factores, como el ruido
térmico, ruido impulsivo y ruido de intermodulación.
A una función suprayectiva d: Bm se le llama una
función decodificadora (n,m) asociada con e, si
d(xt)=b’EBm es tal que cuando el canal de transmisión
no tiene ruido, entonces b’=b, esto es,
e.d=1Bm
donde1Bm es la función idéntica en Bm. se requiere
que la función decodificadora d sea suprayectiva para
que cada palabra recibida se pueda decodificar para
dar una palabra en Bm.
Decodificación y correlación de errores

10. Teorema 1. Supóngase que e es una
función codificadora (m,n) y d es la función
decodificadora de máxima verosimilitud
asociada con e. Entonces (e,d) puede
corregir k o menos errores si y solo si la
distancia mínima de e es al menos 2k+1.
Teorema 2. Si K es un subgrupo de un
grupo G, entonces toda clase lateral de K
es G tiene tantos elementos como K.

11. Teorema 3. Si m,n,r H y fH son isomorfismos,
entonces fH es suprayectiva.
g(xN)=fH(x)=x*H
Al elemento x*H se le llama e síndrome de x
Teorema 4. Sean x elementos en Bn.
entonces x y y se encuentran en la misma
clase lateral izquierda de N en Bn si y solo si
fH(x)=fH(y), esto es, si y solo si ellas tienen el
mismo síndrome.