1. CÁLCULO AVANZADO
ESCUELA:
ESCUELA: INGENIERÍA CIVIL
NOMBRE: Carmen Esparza Villalba
CLASE:
CLASE: Ajuste de curvas – Método de Jacobi
SEMESTRE: ABRIL 2012 – AGOSTO 2012
SEMESTRE:
CLASE: Nro. 15
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2. Contenidos
• Ajuste de curvas
– Método mínimos cuadrados
• Regresión Lineal
• Regresión Polinomial
• Método de Jacobi
– Matriz ortogonal P

3. Ajuste de Curvas
Cuando los datos obtenidos de manera experimental
fluctúan o tienen un error, es necesario encontrar valores
intermedios que puedan predecirse a partir de los valores
obtenidos
– Método mínimos cuadrados
• Regresión Lineal
• Regresión Polinomial

4. Ajuste – Regresión Lineal
• La mejor estrategia es
encontrar una línea que se
ajuste a los datos.
• Si E = y –a0-a1x, básicamente
estamos diciendo que el error E
es igual al valor real “y” menos
el valor aproximado a0+a1x, Por
lo tanto necesitamos encontrar Valor observado
Dato (y)
el valor a0 y a1. Que lo podemos
hacer a través de las siguientes
fórmulas: Recta de
regresión
estimada

5. FÓRMULAS Ajuste – Regresión Lineal
Sy = √(Σ(yi – )2 / (n-1)
•a1 = nΣxiyi-ΣxiΣyi
nΣxi2-(Σxi)2 Sy/x = √Σ(yi–a0– a1xi)2/(n-2)
r2 = ((St – Sr) / St) * 100%
•a0 = – a1(Σxi/n)
Dónde
St = Σ(yi – )2
Además podemos saber si
Sr = Σ(yi–a0– a1xi)2
la aproximación es
aceptable y qué tan buena
es.
•sy/x < sy (ajuste aceptable)

6. Ajuste – Regresión Polinomial
• Conservando la misma
estrategia podemos agregar
más términos para tener un
mejor ajuste.
• El sistema de ecuaciones
siguientes permitirá encontrar
los valores de a0, a1 , a2 , …
• Fórmulas:

7. FÓRMULAS Ajuste – Regresión Polinomial
a0n + a1Σxi + a2Σxi2 + ... + amΣxim = Σyi
a0Σxi + a1Σxi2 + a2Σxi3 + ... + amΣxim+1 = Σxiyi
a0Σxi2 + a1Σxi3 + a2Σxi4 + ... + amΣxim+2 = Σxi2yi
a0Σxi3+ a1Σxi4 + a2Σxi5 + ... + amΣxi2m = Σximyi
El sistema de ecuaciones puede resolverse por cualquier
método dependiendo de la cantidad de ecuaciones a utilizar
para un mejor ajuste. sy/x < sy (ajuste aceptable)
• Sy = √(Σ(yi – )2 / (n-1)
• Sy/x = √Σ(yi–a0– a1xi – …)2/(n-(m+1))
r2 = (St – Sr / St) * 100%
Dónde St = Σ(yi – )2 y Sr = Σ(yi–a0– a1xi – …)2
Si es Ajuste Cuadrático m = 2, porque se trunca en x2 en la 1era
ecuación.

8. Ejemplo: a partir de los datos de la tabla que se presenta a continuación,
ajuste un polinomio de segundo grado, utilizando regresión polinomial.
Xi Yi
0 2,1 Para el caso que nos ocupa,
1 7,7
2 13,6
3 27,2 m = 2 (el grado del polinomio que necesitamos)
4 40,9 n = 6 (la cantidad de datos)
5 61,1
Y el conjunto general de ecuaciones queda instanciado de la siguiente manera:
Xi Yi Xi2 Xi3 Xi4 XiYi Xi2 Yi
0 2,1 0 0 0 0 0
1 7,7 1 1 1 7,7 7,7
2 13,6 4 8 16 27,2 54,4
3 27,2 9 27 81 81,6 244,8
4 40,9 16 64 256 163,6 654,4
5 61,1 25 125 625 305,5 1527,5
∑Xi ∑Yi ∑Xi2 ∑Xi3 ∑Xi4 ∑XiYi ∑Xi2Yi
15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8

9. Por lo tanto, las ecuaciones lineales simultáneas son:
O en un “formato” más familiar:
Resolviendo ese sistema con alguna técnica como la eliminación gaussiana,
se obtiene:
ao = 2.47857 a1 = 2.35929 a2 = 1.86071
El polinomio es: 1.86071x2 + 2.35929x + 2.47857
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10. Debemos calcular Sr y St
Sr nos servirá para calcular el error estándar de aproximación basado en la
regresión polinomial.
St nos servirá para calcular el coeficiente de determinación.
Xtrazo 2,5000 ao = 2.47857 a1 = 2.35929 a2 = 1.86071
Ytrazo 25,4333
Xi Yi Xi2 Xi3 Xi4 XiYi Xi2 Yi ( Yi – Ytrazo )2 ( Yi - ao - a1xi - a2xi2 )2
0 2,1 0 0 0 0 0 544,4444 0,14332
1 7,7 1 1 1 7,7 7,7 314,4711 1,00286
2 13,6 4 8 16 27,2 54,4 140,0278 1,08158
3 27,2 9 27 81 81,6 244,8 3,1211 0,80491
4 40,9 16 64 256 163,6 654,4 239,2178 0,61951
5 61,1 25 125 625 305,5 1527,5 1272,1111 0,09439
∑Xi ∑Yi ∑Xi2 ∑Xi3 ∑Xi4 ∑XiYi ∑Xi2Yi St Sr
15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8 2513,3933 3,74657
Sr 3.74657
Sy/x = Sy/x = = 1.1175
n – (m+1) 6–3
St 2513.3933
Sy = = = 22.4205
n-1 5
El resultado indica que el 99.851%
2 St - Sr 2513.3933 - 3.74657
r = = = 0.99851 de la incertidumbre original se ha
St 2513.3933 explicado mediante el modelo.
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11. Método de Jacobi
El método de Jacobi se basa en la transformación de una
matriz A en otra semejante, A1, mediante una matriz
ortogonal de paso P.
El objetivo es convertir en ceros (o valores semejantes a
cero) todos los valores de la matriz triangular superior, o de
la matriz triangular inferior, de una matriz cuadrad A.
∗ ∗ ∗ ∗ + 0 + + x x x 0
     
∗ ∗ ∗ ∗ + + + + x x x x
A= A1 =  A2 = 
∗ ∗ ∗ ∗ + + + + x x x x
     
∗ ∗ ∗ ∗ + + + + x x x
     x 
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12. Método de Jacobi
Desarrollo de el método de Jacobi
1.- Se construye la matriz A1, semejante a A
A1 = P1’A P1
Para ello se determina el elemento Apq (elemento de mayor valor
absoluto) de la fila p y la columna q que se hará cero ( p ≠ q) de la
matriz triangular inferior, de la matriz Ak.
 a1q   a1q 
   
 M   M 
Ak ⇒ P  → Ak +1 =
M  M 
   
a L L a pq  a 
 p1   p1 L L 0 
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13. Método de Jacobi
Desarrollo de el método de Jacobi
La matriz P que es la matriz de transformación tiene la
siguiente forma:
( p, p ) = cos ө
(q, q ) = cos ө
(q , p ) = -sen ө
( p , q ) = sen ө
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14. Método de Jacobi
Desarrollo de el método de Jacobi
La base del método consiste en obtener Ө de tal manera que el elemento apq
correspondiente a la matriz Ak+1 sea nula. El valor de ( Ө) se obtiene de la
siguiente ecuación.
1 2apq
θ = arctag
2 aqq − app
2).- Se construye A2 semejante a A1
Se determina el elemento apq de la nueva matriz A1 y la nueva matriz de
transformación P2
A2 = P2’ A1 P2
3).- Se construye A3; A4;..............Ak+1
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15. Método de Jacobi
Desarrollo de el método de Jacobi
3).- Se construye A3; A4;..............Ak+1
A3 = P3’ A2 P3
A4 = P4’ A3 P4
‘’ ‘’ ‘’
‘’ ‘’ ‘’
‘’ ‘’ ‘’
Ak+1 = Pk+1’*Ak*Pk+1
Ak+1 = Dk+1 + Ek+1; donde
Dk+1 = es la matriz que contiene a los elementos de la diagonal de Ak+1
Ek+1 = Matriz que contiene a los elementos que no están en la diagonal de
Ak+1
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16. Método de Jacobi
Calculo de valores propios
El proceso se resume en lo siguiente:
Se determinan
A1 = P1 ' AP1
A2 = P2 ' A1 P2 = P2 ' ( P1 ' AP ) P2 = P2 ' P1 ' AP P2
1 1
A3 = P3 ' A2 P3 = P3 ' ( P2 ' P1 ' AP P2 ) P3 = P3 ' P2 ' P1 ' AP P2 P3
1 1
''
''
''
Ak +1 = Pk +1 ' Pk '......................P4 ' P3 ' P2 ' P1 ' AP P2 P3 P4 ...........Pk Pk +1
1
Ak+1 = P’ x A x P
P = P1 x P2 x P3 x P4 x P5..................Pk+1
Los elementos de las columnas de P son los vectores propios de A 16

17. Método de Jacobi
Calculo de valores propios
El proceso se resume en lo siguiente:
Se determinan
A1 = P1 ' AP1
A2 = P2 ' A1 P2 = P2 ' ( P1 ' AP ) P2 = P2 ' P1 ' AP P2
1 1
A3 = P3 ' A2 P3 = P3 ' ( P2 ' P1 ' AP P2 ) P3 = P3 ' P2 ' P1 ' AP P2 P3
1 1
''
''
''
Ak +1 = Pk +1 ' Pk '......................P4 ' P3 ' P2 ' P1 ' AP P2 P3 P4 ...........Pk Pk +1
1
Ak+1 = P’ x A x P
P = P1 x P2 x P3 x P4 x P5..................Pk+1
Los elementos de las columnas de P son los vectores propios de A 17

18. Método de Jacobi
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