La recta de los mínimos cuadrados con excel y geogrebra
Ajuste de curvas metodo de jacobi
1. 1
CLASE: Nro. 15
NOMBRE: Carmen Esparza Villalba
CLASE: Ajuste de curvas – Método de Jacobi
CÁLCULO AVANZADO
ESCUELA: INGENIERÍA CIVIL
SEMESTRE: ABRIL 2013 – AGOSTO 2013
2. Contenidos
• Ajuste de curvas
– Método mínimos cuadrados
• Regresión Lineal
• Regresión Polinomial
• Método de Jacobi
– Matriz ortogonal P
3. Ajuste de Curvas
Cuando los datos obtenidos de manera experimental
fluctúan o tienen un error, es necesario encontrar valores
intermedios que puedan predecirse a partir de los valores
obtenidos
– Método mínimos cuadrados
• Regresión Lineal
• Regresión Polinomial
4. • La mejor estrategia es encontrar una
línea que se ajuste a los datos.
• Si E = y –a0-a1x, básicamente estamos
diciendo que el error E es igual al
valor real “y” menos el valor
aproximado a0+a1x, por lo tanto
necesitamos encontrar el valor a0 y a1.
Lo podemos hacer a través de las
siguientes fórmulas
Ajuste – Regresión Lineal
Valor observado
Dato (y)
Recta de
regresión
estimada
5. FÓRMULAS Ajuste – Regresión Lineal
a1 = Pendiente
•a1 = nxiyi-xiyi
nxi
2-(xi)2
a0 = ordenada en el origen
•a0 = ỹ – a1(xi/n)
Además podemos saber si
la aproximación es
aceptable y qué tan buena
si
•sy/x < sy (ajuste aceptable)
Sy = ((yi – ỹ)2 / (n-1)
Sy/x Desviación estándar
Sy/x = (yi–a0– a1xi)2/(n-2)
Sy/x Error estándar del estimado
(dispersión alrededor de línea de
regresión)
r2 = ((St – Sr) / St) * 100%
r2 = Coeficiente de determinación
r = Coeficiente de correlación
St = (yi – ỹ)2
Sr = (yi–a0– a1xi)2
6. • Conservando la misma
estrategia podemos agregar
más términos para tener un
mejor ajuste.
• El sistema de ecuaciones
siguientes permitirá encontrar
los valores de a0, a1 , a2 , …
• Fórmulas:
Ajuste – Regresión Polinomial
7. a0n + a1xi + a2xi
2 + ... + amxi
m = yi
a0xi + a1xi
2 + a2xi
3 + ... + amxi
m+1 = xiyi
a0xi
2 + a1xi
3 + a2xi
4 + ... + amxi
m+2 = xi2yi
a0xi
3+ a1xi
4 + a2xi
5 + ... + amxi
2m = ximyi
El sistema de ecuaciones puede resolverse por cualquier
método dependiendo de la cantidad de ecuaciones a utilizar
para un mejor ajuste. sy/x < sy (ajuste aceptable)
• Sy = ((yi – ỹ)2 / (n-1)
• Sy/x = (yi–a0– a1xi – …)2/(n-(m+1))
r2 = (St – Sr / St) * 100%
Dónde St = (yi – ỹ)2 y Sr = (yi–a0– a1xi – …)2
Si es Ajuste Cuadrático m = 2, porque se trunca en x2 en la 1era
ecuación.
FÓRMULAS Ajuste – Regresión Polinomial
8. Ejemplo: a partir de los datos de la tabla que se presenta a continuación,
ajuste un polinomio de segundo grado, utilizando regresión polinomial.
Xi Yi
0 2,1
1 7,7
2 13,6
3 27,2
4 40,9
5 61,1
Para el caso que nos ocupa,
m = 2 (el grado del polinomio que necesitamos)
n = 6 (la cantidad de datos)
Y el conjunto general de ecuaciones queda instanciado de la siguiente manera:
Xi Yi Xi2
Xi3
Xi4
XiYi Xi2
Yi
0 2,1 0 0 0 0 0
1 7,7 1 1 1 7,7 7,7
2 13,6 4 8 16 27,2 54,4
3 27,2 9 27 81 81,6 244,8
4 40,9 16 64 256 163,6 654,4
5 61,1 25 125 625 305,5 1527,5
∑Xi ∑Yi ∑Xi2
∑Xi3
∑Xi4
∑XiYi ∑Xi2
Yi
15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8
9. 9
Por lo tanto, las ecuaciones lineales simultáneas son:
O en un “formato” más familiar:
Resolviendo ese sistema con alguna técnica como la eliminación gaussiana,
se obtiene:
ao = 2.47857 a1 = 2.35929 a2 = 1.86071
El polinomio es: 1.86071x2 + 2.35929x + 2.47857
10. 10
Debemos calcular Sr y St
Sr nos servirá para calcular el error estándar de aproximación basado en la
regresión polinomial.
St nos servirá para calcular el coeficiente de determinación.
Xi Yi Xi2
Xi3
Xi4
XiYi Xi2
Yi ( Yi – Ytrazo )2
( Yi - ao - a1xi - a2xi2
)2
0 2,1 0 0 0 0 0 544,4444 0,14332
1 7,7 1 1 1 7,7 7,7 314,4711 1,00286
2 13,6 4 8 16 27,2 54,4 140,0278 1,08158
3 27,2 9 27 81 81,6 244,8 3,1211 0,80491
4 40,9 16 64 256 163,6 654,4 239,2178 0,61951
5 61,1 25 125 625 305,5 1527,5 1272,1111 0,09439
∑Xi ∑Yi ∑Xi2
∑Xi3
∑Xi4
∑XiYi ∑Xi2
Yi St Sr
15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8 2513,3933 3,74657
Xtrazo 2,5000
Ytrazo 25,4333
ao = 2.47857 a1 = 2.35929 a2 = 1.86071
Sy/x =
Sr
n – (m+1)
Sy/x =
3.74657
6 – 3
= 1.1175
Sy =
St
n - 1
2513.3933
5
= = 22.4205
r =
St - Sr
St
2 2513.3933 - 3.74657
2513.3933
= 0.99851=
El resultado indica que el 99.851%
de la incertidumbre original se ha
explicado mediante el modelo.
11. 11
El método de Jacobi se basa en la transformación de una
matriz A en otra semejante, A1, mediante una matriz
ortogonal de paso P.
El objetivo es convertir en ceros (o valores semejantes a
cero) todos los valores de la matriz triangular superior, o de
la matriz triangular inferior, de una matriz cuadrad A.
Método de Jacobi
A
0
1A
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
A
0
2
12. 12
Desarrollo de el método de Jacobi
1.- Se construye la matriz A1, semejante a A
A1 = P1’A P1
Para ello se determina el elemento Apq (elemento de mayor valor
absoluto) de la fila p y la columna q que se hará cero ( p ≠ q) de la
matriz triangular inferior, de la matriz Ak.
Método de Jacobi
01
1
1
p
q
k
a
a
A
pqp
q
aa
a
PAk
1
1
13. 13
Desarrollo de el método de Jacobi
La matriz P que es la matriz de transformación tiene la
siguiente forma:
( p, p ) = cos ө
(q, q ) = cos ө
(q , p ) = -sen ө
( p , q ) = sen ө
Método de Jacobi
14. 14
Desarrollo de el método de Jacobi
La base del método consiste en obtener Ө de tal manera que el elemento apq
correspondiente a la matriz Ak+1 sea nula. El valor de ( Ө) se obtiene de la
siguiente ecuación.
2).- Se construye A2 semejante a A1
Se determina el elemento apq de la nueva matriz A1 y la nueva matriz de
transformación P2
A2 = P2’ A1 P2
3).- Se construye A3; A4;..............Ak+1
Método de Jacobi
appaqq
apq
arctag
2
2
1
15. 15
Desarrollo de el método de Jacobi
3).- Se construye A3; A4;..............Ak+1
A3 = P3’ A2 P3
A4 = P4’ A3 P4
‘’ ‘’ ‘’
‘’ ‘’ ‘’
‘’ ‘’ ‘’
Ak+1 = Pk+1’*Ak*Pk+1
Ak+1 = Dk+1 + Ek+1; donde
Dk+1 = es la matriz que contiene a los elementos de la diagonal de Ak+1
Ek+1 = Matriz que contiene a los elementos que no están en la diagonal de
Ak+1
Método de Jacobi
16. 16
Calculo de valores propios
El proceso se resume en lo siguiente:
Se determinan
Ak+1 = P’ x A x P
P = P1 x P2 x P3 x P4 x P5..................Pk+1
Los elementos de las columnas de P son los vectores propios de A
Método de Jacobi
14321123411
3211233211233233
211221122122
111
...........''''.............'.........'
''
''
''
''')''(''
'')'(''
'
kkkkk PPPPPAPPPPPPPA
PPAPPPPPPAPPPPPAPA
PAPPPPAPPPPAPA
APPA
17. 17
Calculo de valores propios
El proceso se resume en lo siguiente:
Se determinan
Ak+1 = P’ x A x P
P = P1 x P2 x P3 x P4 x P5..................Pk+1
Los elementos de las columnas de P son los vectores propios de A
Método de Jacobi
14321123411
3211233211233233
211221122122
111
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