clase 9 once

2. FUNCIÓN: Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que a cada número del conjunto de partida le
corresponde una sola imagen del conjunto de llegada. Así, en la figura siguiente podemos observar gráficamente el
comportamiento de la función raíz cuadrada de un número. Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida (representado
por los valores que le asignemos a la variable independiente “X”), del lado derecho observamos el conjunto de llegada
(representado por los valores que toma la variable dependiente “Y” una vez que se extrae la raíz cuadrada del valor que se le
asignó a “X”) y sobre la flecha está indicada la relación matemática (función) que transforma los valores del conjunto de partida
en los valores del conjunto de llegada (imagen).
Ejm:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 1
𝑔 𝑥 =
𝑥4
𝑥3
+ 3

3. DOMINIO: Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” ( variable
independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal ( abscisas), leyendo como
escribimos de izquierda a derecha
El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se puede calcular la imagen
f(x).
En la gráfica anterior notamos que si le asignamos los valores “-2” y “-1” a la “X” estos no tienen imagen, por lo tanto no
pertenecen al dominio de la función estudiada. Esto es lógico ya que los números negativos no tienen raíces reales sino raíces
imaginarias.
Para calcular el dominio basta con observar la función y determinar que valores no puede tomar la variable independiente “x” de
acuerdo a cada tipo de función.
Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente),
por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical
(ordenadas), leyendo de abajo a arriba
Para calcularlo se puede hacer uso de la gráfica de la función y determinar analíticamente cuales son los valores que toma la
función en el eje “y” como se mencionó antes.
Otro método es usar la inversa de la función para ello, ya que el dominio de la función inversa será la imagen de la función:
𝑅𝑓(𝑥) = 𝐷𝑜𝑚 𝑓−1(𝑥)

4. FUNCIONES POLINÓMICAS:
Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el
conjunto de los números reales: R , puesto que a partir de una expresión polinómica, se puede sustituir el valor de “X” por
cualquier número real que hayamos elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”.
Son funciones polinómicas : La recta (función lineal o afín), la parábola (función de segundo grado) y los polinomios de grado
superior. Se refiere a funciones como:
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑔 𝑥 = 𝑥2
− 3𝑥 + 10
𝑝 𝑥 = 𝑥4
− 10𝑥2
− 3𝑥
ℎ 𝑥 = 𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥2 − 10
CARACTERÍSTICAS:
No aparecen radicales
No aparecen denominadores con variables

5. Ejm
Determinar el dominio y rango de f 𝑥 = 𝑥 + 3
Al tratarse de una función de grado uno (lineal) y además continua (no se corta) su dominio será:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ∀𝑥 ∈ 𝑅
Para determinar el Rango analizaremos su gráfica
Se puede notar en esta que si se sigue el eje “y” hacia arriba
Y hacia abajo, se pueden leer valores, por lo tanto:
𝑅𝑓 = −∞, ∞ = ℝ

6. Determinar el dominio y el Rango de 𝑓(𝑥) = 𝑥2
– 2𝑥 – 3
Al tratarse de una función de grado dos (Cuadrática) su dominio será:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ∀𝑥 ∈ ℝ
Para determinar el Rango analizaremos su gráfica
Se puede notar en esta que la gráfica tiene como vértice el punto con
coordenadas (1,-4) por lo tanto:
𝑅𝑓 = [−4, ∞) = ∀𝑦 ∈ ℝ − (−∞, 4)

7. FUNCIONES RACIONALES
Son funciones del tipo 𝑓 𝑥 =
−3
𝑥+5
el dominio de este tipo de funciones se halla revisando las salvedades para el denominador,
observando cuales son los valores que este no puede tomar la variable independiente de tal modo que no se haga cero (0).
Por ello entonces se tiene que:
𝑥 + 5 ≠ 0
𝑥 ≠ −5
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − {−5} ; ∀𝑥 ∈ ℝ − {−5}
𝑥2 + 2 ≠ 0
𝑥2
≠ −2
𝑥 ≠ −2
Al obtener un número imaginario se puede decir que el dominio no tiene restricciones en los reales, por lo tanto:
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ℝ = ∀𝑥 ∈ ℝ
Determine el dominio de:
𝑔 𝑥 =
−3
𝑥2 + 2

8. Determine el dominio y el rango de 𝑝 𝑥 =
−1
2𝑥−3
2𝑥 − 3 ≠ 0
2𝑥 ≠ 3
𝑥 ≠
3
2
𝐷𝑜𝑚 𝑝 = ℝ −
3
2
= ∀𝑥 ∈ ℝ −
3
2
FUNCIÓN IRRACIONAL
Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente.
Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto de los números reales porque al elegir cualquier valor
de “X” siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando.
Pero si el radical tiene índice par, para los valores de “X” que hagan el radicando negativo no existirá la raíz en los reales y por
tanto no tendrán imagen. Cuando queremos hallar el dominio de este tipo de funciones lo primero que debemos hacer es tomar
lo que hay dentro de la raíz y hacer que sea mayor o igual que cero. A continuación se resuelve esa inecuación y la solución de
dicha inecuación conforma el dominio de la función.

9. Determine el dominio de: ℎ 𝑥 =
3
−2𝑥 + 4
𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, 𝑑𝑒 𝑑ó𝑛𝑑𝑒: 𝐷𝑜𝑚ℎ = ℝ = ∀𝑥 ∈ ℝ
Determine el dominio de: 𝑙 𝑥 = 𝑥 + 3
𝑥 + 3 ≥ 0
𝑥 ≥ −3
𝐷𝑜𝑚𝑙 = −3, ∞ = ∀𝑥 ∈ ℝ − (−∞, −3)
Determine el dominio de: 𝑞 𝑥 = −3𝑥 + 4
−3𝑥 + 4 ≥ 0
−3𝑥 ≥ −4
3𝑥 ≤ 4
𝑥 ≤
4
3
𝐷𝑜𝑚 𝑞 = −∞,
4
3
= ∀𝑥 ∈ ℝ −
4
3
, ∞

10. Determine el Dominio de: 𝑗 𝑥 = 𝑥2 − 25
FUNCIONES EXPONENCIALES : Son aquellas funciones del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
donde “a” debe ser un número mayor que cero y
distinto de 1…( a > 0 ; 𝑎 ≠ 1 )
Todas las funciones exponenciales tienen como Dominio todos los números reales. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ Todas las funciones
exponenciales tienen como Rango todos los números reales positivos sin incluir el cero. 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = ( 0 , + ∞ )
Determine dominio y rango para: 𝑓 𝑥 = 0,5 𝑥+3
Al detectar que es una función de tipo exponencial se tiene que, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 𝑦 𝑅𝑓 = (0, ∞)
𝑥2 − 25 ≥ 0
𝑥 − 5 𝑥 + 5 ≥ 0
𝑥 ≥ 5 ; 𝑥 ≥ −5
𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝐷𝑜𝑚𝑗 = −∞, −5 ∪ 5, ∞ = ∀𝑥 ∈ ℝ − −5,5

11. FUNCIONES LOGARÍTMIC AS :
Los logaritmos de números negativos y el de cero (0) no existen. Luego, todas las expresiones a las que se le pretenda calcular
su logaritmo deben ser mayores a cero.
El procedimiento para calcular su dominio es bastante similar al de las funciones irracionales. Tomamos lo que hay dentro del
logaritmo y hacemos que sea mayor que cero. A continuación resolvemos la inecuación y la solución nos da el dominio.
El Rango estará representado por el conjunto de todos los números reales.
Determine el Dominio y el Rango de: f x = 𝐿𝑜𝑔 𝑥 + 3
𝑥 + 3 > 0
𝑥 > −3
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = −3, ∞ = ∀𝑥 ∈ ℝ − (−∞, −3]
𝑅𝑓 = ℝ
Determine e dominio y el Rango de: ℎ 𝑥 = log(𝑥2
− 4)
𝑥2
− 4 > 0
𝑥 + 2 𝑥 − 2 > 0
𝑥 > −2; 𝑥 > 2
𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝐷𝑜𝑚ℎ = (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
𝑅𝑓 = ℝ

12. Determine el dominio de: 𝑓 𝑥 =
𝑥+3
𝑥−5
𝑥 − 5 > 0
𝑥 > 5
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 5, ∞ = ∀𝑥 ∈ ℝ − −∞, −5
Determine el dominio de: 𝑝 𝑥 =
3𝑥2−3
𝑥2−9
𝑥2
− 9 > 0
𝑥 − 3 𝑥 + 3 > 0
𝑥 > 3 ; 𝑥 > −3
𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝐷𝑜𝑚 𝑝 = −∞, −3 ∪ 3, ∞ = ∀𝑥 ∈ ℝ − [−3,3]

13. Determinar el rango sin la gráfica
Esto se puede hacer hallando el dominio de la función inversa, ya que el rango de la función dada es igual al dominio de la
función inversa, esto es, dado 𝑓(𝑥) se cumple que, y esta es biyectiva, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 𝑓−1 y 𝑅𝑓 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓−1 gráficamente sería:

14. Ejemplos:
Determine el dominio y el rango de: 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 3
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ∀𝑥 ∈ ℝ
Se halla función inversa, despejando la variable independiente, así:
𝑦 = 𝑥2 − 3
𝑥2
= 𝑦 + 3
𝑥 = 𝑦 + 3
se realiza la reflexión de los ejes (realizo cambio entre variable).
𝑦 = 𝑥 + 3
𝑓−1
(𝑥) = 𝑥 + 3
Determino el dominio de 𝑓−1
𝑥 + 3 ≥ 0
𝑥 ≥ −3
De donde el 𝐷𝑜𝑚 𝑓−1 = −3, ∞ ; ∀𝑦 ∈ ℝ − (−∞, −3) por lo tanto 𝑅𝑓 = −3, ∞ ; ∀𝑦 ∈ ℝ − (−∞, −3)

15. Determine el Dominio y el recorrido de :
𝑙 𝑥 =
5
−4 + 3𝑥
−4 + 3𝑥 ≠ 0
𝑥 ≠
4
3
𝐷𝑙 = ∀𝑥 ∈ ℝ −
4
3
𝑦 =
5
−4 + 3𝑥
𝑦 −4 + 3𝑥 = 5
−4 + 3𝑥 =
5
𝑦
3𝑥 =
5
𝑦
+ 4
𝑥 =
5
𝑦
+ 4
3
𝑥 =
5
𝑦
3
+
4
3
𝑥 =
5
3𝑦
+
4
3
𝑙−1 =
5
3𝑥
+
4
3
𝐷𝑙−1 = ∀𝑥 ∈ ℝ − 0
𝑅𝑙 = ∀𝑦 ∈ ℝ − 0

16. PRACTICO 01 -09
Halla el dominio de las siguientes nueve funciones, si es necesario ayúdese de geogebra para corroborar.
1. 𝑝 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 − 3
2. ℎ 𝑥 = 𝑥2 − 10 + 2𝑥
3. 𝑓 𝑥 =
𝑥+10
𝑥−3
4. 𝑙 𝑥 =
3
−3𝑥 + 2
5. 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 2
6. 𝑖 𝑥 =
𝑥2+3𝑥
𝑥2+4
7. 𝑛 𝑥 = −1,5 3𝑥+2
8. 𝑠 𝑥 = log(−5𝑥 + 3𝑥2 − 2 )
9. 𝑚 𝑥 =
3−4𝑥
𝑥2−64
𝑝 𝑥 =
4
5𝑥 − 4
ℎ 𝑥 = 4𝑥 − 4
𝑙 𝑥 =
−10
−4 + 15𝑥
Determina el dominio y el recorrido de las siguientes
tres funciones (para el recorrido hágalo hallando la
función inversa).