Ejercicio de Econometría - Modelo Lineal General

1. ECONOMETRÍA I
EJERCICIO 4.24 DE NOVALES
Datos:
Para estimar el modelo: 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑡 + 𝛽3 𝑋3𝑡 + 𝜇 𝑡 se dispone de las observaciones:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 3 6 10 5 10 12 5 10 10 8
x1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x2 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 0
x3 1 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 0
a) Estime 𝜷 𝟏, 𝜷 𝟐, 𝜷 𝟑, 𝝈 𝒖
𝟐
y obtenga la matriz de varianzas y covarianzas del
vector β.
Yt=β1X1t+β2X2t+β3X3t+ut
TABLA DE DATOS
t yt x1 x2 x3
1 3 1 1 1
2 6 1 0 1
3 10 1 -1 1
4 5 1 1 0
5 10 1 0 0
6 12 1 -1 0
7 5 1 1 -1
8 10 1 0 -1
9 10 1 -1 -1
10 8 1 0 0
Suma 79 10 0 0
Media 7,9 1 0 0
Entonces:
y = 3
6
10
5
10
12
5
10
10
8

2. ECONOMETRÍA I
X = 1 1 1
1 0 1
1 -1 1
1 1 0
1 0 0
1 -1 0
1 1 -1
1 0 -1
1 -1 -1
1 0 0
Operando obtenemos:
10 0 0
X'X = 0 6 0
0 0 6
Calculando la
Inversa
(X'X)-1
=
0,10000
0
0,00000
0
0,00000
0
0,00000
0
0,16666
7
0,00000
0
0,00000
0
0,00000
0
0,16666
7
Operando:
X'y = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 0 6
1 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 0 10
5
10
12
5
10
10
8
79
X'y = -19
-6

3. ECONOMETRÍA I
Calculando Y'Y:
β^
= (X'X)-1
X'Y
0,100000 0,000000 0,000000
(X'X)-1
= 0,000000 0,166667 0,000000
0,000000 0,000000 0,166667
79
X'Y = -19
-6
OPERANDO
0,100000 0,000000 0,000000 79 7,9
β^
= 0,000000 0,166667 0,000000 -19 = -3,1666667
0,000000 0,000000 0,166667 -6 -1
Resultado:
7,900000
β^
= -3,166667
-1,000000
Luego:
σ^2
= S^2
= Y'Y-β^
'(X'Y)
n-k
Y'Y = 703,00
β^
= 7,90
-3,17
-1,00
Entonces β^
' = 7,90 -3,17 -1,00
Y'Y = 703

4. ECONOMETRÍA I
X'Y = 79
-19
-6
De: X'X = 10 0 0
0 6 0
0 0 6
Entonces: n = 10,00
De: Yt=β1X1t+β2X2t+β3X3t+ut
Entonces: k = 3,00
Operando:
79
7,90 -3,17 -1,00 -19
σ^2
= 703,0000 - -6
10 - 3
σ^2
= 703,0000 - 690,2666667
10 - 3
σ^2
= 1,8190
Entonces:
Var(β^
) = 1,819048 0,100000 0,000000 0,000000
0,000000 0,166667 0,000000
0,000000 0,000000 0,166667
Var(β^
) = 0,181905 0,000000 0,000000
0,000000 0,303175 0,000000
0,000000 0,000000 0,303175
Por lo tanto:
Var(β^
1) = 0,181905
Var(β^
2) = 0,303175
Var(β^
3) = 0,303175

5. ECONOMETRÍA I
b) Considere la hipótesis conjunta 𝑯 𝟎: 𝜷 𝟏 = 𝟕, 𝜷 𝟐 = 𝟐𝜷 𝟑. Escríbala en la
forma
𝑹𝜷 = 𝒓 y calcule el valor estadístico F para su contraste. Muestre que no
puede rechazarse la hipótesis al 95 por 100 de confianza.
SOLUCIÓN:
Paso1: Planteo de hipótesis.
𝐻0: 𝛽1 = 7=r 𝐻0: 𝛽1 ≠ 7
𝛽2 − 2𝛽3 = 0 𝛽2 − 2𝛽3 ≠ 0
Datos:
Modelo: Ŷ 𝑡 = 7.9 − 3.1666667𝑋2𝑡 − 𝑋3𝑡 + 𝑢 𝑡
r= 1 1 -2 * 7,9 = 6,7333333
-3,16667
-1
r=6.7333333
𝑅𝛽 = 𝑟

6. ECONOMETRÍA I
Paso 2:
𝐹𝑐 = -0,266667*
1
0.933335
*(-0.2666667)/2 / 1.8190
𝑭 𝒄 = 0.020942948
Paso 3:
𝐅𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚𝐬(𝟐,𝟕,𝟓%) = 𝟒. 𝟕𝟒
Paso 4:
Fc < Ftablas
Se acepta H0
´
F= 1 1 -2 * 7,9 -7 1 1 -2 * 0,100000 0,000000 0,000000 * 1,000000
-3,166667 0,000000 0,166667 0,000000 1,000000 *(-0,2666667) 2
-1 0,000000 0,000000 0,166667 -2,000000
1,819
−1
𝐹𝑐 = 0.02 < 𝐹𝑡 = 4.74
Región de
Aceptar 𝐻0
Región de
Rechazo 𝐻0

7. ECONOMETRÍA I
c) Si la hipótesis fuse cierta, la regresión podría escribirse: 𝒀𝒕 − 𝟕𝒙 𝟏𝒕 =
𝜷 𝟑(𝟐𝒙 𝟐𝒕 + 𝒙 𝟑𝒕) + 𝒖 𝒕 o, de forma similar: 𝒀𝒕
∗
= 𝜷 𝟑 𝑿𝒕
∗
+ 𝒖 𝒕 . Efectue la
regresión mínimo cuadrática en este nuevo modelo, calcule el valor
del estadístico.
(𝑆𝑅𝑅 − 𝑆𝑅𝑆)/𝑞
𝑆𝑅𝑆/(𝑇 − 𝐾)
Y utilícelo para contrastar dicha hipótesis.
SOLUCIÓN:
𝑌𝑡 − 7𝑥1𝑡 = 𝛽3(2𝑥2𝑡 + 𝑥3𝑡) + 𝑢 𝑡
𝑌𝑡 = 7𝑥1𝑡 + 2𝛽3 𝑥2𝑡 + 𝛽3 𝑥3𝑡 + 𝑢 𝑡
𝑌𝑡 = 𝛽1 𝑋1𝑡 + 𝛽2 𝑋2𝑡 + 𝛽3 𝑋3𝑡 + 𝜇 𝑡
-Hallando la suma de residuos sin restricción (MRSR)
𝑆𝑅𝑆𝑅 = 𝑌 𝑇
𝑌 − 𝛽^𝑇
𝑋 𝑇
𝑌
SRSR=703 - 7,9 -3,1666667 -1 * 79
-19 = 12.733333
-6
SRSR=12.733333
-Hallando la suma de residuos con restricción (SRCMR)
SRCMR = YT
Y − β^MRT
XT
Y
𝛽^𝑀𝑅
= (𝑋 𝑡
𝑋)−1
𝑋 𝑇
Y=
SRCMR=703-
7,9
-
3,1666667
-
1,5833334
7,9 -3,1666667 -1,58333 * 79
-19 = 9.233332
-6

8. ECONOMETRÍA I
SRCMR=9.233332
Paso1: Planteo de hipótesis.
𝐻0: 𝛽1 = 7=r 𝐻0: 𝛽1 ≠ 7
𝛽2 − 2𝛽3 = 0 𝛽2 − 2𝛽3 ≠ 0
Paso 2:
Fc =
(9.23332 − 12.733333)/2
12.733333/7
𝑭 𝒄 = −𝟎. 𝟗𝟔𝟐𝟎𝟒𝟐𝟏𝟖𝟓
Paso 3:
𝐅𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚𝐬(𝟐,𝟕,𝟓%) = 𝟒. 𝟕𝟒
Paso 4:
Fc < Ftablas
Se acepta H0
𝐹𝑐 = −0.962042185 < 𝐹𝑡 = 4.74
Región de
Aceptar 𝐻0
Región de
Rechazo 𝐻0